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江西省九江市七校2013届高三下学期第二次联考数学理试题

时间:2013-03-09


江西省九江市七校 2013 届高三下学期第二次联考 数学理试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷第 1 至 2 页,第 II 卷第 3 至第 4 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第I卷 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。

1.若集合 A ? x y ? 2 x ,集合 B ? x y ? A.

?

?

?

x ,则 A ? B ? (
D. ?? ?,?? ?

?

)

? 0, ?? ?

B. ?1,?? ?

C. ?0,?? ?

2.给出以下结论: (1)命题“存在 x 0 ? R, 2 (2)复数 z ?
x0 x “不存在 x 0 ? R, 2 0 ? 0 ; ? 0 ”的否定是:

1 在复平面内对应的点在第二象限 1? i

(3) l 为直线, ? , ? 为两个不同平面,若 l ? ? , ? ? ? ,则 l // ? (4)已知 2013 届九江市七校联考(一)的数学考试成绩 ? ~ N 90, ? 统计结果显示 p ?70 ? ? ? 110 ? ? 0.6 ,则 p ?? ? 70 ? ? 0.2 其中结论正确的个数为( A.4 B.3 ) C.2 D.1

?

2

?(? ? 0) ,

3.已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视 图如图所示,则该截面的面积为( A. ) C.

3 10 2

B. 4

9 2

D. 5

2 2 4.已知直线 x ? y ? a 与圆 x ? y ? 2 交于 A、 两点, 是原点, 是圆上一点, OA ? OB ? OC , B O C 若

则 a 的值为( A. ? 1

) B. ?

2

C. ? 3

D. ? 2

? x ? y ?1 ? 5.已知 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,若目标函数 z ? ax ? by (a ? 0, b ? 0) 的最大值为 7,则 ?2 x ? y ? 2 ?
·1·

3 4 ? 的最小值为( a b
A.14 B.7

) C.18 D.13

6.将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 个小球放入 3 个不同的盒子中,若每盒放 2 个,则标号为 1,6 的小球不在同一盒中的概率为( A. ) C.

4 5

B.

1 5

2 5

D.

3 5

7.若 f ? x ? ? ? A.0

2 ? x 3 ? sin x, ? 1 ? x ? 1 ,则 ? f ? x ?dx ? ( ?1 1? x ? 2 ?2,

)

B.1

C.2

D.3

8.若函数 y ? f ? x ? 的导函数为 y ? f ?? x ? ,且 f ?? x ? ? 2 cos? 2 x ? 调增区间为( A. ?0, ? ? 6? ) B. ? ,? ? ? 3 ?

? ?

??

? ,则 y ? f ? x ? 在 ?0, ? ? 上的单 6? ? 2?

? ??

? 2?

?

C. ?0, ? 和 ? , ? ? ? 6? ?3 ?

? ??

??

?

D. ?0, ? 和 ? ,? ? ? 6? ? 3 ?
n

? ??

?

1? ? 9.已知 k 为如图所示的程序框图输出的结果,二项式 ? x k ? ? 的展开 x? ?
式中含有非零常数项,则正整数 n 的最小值为 ( A. 4 10. B. 5 已 知 函 数 C. 6 ) D. 7

f ? x? ? 1 ? x ?

x 2 x3 x 4 x 2013 设 ? ? ?? ? 2 3 4 2013

F ? x ? ? f ? x ? 4? , 且函数 F(x)的零点均在区间 ? a, b ? ? a ? b, a, b ? Z ?
内,圆 x ? y ? b ? a 的面积的最小值是 (
2 2

) D. 4?

A. ?

B. 2?

C. 3?

第Ⅱ卷 注:第Ⅱ卷共 2 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答,答案无效。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

x3 ?1 ? 0 的解集是 . x2 ? x ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 12. 已知 a ? b ? 2, (a ? 2b) ? (a ? b) ? ?2, 则a与b的夹角为
11.不等式
·2·



13.设函数 f ( x) ? 2 x ? cos x ,?an ? 是公差为

?
4

的等差数列 , f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) = 3? ,则

f (a1 ) ? f (a2 ) ? ...... f ( a10 ) ?



y 2 x2 14. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 椭 圆 2 ? 2 ? 1(b ? a ) , A 、 B 是 其 下 、 上 a b
顶点,动点 M 满足 MB ? AB ,连接 AM 交椭圆与点 P ,若 MO ? PB (O 为原点) ,则椭圆的离心 率为 . 三.选做题:请在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按第一题评阅计分.本题共 5 分. 15.(1) (坐标系与参数方程选做题)曲线 C 的极坐标方程为 程为 ?

