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基于小波变换的图像平滑与模糊

时间:2013-12-17


兰州交通大学毕业设计(论文)
摘要
由于近年来小波变换技术越来越多在用于图像处理技术中,而图像的平滑、模糊等 更是其中的重点,Matlab 就是其有效的工具。对图像的平滑与模糊来说,其原理基本上 都是一样,都是利用小波分析的方法(即小波变换),首先是要对图像进行层分解提取 分解的低频和高频系数,然后对其各频率(竖直、水平、斜向)进行重构或弱化细节部 分,突出近似部分。由于在编程环境下有许多地方需要值得改进,而利用其工具箱具有 独特的优点,能实现许多功能,能够更好的满足用户的需要。近年来,Matlab 在各个领 域应用中越来越广泛,而小波分析又是基于 Matlab 的,其强大的工具箱也是实现各种 图像变换的基础,由于 Matlab 本身的优点是效率高、使用方便、扩充的能力强、绘图 又很方便。因此,本文利用 MATLAB 语言给予了仿真实现,给出了具体实验结果,并 进行了对比分析,验证了几种算法的有效性。 关键词:小波变换;图像平滑;图像模糊;Matlab 仿真

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Abstract
In recent years, wavelet transform technique is more and more used in the image processing technology, image smoothing, fuzzy and so on is the key, Matlab is the effective tool. The smoothing and blurring image, its principle is basically the same, are using the wavelet analysis (i.e. the wavelet transform) first of all, is to decompose the low frequency and high frequency confficients extracted from the decomposition of the image, and then the frequency (vertical, horizontal, oblique) are reconstructed or weakening the details, highlighting the approximate part. Because in the programming environment has many places need to be improved, and the use of the toolbox has unique advantages, can realize many functions, need to be able to better satisfy user. In recent years, Matlab has become more and more widely used in various fields, and wavelet analysis is based on the Matlab, its powerful toolbox is also the basis of achieving various image transform, because the advantages of Matlab itself is the ability of high efficiency, convenient use, extended strong, drawing and very convenient. Therefore, in the next few years, various image analysis technique of Matlab based on will become more and more mature, its applications will become increasingly,widespread and conveniently.Therefore,the use of MATLAB language gives simulation and experimental results are given in detail, and comparison analysis, and verifies the effectiveness of the algorithm. Keywords: Wavelet transform; mage smoothing ; Image blurring ; Matlab emulating

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目录
第一章 绪论............................................................................................................................................ 1 一、 图像处理简介 .............................................................................................................................. 1 二、 小波变换 ...................................................................................................................................... 1

(一) 小波分析的特点 .............................................. 1 (二) 小波分析的应用 .............................................. 1
三、 MATLAB 简介 ............................................................................................................................. 2 四、 图像处理的应用以及发展动向................................................................................................... 2

(一) 发展 ........................................................ 2 (二) 应用 ......................................................... 3
第二章 图像处理概述 ............................................................................................................................ 4 一、 什么是数字图像 .......................................................................................................................... 4

(一) 采样 ........................................................ 4 (二) 量化 ........................................................ 4 (三) 采样、量化和图像细节的关系 .................................. 5 二、 图像处理概念 .................................................. 5 三、 图像处理技术 .................................................. 5 (一) 主要的处理技术 ................................................ 5 (二) 主要的处理方法 ................................................ 6
第三章 小波变换的基本理论 ................................................................................................................ 7 一、 从傅立叶变换到小波变换........................................................................................................... 7

(一) 傅里叶变换 .................................................. 7 (二) 短时傅里叶变换 .............................................. 7 (三) 小波变换 .................................................... 8
二、 连续小波变换 .............................................................................................................................. 9

(一) 一维连续小波变换 ........................................... 10 (二) 高维连续小波变换 ........................................... 11
三、 离散小波变换 ............................................................................................................................ 12 四、 小波包分析 ................................................................................................................................ 13

(一) 小波包的定义 ............................................... 14 (二) 小波包的性质 ............................................... 15 (三) 小波包的空间分解 ........................................... 15
第四章 基于小波变换的图像平滑技术 .............................................................................................. 17 一、 引言 ............................................................................................................................................ 17 二、 传统的图像平滑技术................................................................................................................. 17

(一) 图像中的噪声 ............................................... 17 (二) 图像平滑化处理 ............................................. 18

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(三) 多图像平均法 ............................................... 24 (四) 中值滤波法 ................................................. 24
三、基于小波变换的图像平滑........................................................................................................... 25

(一) 小波变换下的图像平滑过程 ................................... 25 (二) 小波变换用于图像平滑的优势 ................................. 26
第五章 基于小波变换的图像模糊技术 ............................................................................................ 27 一、 引言 ............................................................................................................................................ 27 二、 模糊集识别法简介 .................................................................................................................... 28 三、 模糊集合及其运算 .................................................................................................................... 28 (一) 模糊子集 ................................................................................................................................ 28

(二) 模糊集表示 ................................................. 30 (三) 模糊集合的代数运算 ......................................... 30 (四) 模糊熵 ..................................................... 31
第六章 MATLAB 模拟仿真 ................................................................................................................ 32 一、 引言 ............................................................................................................................................ 32 二、 MATLAB 概述 ........................................................................................................................... 33

(一) MATLAB 产生的历史背景 ....................................... 33 (二) MATLAB 的发展 ............................................... 33 (三) MATLAB 语言的特点 ........................................... 34 (四) MATLAB 软件的主要功能 ....................................... 34 (五) MATLAB 在图像处理中的应用 ................................... 35 (六) MATLAB 仿真 .................................................. 36
总结.......................................................................................................................................................... 43 致谢.......................................................................................................................................................... 44 参考文献.................................................................................................................................................. 45

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第一章 一、 图像处理简介
图像处理广义上包含图像处理、图像分析和图像理解等内容。图像处理是对图像本 身进行“加工” ,以改善其视觉效果或表现形式。图像处理的内容包括点运算、几何处 理、图像增强、图像复原、图像形态学处理、图像编码、图像重建、模式识别等。图像 处理的处理方法大致可分为:空间(时间)域处理方法和变换域处理方法。前者指利用图像 在空域中的特点直接对图像进行各种运算。后者则首先通过某种变换将图像从空间域转 换到对应的某变换域中,然后利用图像在该变换域中表现出的特性,对变换过的图像进 行处理;如需要,再经过的逆变换转换回到空域中。图像处理中常用变换通常是正交变 换,如傅立叶变换、离散余弦变换(DCT)、K 一 L 变换、小波变换等。本论文讲的是小 波变换。

绪论

二、 小波变换
小波理论(Wavelet Transform)是 20 世纪 80 年代后期迅速发展起来的应用数学分支, 它属于时频分析的一种。1980 年法国地球物理学家 Morlet 仔细研究了 Gabor 变换,对 傅里叶变换和短时傅里叶变换做了深入研究,创造性的提出了“小波”的概念。而传统 的信号分析是建立在傅里叶变换的基础之上的,由于傅里叶分析使用的是一种全局的变 换,要么完全在时域,要么完全在频域,因此无法表述信号的时频局域性质,而这种性 质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号,人们对傅里 叶分析进行了推广乃至根本性的革命,提出并发展了一系列新的信号分析理论:短时傅 里叶变换、时频分析、小波变换等。小波的基本思想是:通过一个母函数在时间上的平 移和在尺度上的伸缩, 获得一种能自动适应各种频率成分的有效信号分析手段以取代短 时傅里叶变换。在分析非平稳时变信号时,既能用持续时间很短的高频基函数去分析信 号的高频成分,又能在持续时间相对较长的低频基函数去分析信号的低频成分。

(一) 小波分析的特点
1.具有多分辨率,也叫多尺度的特点,可以由粗略到精细的逐步观察信号。 2.选择适当的小波函数,可使小波变换在时、频两域都具有表征信号局部特征的能 力,有利于检测信号的瞬态或奇异点。

(二) 小波分析的应用
小波分析在时域、频域内具有良好的局部分析特性,在信号分析、图像处理、数据
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压缩、 计算机视觉等很多领域得到了广泛的的应用, 甚至还包括: 数学领域的许多学科、 量子力学、理论物理、军事电子对抗与武器的智能化、计算机分类与识别、音乐与语言 的人工合成、医学成像与诊断、地震勘探数据处理、大型机械的故障诊断等方面。

三、 MATLAB 简介
本论文运用 MATLAB 软件进行仿真,下面简单介绍 MATLAB 软件。MATLAB 软 件是美国 The MathWorks 公司的产品,它的字面含 matrix laboratory (矩阵研究室) ,它 在美国以及其它发达国家的大学、科研机构、军事工业、制造业、金融业中广为应用。 MATLAB 在大学理工科的教学中也极有价值,它可以方便地进行矩阵、函数、积分、 重积分、概率、统计、模糊逻辑、最优化等运算,可以方便地求解高次方程、多元线性 方程、常微、偏微方程,可以方便地对静力学、动力学、电磁学中的许多问题进行模拟, 可以把复杂的数学解析式、方程式方便地用图形直观地表现出来。所有这些,在理科的 基础课,专业课教学中都占有重要地位。 MATLAB 由如下几个方面组成: 1. MATLAB 语言:这是一种适合于矩阵运算的高级语言,它具有函数、数据结构、 输入/ 输出、面向对象(OOP) 等特点。 2. MATLAB 工作环境:为用户提供各种分析、模拟、计算的工具,用户也可以用 MATLAB 设计自己的专用工具,为此 MATLAB 提供了编写程序的控制、调试、扩充 工具。 3. MATLAB 数学函数库:MATLAB 拥有庞大的函数库,这些函数都是由诸如加法、 三角函数、复数算法等 MATLAB 的基本函数或命令所组成。 4. MATLAB 应用程序接口(API) : 充许用户在 MATLAB 平台上编写 C、 FORTRAN 程序。

四、 图像处理的应用以及发展动向 (一) 发展
图像处理技术未来发展大致可归纳为如下四点: 1. 图像处理的发展将向着高速、高分辨率、立体化、多媒体化、智能化和标准化方 向发展。 2. 图像、图形相结合朝着三维成像或多维成像的方向发展。 3. 硬件芯片研究,将图像处理的众多功能固化在芯片上将会有更加广阔的应用领
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域。 4. 新理论和新方法研究。

