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【苏教版】【步步高】2014届高三数学(理)大一轮复习练习:7.1 不等关系与不等式]

时间:2015-04-06


7.1 不等关系与不等式
一、填空题 1.已知 a ? log 2 3.6, b ? log4 3.2, c ? log4 3.6, 三者大小关系为 .

解析 因为 a ? 1 , b, c 都小于 1 且大于 0,又因为 b, c 都是以 4 为底的对数,真数大,函 数值也大,所以 b ? c . 答案
a?c?b

2 下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是 ①a>b+1 ②a>b-1 ③a >b
2 2

. ④a >b
3 3

解析 ①项:若 a>b+1,则必有 a>b,反之,当 a=2,b=1 时,满足 a>b,但 不能推出 a>b+1,故 a>b+1 是 a>b 成立的充分而不必要条件;②项:当

a=b=1 时,满足 a>b-1,反之,由 a>b-1 不能推出 a>b;③项:当 a=-2, b=1 时,满足 a2>b2,但 a>b 不成立;④项:a>b 是 a3>b3 的充要条件,综上知
使 a>b 成立的充分而不必要的条件是①. 答案 ① 3.a>2,A= a+1+ a,B= a+2+ a-2,则 A、B 的大小关系是 解析 A2=2a+1+2 a2+a,B2=2a+2 a2-4,显然 A2>B2,即 A>B. 答案 A>B 1 4.a>0,b>0,则不等式-b< <a 等价于 .

x

.

解析 由题意知 a>0,b>0,x≠0, 1 1 (1)当 x>0 时,-b< <a?x> ;

x x

a

1 1 (2)当 x<0 时,-b< <a?x<- .

b

1 1 1 综上所述,不等式-b< <a?x<- 或 x> .

x

b

a

1 1 答案 x<- 或 x>

b

a

5.若 a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的 a,b 恒成立的 是 (写出所有正确命题的编号).

① ab ? 1 ;② a ? b ? 2 ;③ a2 ? b2 ? 2 ;④ a3 ? b3 ? 3 ;⑤ 1 ? 1 ? 2 . a b 解析 个正数,和定积有最大值, ( a ? b) 2 ? 1? 即 ab ? 4 当且仅当 a=b 时取等号,故①正确;

( a ? b )2 ? a ? b ? 2 ab ? 2 ? 2 ab ? 4?
当且仅当 a=b 时取等号,得 a ? b ? 2? 故②错误
2 2 ( a ? b) 2 ? 1? 故 a2 ? b2 ? 2 成立, 由于 a ? b ? 2 4 故③正确;

a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? b2 ? ab) ? 2(a2 ? b2 ? ab)?
∵ ab ? 1? ∴ ? ab ? ?1. 又 a2 ? b2 ? 2? ∴ a 2 ? b2 ? ab ? 1 . ∴ a3 ? b3 ? 2? 故④错误;

1 ? 1 ? ( 1 ? 1) a ? b ? 1 ? a ? b ? 1 ? a b a b 2 2b 2a 当且仅当 a=b 时取等号,故⑤成立. 答案 ③⑤ a b 6.已知 ab≠0,那么 >1 是 <1 的 b a
解析

条件.

a a-b b >1 即 >0,所以 a>b>0,或 a<b<0,此时 <1 成立; b b a a-b >0,即 a>b,a>0 或 a<0,a<b, a

反之 <1,所以

b a

此时不能得出 >1. 答案 充分不必要 7.若 a、b∈R,且 ab>0,则下列四个不等式中,恒成立的是 ①.a2+b2>2ab 1 1 2 ③. + > ②.a+b≥2 ④. + ≥2 .

a b

ab

a b

ab

b a a b

解析 对①:当 a=b=1 时满足 ab>0,但 a2+b2=2ab,所以①错;对②、③:

1 1 2 当 a=b=-1 时满足 ab>0,但 a+b<0, + <0,而 2 ab>0, >0,显然

a b

ab

②、③不对;对④:当 ab>0 时,由均值定理 + =2 答案 ④

b a a b

b a · =2. a b

8.若 a1<a2,b1<b2,则 a1b1+a2b2 与 a1b2+a2b1 的大小关系是________. 解析 (a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=(a1-a2)(b1-b2)>0. 答案 a1b1+a2b2>a1b2+a2b1 9.若 x>y,a>b,则在①a-x>b-y,②a+x>b+y,③ax>by,④x-b>y-a, ⑤ > 这五个式子中,恒成立的所有不等式的序号是________. 解析 令 x=-2,y=-3,a=3,b=2, 符合题设条件 x>y,a>b, ∵a-x=3-(-2)=5,b-y=2-(-3)=5, ∴a-x=b-y.因此①不成立. 又∵ax=-6,by=-6,∴ax=by.因此③也不正确. 又∵ =

a b y x

a 3 b 2 a b =-1, = =-1,∴ = .因此⑤不正确. y -3 x -2 y x

由不等式的性质可推出②④成立. 答案 ②④ 10.已知-1≤x+y≤4,且 2≤x-y≤3,则 z=2x-3y 的取值范围是________(用 区间表示). 1 5 解析 ∵z=- (x+y)+ (x-y), 2 2 1 5 ∴3≤- (x+y)+ (x-y)≤8, 2 2 ∴z∈[3,8]. 答案 [3,8] 11.若角 α ,β 满足- 解析 ∵- π π <α <β < ,则 2α -β 的取值范围是________. 2 2

