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2016-2017学年高中数学人教A版选修4-5学业分层测评2 基本不等式 Word版含解析

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学业分层测评(二) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.函数 f(x)= 2 A.5 【解析】 x 的最大值为( x+1 2 C. 2 ) D.1 1 B.2 显然 x≥0.当 x=0 时,f(x)=0; 1 当 x>0 时,x+1≥2 x,∴f(x)≤2, 当且仅当 x=1 时,等号成立, 1 ∴f(x)max=2. 【答案】 B ) 2.设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( a+b A.a<b< ab< 2 a+b B.a< ab< 2 <b a+b C.a< ab<b< 2 a+b D. ab<a< 2 <b 【解析】 a+b 取特殊值法.取 a=2,b=8,则 ab=4, 2 =5,所以 a< ab a+b < 2 <b.故选 B. 【答案】 B x2-4x+5 5 3.已知 x≥2,则 f(x)= 有( 2x-4 5 A.最大值为4 C.最大值为 1 【解析】 5 1 ∵x≥2,∴x-2≥2, ) 5 B.最小值为4 D.最小值为 1 ?x-2?2+1 1 1 ∴f(x)= =2(x-2)+ ≥ 2?x-2? 2?x-2? 2 x-2 x-2 1 1 · = 1 ,当且仅当 = , 2 2?x-2? 2 2?x-2? 即 x=3 时,等号成立,∴f(x)min=1. 【答案】 D 4.已知 x>0,y>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,则 ?a+b?2 cd 的最小值是( A.0 C.2 【解析】 ) B.1 D.4 由题意知 a+b=x+y,cd=xy, ∴(a+b)2=(x+y)2≥4xy=4cd, ?a+b?2 ∴ cd ≥4,当且仅当 x=y 时,取等号. 【答案】 D a+ b ,y= a+b,则 x,y 的关系是 2 5.已知 a,b 是不相等的正数,x= ( ) A.x>y C.x> 2y 【解析】 B.y>x D.y> 2x a+b a+b a+b 因为 a,b 是不相等的正数,所以 x2= 2 + ab< 2 + 2 =a +b=y2,即 x2<y2,故 x<y. 【答案】 二、填空题 B 6.若实数 x,y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是________. 【导学号:32750010】 【解析】 ?x+y?2 3 x +y +xy=(x+y) -xy≥(x+y) - 4 =4(x+y)2,∴(x+ 2 2 2 2 4 2 2 y)2≤3,∴|x+y|≤3 3,即 x+y 的最大值为3 3. 【答案】 2 3 3 x y 7.已知 x,y∈R+,且满足3+4=1,则 xy 的最大值为________. 【解析】 因为 x>0,y>0, xy 3· 4= xy 3 ,即 xy 3 ≤1,解得 xy≤3,所以其最大值为 3. x y 所以3+4≥2 【答案】 3 8.已知 a,b,m,n 均为正数,且 a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的 最小值为________. 【解析】 ∵a,b,m,n∈R+,且 a+b=1,mn=2, ∴(am+bn)(bm+an) =abm2+a2mn+b2mn+abn2 =ab(m2+n2)+2(a2+b2) ≥2ab· mn+2(a2+b2) =4ab+2(a2+b2) =2(a2+b2+2ab) =2(a+b)2=2, 当且仅当 m=n= 2时,取“=”, ∴所求最小值为 2. 【答案】 三、解答题 2 a b 9.已知 a,b,x,y∈R+,x,y 为变量,a,b 为常数,且 a+b=10,x+y= 1,x+y 的最小值为 18,求 a,b. 【解】 ?a b? ∵x+y=(x+y)?x+y ? ? ? bx ay =a+b+ y + x ≥a+b+2 ab=( a+ b)2, bx ay 当且仅当 y = x 时取等号. 又(x+y)min=( a+ b)2=18, 即 a+b+2 ab=18. 又 a+b=10, ?a=2, ?a=8, 由①②可得? 或? ?b=8 ?b=2. 2 x2 x2 2 x3 1 10.已知 x1,x2,x3 为正实数,若 x1+x2+x3=1,求证:x +x +x ≥1. 1 2 3 ① ② 【证明】 x2 x2 x2 2 3 1 2 2 ∵ +x1+ +x2+ +x3≥2 x2 2+2 x3+2 x1=2(x1+x2+x3)=2, x1 x2 x3 2 x2 x2 2 3 x1 ∴x +x +x ≥1. 1 2 3 [能力提升] 1.设 x,y∈R+,且满足 x+4y=40,则 lg x+lg y 的最大值是( A.40 C.4 【解析】 B.10 D.2 因为 x,y∈R+,∴ 4xy≤ x+4y , 2 ) x+4y ∴ xy≤ 4 =10,∴xy≤100. ∴lg x+lg y=lg xy≤lg 100=2. 【答案】 D 2.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每 月库存货物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站 10 千米处建仓 库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元,那么要使这两项费用之和最小, 仓库应建在离车站( A.5 千米处 C.3 千米处 【解析】 20 由已知:y1= x , ) B.4 千米处 D.2 千米处 y2=0.8x(x 为仓库到车站的距离). 20 费用之和 y=y1+y2=0.8x+ x ≥2 20 0.8x·x =8. 20 当且仅当 0.8x= x , 即 x=5 时等号成立. 【答案】 3.y= A 3+x+x2 (x>0)的最小值是________. x+1 ∵x>0,∴y= 3+x+x2 3 = +x+1-1≥2 3-1. x+1 x+1 【解析】 当且仅当 x+1= 3时取等号. 【答案】 2 3-1 x ≤a 恒成立,求实数

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