(二) 应用
图像是人类获取和交换信息的主要来源,因此,图像处理的应用领域必然涉及到人 类生活和工作的方方面面。 图像处理技术的应用大致可归纳为如下四点: 1. 在航空、航天遥感方面,计算机对卫星或飞机的遥感图片进行畸变校正、复原和 增强,进而统计地球资源信息,进行环境监测等。 2. 在生物医学领域中,应用数字图像处理技术对心电、脑电、超声波及各种放射性 图像进行自动分析,对细胞、染色体等显微图像进行自动检测。最突出的例子是己经广 泛应用的计算机层析技术 CT。 3. 在工业方面,先进的工业机器人的应用,就是建立在图象处理、模式识别和人工 智能基础上。同时,工业自动检测和无损探伤也都依赖于图像处理技术。 4. 图像处理技术在军事、 政法等方面也有广泛的应用。 如利用遥感图像分析地形地 貌,判断军事设施以及伪装,分析指纹等。 随着科技进步以及人类需求的多样化的发展,多学科的交叉、融合已是现代科学发 展的突出特点和必然途径, 而图像处理科学又是一门与国计民生紧密相连的一门应用科 学,它的发展与应用与我国的现代化建设联系密切,影响深远。图像处理科学无论是在 理论上还是在实践上都存在着巨大的潜力。总而言之,随着计算机技术的日益发展,图 像处理技术将日益完善,图像处理的应用范围将越加深入和广泛。

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第二章 一、 什么是数字图像
所谓数字图像就是把传统图像的画面分割成如图 2-1 所示的被成为像素(picture element,简称 pixel。有时候也用 pel 这一简写词)的小的离散点,各像素的灰度值也是 用离散值即整数值来表示的。 数字图像 (digital imagine) 和传统的图像即模拟图像(picture) 是有差别的。
像素(抽样点)

图像处理概述

灰度,亮度 等的分布

数字化

模拟图像
图 2-1 数字图像

数字图像

为了从一般的照片,景物等模拟图像中得到数字图像,需要对传统的模拟图像进行 采样与量化两种操作(二者统称为数字化) 。

(一) 采样
采样(sampling)就是把在时间上和空间上连续的图像变成离散点(采样点,即像 素)的集合的一种操作。 通过采样,如设横向的像素数为 M,纵向的像素数为 N,则画面的大小可以表示为 “M*N”个像素。

(二) 量化
经过采样,图像被分解成在时间上和空间上离散分布的像素,但是像素的值(灰度 值)还是连续值。像素的值,是指白色-灰色-黑色的浓淡值,有时候也指光的强度(亮 度)值或灰度值。把这些连续的浓淡值或灰度值变为离散的值(整数值)的操作就是量 化。 对连续的灰度值赋予量化级的,即灰度值方法有:均匀量化(uniform quantization) ,
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线性量化(liner quantization) ,对数量化,MAX 量化,锥形量化(tapered quantization) 等。

(三) 采样、量化和图像细节的关系
上面的数字化过程,需要确定数值 N 和灰度级的级数 K。在数字图像处理中,一般 都取成 2 的整数幂,即:
N ? 2n

K ? 2m

一幅数字图像在计算机中所占的二进制存储位数 b 为: m * b ? l o g ( 2 N ) N? N N m b ( t ) * * i ?

由于数字图像是连续图像的近似,从图像数字化的过程可以看到。这种近似的程度 主要取决于采样样本的大小和数量(N 值)以及量化的级数 K(或 m 值)。 和 K 的值越大, N 图像越清晰。

二、 图像处理概念
图像处理(Image Processing)是将图像转换为一个数字矩阵存放在计算机中,并采用 一定的算法对其进行处理,通过计算机对图像进行去除噪声、增强、复原、分割、 提取特征等处理的方法和技术。就图像的本质来说可以分为模拟图像和数字图像两大 类。本论文涉及到的图像处理都是指数字图像的处理。数字图像处理(Digital Image Processing)就是利用数字计算机或者其他数字硬件,对从图像信息转换而得到的电信 号进行某些数学运算,是将一幅图像变为另一幅经过修改(改进)的图像的表示,以提高 图像的实用性。

三、 图像处理技术
图像处理的基础是数学,最主要的任务就是各种算法的设计和实现。目前的图像处 理技术已经在许多不同的应用邻域中得到了巨大的成就。

(一) 主要的处理技术
根据应用邻域的不同要求,可以将图像处理技术划分为许多分支,其中比较重要的 分支有: 1. 图像数字化: 通过取样与量化过程将图像变换成便于计算机处理的数字形式。 通 常,图像在计算机内用一个数字矩阵表示,矩阵中的每一个元素称为像素。 2. 图像编码:对图像信息进行编码,可以压缩图像的信息量,以便满足传输与存储
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的要求。 3. 图像增强: 使图像清晰或将其转换为更适合人或机器分析的形式。 图像增强并不 要求真实地反映原始图像。 4. 图像平滑:可以减小噪声,且对图像恰当平滑,能使图像特征得到较好保护,使 其更加明显。 5. 图像复原: 消除或减少在获取图像过程中所产生的某些退化, 尽量反映原始图像 的真实面貌。 6. 图像分割: 将图像划分为一些互不重叠的区域。 通常用于将分割的对象从背景中 分离出来。 上述图像处理的内容往往是互相有联系的。一个实用的图像处理系统往往需要结合 应用几种图像处理技术才能得到所需要的结果。 如图 2-2 粗略说明数字图像处理的主要内容及步骤:
模拟化 图像输出

图像信息输入

图像数字化

数据压缩

像质改善 增强复原

区域分割 特征提取

图像分析 判决分类

图 2-2 数字图像处理的主要内容和步骤

(二) 主要的处理方法
数字图像处理方法大致可分为两大类,空域法和变换域法。 1. 空域算法 空域算法是指在空间域内直接对数字图像进行处理,在处理时,即可以直接对图像 中像素点进行灰度上的变换处理,也可以对图像进行小区域模板的空域滤波处理,以充 分考虑像素邻域内的像素点对其的影响。 2. 变换域法 变换域处理方法主要是通过傅立叶变换、沃尔什变换或是比较新的小波变换等变换 算法,将图像从空域信号变换到相应的变换域信号,然后在变换域中对信号进行处理, 处理后再将信号从变换域反变换到空间域。由于变换域的作用空间比较特殊,因此可以 实现许多在空间域中无法完成或是很难实现的处理, 广泛应用于滤波、 压缩编码等方面。
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第三章 一、 从傅立叶变换到小波变换 (一) 傅里叶变换
在信号处理中重要方法之—是傅立叶变换,它架起了时间域和频率域之间的桥梁。 对很多信号来说,傅立叶分析非常有用。因为它能给出信号令包含的各种频率成分。 傅里叶变换的定义:设 f (x) 为 x 的函数,如果 f (x) 满足下面的狄里赫莱条件: (1)具有有限个间断点; (2)具有有限个极值点; (3)绝对可积。 则有下列两式成立:

小波变换的基本理论

F (u) ? ? f ?x ?e ? j 2?ux dx
??

?

(3.1)

f ( x) ? ? F ?u ?e j 2?ux du
??

?

(3.2)

式中, x 为时域变量, u 为频域变量。通常把以上公式称为傅里叶变换对。 但是,傅立叶变换有着严重的缺点:变换之后使信号失去了时间信息,它不能告诉 人们在某段时间里发生了什么变化。因此傅里叶变换不适于分析处理这类信号。 虽然傅立叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来,能分别从信号的时域 和频域观察,但却不能把二者有机地结合起来,这是因为信号的时域波形中不包含任何 频域信息。也就是说,对于傅立叶谱中的某一频率,不知道这个频率是在什么时候产生 的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾:时域和频域的局部化矛盾。 在实际的信号处理过程中,尤其是对非平稳信号的处理中,信号在任一时刻附近的 频域特征都很重要。这就促使去寻找一种新方法,能够将时域和频域结合起来描述观察 信号的时频联合特征,构成信号的时频谱。这就是所谓的时频分析法,也称为时频局部 化方法。

(二) 短时傅里叶变换
短时傅立叶变换的基本思想是:把信号划分成许多小的时间间隔,用傅立叶变换分 析每一个时间间隔,以便确定该时间间隔存在的频率。其表达式为:

S (?,? ) ? ? f (t )g * (? ? ? )e ? j?t dt
R

(3.3)

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其中*表示复共轭,g(t)是有紧支集的函数,f(t)是进入分析的信号。在这个变换中,

e j?t 起着频限的作用,g(t)起着时限的作用。随着时间 ? 的变化,g(t)所确定的“时间窗”
在 t 轴上移动,是 f(t)“逐渐”进行分析。因此,g(t)往往被称之为窗口函数, S (? ,? ) 大致反映了 f(t)在时刻 ? 时、频率为 ? 的“信号成分”的相对含量。这样信号在窗函 数上的展开就可以表示为在 [? ? ? ,? ? ? ] 、 [? ? ? , ? ? ? ] 这一区域内的状态,并把这一区 域称为窗口, ? 和 ? 分别称为窗口的时宽和频宽,表示了时频分析中的分辨率,窗宽越 小则分辨率就越高。很显然,希望 ? 和 ? 都非常小,以便有更好的时频分析效果(事实 上, ?? ?
1 2

,且仅当 g (t ) ?

1

?? 1/ 4

e 2? 为高斯函数时,等号成立) 。

t2 2

由此可见, 短时傅立叶变换虽然在一定程度上克服了标准傅立叶不具有局部分析能 力的缺陷,但它也存在着自身不可克服的缺陷,即当窗函数 g(t)确定后,矩形窗口的形 状就确定了, ? , ? 只能改变窗口在相平面上的位置,而不能改变窗口的形状。可以说 短时傅立叶变换实质上是具有单一分辨率的分析,若要改变分辨率,则必须重新选择窗 函数 g(t)。因此,短时傅立叶变换用来分析平稳信号犹可,但对非平稳信号,在信号波 形变化剧烈的时刻,主频是高频,要求有较高的时间分辨率(即 ? 要小) ,而波形变化 比较平缓的时刻,主频是低频,则要求有较高的频率分辨率(即 ? 要小) 。而短时傅立 叶变换不能兼顾两者。

(三) 小波变换
1. 小波变换的定义 设 f (t ) 具有有限能量,即 f (t ) ? L2 ?R ? ,则小波变换式为:

W f ?a, b? ? ? f ?t ? ab ?t ?dt ?
??
?

?

? ? f ?t ?
??

1 a

??

?t ?b? ?dt ? a ?

a ? 0, f ?t ? ? L2 ?R ?

(3.4)

积分核为? ab ?

1 a

??

?t ?b? ?dt 的函数族。 ? a ?

