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高三数学(理科)模拟试卷(10)-2007届新课标高三数学模...(633K)

时间:2013-04-12


2007 年高考数学(理科)模拟试题(十)
一、选择题 1.

3 ? ( (1 ? i) 2
A.



3 i 2

B. ?

3 i 2

C. i

D. ? i

选A 2.命题 p : ? ? {?} ;命题 q : 若A ? { ,2}, B ? {x x ? A} ,则 A ? B ( 1 A. p 假 q 假 选 D. B. p 真 q 假 C. p 假 q 真 D. p 真 q 真 )

解: B ? {? ,{1}, {2}, {1,2}} 3.偶函数 f ( x)(x ? R) 满足:f (?4) ? f (1) ? 0 , 且在区间[0,3]与 [3,??) 上分别递减和递增, 则不等式 x 3 f ( x) ? 0 的解集为( ) A. (??,?4) ? (4,??) C. (??,?4) ? (?1,0) 选D 解: f ( x) ? 0 的解集为 (?4,?1) ? (1,4) 所以,原不等式的解集为 -4 -1 o 1 4 x B. (?4,?1) ? (1,4) D. (??,?4) ? (?1,0) ? (1,4) y

(??,?4) ? (?1,0) ? (1,4)
4.设等差数列 {an } 的前 n 项和是 S n 且 a4 ? a8 ? 0 ,则( A. S 4 ? S 8 选D 解: 2a6 ? a4 ? a8 ? 0 B. S 4 ? S 8 C. S 6 ? S 5 D. S 6 ? S 5 )

a6 ? 0
(B)若 m∥? ,n∥? ,则 m∥n (D)若 m 、 n 与 ? 所成的角相等,则 m∥n

5. 对于平面 ? 和共面的直线 m 、 n, 下列命题中真命题是 (A)若 m ? ? , m ? n, 则 n∥ ? (C)若 m ? ? , n∥? ,则 m∥n 选C

1

6.函数 y ? 2

2 log2 x

的图像大致是(



A 选C

B

C

D

? x ?2 , 0 ? x ? 1 ? 解: y ? ? 2 ?x , x ? 1 ?
7.若函数 f ( x) ? sin ax ? cosax(a ? 0) 的最小正周期为 1,则它的图象的一个对称中心为 ( )

A ( ,0 ) 选C

1 8

B (?

?
8

,0 )

C (?

1 ,0 ) 8

D (0,0)

解:因为 f ( x) ? sin ax ? cos ax ?

2 sin( ax ?

?
4

) 的周期为 1,所以 a ? 2?

f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 的对称中心为(x,0)
而 f (?

?

) ? 2 sin[ 2? ? (? ) ? ] ? 0 8 8 4
2007 n ?1

?

?

8.函数 f ( x) ?

? x ? n 的最小值为(
B. 1004×1005

) C. 2006×2007 D. 2005×2006

A. 1003×1004 选A

解:由绝对值的几何意义知 x=1004 时, f (x) 取得最小值:此时 f (x) 的最小值为 2×(1003+1002+……+1)= 1003×1004 二、填空题 9.

?

ln 2

0

e x 1 ? e x dx 等于

?

?

2

.

解:

19 3
.

10.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9.已知这组数的平 均数为 10,方差为 2.则 x ? y ? 答:4

2

2 ? 3a 有负数根,则实数 a 的取值范围为 5?a 2 ? 3a 3 x ?1 解: x ? 0 ,所以 0 ? ( ) ? 1 ,从而 0 ? 5?a 2 2 3 ? ?a? 解得 3 4
11.关于 x 的方程 ( ) ?
x

3 2

.

12.若多项式 x 2 ? x10 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? ? ? a9 ( x ? 1) 9 ? a10 ( x ? 1)10 ,则 a9 = 答:-10 解:左边 x 的系数为 1,易知 a10 ? 1 ,左边 x 的系数为 0,右边 x 的系数为
10 9 9

.

