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17空间直角坐标系

时间:2017-10-11


教学课题:空间直角坐标系 三维目标: 1.知识与技能: 通过具体情境感受建立空间坐标系的必要性,了解空间直角坐标系,能用空间坐标系画出点 的位置;通过表示特殊长方体顶点的坐标,探索出空间两点的距离公式. 2.过程与方法: 经历空间坐标系刻画点的过程, 了解类比思维的思想; 经历用代数方法刻画几何位置的过程; 通过空间坐标系的建立,空间两点的距离公式的推导,应初步意识到:将空间问题转化为平面问 题是解决空间问题的基本思想方法. 3.情感、态度与价值观: 体会“数形结合” 、 “类比联想”的思想方法,树立辩证唯物主义思想和对立统一思想,培养 学生积极参与、大胆探索的精神. 教学重点:建立空间直角坐标系,并能画出点的位置;空间两点距离公式的推导及应用. 教学难点:空间两点距离公式的推导. 教学课时:3 课时 教学过程:

第 1,2 课时:空间直角坐标系的建立 一.引入 情境引入:投影如下图形,根据图形下方的问题,引入建议空间直角坐标系的必要性.

二.新知
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㈠建立空间直角坐标系 投影下图,说明建立空间直角坐标系的法则.

右手法则建系:将 x 轴和 y 轴放置在水平面上,那么 z 轴就垂直于水平面. 它们方向的规定:伸 出右手, 让四指与大拇指垂直, 并使四指先指向 x 轴正方向, 然后让四指沿握拳方向旋转 90? 指向 y 轴 正方向,此时大拇指的指向即为 z 轴正方向. 相关概念: O 叫作原点, x, y, z 轴统称为坐标轴,由坐标轴确定的平面叫作坐标平面, x, y 轴确 定的平面记作 xOy 平面, y, z 轴确定的平面记作 yOz 平面, x , z 轴确定的平面记作 xOz 平面. ㈡空间直角坐标系中点的坐标 1.空间中点坐标的确定方法: 投影如下图形,说明点坐标的确定方法.

⑴过点 P 作 PP' ? xOy 平面,交平面 xOy 于点 P ' ,若点 P 与 z 轴的正向在 xOy 平面的同侧,则

z ?| PP' | ,否则 z ? ? | PP'| ;
⑵确定 P ' 点在 xOy 平面内的坐标 x, y ; ⑶确定点 P 的坐标: P?x, y, z ? . 例(教材例 1) 如图,点 P ' 在 x 轴正半轴上, | OP' |? 2 , P ' P 在 xOz 平面上,且垂直于 x 轴,

| P' P |? 1 . 求 P ' 和 P 的坐标.

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2.空间坐标点的绘制 画空间坐标点的方法:首先在 xOy 平面内确定点 P' ?x, y,0? ,然后过点 P ' 作平面 xOy 的垂线,若

z ? 0 ,则点 P 和 z 轴的正方向在 xOy 平面的同侧,取 | PP' |? z ,若 z ? 0 ,则在异侧,取 | PP' |?| z | .
例(教材例 2) 在空间直角坐标系中作出点 P?3,?2,4? . 3.长方体在空间直角坐标系中的用法 对于空间直角坐标系中的任意一个点 P?x, y, z ? , 通过点 P 分别向坐标轴作垂面, 构造一个以 O, P 为顶点的长方体(如下图,师投影) ,则长方体在三条坐标轴上的顶点 P 1, P 2,P 3 的坐标分别为 ? x,0,0 ? ,

?0, y,0? , ?0,0, z ? ;反之,给定空间直角坐标系中的任意一个点 P ,通过点 P 分别向坐标轴作垂面,
构造一个以 O, P 为顶点的长方体,如果长方体在三条坐标轴上的顶点 P 1, P 2,P 3 的坐标分别为 ? x,0,0 ? ,

?0, y,0? , ?0,0, z ? ,则点 P 的坐标为 P?x, y, z ? .