小波变换与傅里叶变换非常相似,其基本的数学思想来源于经典的调和分析,都是 将信号与一个具有两个参数的函数作内积运算。傅里叶变换以三角函数作为基底对信号 进行展开,小波变换则以局部化函数所形成的相似函数作为基底对信号展开,并且小波
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变换提出了变化的时间窗,当需要精确的低频信息时,采用长的时间窗,当需要精确的 高频信息时,采用短的时间窗。 小波变换用的不是时间-频率域,而是时间-尺度域。尺度越大,采用越大的时间窗, 尺度越小,采用越短的时间窗,即尺度与频率成反比。小波变换发展了短时傅里叶变换 的局部化思想,其窗口可随频率增大而缩小,随频率减小而放大。 2. 在图像处理的方面,小波变换存在以下几个优点: (1)小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述)。 (2)小波变换通过选取合适的滤波器,可以极大的减小或去除所提取得不同特征 之间的相关性。 (3)小波变换具有“变焦”特性,在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分 析窗口),在高频段,可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口) 。 (4)小波变换实现上有快速算法(Mallat 小波分解算法)。 小波分析已经成为发展最快和最引人注目的学科之一,几乎涉及或者应用到信息领 域的所有学科。

二、 连续小波变换
小波(wavelet) ,小区域的波,是一种特殊的长度有限或快速衰减,且均值为 0 的 2 波形。将任意 L ( R) 空间的函数 f(t)在小波基下展开,称这种展开为函数 f(t)的连续小波 变换:
W f (a, b) ?? f ,? a ,b ?? a
?1 / 2

? f (t )? (
R

t ?b )dt a

(3.5)

其中,? (t ) 称为基本小波;a 称为尺度因子;b 称为平移因子。参数 a 和 b 均连续 变化,故称之为连续小波变换。
W 从上述定义可以看出, 小波变换和傅里叶变换一样, 也是一种积分变换, f (a, b) 为

变换系数。但是与傅里叶变换不同的是该变换有两个参数 a 和 b,它意味着将一个时间 函数投影到二维的时间-尺度相平面,这样更有利于提取信号的本质特征。当 a 减小是,

? a ,b (t)的频谱集中于高频的部分,窗口的尺度也小,这时候的小波函数具有较好的空
间分辨率;当 a 增大时,? a ,b (t)的频谱又向低频部分倾斜,窗口的尺度增大,空间分 辨率也随之降低。 小波变换所采用的小波函数必须满足容许条件:

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? ? (? ) C? ? ? d? ? R
2

(3.6)

小波变换才存在逆变换。

(一) 一维连续小波变换
定义 2 ? ? 设? (t ) ? L ( R) ,其傅立叶变换为? (? ) ,当? (? ) 满足允许条件(完全重构条件或 1. 恒等分辨条件) :

? ? (? ) C? ? ? d? < ? ? R
2

(3.7)

时,我们称? (t ) 为一个基本小波或母小波。将母函数? (t ) 经伸缩和平移后得:

? a ,b (t ) ?

1 a

?(

t ?b ) a

a, b ? R; a ? 0

(3.8)

称其为一个小波序列。其中 a 为伸缩因子,b 为平移因子。对于任意的函数 f (t ) ? L2 ( R ) 的连续小波变换为:
W f (a, b) ?? f ,? a ,b ?? a
?1 / 2

? f (t )? (
R

t ?b )dt a

(3.9)

其重构公式(逆变换)为:
f (t ) ? 1 C?

? ?

?

?

?? ??

1 t ?b W f (a, b)? ( )dadb 2 a a

(3.10)

由于基小波? (t ) 生成的小波? a,b (t ) 在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作 用,所以? (t ) 还应该满足一般函数的约束条件:

?
0,即:

?

??

〈 ? (t) dt ?

(3.11)

? ? 故? (? ) 是一个连续函数。这意味着,为了满足完全重构条件式,? (? ) 在原点必须等于
?

? ? (0) ? ? ? (t )dt ? 0
??

(3.12)

为了使信号重构的实现在数值上是稳定的,除完全重构条件:
W f ?a, b? ? a n?1 a 2
1

之外,还要求小波? (t ) 的傅立叶变化满足下面的稳定性条件:
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? A ? ? ? (2 ? j ? ) ? B
2 ?? ?

(3.13)

式中 0〈A ? B〈 ? 。 从稳定性条件可以引出一个重要的概念。 定义(对偶小波) 若小波? (t ) 满足稳定性条件(3.13)式,则定义一个对偶小波 ~ ~ ? (t ) ,其傅立叶变换? (t ) 由下式给出: ? ? * (? ) ~ (? ) ? ? (3.14) ? ? ? ?j 2 ? ? (2 ? )
j ? ??

注意,稳定性条件(3.13)式实际上是对(3.11)式分母的约束条件,它的作用是 保证对偶小波的傅立叶变换存在的稳定性。值得指出的是,一个小波的对偶小波一般不 是唯一的,然而,在实际应用中,我们又总是希望它们是唯一对应的。因此,寻找具有 唯一对偶小波的合适小波也就成为小波分析中最基本的问题。 2. 性质 连续小波变换具有以下重要性质: (1)线性性:即一个函数的连续小波变换等价于该函数各分量的连续小波变换。 (2)平移不变性:若 f(t)的小波变换为 W f (a, b) ,则 f (t ? ? ) 的小波变换为
W f (a, b ? ? ) 。

(3)伸缩共变性:若 f(t)的小波变换为 W f (a, b) ,则 f(t)的小波变换为
f (0) ? ? ? (t )dt ? 0 。
?? ?

(4)自相似性:对应不同尺度参数 a 和不同平移参数 b 的连续小波变换之间是自 相似的。 (5)冗余性:连续小波变换中存在信息表述的冗余度。

(二) 高维连续小波变换
对 f (t ) ? L2 ( R n )( n ? 1) ,公式:
f (t ) ? 1 C?

? ?

?

?

?? ??

1 t ?b W f (a, b)? ( )dadb 2 a a

(3.15)

2 n 存在几种扩展的可能性,一种可能性是选择小波 f (t ) ? L ( R ) 使其为球对称,其傅立叶

变换也同样球对称,
? ? (? ) ? ? ( ? )
11

(3.16)

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并且其相容性条件变为:
C? ? (2? ) 2 ? ? (t )
0 ? 2

dt ?? t

(3.17)

对所有的 f , g ? L2 ( g n ) ,
da (3.18) W f (a, b)Wg (a, b)db ? C? ? f 0 a n ?1 t ?b ) ,其中 a ? R ? , a ? 0 且 b ? R n ,公式 这里, W f (a, b) =〈? a,b 〉 ? a ,b (t ) ? a ? n / 2? ( , a (3.18)也可以写为 ? da ? (3.19) f ? C? 1 ? n?1 ? n W f (a, b) a ,b db ? 0 a R

?

?

如果选择的小波? 不是球对称的,但可以用旋转进行同样的扩展与平移。例如,二 维时,可定义
t ?b )) a

? a ,b,? (t ) ? a ?1? ( R??1 (
? cos? 这里, a ? 0, b ? R 2 , R? ? ? ? sin ? ?

(3.20)

? sin ? ? ? ,相容条件变为 cos? ? ?
? 0

C? ? (2? ) 2 ?

dr 2? 2 ?0 ?? (r cos? , r sin? ) d? ? ? r

(3.21)

该等式对应的重构公式为
? f ? C? 1 ? ? 0 2? da db? W f (a, b, ? )? a ,b ,? d? 3 ? 0 a R2

(3.22)

对于高于二维的情况,可以给出类似的结论。

三、 离散小波变换
在实际运用中,尤其是在计算机上实现时,为了方便计算机进行分析、处理,连续 小波必须加以离散化,变为离散时间序列。在进行连续小波变换时,小波变换系数有非 常高冗余度,因此,有必要讨论连续小波? a,b (t ) 和连续小波变换 W f (a, b) 的离散化。需 要强调指出的是,这一离散化都是针对连续的尺度参数 a 和连续平移参数 b 的,而不是 针对时间变量 t 的。在连续小波中,考虑函数:将小波基的尺度伸缩因子 a 和平移因子
m m b 在给定的离散点上取值,令 a ? a0 , b ? na0 b0 ,其中 m, n ? Z ,且 a0 ? 1, b0 ? 0 是固定值,

则连续小波变换转化为离散小波变换。此时,小波函数为:

? a , b (t ) ?

1 a

?(

? t ?b ? ) ? a0 2 ? (a 0 m t ? kb0 ) a m

(3.23)

这里 b ? R , a ? R ? ,且 a ? 0 ,? 是容许的,为方便起见,在离散化中,总限制 a
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只取正值,这样相容性条件就变为:
C? ? ?
?

0

? ? (? ) d? ? ? ?

(3.24)

所以对应的离散小波函数

? a , b (t )

即可写作:
m t ? k a0 b0 ? ? ) ? a0 m / 2? (a0 m t ? k b0 ) m a0

? ? a ,b (t ) ? a0 m / 2? (

(3.25)

而离散化小波变换系数则可表示为:

Ca,b ? ? f (t ) a,b (t )dt ?? f ,? a,b ? ?*
??

?

(3.26)

其重构公式为:

f (t ) ? C ?? C a ,b? a ,b (t )
?? ??

?

?

(3.27)

C 是一个与信号无关的常数。 在小波变换离散化的过程中, 怎样选择 a0 和 b0 才能够保证重构信号的精度呢?显然, 网格点应尽可能密 (即 a0 和 b0 尽可能小) 因为网格点越稀疏, , 使用的小波函数? a ,b (t ) 和 离散小波系数 C a ,b 就越少,信号重构的精确度也就会越低。

四、 小波包分析
短时傅立叶变换对信号的频带划分是线性等间隔的。多分辨分析可以对信号进行有 效的时频分解,但由于其尺度是按二进制变化的,所以在高频频段其频率分辨率较差, 而在低频频段其时间分辨率较差,即对信号的频带进行指数等间隔划分。小波包分析能 够为信号提供一种更精细的分析方法,它将频带进行多层次划分,对多分辨率的高频部 分进一步分解,并能够根据被分析信号的特征,自适应地选择相应频带,使之与信号频 谱相匹配,从而提高了时-频分辨率,因此小波包具有更广泛的应用价值。 关于小波包分析的理解,我们这里以一个三层的分解进行说明,其小波包分解树如 图 3-1: 图 3-1 中,A 表示低频,D 表示高频,末尾的序号数表示小波分解的层树(也即尺 度数) 。分解具有关系: S=AAA3+DAA3+ADA3+DDA3+AAD3+DAD3+ADD3+DDD3。

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S A1 AA2 AAA3 DDA3 ADA3 DA2 DDA3 AD2 AAD3 ADA3 D1 DD2 ADD3 DDD3

图 3-1 小波包分解树

(一) 小波包的定义
在多分辨分析中,多分辨分析是按照不同的尺度因子 j 把 Hilbert 空间 L2 ( R) 分解为 所有子空间 W j ( j ? Z ) 的正交和的。其中, W j 为小波函数 ? (t ) 的闭包(小波子空间) 。 一种自然的做法是将尺度空间 V j 和小波子空间 W j 用一个新的子空间 U n 统一起 j 来表征,若令:
?U 0 ? V j ? j ? 1 ?U j ? W ?
j?Z
j

(3.28)

则 Hilbert 空间的正交分解 V j ?1 ? V j ? W j 即可用 U n 的分解统一为 j
U 0?1 ? U 0 ? U 1 j j j
j?Z

(3.29)

定义子空间 U n 是函数是函数 U n (t ) 的闭包空间,而 U n (t ) 是函数 U 2n (t ) 的闭包空间, j 并令 U n (t ) 满足下面的双尺度方程:

?u 2 n (t ) ? 2 ? h(k )u n (2t ? k ) ? k?Z ? ?u 2 n?1 (t ) ? 2 ? g (k )u n (2t ? k ) k?Z ?
?u 0 (t ) ? ? hk u 0 ( 2t ? k ) ? k?Z ? ?u1 (t ) ? ? g k u 0 ( 2t ? k ) k?Z ?

