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8.7 抛物线

时间:2015-12-06


8.7 抛物线 一、选择题 1.已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( ) 3 5 7 A. B.1 C. D. 4 4 4 1 解析:根据抛物线定义与梯形中位线定理,得线段 AB 中点到 y 轴的距离为: (|AF|+ 2 1 3 1 5 |BF|)- = - = . 4 2 4 4 答案:C 2.过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,如果 x1+x2= 6,那么|AB|=( ) A.10 B.8 C.6 D.4 ?y=k?x-1? ? 解析:由? 2 ?k2x2-2(k2+2)x+k2=0 ?y =4x ? 2?k2+2? ∵x1+x2= =6?k=± 1. k2 2 2 2 |AB| =(1+k )(x1-x2) =64 ∴|AB|=8. 答案:B 3.将两个顶点在抛物线 y2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个 数记为 n,则( ) A.n=0 B.n=1 C. n=2 D.n≥3 3 p 7± 4 3 解析:设直线 y= (x- ),与抛物线 y2=2px 联立可得 x= p,故可得两交点坐 3 2 2 7-4 3 7+4 3 7-4 3 p 标为( p, 3p-2p)和( p, 3p+2p),( p, 3p-2p)与( ,0)之间的距 2 2 2 2 7+4 3 p 离为 2(2- 3)p,( p, 3p+2p)与( ,0)之间的距离为 2(2+ 3)p,故等边三角形有 2 2 两个,选 C. 答案:C x2 y2 4.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的距离为 a b 4 ,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 ( - 2,- 1),则双曲线的焦距为 ( ) A.2 3 B.2 5 C.4 3 D.4 5 b bp y= x y=- a 2a 解析:由 ,解得 , p p x=- x=- 2 2

? ? ?

? ? ?

?-2a=-1 由题意得知? p ?-2=-2

bp

b 1 ? ?a=2 p ,得? ,又知 +a=4, 2 ? ?p=4

故 a=2,b=1,c= a2+b2= 5, ∴焦距 2c=2 5.故选 B. 答案:B 5.设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、|FM|

为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是( ) A.(0,2) B.[0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞) 解析:圆心到抛物线准线的距离为 p,即 4,根据已知只要|FM|>4 即可.根据抛物线 定义,|FM|=y0+2,由 y0+2>4,解得 y0>2,故 y0 的取值范围是(2,+∞). 答案:C 7 6.已知点 P 为抛物线 y2=2x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A 的坐标是( , 2 4),则|PA|+|PM|的最小值是( ) 11 9 A. B.4 C. D.5 2 2 1 ? 解析:焦点 F? ?2,0?,当 P、A、F 三点共线时|PA|+|PM|才有最小值,此时|PA|+|PM| 1 1 ?7-1?2+42-1=5-1=9.故选 C. =|PA|+|PF|- ,即|PA|+|PM|的最小值为|FA|- = ?2 2? 2 2 2 2 2 答案:C 二、填空题 → → 7 .坐标原点为 O ,抛物线 y2 = 2x 与过其焦点的直线交于 A、B 两点,则OA· OB= __________. 1 解析:依题意,抛物线 y2=2x 的焦点坐标为 F( ,0),不妨考虑特殊情况,即直线 AB 2 1 1 3 → → 1 与 x 轴垂直,此时解得 A( ,1),B( ,-1),所以OA· OB= -1=- . 2 2 4 4 3 答案:- 4 8.设 A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线 y=2x2 上的两点,直线 L 是 AB 的垂直平分线.当 1 直线 L 的斜率为 时,则直线 L 在 y 轴上截距的取值范围是__________. 2 1 解析:设 L 在 y 轴上的截距为 b,则直线 L 的方程为 y= x+b,过点 A、B 的直线可设 2 2 ?y=2x ? 为 y=-2x+m,则 A、B 的坐标是方程组? 的解,即 x1、x2 是方程 2x2+2x-m ?y=-2x+m ? 1 =0 的两根,从而有 x1+x2=-1,Δ=4+8m>0?m>- ①. 2 1 1 5 5 又 AB 的中点 N(- ,m+1)在直线 L 上,即 m+1=- +b?m=b- ,将 m=b- 代 2 4 4 4 3 3 ? 入①得 b> .故直线 L 在 y 轴上截距的取值范围是? ?4,+∞?. 4 3 ? 答案:? ?4,+∞? 9.设圆 C 位于抛物线 y2=2x 与直线 x=3 所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆 C 的 半径能取到的最大值为__________. 解析:依题意,结合图形的对称性可知,要使满足题目约束条件的圆的半径最大,圆 心位于 x 轴上时才有可能,可设圆心坐标是(a,0)(0<a<3),则由条件知圆的方程是(x-a)2 +y2=(3-a)2. 2 2 2 ? ??x-a? +y =?3-a? 由? 2 ?y =2x ? 消去 y 得 x2+2(1-a)x+6a-9=0,结合图形分析可知,当 Δ=[2(1-a)]2-4(6a-9)= 0 且 0<a<3,即 a=4- 6时,相应的圆满足题目约束条件,因此所求圆的最大半径是 3 -a= 6-1. 答案: 6-1