1 a9 ? a10 ? C10 ? a9 ? 10 ? 0 ,所以 a9 ? ?10

信号源 13.右图中有一个信号源和五个接收器,接收器与信号源在同 一个串联线路中时,就能接受到信号,否则就不能接收到信 号,若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组,再把 所得六组中每组的两个接线点用导线连接,则这五个接收器 能同时接收到信号的概率是 .

解:将左端 6 个点均分三组由

2 2 C 62 C 4 C 2 ? 15 3!

将右端 6 个点均分三组也有 15 种 所以,总接线方法数为 225 种 若 5 个接收器能同时收到信号, 说明这 6 个电器一定是串联, 不妨设从左端信号源开始接出, 则左端有 5 种接法;选一个然后从该元件的右端接出,不能接回信号源,则有 4 种接法;依 次类推,如图,其中①②③④⑤⑥代表第几步.

P?

5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1? 1 8 ? 225 15

① 5 2 ④ 1 ② 4 ⑥

⑤ 以下三个小题只选做一个 1

3 ③

3

14.如图,设 P 为 ?ABC 内一点,且 AP ?

2 1 AB ? AC ,则 ?ABP 的面积与 ?ABC 的面积 5 5

之比等于 . 解:过 P 点作 AB 与 AC 的平行线交 AB、AC 分别于 M、N,则

AM ?

2 1 AB , AN ? AC 5 5
N A P

C

所以

AN 1 S ?ABP ? ? S ?ABC AC 5

M

B

15、已知直线 l 的参数方程 ? 则直线 l 的倾斜角是

? x ? 1 ? t sin ? ?? ? ( t 为参数) ,其中实数 ? 的范围是 ? , ? ? , ?2 ? ? y ? ?2 ? t cos?
.

16、已知 a1、 2、 、an ? R ? , a ? 不等式 [na1 ? ?n ? 1?a2 ? ? ? an ] ( 则 k 的最大值 答: n
2

1 1 1 ) ? k 恒成立, ? ??? a1 a1 ? a 2 a1 ? a 2 ? ? ? a n

.

三、解答题 17、 已知 sin(2? ? ? ) ? 3 sin ? , 设 tan? ? x, tan ? ? y, 记y ? f ( x), 求f ( x) 的解析表达式。 解:由 sin(2? ? ? ) ? 3 sin ? ,得

sin[(? ? ? ) ? ? ] ? 3 sin[(? ? ? ) ? ? ] sin(? ? ? ) cos? ? cos(? ? ? ) sin ? ? 3 sin(? ? ? ) cos? ? 3 cos(? ? ? ) sin ? ? sin(? ? ? ) cos? ? cos(? ? ? ) sin ? ? tan( ? ? ) ? 2 tan? ?
于是

tan? ? tan ? ? 2 tan? 1 ? tan? tan ?



x? y ? 2x 1 ? xy
x 1 ? 2x 2
4

y?

18、一位学生每天骑车上学,从他家到学校共由 5 个交通岗,假设他在每个交通岗遇到红灯 是相互独立的,且首末两个交通岗遇红灯的概率均为 P。其余 3 个交通岗遇红灯的概率为

1 2

2 ,求该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率。 3 5 (2)若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过 ,求 P 18
(1)若 P ? 解: (1)记该学生在第 i 个交通岗遇到红灯事件为 Ai (i ? 1,2,3,4,5) 他们相互独立,则 这名学生在第三个交通岗第一次遇到红灯为 A1 ? A2 ? A3 P( A1

? A2 ? A3 )= P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? (1 ? 2 )(1 ? 1 ) ? 1 ?
3 2 2 1 。 12