(3.30)

式中, g (k ) ? (?1) k h(1 ? k ) ,即两系数也具有正交关系。当 n=0 时,以上两式直接给出: (3.31)

与在多分辨分析中, ? (t )和? (t ) 满足双尺度方程:
?? (t ) ? ? hk ? (2t ? k ) ? k?Z ? ?? (t ) ? ? g k ? (2t ? k ) k?Z ?

?hk ?k?Z ? l 2 ?g k ?k?Z ? l 2

(3.32)

相比较,u0 (t ) 和 u1 (t ) 分别退化为尺度函数 ? (t ) 和小波基函数? (t ) 。 (3.31) (3.30) 式 是式
14

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的等价表示。把这种等价表示推广到 n ? Z ? (非负整数)的情况,即得到(3.32)的等 价表示为
U n?1 ? U n ? U 2 n ?1 j j j
j ? Z ;n ? Z ?

(3.33)

由于 ? (t ) 由 hk 唯一确定,所以又称 ?u n (t )?n?Z 为关于序列 ?hk ? 的正交小波包。

(二) 小波包的性质
定理 1 设非负整数 n 的二进制表示为 n ? ? ? i 2 i ?1 , ? i =0 或 1。则小波包 u n (w) 的 傅立叶变换由下式给出:
? ? i ?1 ?

?

u n ( w) ? ? m? i ( w / 2 j )
i ?1

(3.34)

式中: m0 ( w) ? H ( w) ?

1 ?? ? h(k )e? jkw 2 k ???

m1 ( w) ? G ( w) ?

1 ? ? g (k )e? jkw 2 k ? ??

定理 2 设 ?u n (t )?n?Z 是正交尺度函数 ? (t ) 的正交小波包,则 ? un (t ? k ), un (t ? l ) ?? ? kl , 即 ?u n (t )?n?Z 构成 L2 ( R) 的规范正交基。

(三) 小波包的空间分解
令 ?u n (t )?n?Z 是关于 hk 的小波包族, 考虑用下列方式生成子空间族。 现在令 n=1, …; 2, j=1,2,…,并对(3.22)式作迭代分解,则有

W j ? U 1 ? U 2?1 ? U 3?1 j j j U 2?1 ? U 4?2 ? U 5?2 ,U 5?2 ? U 6?2 ? U 7?2 j j j j j j
因此,我们很容易得到小波子空间 W j 的各种分解如下:
W j ? U 2?1 ? U 3?1 j j W j ? U 4? 2 ? U 5? 2 ? U 6? 2 ? U 7? 2 j j j j

(3.35)

(3.36)


? W j ? U 2?k ? U 2?k 1 ? … ? U 2?k ? U 2?k j j j j
k k k ?1 k ?1

(3.37)


2 2 Wj ? U0 ?U 0
j
l

j

?1

2 ? … ? U0

j ?1

?1

(3.38)

? W j 空间分解的子空间序列可写作 U 2?1 m ,m=0,1,…, 2l -1;l=1,2,…。子空间序列 j

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? U 2?1 m 的标准正交基为 ?2 ?( j ?1) / 2 u2l ? m (2 j ?l t ? k ) : k ? Z ?。容易看出,当 l=0 和 m=0 时,子空 j
l

? 间序列 U 2?1 m 简化为 U 1j = W j ,相应的正交基简化为 2? j / 2 u1 (2? j t ? k ) ? 2? j / 2? (2? j t ? k ) ,它 j
l

? 恰好是标准正交小波族 ? j ,k (t )? 。若 n 是一个倍频程细划的参数,即令 n= 2l +m,则我们
有小波包的简略记号 ? j ,k ,n (t ) ? 2 ? j / 2? n (2 ? j t ? k ) ,其中,? n (t ) ? 2l / 2 u 2l ? m (2l t ) 。我们把

? j ,k ,n (t ) 称为既有尺度指标 j、位置指标 k 和频率指标 n 的小波包。
定义(小波库) 由? n (t ) 生成的函数族? j ,k ,n (t ) (其中 n ? Z ? ;j, k ? Z )称为由尺度函 数? (t ) 构造的小波库。 推论 3.1 对于每个 j=0,1,2,…
3 L2 ( R) ? ? W j =… ? W?1 ? W0 ? U 02 ? U 0 ? …

j?Z

(3.39)

这时,族 { u j ,k , u n (t ? k ) |j=…, 0; -1, n=2, …且 k ? Z } 3, (3.40)

是 L2 ( R) 的一个正交基。随着尺度 j 的增大,相应正交小波基函数的空间分辨率越高, 而其频率分辨率越低,这正是正交小波基的一大缺陷。而小波包却具有将随 j 增大而变 宽的频谱窗口进一步分割变细的优良性质,从而克服了正交小波变换的不足。

(四) 小波包算法
下面给出小波包的分解算法和重构算法。设 g n (t ) ? U n ,则 g n 可表示为: j j j
g n (t ) ? ? dl j ,nun (2 j t ? l ) j
l

(3.41)

小波包分解算法 : 由 dl j ?1,n 求 dl j , 2n 与 ?d l j , 2 n ?1 ?
d l j , 2 n ? ? ak ? 2l d k j?1,n d l j , 2 n?1 ? ? bk ? 2l d k j?1,n
k k

?

? ?

?

(3.42)

小波包重构算法:

由{ dl j , 2n }与 ?d l j , 2 n ?1 ?求 dl j ?1,n

?

?

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第四章 一、 引言
图像在生成和传输过程中常常受到各种噪声源的干扰和影响而使图像处理变差,有 时抽样效果差的系统也同样给图像带来噪声。反映在图像上,噪声使原本均匀和连续变 化的灰度突然变大或减小,形成一些虚假的物体边缘或轮廓。因此,有必要抑制或消除 这类噪声,改善图像质量,这个过程中就要用到图像处理技术。 图像处理技术主要包括灰度变换、图像增强、平滑滤波、锐化等处理技术,本章主 要介绍图像平滑技术。 所谓图像平滑, 就是指对图像作低通滤波,用于突出图像的宽大区 域、低频成分、主干部分或抑制图像噪声和干扰高频成分,使图像亮度平缓渐变,减小 突变梯度,改善图像质量的图像处理方法,可在空间域或频率域实现。空问域图像平滑 方法主要用低通卷积滤波、中值滤波等;频率域图像平滑常用的低通滤波器有低通梯形 滤波器、低通高斯滤波器、低通指数滤波器、巴特沃思低通滤波器等。下面我们开始介 绍有关图像平滑的一些基础知识。

基于小波变换的图像平滑技术

二、 传统的图像平滑技术 (一) 图像中的噪声
图像噪声的来源有三个方面:一是在光电、电磁转换过程中引入的人为噪声;二为 CCD 摄像机采集图像的不稳定性;三为自然起伏性噪声,有物理量的不连续性或粒子 性所引起,这类噪声又可分成热噪声、散粒噪声等。新采集的图像必定包含一些干扰和 噪声,使图像质量下降,为了消除采集图像的噪声和干扰,加强有用信息,使图像更易 于辨识,图像识别前的重要处理步骤是对图像进行平滑去噪处理。一般地,对噪声的描 述采用统计意义上的均值与方差: 设图像信号的二维灰度分布为 f(x,v),则噪声可看作是对亮度的干扰,以 n(x,y) 来表示。均值表明图像中的噪声的总体强度为:
n ? E[ N ( x, y )] ? 1 M ?N

?? n( x, y)
x ?1 y ?1

M

N

(4.1)

方差表明图像中噪声分布的强弱差异为:

? 2 ? E{[ n( x, y ) ? n]2 } ?
其中 M,N 分别为图像的行数和列数。
17

1 M ?N

??[n( x, y) ? n]
x ?1 y ?1

M

N

2

(4.2)

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(二) 图像平滑化处理
一幅图像可能存在着各种寄生效应,这些寄生效应可能在传输中产生,也可能在量 化等处理过程中产生, 一个较好的平滑方法应该是既能消掉这些寄生效应又不使图像的 边缘轮廓和线条变模糊。这就是研究图像平滑化处理要追求的主要目标,图像平滑化处 理方法主要有空域法和频域法两大类,主要有邻域平均法、低通滤波法、多图像平均法 等。 1. 邻域滤波法 邻域滤波法是简单的空域处理方法。这种方法的基本思想是用几个像素灰度的平均 值来代替每个像素的灰度。假设有一幅 N× 个像素的图像 f ? x, y ? ,平滑处理后得到一 N 幅图像 g ? x, y ? 。 g ? x, y ? 由下式决定:
g ? x, y ? ? 1 M
? m , n ??S

? f ?m, n?

(4.3)

式中, , y ? 0,1,2,..., N ? 1; S 是 ? x, y ? 点邻域中点的坐标的集合, 但其中不包括 ? x, y ? 点; x M 是集合内坐标的总数。式(4.1)说明,平滑化的图像 g ? x, y ? 中的每个像素的灰度值 均由包含在 ? x, y ? 的预定邻域中 f ? x, y ? 的几个像素的灰度值来决定。 例如, 可以以 ? x, y ? 点 为中心,去单位距离构成一个邻域,其中点的坐标集合为:
S ? ??x, y ? 1?, ?x, y ? 1?, ?x ? 1, y ??x ? 1, y ??