? sin 2 ? ? cos? ,曲线 F 的参数方


?x ? 3 ? t ,以极点为原点,极轴为 x 正半轴建立直角坐标系,则曲线 C 与曲线 F 有 ?y ?t ?1

公共点。 15. 2) ( (不等式选做题) 已知函数 f ? x ? ? x ? 1 ? 2 x ? 1 , 若关于 x 不等式 f ( x) ? m ? 1 ? m ? 2 的 解集是 R ,则实数 m 的取值范围是 . 四.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos x ? m 在区间 ? 0,
2

? ?? 上的最大值为 2. ? 2? ?

(1)求常数 m 的值; (2)在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边是 a , b , c ,若 f ( A) ? 1 , sin B ? 3sin C ,

?ABC 面积为

3 3 .求边长 a . 4

17. (本小题满分 12 分) 自“钓鱼岛事件” ,中日关系日趋紧张,不断升级.为了积极响应“保钓行动” ,学校举办了一场保 钓知识大赛,共分两组.其中甲组得满分的有 1 个女生和 3 个男生,乙组得满分的有 2 个女生和 4 个男生.现从得满分的同学中,每组各任选 2 个同学,作为保钓行动代言人. (1)求选出的 4 个同学中恰有 1 个女生的概率; (2)设 X 为选出的 4 个同学中女生的个数,求 X 的分布列和数学期望. 18. (本题满分 12 分)

a 2 , a5 是方程 x 2 ? 12 x ? 27 ? 0 的两根,数列 ?a n ? 是公差为正的等差数列,数列 ?bn ? 的前 n 项和
为 Tn ,且 Tn ? 1 ?

1 bn n ? N ? . 2
·3·

?

?

(1)求数列 ?a n ? , ?bn ? 的通项公式; (2)记 c n = a n bn ,求数列 ?c n ? 的前 n 项和 S n . 19. (本小题满分 12 分)已知圆柱 OO1 底面半径为 1,高为 ? ,ABCD 是圆柱的一个轴截面.动点 M 从点 B 出发沿着圆柱的侧面到达点 D, 其距离最短时在侧面留下的曲线 ? 如图所示. 将轴截面 ABCD 绕着轴 OO1 逆时针旋转 ? (0 ? ? ? ? ) 后,边 B1C1 与曲线 ? 相交于点 P. (1) 求曲线 ? 长度; (2) 当 ? ?

?

C1
D

2

时,求点 C1 到平面 APB 的距离;

O1
D1

C

(3) 是否存在 ? ,使得二面角 D ? AB ? P 的大小为

?
4


P

若存在,求出线段 BP 的长度;若不存在,请说明理由. 20. (本小题满分 13 分)设双曲线 C 以椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点为 25 9

A

?

B1

O

B

A1

焦点,且双曲线 C 的焦点到其渐近线的距离为 2 3 . (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 y ? kx ? m(k ? 0, m ? 0) 与双曲线 C 交于不同两点 E、F ,且 E、F 都在以 P (0,3) 为圆 心的圆上,求实数 m 的取值范围. 21. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? ln

x ?1 1? x ? , (a ? 0) . 2 a( x ? 1)

(1)若函数 f ( x) 在区间 (2, 4) 上存在极值, 求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f ( x) 在 [1, ??) 上为增函数, 求实数 a 的取值范围; (3)求证:当 n ? N * 且 n ? 2 时,

1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ln n . 2 3 4 n

永修一中 修水一中 都昌一中

九江市 彭泽一中
湖口一中

瑞昌一中 德安一中

2013 届高三第二次七校联考

--------------------------------



座位号

试 场


--------------------------

题号






16 17
·4·


18 19 20 21

总分

班 级

得分

理科数学答题卡
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 题号 答案 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. 12. 13. 14. 三.选做题:请在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按第一题评阅计分.本题共 5 分. 15.(1) (坐标系与参数方程选做题) 15.(2) (不等式选做题) 四.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

17. (本小题满分 12 分)

·5·

18. (本题满分 12 分)

19. (本小题满分 12 分)
C1
D

O1
D1
P

C

A

?