例(教材例 3 ) 在同一个空间直角坐标系中画出下列各点: A?0,0,0? , B?3,0,0? , C ?3,2,0? ,

D?0,2,0? , A' ?0,0,1? , B' ?3,0,1? , C ' ?3,2,1? , D' ?0,2,1? .
4.空间坐标点的对称点求法 点 P?x, y, z ? 关于原点 O 对称的点为: P' ?? x,? y,? z ? ; 点 P?x, y, z ? 关于 x 轴对称的点为: P' ?x,? y,? z ? ; 点 P?x, y, z ? 关于 y 轴对称的点为: P' ?? x, y,? z ? ; 点 P?x, y, z ? 关于 z 轴对称的点为: P' ?? x,? y, z ? ;
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点 P?x, y, z ? 关于 xOy 平面对称的点为: P' ?x, y,? z ? ; 点 P?x, y, z ? 关于 yOz 平面对称的点为: P' ?? x, y, z ? ; 点 P?x, y, z ? 关于 xOz 平面对称的点为: P' ?x,? y, z ? ; 例(教材第 90 页练习第 4 题) 在空间直角坐标系中,给定点 M ?1,?2,3? ,求它分别关于坐标平 面、坐标轴和原点的对称点的坐标. 5.空间直角坐标系中点与点的中点坐标公式 已知点 A?x1 , y1 , z1 ? , B?x2 , y 2 , z 2 ? ,则 AB 的中点坐标为: ?

? x1 ? x2 y1 ? y 2 z1 ? z 2 ? , , ?. 2 2 ? ? 2

例 在空间直角坐标系中,线段 AB 的中点为 ?? 1,2,3? ,其中点 A 的坐标为 ?2,?1,?2? ,求点 B 的 坐标. 三.练习 1.如图,把棱长为单位 1 的立方体分别放到空间直角坐标系中的不同位置,分别说出立方体各 个顶点的坐标.

2. 在如下的空间直角坐标系, 然后标出下列各点: A?0,1,?1?,B?0,0,5? ,C?? 1,1,2? ,D?? 2,0,0? ,

E?2,3,1?

3.在空间直角坐标系中,自点 A?? 4,?2,3? 引各坐标平面和坐标轴的垂线,求各垂足的坐标. 4.在空间直角坐标系中,求点 M ?4,3,?5? 到各坐标轴和各坐标平面的距离.
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四.小结:空间直角坐标系中,点的坐标确定与刻画. 五.作业: 习题 2 ? 3 A 第 2、3 题

第 3 课时:空间两点间的距离公式 一.引入 复习回顾:空间直角坐标系的建立及其空间点坐标的刻画. 情景导入: 我们知道, 如果长方体的长、 宽、 高分别为 a, b, c , 则该长方体的对角线长 d ? a 2 ? b 2 ? c 2 . 若 将长方体放置在空间直角坐标系中,对角线的两个端点就有唯一对应的空间坐标,那么能否用这两个 点的空间坐标来计算线段(对角线)的长呢?(引入新课) 二.新知 如图,已知 O?0,0,0? , P?x0 , y0 , z 0 ?,且 P 点在坐标平面上,求 | OP | .

引导学生分析探究:由 O, P 两点构建一个长方体(如图所示) ,则

| OP |? | OA | 2 ? | OB | 2 ? | OC | 2 ,
而 | OA |?| x0 | , | OB |?| y0 | , | OC |?| z0 | ,所以

| OP |? x0 ? y 0 ? z 0 .
如图,已知 A?x1 , y1 , z1 ? , B?x2 , y 2 , z 2 ? ,求 | AB | .

2

2

2

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分析探究:如图,由点 A, B 构建一个长方体.
2 2 2 因为 | AB |? | AC | ? | CD | ? | BD | ,

而 | AC |?| y1 ? y 2 | , | CD |?| x1 ? x2 | , | BD |?| z1 ? z 2 | . 所以 | AB |?

?x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y 2 ?2 ? ?z1 ? z 2 ?2

.

这就是两点间的距离公式. 例(教材例 4) 给定空间直角坐标系,在 x 轴上找一点 P ,使它与点 P0 ?4,1,2? 的距离为 30 . 例(教材例 5) 在 xOy 平面内的直线 x ? y ? 1 上确定一点 M ,使 M 到点 N ?6,5,1? 的距离最小. 三.练习: 1.求点 P?1,2,?2? 和 Q?? 1,0,?1? 间的距离. 2.在 z 轴上求一点 M ,使点 M 到点 A?1,0,2? , B?1,?3,1? 的距离相等. 3.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2, AN ? 2CN , BM ? 2MC1 ,求 MN 的长.

四.小结:空间两点间的距离公式. 五.作业: 习题 2 ? 3 A 组第 6、7 题.

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