(4.4)

邻域的选取分为矩形邻域和圆形邻域,其计算公式如下:
?1 1 1? 1? T ? ?1 1 1? ? 9 ?1 1 1? ? ?
3

?0 1 0 ? 1? T ? ?1 1 1? ? 5 ?0 1 0 ? ? ?
3 c

3 ? 3 模块的邻域平均计算法

?1 ?1 1 ? ?1 T5 ? 25 ? ?1 ?1 ?

1 1 1 1? ?0 ? ?1 1 1 1 1? 1 ? Tc5 ? ?1 1 1 1 1? 21 ? ? 1 1 1 1? ?1 ?0 1 1 1 1? ? ? ? 5 模块的邻域平均计算法 5

1 1 1 0? 1 1 1 1? ? 1 1 1 1? ? 1 1 1 1? 1 1 1 0? ?

图 4-1 给出了两种从图像阵列中选取邻域的方法。图(a)的方法是一个点的邻域, 定义为以该点为中心的一个圆的内部或边界上的点的集合。图中像素间的距离为 ?x , 选取 ?x 为半径作圆,那么,点 R 的灰度值就是圆周上四个像素灰度值的平均值。
18

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图(b)是选 2?x 为半径的情况下构成的点 R 的邻域,选择在圆的边界上的点和在 圆内的点为 S 的集合。
? ?x ?
??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ???????

? 2?x ?
??????? ???????

???

??????? ??????? ??????? ??????? ???????

(a)半径= ?x
图 4-1 在数字图像中选取邻域的方法

(b)半径= 2?x

处理结果表明,上述选择邻域的方法对抑制噪声是有效的,邻域半径也可以随意选 取,但是随着邻域的加大图像的迷糊程度也越来越严重,邻域平均法在去除噪声的同时, 也使图像的边缘和细节模糊, 特别是半径增大, 这种模糊效应更大。 为了克服这一缺点, 可以采用阈值法减少由于邻域平均所产生的模糊效应。基本方法由下式决定:
?1 1 ? ??S f ?m, n?, 若 f ?x, y ? ? M g ?x, y ? ? ? M ( m,n ) ? ? f ?x, y ?, 其他

? m, n ??S

? f ?m, n? ? T

(4.5)

式中,T 就是规定的非负的阈值。这个表达式的物理概念是:当一些点和它的邻域 内点的灰度的平均值的差不超过规定的阈值 T 时,就仍然保留其灰度值不变,如果大于 阈值 T 时就用它们的平均值来代替改点的灰度值。这样就可以大大减少模糊的程度。 另外,为了达到在消除图像噪声的同时保证边界不变模糊的目的,根据局部区域内 图像状态的不同,对其邻近的像素进行选择,然后进行局部均值化处理。图 4-2 为加入 椒盐噪声和均值滤波的结果。 图 4-2 加入椒盐噪声的图像和均值滤波的图像 图 4-2 中,(a)为原始图像;(b)为加入椒盐噪声的图像;(c)为 3 ? 3 的均值滤波处理 结果。由图 4-2 可看出,均值滤波法比较简单,去噪效果比较明显。但均值平滑有时处 理图像的效果并不很好,它虽然去除了一定的噪声,但同时使图像中的边缘变的模糊, 这主要和所选取的窗口大小有关。

19

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(a) 2. 低通滤波法

(b)
图 4-2 加入椒盐噪声和均值滤波的结果

(c)

这种方法是一种频域处理方法。在分析图像信号的频率特性时,一幅图像的边缘、 跳跃部分以及颗粒的噪声代表图像信号的高频分量,而大面积的背景区则代表图像信号 的低频分量。用滤波的方法滤除其高频部分就能去掉噪声,使图像得到平滑。 由卷积定理可知:
G?u, v ? ? H ?u, v ? ? F ?u, v ?

(4.6)

其中, F ?u , v ? 是含有噪声的图像的傅里叶变换,G ?u , v ? 是平滑处理后的图像的傅里 叶变换, H ?u , v ? 是传递函数。选择传递函数 H ?u , v ? ,利用 H ?u , v ? 使 F ?u , v ? 得高频分量 得到衰减,得到 G ?u , v ? 后再经傅里叶反变换就可以得到所希望的平滑图像 g ? x, y ? 了。根 据前面的分析,显然, H ?u , v ? 应该具有低通滤波特性,所以这种方法叫低通滤波法平滑 化处理。低通滤波法平滑化处理流程如图 4-3:
f(x,y) F(u,v) G(u,v) g(x,y)

FFT

H(u,v)
图 4-3 低通滤波法平滑化处理流程

IFFT

常用的低通滤波器有如下几种: (1)理想低通滤波器 一个理想的二维低通滤波器的传递函数由下式表示:
?1, D ?u , v ? ? D0 H ?u , v ? ? ? ?0, D ?u , v ? ? D0

(4.7)

式中, D0 是一个规定的非负的量,叫做理想低通滤波器的截止频率。 D ?u , v ? 是从 频率域的原点到 ?u, v ? 点的距离,即

D?u, v ? ? u 2 ? v 2
20

?

?

1 2

(4.8)

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H ?u , v ? 对 u, v 来说是一幅三维图形。 H ?u , v ? 的剖面图如图 4-4 所示。将剖面图绕纵

轴旋转 360 ? 就可以得到整个滤波器的传递函数。 理想低通滤波器平滑化处理的概念是清晰的,但是在处理过程中是由式(4.8)描述 的,由卷积定理可知在空域中则是一种卷积关系,即:
g ?x, y ? ? h?x, y ? * f ?x, y ?

(4.9)

式中, g ? x, y ? , h?x, y ? , f ? x, y ? 分别是 G ?u , v ? , H ?u , v ? , F ?u , v ? 的傅里叶反变换。 既然 H ?u , v ? 是理想的矩形特性, 那么它的反变换 h?x, y ? 的特性必然会产生无限的振铃特 性。经与 f ? x, y ? 卷积后则给 g ? x, y ? 带来模糊和振铃现象, D0 越小这种现象越严重,当 然,其平滑效果也就较差。这就是理想低通滤波器不可克服的弱点。
H(u,v)

D(u,v)

D。
图 4-4 理想低通滤波器传递函数的剖面图

(2)布特沃斯(Butterworth)低通滤波器 一个 n 阶布特沃斯低通滤波器的传递函数由下式表示:
H ?u , v ? ? 1 ? D ?u , v ? ? 1? ? ? ? D0 ?
2n

(4.10)

式中, D0 为截止频率, D(u, v) 的值由下式决定:

D(u.v) ? u 2 ? v 2

?

?

1 2

(4.11)

布特沃斯低通滤波器又称最大平坦滤波器。它与理想低通滤波器不同,它的通带与阻带 之间没有明显的不连续性。也就是说,在通带和阻带之间有一个平滑的过渡带。通常把
H (u, v) 下降到某一值的那一点定为截止频率 D0 ,在式(4.8)中时把 H (u, v) 下降到原来

1 1 的 时的 D(u, v) 定为截频点 D0 。一般情况下常常采用下降到 H (u, v) 最大值的 那一 2 2

点为截止频率点,该点也常称为半功率点。这样,式(4.8)可修改成式(4.10)的形式:
21

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H ?u , v ? ? 1? 1

?

? D ?u , v ? ? 2 ?1 ? ? ? D0 ?

?

2n

(4.12)

布特沃斯低通滤波器 H (u, v) 的特性如图 4-5 所示。
H(u,v)
1.0

0.5

D(u,v)
D。

图 4-5 布特沃斯低通滤波器剖面图

与低通滤波器的处理结果相比,经布特沃斯滤波器处理过的图像迷糊程度会大大减 小。因为它的 H (u, v) 不是陡峭的截止特性,它的尾部会包含有大量的高频成分。另外, 经布特沃斯低通滤波器处理的图像将不会有振铃现象,这是由于在滤波器的通带和阻带 之间有一平滑过渡的缘故。另外,由于图像信号本身的特性,在卷积过程中的折叠误差 也可以忽略掉。由上述可知布特沃斯低通滤波器的处理结果比理想低通滤波器要好。 (3)指数低通滤波器 在图像处理中常用的另一种平滑滤波器是指低通滤波器。它的传递函数由下式表 示:
? ? ? ? D ? u ,v ? ? ? ? ?? ?? ? ? D0 ? ? ? ?

H ?u , v ? ? e

(4.13) 式中, D0 为截频, D(u, v) 由下式决定:

D(u.v) ? ?u

2

?v

1 2 2

?

(4.14)

式中的 n 是决定衰减的系数。从式(4.11)可见,如果 D(u, v) ? D0 则

H (u, v) ? 1 e
如果仍然把截止频率定在最大的 1

(4.15)

2 处,那么,式(4.11)可修改为:

22

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H ?u, v ? ? e
H(u,v)
1.0

? 1 ? ? D ? u ,v ? ? ? ? ln 2 ? ? D ? ?? 0 ?

n

(4.16)

指数低通滤波器传递函数的剖面图如图 4-6 所示。

0.5

D(u,v)
D。

图 4-6 指数低通滤波器传输函数的剖面图

由于指数低通滤波器有更快的衰减率,所以,经指数低通滤波器处理的图像比布特 沃斯低通滤波器处理的图像稍迷糊一些。由于指数低通滤波器的传递函数也有较平滑的 过渡带,所以图像中也没有振铃现象。 (4)梯形低通滤波器 梯形低通滤波器传递函数的形状介于理想低通滤波器和具有平滑过渡带的低通滤 波器之间。它的传递函数由下式表示:
?1, D?u, v ? ? D0 ? 1 ? ?D?u, v ? ? D1 ?, D0 ? D?u, v ? ? D1 H (u, v) ? ? ? ?D0 ? D1 ? ?0, D?u, v ? ? D1 ?

(4.17)

其中,D(u.v) ? u 2 ? v 2 2 ,在规定 D0 和 D1 时要满足 D0 ? D1 的条件。一般为了方便, 把传递函数的第一个转折点 D0 定义为截止频率;第二个变量 D1 可以任意选取,只要 D1 大于 D0 就可以。梯形低通滤波器传递函数的剖面图如图 4-7 所示。 由于梯形低通 性介于理想低通滤 带的低通滤波器之 也介于这两者之间
0.5 1.0

?

?

1

H(u,v)

滤波器的传递函数特 波器和具有平滑过渡 间,所以其处理效果

23

D。

D1

D(u,v)
D。

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图 4-7 梯形低通滤波器传递函数的剖面图 (三) 多图像平均法 如果一幅图像包含有加性噪声,这些噪声对于每个坐标点是不相关的,并且其平均 值为零,在这种情况下就可能采用多图像平均法来达到去噪声的目的。 设 g ? x, y ? 为有噪声图像,n?x, y ? 为噪声, f ? x, y ? 为原始图像,g ? x, y ? 可用下式表示: 多图像平均法是把一系列有噪声的图像 ?g j ( x, y )?叠加起来,然后进行平均计算,如下式 所示:
g ?x, y ? ? f ( x, y) ? n( x, y)

(4.18)

g ? x, y ? ?