B1

O

B

A1

·6·



--------------------------------

-----------------------------------------



-----------------------

20. (本小题满分 13 分)

21. (本小题满分 14 分)

·7·

永修一中 修水一中 都昌一中

九江市 彭泽一中
湖口一中

瑞昌一中 德安一中

2013 届高三第二次七校联考

理科数学参考答案
一. 1.C 2.D 二. 3.C 4.A 5.B 6.A 7.C 8.D 9.B 10.A

11. ? ?2,1? ? ?1, ?? ? 三.

12.

?
3

13.

2 55? 2 14. ? 2 2 2

15(1).2 15(2). ? , ? ?4 4? 四. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos 2 x ? m

?3 9?

? 3 sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? m

? 2(sin 2 x ?

3 1 ? cos 2 x ? ) ? m ? 1 2 2

? 2sin(2 x ? ) ? m ? 1 6
∵ x ? ? 0,

?

????????2 分

? ?? ? ? 2?

∴ 2x ?

?

? ? 7? ? ?? , ? 6 ?6 6 ?

∵ 函数 y ? sin t 在区间 ?

?? ? ? ? ? 7? ? , ? 上是增函数,在区间 ? , ? 上是减函数 ?6 2? ?2 6 ?
时,函数 f ( x) 在区间 ? 0,

∴当 2 x ?

?
6

?

?
2

即x?

?
6

? ?? 上取到最大值. ? 2? ?
????????6 分

此时, f ( x) max ? f ( ) ? m ? 3 ? 2 得 m ? ?1

?

6

(2)∵ f ( A) ? 1
·8·

∴ 2sin(2 A ? ∴ sin(2 A ?

?
6

) ?1
????????8 分

1 ? ,解得 A ? 0 (舍去)或 A ? 6 2 3 a b c ∵ sin B ? 3sin C , ? ? sin A sin B sin C )?
∴ b ? 3c ①

?

∵ ?ABC 面积为

3 3 4

∴ S ?ABC ? 即 bc ? 3

1 1 ? 3 3 bc sin A ? bc sin ? 2 2 3 4
…………② ??????????10 分

由①和②解得 b ? 3, c ? 1

∵ a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A ? 32 ? 12 ? 2 ? 3 ? 1? cos ∴ a?

?
3

7

?????????????12 分

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)设“从甲组内选出的 2 个同学均为男同学;从乙组内选出的 2 个同学中,1 个是男同学,1 个为女同学”为事件 A , “从乙组内选出的 2 个同学均为男同学; 从甲组内选出的 2 个同学中 1 个是男 同学,1 个为女同学”为事件 B ,由于事件 A ? B 互斥,且 P ( A) ? ∴选出的 4 个同学中恰有 1 个女生的概率为
1 1 C32C2C4 4 C1C 2 1 ? ,P ( B ) ? 3 42 ? 2 2 C4 C62 15 C4 C6 5

P( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ?

4 1 7 ????????5 分 ? ? 15 5 15

(2) X 可能的取值为 0,1,2,3,
1 7 3 1 P( X ? 0) ? , P( X ? 1) ? , P( X ? 2) ? , P( X ? 3) ? 5 15 10 30

∴ X 的分布列为

X

0

1

2

3

·9·

P

1 5

7 15

3 10

1 30
????10 分

∴ X 的数学期望 EX ?

7 3 1 7 ? 2 ? ? 3? ? 15 10 30 6

??????????12 分

18. (本题满分 12 分) 解: (1)由 a 2 ? a5 ? 12, a 2 a5 ? 27 .且 d ? 0 得 a 2 ? 3, a5 ? 9

?d ?

a5 ? a 2 ? 2 , a1 ? 1 ? a n ? 2n ? 1?n ? N ? ? ????????3 分 3

1 2 bn 中,令 n ? 1, 得 b1 ? . 2 3 1 1 当 n ? 2 时,T n = 1 ? bn , Tn ?1 ? 1 ? bn ?1 , 2 2
在 Tn ? 1 ? 两式相减得 bn ?

b 1 1 1 bn ?1 ? bn ,? n ? ?n ? 2 ? bn ?1 3 2 2
? 2 n? N? . n 3
2 4n ? 2 , ? 3n 3n

? bn ?

2?1? ? ? 3 ?3?

n ?1

?

?

??????????6 分

(2) c n ? ?2n ? 1? ?