π π π π <α <β < ,∴-π <2α <π ,- <-β < , 2 2 2 2

3π 3π π ∴- <2α -β < ,又∵2α -β =α +(α -β )<α < , 2 2 2 3π π ∴- <2α -β < . 2 2 ? 3π π ? , ? 答案 ?- 2 2? ? 12. 设 a>b>1, c ? 0 ,给出下列三个结论: ①
c c > a b

;② a c < bc ; ③ logb (a ? c) ? loga (b ? c) , .

其中所有的正确结论的序号是

答案 ①②③ 1 ?x- x 2 13.知 f(x)=? ?-x -x+
2



则不等式 f(x)≤2 的解集是________. ,
2 ?-x -x+4≤2, 或? ?x≤2.

x

解析

1 ?x- ≤2, 依题意得? 2 ?x>2

?5 ? 解得 x∈(-∞,-2]∪[1,2]∪? ,+∞?. ?2 ? ?5 ? 答案 (-∞,-2]∪[1,2]∪? ,+∞? ?2 ? 二、解答题 14.已知 a>0,b>0,试比较 M= a+ b与 N= a+b的大小. 解析 ∵M2-N2=( a+ b)2-( a+b)2 =a+b+2 ab-a-b=2 ab>0, ∴M>N. 15.已知 f(x)=ax2-c 且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求 f(3)的取值范围. ?a-c=f 解析 由题意,得? ?4a-c=f , ,

1 ? ?a=3[f 解得? 4 c=- f ? 3 ?

-f 1 + f 3



5 8 所以 f(3)=9a-c=- f(1)+ f(2). 3 3 5 5 20 因为-4≤f(1)≤-1,所以 ≤- f(1)≤ , 3 3 3 8 8 40 因为-1≤f(2)≤5,所以- ≤ f(2)≤ . 3 3 3 两式相加,得-1≤f(3)≤20, 故 f(3)的取值范围是[-1,20]. 16.已知 a∈R,试比较 1 与 1+a 的大小. 1-a

1 a2 解析 -(1+a)= . 1-a 1-a ①当 a=0 时,

a2
1-a

=0,∴

1 =1+a. 1-a >0,∴ 1 >1+a. 1-a

②当 a<1 且 a≠0 时, ③当 a>1 时,

a2
1-a

a2
1-a

<0,∴

1 <1+a. 1-a

综上所述,当 a=0 时, 当 a<1 且 a≠0 时, 当 a>1 时,

1 =1+a; 1-a

1 >1+a; 1-a

1 <1+a. 1-a 1

17. (1)设 x≥1,y≥1,证明 x+y+

xy x y

1 1 ≤ + +xy;

(2)设 1<a≤b≤c,证明 logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac. 解析 (1)由于 x≥1,y≥1,所以

x+y+ ≤ + +xy?xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2. xy x y

1

1

1

将上式中的右式减左式,得 [y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1]=[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)] =(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1) =(xy-1)(x-1)(y-1). 既然 x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,从而所要证明的不等式成立. (2)设 logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得 logca= 1

xy

1 1 ,logba= ,logcb= ,logac=xy.

x

y

于是,所要证明的不等式即为

x+y+ ≤ + +xy xy x y
其中 x=logab≥1,y=logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立. 18 .命题 p :实数 x 满足 x2 - 4ax + 3a2<0 ,其中 a>0 ;命题 q :实数 x 满足 2 ?x -x-6≤0, ? 2 ?x +2x-8>0. (1)若 a=1,且 q∧p 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 解析 (1)由 x2-4ax+3a2<0 得 (x-3a)(x-a)<0, 又 a>0,所以 a<x<3a. 当 a=1 时,1<x<3, 即 p 为真时,实数 x 的取值范围是 1<x<3. 2 ?x -x-6≤0, 由? 2 得 2<x≤3, ?x +2x-8>0 即 q 为真时,实数 x 的取值范围是 2<x≤3. 若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真, 所以实数 x 的取值范围是 2<x<3. (2)綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,即綈 p? 綈 q,且綈 q? / 綈 p, 设 A={x|綈 p},B={x|綈 q},则 A B. 又 A={x|綈 p}={x|x≤a 或 x≥3a}, B={x|綈 q}={x≤2 或 x>3}, 则 0<a≤2,且 3a>3. 所以实数 a 的取值范围是 1<a≤2.
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