?

1 M

?g ?
j ?1

M

j x, y ?

(4.19)

由此得出:
? ? ? E ? g ? x, y ?? ? f ? x, y ? ? ?
? ? ? ?2 ? 2 式中, E ? g ? x, y ?? 是 g ?x, y ? 的数学期 g ? x , y ? 望,和 ? n ? x , y ? 是 g ? x, y ? 和 n?x, y ? 在 ? ? ? ?

(4.20)

?x, y ? 坐标上的方差。
由式(4.17)和式(4.18)可见,M 增加则像素值的方差就减小,这说明由于平均 的结果使得由噪声造成的像素灰度值的偏差变小。从式(4.18)中可以看出,当做平均 处理的含噪声图像数目增加时,其统计平均值就越接近原始无噪声图像。这种方法在实 际应用中的最大困难在于把多幅图像配准起来,以便使相应的像素能正确地对应排列。 (四) 中值滤波法 中值滤波的基本原理是把数字图像或数字序列中的一个点的值用该点的一个邻域 中各点的值的中值代替(若窗口中有偶数个象素,则取两个中间值的平均)。中值的定义
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如下: 一组数 X 1 , X 2 , X 3 ... X n 把 n 个数按值的大小顺序排列于下:

X i1 ? X i 2 ? X i 3 ? ... ? X in
y 称为序列 X 1 , X 2 , X 3 ... X n 的中值,
? x n ?1 ...... n为奇数 ? i( 2 ) ? y ? med{x1, x 2, x3... xn} ? ? 1 ? [ x n ? x n ?1 ].... n为偶数 ? 2 i( 2 ) i( 2 ) ?

(4.21)

中值滤波一般采用一个含有奇数个点的滑动窗口。具体方法为首先确定一个奇数象 素的窗口 W,窗口内各象素按灰度大小排队后,用其中间位置的灰度值代替原 f(x,y)灰 度值成为增强图像 g(x,y),即
g ( x, y) ? median f ( x ? k , y ? 1), (k ,1) ? w} {

(4.22)

w 为选定窗口大小。不同图像内容和不同应用要求需要选用不同的窗口形状和尺寸。常 用的二维中值滤波窗口形状有线形、方形、圆形、十字形等。总之,图像信息是多种多 样的,滤波要求也不一样,任何滤波器都有优缺点,应根据实际的情况来选择最合适的 滤波器。 本系统采用中值滤波滤除图像中的噪声, 中值滤波的窗口选用 3x3 的方形窗口。

a.椒盐噪声图像

b.椒盐噪声邻域平均滤波
图 4-8 图像的平滑处理

c. 椒盐噪声中值滤波

图 4-8 是利用均值平均法和中值滤波法对椒盐噪声图像进行平滑处理的结果。其中 均值平均法和中值滤波法都采用的是 3x3 矩形模板计算。中值滤波能够在抑制随机噪声 的同时, 保护图像边缘不会变模糊。 但对于线、 尖顶等细节多的图像不宜采用中值滤波。 三、基于小波变换的图像平滑 (一) 小波变换下的图像平滑过程 小波变换作为一种有效的时间——频率分析方法,近年来受到广泛的注,其应用已 遍及信号和图像分析处理的多个研究领域。小波变换应用于图像平滑是人们十分感兴趣
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的课题之一。图像平滑的目的是消除噪声的影响,以改善图像的质量。图像平滑实际上 就是低通滤波,让信号的低频部分通过,阻截高频部分的噪声信号。好的平滑方法应该 是既能消除图像中存在的噪声,又不使图像的边缘轮廓和线条变模糊,这是图像平滑处 理追求主要目的。因此应用小波变换为信号和图像的表示提供了一种多分辨率(多尺度) 的方法,它能够同时给出信号和图像的时(空) 域和频域的信息。因此,在小波变换域中 进行噪声平滑具有空间和频率的双重选择性,克服了傅里叶方法和其它分析方法的不 足。另一方面, 理论和实验证明,白噪声小波变换的性态与信号的奇异性态相比具有显 著不同的特点,充分利用这些特点,在小波变换域中能十分有效地进行图像边缘的检测 和定位,十分有效地把信号和噪声区别开来。因此,在小波变换域中图像平滑技术在兼 容平滑噪声和保留图像边缘方面具有十分诱人的应用前景。下面就小波变换应用于图像 噪声平滑问题进行分析和讨论。 利用二维小波分析和图像的中值滤波进行图像的平滑处理,其流程图如图 4-9:

含噪图像 低频



数 处 理

小 波 重
平滑图像

波 分 析
高频

中 值 滤 波



图 4-9 基于小波的图像平滑流程图

(二) 小波变换用于图像平滑的优势 噪声是图像降质的主要因素,因此图像平滑技术的研究不可避免地涉及到噪声去除 问题。就常用的几种方法而言,普遍存在的问题是噪声去除的同时往往伴随着图像边缘 位置的移动和细节的模糊甚至消失,这是大多数方法的不足所在。如何在去噪的同时尽 可能地保持边缘位置和图像细节,是图像平滑方法需要解决的一个重要问题。均值滤波 法比较简单,去噪效果比较明显,但有时处理图像的效果并不很好,它虽然去除了一定 的噪声,但同时使图像中的边缘变的模糊。空间域中值滤波是一种效果较好的非线性滤 波方法,其去噪效果好于大多数线性滤波方法,能够较好的保留图像的边缘信息。基于 小波变换的图像平滑是在小波域利用中值滤波方法对图像进行平滑处理,它的平滑效果 不次于空间域的中值滤波,能够保留图像的更多细节。 图 4-10 给出空间域平滑图像与小波域平滑图像。
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(a)

(b)

图 4-10 空间域平滑图像与小波域平滑图像

图 4-10 中,(a)为空间域中值滤波平滑图像;(b)为基于小波变换的平滑图像。从图 处理结果的比较可以看到,基于小波分析的图像平滑后的 woman 图像与空间域中值滤 波平滑后的 woman 图像相比,视觉效果更清晰。
表 4-1 为不同平滑方法的比较

平滑方法 空间域中值滤波 小波域图像平滑

均值 126.78 89.77

灰度差值 209.44 181.68

对比度 1.00 1.45

从表 4-1 可以看出,基于小波的图像平滑对应的灰度差值小,说明它的灰度变化更 平缓。该方法的对比度比空间域中值滤波的对比度大,说明它的图像更清晰,对图像的 平滑效果更显著。可以说,与传统的平滑方法相比,基于小波分析的图像平滑方法将信 息进行分解后处理,更好地平滑掉噪声,具有更清晰的边缘。在一定程度上克服了去噪 与保持图像边缘位置和微小细节的矛盾。

第五章 一、 引言

基于小波变换的图像模糊技术

在二值逻辑中,事物是“非假即真”的一刀切的处理方法,而在自然命题中,许多事 物的判断并非如此绝对,而是多带有模糊性质的。对于图像来说,应用模糊技术进行处 理,能使绝对的逻辑符合人类的思维活动。由于人类的思维活动是一个具有大量模糊性
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的推理过程,并且人们总是根据需要汲取尽量少的模糊信息进行综合推理,从而得到正 确的判断,由此,图像的模糊处理概念被提出。

二、 模糊集识别法简介
在模糊模式识别中,有些问题是及其复杂的,要是计算机识别某一模式,就要分析 综合所有的特征计算和比较大量的信息后才能做出判断。而人在识别过程中只根据一些 模糊的印象就可以做到较为准确的识别。例如,在一堆照片中找出一个人,只要说“找 一位长脸型、皮肤白皙、高鼻梁、大眼睛的人”就可以找出来。而如果计算机就必须给 出“面部轮廓长度比在 1.4 以上、鼻子长 6 厘米以上、高 2.5 厘米以上、宽 3 厘米以下” 等之类的数字。 如果有一张照片其他条件都符合, 只是鼻高 2 厘米, 计算机也不会认可。 计算机帮助人工作时这种丝毫不肯通融的性质在模式识别中有时反而成为累赘。这主要 原因是计算机是建立在二值逻辑基础上,它对事物分析的结论是“非假”即“真”。这种二 值逻辑不适于处理迷糊事物。在人的日常活动中,模糊概念普遍存在。为了描述并分析 自然界及人类社会中各种迷糊事物,人们就要探索能表现事物模糊性的数学工具。 根据人辨识事物的思维逻辑,吸取人脑的识别特点,模糊集合论把数学从二值逻辑 转向连续逻辑,这就更接近人类大脑的识别活动。由此,产生了一种相当独特的识别方 法—模糊识别法,有人认为模糊识别是模糊数学最成功的应用范例之一。

三、 模糊集合及其运算 (一) 模糊子集
在自然界及人类生活中有许多概念没有明确的外延,没有明确外延的概念就称作模 糊概念。模糊概念是客观事物本质属性在人们头脑中的反映,是人类社会长期发展过程 中约定俗成的东西。 论域是指被讨论的全体对象,有时也称为空间,论语元素总是分明的。论语中元素 从属于模糊集合的程序不是绝对的 0 或 1,它可介于 0 和 1 之间。在模糊数学中,把元 素对普通集合的绝对隶属关系加以灵活化,提出隶属度的概念。隶属度用力隶属函数来 描述。 1.隶属函数(或丛书函数) 论域 X= ?x?上的模糊集合 A 由从属函数 ? A ?x ? 来表征,其中 ? A ?x ? 在实数轴闭区间

?0,1? 中取值, ? A ?x ? 的大小反映 x 对 A 的从属程度。任意论域 X= ?x?上的模糊集合 A 是
指 x 中具有某种性质的元素整体,这些元素具有某种不分明的界限。对 X 中任意元素可
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以用 ?0,1? 间的数来表征该元素从属于 A 的程度。 ? A ?x ? 接近于 1,表示 x 从属于 A 的程 度很高; ? A ?x ? 接近于 0,说明 x 从属于 A 的程度很低。例如,A 若表示远大于 0 的实 数,即 A= ?x x ?? 0?,则 A 的从属函数可写成下式形式:

?0, x ? 0 ? ? ? A ?x ? ? ? 1 , x ? 0 ?1 ? 100 ? x2 ?
2.模糊集相等 设 A 和 B 均为 X 中的模糊集,如果对 ?x ? X 均有:

(5.1)

(5.2) 则称 A 和 B 相等,即 : A=B 式中, ?x 表示所有的 x 。 3.子集 (5.3)

? A ?x ? ? ? B ?x ? 设 A 和 B 均为 X 中的模糊集,如果对 ?x ? X 均有:

? A ?x ? ? ? B ?x ?
? ? A ?x ? ? ? B x 则称 B 包含 A 或称 A 为 B 的子集,记为 A??? B ,即:

(5.4)

A ? B ? ? A ?x ? ? ? B ?x ?