5 2n ? 1 ? ?1 3 ? S n ? 2? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? , 3 3 ? ?3 3 Sn 3 2n ? 3 2n ? 1 ? ? 1 ? 2? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?1 ? , 3 3 3n 3 ?3 ?

?1 ? 1 2 1 1 ? 2n ? 1 ? ? S n ? 2 ? ? 2? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n ?1 ? 3 3 3 ? 3 ?3 ? 3 ?
? ? 1? 1 ? ? 1 2 ? 9 ?1 ? 3 n ?1 ? 2n ? 1? ? ?? ? =2 ? ? 1 3 n ?1 ? ?3 1? ? ? 3 ? ?

·10·

= 2?

? 1 1 1 2n ? 1 ? 4 4n ? 4 ? ? n ? n ?1 ? ? ? n ?1 ,??????????10 分 3 3 ?3 3 3 ? 3
2n ? 2 ????????????12 分 3n

? Sn ? 2 ?

19. (本小题满分 12 分) 解法一: (1)将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边 BA,曲线 ? 就是对角线 BD。由于 AB ? ? r ? ? , AD ? ? ,所以这实际上是一个正方形. 所以曲线 ? 的长度为 BD ? (2)当 ? ?

2? .??????????3 分

时,点 B1 恰好为 AB 的中点,所以 P 为 B1C1 中点,故点 C1 到平面 APB 的距离与 2 点 B1 到平面 APB 的距离相等。 C1 连结 AP、BP,OP. 由 AB ? B1 P 且 AB ? A1 B1 知: AB ? 平面 APB. 从而平面 A1 B1 P ? 平面 APB。 作 B1 H ? OP 于 H,则 B1 H ? 平面 APB。 所以, B1 H 即为点 B1 到平面 APB 的距离。
H

?

D

O1

C

D1
P

? 在 Rt ? OB1 P 中, OB1 ? 1, B1 P ? BB1 ?
所以 OP ? 1 ? ( ) ?
2 2

?
2



A

?

B1

O

B

?

?2 ?4
2

2

。于是:

A1

B1 H =

OB1 ? B1 P ? OP

1?

? ? 2 ? 。所以,点 C1 到平面 APB 的距离为 。 2 ?2 ?4 ? ?4 ? ?4 2
2

?

?????????7 分 (3)由于二面角 D ? AB ? B1 为直二面角,故只要考查二面角 P ? AB ? B1 是否为 过 B1 作 B1Q ? AB 于 Q,连结 PQ。 由于 B1Q ? AB , B1 P ? AB ,所以 AB ? 平面 B1 PQ , 所以 AB ? PQ 。 于是 ?PQB1 即为二面角 P ? AB ? B1 的平面角。
D

? 即可。 4
C1
O1
C

D1
P
B1

? 在 Rt ? PB1Q 中, B1Q ? sin ? , B1 P ? BB1 ? ? 。
,则需 B1 P ? B1Q ,即 sin ? ? ? 。 4 ' 令 f ( x) ? sin x ? x (0 ? x ? ? ) ,则 f ( x) ? cos x ? 1 ? 0 , 若 ?PQB1 ?
·11·

?

A

?

O

Q

B

A1

故 f ( x) 在 (0, ? ) 单调递减。所以 f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 故不存在 ? ? (0, ? ) , sin ? ? ? 。 使 也就是说, 不存在 ? ? (0, ? ) , sin x ? x 在 (0, ? ) 上 (0, ? ) 恒成立。 使二面角 D ? AB ? B1 为

?
4

。??????????12 分

解法二:如图,以 O 为原点,OB 所在直线为 x 轴,过 O 与 OB 垂直的直线为 y 轴,建立空间直角坐

? 标系。则 A(?1, 0, 0), B (1, 0, 0) , B1 (cos ? ,sin ? , 0) 。由于 B1 P ? BB1 ? ? ,所以 P (cos ? ,sin ? , ? ) ,
??? ? ??? ? C1 (cos ? ,sin ? , ? ) ,于是 AP ? (cos ? ? 1,sin ? , ? ) , AB ? (2, 0, 0) 。
z
C1
D

O1

C

D1
P y A
?

B1

O

Q

B

x

(1)同解法一; (2)当 ? ?