三、解答题 10.设抛物线顶点在原点,开口向上,A 为抛物线上一点,F 为抛物线焦点,M 为准 线 l 与 y 轴的交点,已知|AM|= 17,|AF|=3,求此抛物线的方程. 解析:作 AB⊥y 轴于 B,AC⊥l 于 C. 据抛物线定义,|AC|=|AF|.

∵|AF|=3,∴|AC|=3,从而|BM|=|AC|=3. ∵|AM|= 17, ∴在 Rt△ABM 中,|AB|2=|AM|2-|BM|2=17-9=8. 在 Rt△ABF 中,|BF|2=|AF|2-|AB|2=9-8=1,∴|BF|=1. 从而|FM|=|BF|+|BM|=4 或|FM|=|BM|-|BF|=2,即抛物线的焦准距 p=4 或 p=2,又 抛物线开口向上,故抛物线方程为 x2=8y 或 x2=4y.

11.(2013· 浙江卷)已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0),焦点为 F(0,1). (1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 F 作直线交抛物线 C 于 A,B 两点.若直线 AO,BO 分别交直线 l:y=x-2 于 M,N 两点,求|MN|的最小值. p 解析:(1)由题意可设抛物线 C 的方程为 x2=2py(p>0),得 =1, 2 ∴抛物线 C 的方程为 x2=4y. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y=kx+1(直线 AB 的斜率显然存在), ? ?y=kx+1, 由? 2 消去 y,整理得 x2-4kx-4=0, ?x =4y ? ∴x1+x2=4k,x1x2=-4. 从而|x1-x2|=4 k2+1. y ? ?y=x1x, 1 显然 x ,x 均不为 0,由?
1 2

? ?y=x-2,

2x1 2x1 8 = . 2= x x1-y1 4-x1 1 x1- 4 8 同理点 N 的横坐标 xN= . 4-x2 2 8 8 x1-x2 ? ?=8 2 k +1. ∴|MN|= 2|xM-xN|= 2?4-x -4-x ?=8 2? ? ? |4k+3| 1 2? ?x1x2-4?x1+x2?+16? t+3 令 4k-3=t,t≠0,则 k= . 4 ?5+3?2+16≥8 2. ∴|MN|=2 2 ? t 5? 25 5 解得点 M 的横坐标 xM=

25 4 8 2 综上所述,当 t=- ,即 k=- 时,|MN|的最小值是 . 3 3 5 12.(2013· 广东卷)已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F(0,c),(c>0)到直线 l:x-y 3 2 -2=0 的距离为 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 做抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其中 2 A,B 为切点. (1)求抛物线 C 的方程; (2)当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|· |BF|的最小值. |0-c-2| 3 2 解析:(1)依题意 d= = ,解得 c=1(负根舍去). 2 2 ∴抛物线 C 的方程为 x2=4y. (2)设点 A(x1,y1),B(x2,y2), 1 1 由 x2=4y,即 y= x2 得 y′= x, 4 2 x1 x1 1 ∴抛物线 C 在点 A 处的切线 PA 的方程为 y-y1= (x-x1),即 y= x+y1- x2 . 2 2 2 1 1 ∵y1= x2 , 4 1 x1 ∴y= x-y1. 2 ∵点 P(x0,y0)在切线 l1 上, x1 ∴y0= x0-y1.① 2 x2 同理,y0= x0-y2.② 2 x 综合①②得,点 A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标都满足方程 y0= x0-y. 2 ∵经过 A(x1,y1),B(x2,y2)两点的直线是唯一的, x ∴直线 AB 的方程为 y0= x0-y, 2 即 x0x-2y-2y0=0. (3)由抛物线的定义可知 |AF|=y1+1,|BF|=y2+1, ∴|AF|· |BF|=(y1+1)(y2+1) =y1+y2+y1y2+1, 2 ? ?x =4y, ? 联立 消去 x 得 ?x0x-2y-2y0=0, ? 2 y2+(2y0-x2 0)y+y0=0, 2 ∴y1+y2=x0 -2y0,y1y2=y2 0. ∵x0-y0-2=0, 1?2 9 2 2 2 2 ? ∴|AF|· |BF|=y2 0-2y0+x0+1=y0-2y0+(y0+2) +1=2y0+2y0+5=2 y0+2 + , ? ? 2 1 9 ∴y0=- 时,|AF|· |BF|取得最小值为 . 2 2


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