(5.5)

4.空集 A 为 X 中的模糊集,如果对 ?x ? X 时,均有:

? A ?x ? ? 0
则 A 称为空集,记 A ? ? ,即:

(5.6)

A ? ? ? ? A ?x ? ? 0
5.并集 如果 A、B、C 均为 X 中的模糊集,如果对 ?x ? X 均有:

(5.7)

? C ?x ? ? ??? A ?x ?, ? B ?x ??
则 C 就叫做 A 和 B 的并集, C ? A ? B 即 :
C ? A ? B ? ? C ?x ? ? ??? A ?x ?, ? B ?x ??

(5.8)

(5.9)

6.全集 A 为 X 中的模糊集,如果对 ?x ? X 时,均有:

? A ?x ? ? 1
则 A 称为全集,记 A ? ? ,即:
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(5.10)

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A ? ? ? ? A ?x ? ? 1
7.交集 假如 A、B、C 均为 X 中的模糊集,如果对 ?x ? X 均有: (5.11)

? C ?x ? ? ??? A ?x ?, ? B ?x ??
则 C 就叫做 A 和 B 的交集,记做 C ? A ? B 即 :
C ? A ? B ? ? C ?x ? ? ??? A ?x ?, ? B ?x ??

(5.12)

(5.13)

式中, ? 表示求最小值,作前置式用时, ? 可换成 min;同样并集中的 ? 表示求最大值, 作前置式用时, ? 可换成 max。 8.补集 假如 A 为 X 中的模糊集,它的补集 A 由下式表示:
_

? ? x ? ? 1 ? ? A ?x ?, ?x ? X
?

A

(5.14)

A ? ? ? ?x ?

?

(二) 模糊集表示
1.模糊集的台

A

模糊集 A 的台式 X 中能使 ? A ? x ? ? 0 的元素的集合。 2.模糊独点集 一个模糊独点集是它的台只有一个元素的集合。可记为 ? A ? ? 0 / x0 。如 A 的台仅 有有限个元素 x1 , x 2 ,..., x n ,且 ? ? xi ? ? ? i ,则:

? A ? ?1 x1 ? ? 2 x 2 ? ? ? ? ? ? n xn
3. ? 水平集( ? 截集) 设 A 为 X= ?x?中的模糊集,则 A 的水平集为:
A? ? ?X ? A ? x ? ? ? ?

(5.15)

(5.16)

(三) 模糊集合的代数运算
1.代数积 模糊集合 A 和 B 的代数积记做 A ? B,它的从属函数为:

? A?B ? ? A ? ? B
2.代数和 A 和 B 的代数和为 A+B,它的从属函数为:

(5.17)

? A? B ? ?

?? A ? ? B , ? A ? ? B ? 1 ?1, ? A ? ? B ? 1
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(5.18)

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3.环和 A 和 B 的环和记做 A ? B,它的从属函数为:

? A? B ? ? A ? ? B ? ? A ? ? B

(5.19)

(四) 模糊熵
关于熵的概念我们作简要的介绍。 熵是随机事件的不确定性度量。 在定义模糊熵时, 也希望它具有普遍熵的性质。 1.模糊熵的定义 设 A 和 B 是 X 中的模糊集,则:
d ? A, B ? ? 1 n ? ? A ?xi ? ? ? B ?xi ? n i ?1

(5.20)

叫做相对汉明距离。 设 A 和 B 是 X 中的模糊集,则:
R ? A, B ? ? 1 n ?

? ?? ?x ? ? ? ?x ??
i ?1 A i B i

n

2

(5.21)

称为 A,B 的欧氏距离。 如果用 A ? 表示与模糊集有最小欧氏距离的普通集合,显然:
?0, ? A ? xi ? ? 0.5 ?1, ? A ? xi ? ? 0.5

? A ? xi ? ? ?
?

(5.22)

令 L(A)= 2d A, A? ,则 L(A)定义为模糊集 A 的模糊熵,即:
L ? A? ? 2 n ? ? A ?xi ? ? ? A? ?xi ? n i ?1

?

?

(5.23)

2.模糊熵的性质 (1) L? A? ? 0 ;

(2).若对任意的 x ,均有 ? A ?x ? ? 1 或 ? A ?x ? ? 0 ,则 L? A? ? 0 ,也就是当 A 时普通集 时, L? A? ? 0 ;
1 (3)若对任意的 x ,均 ? A ? x ? ? 2 有时,则 L? A? 达到极大, L? A?max ? 1 。

以上对模糊集及模糊集识别方法做了简要的介绍,模糊集识别是正处于发展阶段的 识别方法。除了以上介绍的几种方法外,还有基于模糊逻辑、模糊语言及模糊概率理论
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的识别方法,这些识别方法既有其数学基础(模糊数学)又更接近人的思维方法,所以 模糊逻辑是研究模糊命题的连续性逻辑,图像模糊技术在图像分类及其处理中将有更加 广阔的研究与应用前景。

第六章 一、 引言

MATLAB 模拟仿真

图像处理是一种通过计算机采用一定的算法对图形图像进行处理的技术。数字图像 处理技术已经在各个领域上都有了比较广泛的应用。图像处理的信息量很大,对处理速
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度的要求也比较高。MATLAB 强大的运算和图形展示功能,使图像处理变得更加的简 单和直观。本文介绍了 MATLAB 语言的特点,基于 MATLAB 的数字图像处理环境,介 绍了如何利用 MATLAB 及其图像处理工具箱进行数字图像处理,并通过一些例子来说 明利用 MATLAB 图像处理工具箱进行图像处理的方法。 主要论述了利用 MATLAB 实现 图像增强、二值图像分析等图像处理。

二、 MATLAB 概述 (一) MATLAB 产生的历史背景
在 70 年代中期,美国 New Mexico 大学计算机系系主任 Cleve Moler 和其同事在美 国国家科学基金的资助下开发了调用 EISPACK 和 LINPACK 的 FORTRAN 子程序库。 到 70 年代后期, Cleve Moler 博士, 编写了 EISPACK 和 LINPACK 的接口程序, Cleve Moler 给这个接口程序取名为 MATLAB, 该名为矩阵(matrix)和实验室(labotatory)两个英 文单词的前三个字母的组合。 1984 年,Cleve Moler 博士成立了 Math Works 公司,正式把 MATLAB 推向市场, 并继续进行 MATLAB 的研究和开发。 在 MATLAB 进入市场前,国际上的许多软件包都是直接以 FORTRANC 语言等编 程语言开发的。这种软件的缺点是使用面窄,接口简陋,程序结构不开放以及没有标准 的基库,很难适应各学科的最新发展,因而很难推广。MATLAB 的出现,为各国科学 家开发学科软件提供了新的基础。在 MATLAB 问世不久的 80 年代中期,原先控制领域 里的一些软件包纷纷被淘汰或在 MATLAB 上重建。

(二) MATLAB 的发展
MATLAB 是 MATrix LABoratory(矩阵实验室)的缩写,是由美国 MathWorks 公司

开发的集数值计算、符号计算和图形可视化三大基本功能于一体的,功能强大、操作简 单的语言,是国际公认的优秀数学应用软件之一。 MATLAB 的基本数据单位是矩阵,它的指令表达式与数学工程中常用的形式十分相似, 故用 MATLAB 来解算问题要比用 C、FORTRAN 等语言完相同的事情简捷得多。 目前, MATLAB 已经不仅仅是一个“矩阵实验室”了, 它已成为一种广泛应用于工程计算 及数值分析领域的新型高级语言。在各高等院校,MATLAB 已经成为线性代数的、自 动控制理论、数学信号处理、时间序列分析、动态系统仿真、图像处理等许多课程的基 本教学工具,成为大学生和研究生必须掌握的基本编程语言。在科研与工程应用领域,
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MATLAB 已被广泛地用于科学研究和解决各种具体的实际问题。可以预见,MATLAB 将在科学研究和工程应用中发挥越来越大的作用。

(三) MATLAB 语言的特点
以下简单介绍一下 MATLAB 的主要特点: 1.语言简洁紧凑,使用方便灵活,库函数极其丰富。MATLAB 程序书写形式自由, 利用起丰富的库函数避开繁杂的子程序编程任务,压缩了一切不必要的编程工作 2.运算符丰富。由于 MATLAB 是用 C 语言编写的,MATLAB 提供了和 C 语言几 乎一样多的运算符,灵活使用 MATLAB 的运算符将使程序变得极为简短。 3.MATLAB 既具有结构化的控制语句(如 for 循环,while 循环,break 语句和 if 语句) ,又有面向对象编程的特性。 4.程序限制不严格,程序设计自由度大。例如,在 MATLAB 里,用户无需对矩阵 预定义就可使用。 5.程序的可移植性很好,基本上不做修改就可以在各种型号的计算机和操作系统 上运行。 6.MATLAB 的图形功能强大。在 FORTRAN 和 C 语言里,绘图都很不容易,但在 MATLAB 里,数据的可视化非常简单。MATLAB 还具有较强的编辑图形界面的能力。 7.MATLAB 的缺点是,它和其他高级程序相比,程序的执行速度较慢。由于 MATLAB 的程序不用编译等预处理,也不生成可执行文件,程序为解释执行,所以速 度较慢。 8.功能强大的工具箱是 MATLAB 的另一特色。MATLAB 包含两个部分:核心部 分和各种可选的工具箱。核心部分中有数百个核心内部函数。其工具箱又分为两类:功 能性工具箱和学科性工具箱。功能性工具箱主要用来扩充其符号计算功能,图示建模仿 真功能,文字处理功能以及与硬件实时交互功能。 9.源程序的开放性。开放性也许是 MATLAB 最受人们欢迎的特点。除内部函数以 外,所有 MATLAB 的核心文件和工具箱文件都是可读可改的源文件,用户可通过对源 文件的修改以及加入自己的文件构成新的工具箱。