A1

?? ??? ? ? ) , AB ? (2, 0, 0) ,所以 m ? (0, ? ,1) 是平面 APB 的一个法向量。 2 2 2 ?? ???? ? | ?? ?? | ???? ? | m ? C1O | ? ?? ? 2 ? 又, OC1 ? (0,1, ? ) ,所以点 C1 到平面 APB 的距离为 h ? 。 |m| ?2 ?2 ?4 1? 4 ?? ? x(cos ? ? 1) ? y ? sin ? ? z ? ? ? 0 (3)设 m ? ( x, y, z ) 是平面 APB 的一个法向量,则 ? , 2x ? 0 ? 0 ? 0 ? ?? 取 m ? (0, ?? ,sin ? ) 。
时, AB ? (1,1,

?

??? ?

?

又 n ? ?0,1,0 ? 是平面 DAB 的一个法向量。

?? ? ?? ? m?n sin ? 2 ? ? 由 cos ? m, n ?? ?? 得: sin ? ? ? 。以下同解法一。 | m |?| n | ? 2 ? sin 2 ? 2
20. (本小题满分 13 分)

(-4,0)、 F2 (4,0),? c ? 4 , 解:(1)依题双曲线 C 的两个焦点分别为 F1
又双曲线 C 的焦点到渐近线的距离为 2 3 ,? b ? 2 3 ,? a 2 ? c 2 ? b 2 ? 4 ,

·12·

? 双曲线 C 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1 . ?? 5分 4 12

(2)设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) ,

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 y 2 ,消去 y 整理得: (3 ? k ) x ? 2kmx ? (m ? 12) ? 0 , ?1 ? ? ? 4 12
?3 ? k 2 ? 0 ? 依题意得 ? (*) 2 2 2 2 ?? ? 4k m ? 4(3 ? k )(m ? 12) ? 0, ?
设 EF 的中点为 G ( x0 , y0 ) ,则 x0 ? 又? 点 G 在直线 y ? kx ? m 上,

x1 ? x2 km , ? 2 3? k2

? y0 ? kx0 ? m ?

3m km 3m ,? G ( , ), 2 2 3? k 3? k 3? k2

? E、F 两点都在以 P(0,3) 为圆心的同一圆上,? GP ? EF ,即 kGP ? k ? ?1 ,

3m ?3 9 ? 4m 3? k2 ,代人(*)式得: ? ? k ? ?1 ,整理得 k 2 ? km 3 3? k2
? 9 ? 4m ?3 ? 3 ? 0 16 ? 解得: m ? 0 或 m ? ? , ? 9 ? 4m 3 2 9 ? 4m 2 ? ? ? 4m ? ? 4(3 ? )(m ? 12) ? 0, ? 3 3 ?
9 ? 4m 9 ? 0 ,? m ? , 3 4 16 9 故所求 m 的取值范围是 (??, ? ) ? (0, ) ??13分 3 4
又 k2 ?

21. (本小题满分 14 分) 解: f ?( x) ?

2 1 ?a( x ? 1) ? a (1 ? x) 1 ?2 ? + ? + 2 x?2 2 [a( x ? 1)] x ? 2 a ( x ? 1) 2

·13·

2 x ? ( ? 1) a ( x ? 1) ? 2 a , ( x ? ?1) ?? 2分 ? ? 2 a ( x ? 1) ( x ? 1) 2
2 2 ? f ( x) 在 (?1, ? 1) 上为减函数,在 ( ? 1, ??) 为增函数, a a 2 ? f ( x) 在 x ? 处取得极小值. ?? 4分 a

2 ? 2 2 ?2 ? ? 1 ? 4 (1)依题: ? ? ? a ? ; ?? 6分 a 5 3 ?a ? 0, ? ?2 ? ?1 ? 1 ?a ? 0, ?

(2)依题: ? a

? a ? 1 ; ?? 8分

(3)由(2)知:当 a ? 1 时, f ( x) ? ln

x ?1 1? x ? , 在 [1, ??) 上为增函数, 2 x ?1 x ?1 1? x ? 当 x ? 1 时,有 f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 ln ?? , ( x ? 1) , 2 x ?1 1? x 1 n ?1 x ?1 n 取? , ? (n ? 2) ,则 x ? ? 1, ? x ?1 n n ?1 2 n ?1 n 1 即有: ln ? , (n ? 2) n ?1 n 1 1 1 1 3 4 n ? ? ? ? ? ? ? ln 2 ? ln ? ln ? ? ? ln ? ln n . ??14分 2 3 4 n 2 3 n ?1

·14·


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