(四) MATLAB 软件的主要功能
MATLAB 自进入国际市场以来,历经 20 多年的发展和竞争,现已风靡世界。可靠 的数值计算和符号计算功能、强大的绘图功能、简单易学的语言体系以及为数众多的应 用工具箱是 MATLAB 区别于其他科技应用软件的显著标志。
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1.数值计算和符号计算功能。MATLAB 以矩阵作为数据操作的基本单位,这使得 矩阵运算变得非常简捷、方便、高效。 2.绘图功能。利用 MATLAB 绘图十分方便,它既可以绘制各种图形,包括二维图 形和三维图形,还可以对图形进行修饰和控制,以增强图像的表现效果。MATLAB 提 供了两个层次的绘图操作:一种是对图形句柄进行的低层绘图操作,另一种是建立在低 层绘图操作之上的高层绘图操作。利用 MATLAB 高层绘图操作,用户不需要多的考虑 绘图细节,只需要给出一些基本参数就能绘制所需图形。 3.语言体系。MATLAB 具有程序结构控制、函数调用、数据结构、输入\出、面向 对象等程序语言特征,所以使用 MATLAB 也可以像用 BASIC、FORTRAN、C 等传统 编程语言一样,进行程序设计,而且简单易学、编程效率高。 4.MATLAB 工具箱。MATLAB 包含两部分内容:基本部分和各种可选的工具箱。 基本部分构成了 MATLAB 的核心内容。MATLAB 工具箱分为两类:功能性工具箱和学 科性工具箱。功能性工具箱主要用来扩充其符号计算功能、可视建模仿真功能及文字处 理功能等。学科性工具箱专业性很强,如控制系统工具箱(Control System Toolbox) 、 信号处理工具箱 (Signal Processing Toolbox) 神经网络工具箱 、 (Neural Network Toolbox) 、 最优化工具箱(Optimization Toolbox) 、金融工具箱(Financial Toolbox)等。

(五) MATLAB 在图像处理中的应用
图像处理工具包是由一系列支持图像处理操作的函数组成的。所支持的图像处理操 作有:图像的几何操作、邻域和区域操作、图像变换、图像恢复与增强、线性滤波和滤 波器设计、 变换(DCT 变换等) 、 图像分析和统计、 二值图像操作等。 下面就 MATLAB 在 图像处理中各方面的应用分别进行介绍。 1.图像文件格式的读写和显示。MATLAB 提供了图像文件读入函数 imread(),用 来读取如:bmp、tif、tiffpcx 、jpg 、gpeg 、hdf、xwd 等格式图像文。图像写出函数 imwrite() ,还有图像显示函数 image()、imshow()等等。 2.图像处理的基本运算。MATLAB 提供了图像的和、差等线性运算 ,以及卷积、 相关、滤波等非线性算。例如,conv2(I,J)实现了 I,J 两幅图像的卷积。 3.图像变换。MATLAB 提供了一维和二维离散傅立叶变换(DFT) 、快速傅立叶变 换(FFT) 、离散余弦变换 (DCT) 及其反变换函数,以及连续小波变换(CWT)、离散小 波变换(DWT)及其反变换。 4.图像的分析和增强。针对图像的统计计算 MATLAB 提供了校正、直方图均衡、
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中值滤波、对比度调整、自适应滤波等对图像进行的处理。 5. 图像的数学形态学处理。 针对二值图像, MATLAB 提供了数学形态学运算函数, 腐蚀(Erode)、膨胀(Dilate)算子,以及在此基础上的开 (Open)、闭(Close)算子、厚化 (Thicken) 、薄化 (Thin) 算子等丰富的数学形态学运算。

(六) MATLAB 仿真
1. 编写数字图像的 MATLAB 平滑程序,并对图像进行处理,程序流程图如下:
开始 (i,j)赋值给f 读入图像 f<f1
N

转化为灰度 图像
Y

f>f2
Y

N

数据初始化

计算出m

计算出n

计算出h

提高图像像 素精度

将计算值m 放入g(i,j)

将计算值n放 入g(i,j)

将计算值h放 入g(i,j)

得到图像矩阵 行、列

j<=m
创建空白图像 矩阵 Y N
N

i<=m J++ i=1 J=1
Y

图像转化为8 位图

i++

显示平滑后 的图像

结束

源程序如下: load woman; subplot(131); image(X);
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colormap(map); title('原始图像'); axis square init=2788605826; rand('seed',init); x=X+18*(rand(size(X))); subplot(132); imshow(x,map); title('含噪图象'); axis square [c,s]=wavedec2(x,2,'db7'); h2=detcoef2('h',c,s,2); v2=detcoef2('v',c,s,2); d2=detcoef2('d',c,s,2); for i=2:1:42 for j=2:1:42 temp=0; for m=1:3 for n=1:3 temp=temp+h2(i+m-2,j+n-2); end end temp=temp/9; h2(i,j)=temp; end end for i=2:1:42 for j=2:1:42 temp=0; for m=1:3 for n=1:3
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temp=temp+v2(i+m-2,j+n-2); end end temp=temp/9; v2(i,j)=temp; end end for i=2:1:42 for j=2:1:42 temp=0; for m=1:3 for n=1:3 temp=temp+d2(i+m-2,j+n-2); end end temp=temp/9; d2(i,j)=temp; end end a2=appcoef2(c,s,'db7',2); a2=0.5*a2; y=idwt2(a2,h2,v2,d2,'db7'); subplot(133); imshow(y,map); title('平滑图像'); axis square; 运行结果如图 6-1:

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图 6-1 图像平滑处理

其中,(a)为原始图像;(b)为含噪图像;(c)为平滑后的图像。 由图 6-1(c)可明显看出平滑模糊后的图像视觉效果很好。本次实验实现了去除高斯 噪声的目的, 并且都能较好的解决边缘模糊的问题, 有效的保留了必要的图像边缘细节, 视觉效果较好,层次感较为丰富,为图像的进一步处理提供了良好的基础。

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2.编写由运动引起的图像模糊的 MATLAB 恢复程序的,并对图像进行处理(可对 正常图像先进行运动模糊处理,再恢复) 。 程序流程图如下:

开始

I=1 J=1

读入图像

(I,J)赋值给f

转化为灰度 图像

f<K1
Y

N

数据初始化

给g(I,J)赋 值

g(I,J)=K2

提高图像像 素精度 K1<=N
N Y

得到图像矩阵 行、列

创建空白图 像矩阵

K1++ K2<=N
Y
N

图像转化为8 位图

N++

显示模糊后 的图像

结束

源程序如下: I=imread('C:\Documents\Administrator\MyDocuments\MATLAB\picture.bmp'); imshow(I); title('原始图象'); hold on; J=fspecial('motion',20,50)('滤波器'); J1=imfilter(I,J,'circular','conv') ('用滤波器模糊原图像');
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K1=deconvwnr(J1,J) ('恢复不加噪声的模糊图象'); N=0.002*prod(size(I)) ('设定一个高斯噪声'); N1=imnoise(J1,'gaussian',0,002) ('对模糊后图象加噪'); N2=sum(N.^2)/sum(im2double(I(:)).^2) ('计算噪声的 NSR '); K2=deconvwnr(N1,J,N2/100 ('恢复加噪后的模糊图象'); figure; subplot(2,2,1);imshow(J1);title('不加噪声的模糊图象'); subplot(2,2,2);imshow(N1);title('加高斯噪声的模糊图象'); subplot(2,2,3);imshow(K1);title('对不加噪声的图象的恢复'); subplot(2,2,4);imshow(K2);title('对加噪的图象的恢复');

图 6-2 模糊处理与恢复后的图像效果

将变换结果与原始图像进行对比分析: 由以上各图的对比可以看出,如果图象中不存在噪声,则其模糊状况完全由点扩散
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函数决定。由于这种点扩散函数精确地描述了失真,所以恢复后的图象与原始图象非常 接近,可以认为很精确地恢复了原始图象。而对于存在噪声的图象,如上图中存在高斯 噪声的运动模糊图象,其经过维纳滤波法恢复后与原始图象的清楚程度相比有一定差 距,产生了一定失真,与对不加噪声的图象的恢复相比效果也明显不如。当然,这种恢 复是在预先知道引起模糊的精确点扩散函数的情况下得到的,而实际图象处理的任务 中,大多数无法准确得知点扩散函数,一般采用估计的点扩散函数来恢复图象。

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总结
随着小波变换技术越来越多的应用于图像处理技术中,而图像的平滑、模糊等技术 更是其中的重点,Matlab 就是其有效的工具。图像的平滑与模糊来说,其原理基本上都 是一样,都是利用小波分析的方法(即小波变换) 。 小波变换是一种快速发展和比较流行的信号分析方法, 图像处理中有非常重要的应 用,包括图像压缩、图像去噪、图像融合、图像分解、图像增强、图像平滑与模糊等。 小波分析是傅立叶分析思想方法的发展与延拓。除了连续小波(CWT)、离散小波(DWT), 还有小波包(Wavelet Packet)和多维小波。小波变换是一种新的变换分析方法,它 继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想,同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺 点,能够提供一个随频率改变的时间一频率窗口,是进行信号时频分析和处理的理想工 具。 图像平滑与模糊技术的研究不可避免地涉及到噪声去除问题, 就常用的几种方法而 言, 普遍存在的问题是噪声去除的同时往往伴随着图像边缘位置的移动和细节的模糊甚 至消失,这是大多数方法的不足所在。如何在去噪的同时尽可能地保持边缘位置和图像 细节,是图像平滑方法需要解决的一个重要问题。基于小波变换的图像平滑与模糊是在 小波域利用中值滤波方法对图像进行平滑与模糊处理,它的平滑与模糊效果不次于空间 域的中值滤波,能够保留图像的更多细节。 结果表明,适当的对传统方法的改进,小波变换的空域法与频域法的有效结合,再 利用 Matlab 编译处理,可以很好的改善图像的视觉效果。

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兰州交通大学毕业设计(论文)
致谢
在论文完成之际,我心情无法平静。大学期间,尤其是毕业论文完成期间,有很多 可敬的老师和同学给予了我无私帮助。对此我深怀感激。 首先感谢导师高丽老师从始至终的关心、 指导和教诲。 高老师追求真理、 一丝不苟、 严格律己、宽以待人的崇高品质对学生将是永远的鞭策。 本次毕业设计从课题选题、信息收集到论文的撰写都是在高老师全面、具体、耐心 的指导下进行的。特别是高老师不厌其烦的指出设计中的不足及问题的解决方向,使我 感受到高老师的渊博学识、敏锐思维和民主严谨的作风。论文写作过程中,从行文的用 语到格式的规范,都力求完美。这里再次对高丽老师的无私付出表示深深的谢意。 其次在设计的过程中,感谢给予我帮助的同学们,在此对其表示感谢。 然后感谢电子与信息学院各位老师对我的培养和关心,感谢我的家人在大学期间对 我的支持和鼓励。 最后祝电子与信息学院各位老师工作顺利,祝电子与信息学院明天更美好。

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参考文献
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