1 12

这名学生在第三个交通岗第一次遇到红灯为

(2)过首末两个路口,共中间三个路口分别看作独立重复试验, A={该学生没遇到红灯} B={该学生恰好遇到一次红灯},则 A 与 B 互斥

1 1 2 3 P( A) ? C2 (1 ? P) 2 ? C3 (1 ? ) 3 ? (1 ? P) 2 2 8
2 1 P ( B ) ? C 2 (1 ? P ) 2 ? C 3

1 1 1 1 3 (1 ? ) 2 ? C 2 P (1 ? P ) ? C 3 (1 ? ) 3 2 2 2

3 ? (1 ? P ) 2 ? P (1 ? P ) 8 1 3 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? (1 ? P) 2 ? (1 ? P) 2 ? P(1 ? P) 8 8 1 ? ( P 2 ? 3 P ? 2) 4
1 2 5 ( P ? 3P ? 2) ? 即9 P 2 ? 27 P ? 8 ? 0 4 18 1 8 ? ?P? 3 3 又? 0 ? P ? 1 , 1 1 所以 P 的取值范围为[ ,]. 3


5

19、如图,斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1的侧面AA C1C 是面积为 1 侧面 ABB A1 ? 侧面AA C1C , 且 A1 B=AB ? AC ? 1 1 1 (1) 求证: AA ? BC1 1 (2)求 A1 B1到平面ABC 的距离。 解: 侧面AA C1C 是菱形。 1 所以 A1 A=A1C1 ? C1C ? CA ? 1 从而 ?A1 AB 是等边三角形

3 的菱形。?ACC1 为锐角, 2

设 D是AA1的中点,则 1 ? BD ,又侧面 ABB A1 ? 侧面AA C1C AA 1 1 所以 BD ? 侧面AA1C1C

侧面AA1C1C 的面积为

3 3 ,则 C到AA 的距离为 1 2 2

?AA1C1 ? 600 ,所以 ?AA1C 是等边三角形,且 AA1 ? C1D
方法一(向量法)以 AA1的中点D为原点(如图所示)建 立空间直角坐标系 (1) AA1 ? (0,1,0)

BC1 ? BD ? DC1 ? (0,0,?1) ? (?
则 AA ? BC1 1

3 3 ,0,0) ? (? ,0,?1) 2 2

AA1 ? BC1 ? 0

(2)设 n ? (a, b, c) ? 平面ABC ,则 n ? AB n ? AC , 所以 n ? AB= , n ? AC 0 0 =

1 3 3 1 AC ? A1C1 ? A1 D ? DC1 ? (0,? ,0) ? (? ,0,0) ? (? ,? ,0) 2 2 2 2 1 3 1 3 AB ? AD ? DB ? (0, ,0) ? (0,0, ) ? (0, , ) 2 2 2 2
解得 n ? (a,? 3a, a),由于平面 ABC // 平面A1 B1C1

6

则 A1 B1平面ABC的距离为d ?

AA1 ? n n

?

? 3a 5a

?

15 5

方法二(几何法) (1) C1 D1 是 BC1在面AA C1C上的射影,因为 AA ? C1D ,易得 AA ? BC1 1 1 1 (2)由于 A1 B1 // 平面ABC,所以 A1 B1到平面 ABC的距离 即为点 1到平面 h A ABC的 距离,显然对三棱锥 A1 ? ABC 有

1 1 VA1 ? ABC= S ?ABC ? h ? BD ? S ?AA1C 3 3

h?

BD ? S ?AA1C S ?ABC

由 A1 A // C1C, BC1 ? C1C, 则 已知

BC1 ?

6 , CC1 ? 1 2

BC ? BC1 ? CC1 ?
2 2

10 , 2

在△ABC 中,BC 边上的高 AE= BC ?

1 6 AC 2 ? ( BC) 2 ? 2 4

S ?ABC ?

1 6 10 15 ? ? ? 2 4 2 8

h?
15 5

BD ? S ?AA1C S ?ABC

?

15 5

即 A1 B1到平面ABC的距离为

20 、 在 数 列 {an } 中,a1 ? 1, 其前n项和S n 满 足 关 系 tS n ? (2t ? 3)S n?1 ? 3t 3式

(t ? 0, n ? 2,3,?)
(1)求证:数列 {an } 是等比数列; (2)设数列 {an } 得公比为 f (t ),作数列 bn } , 使b1 ? 1, bn ? f ( {

1 ), n ? (2,3,?), 求bn bn?1

(3)求 b1b2 ? b2 b3 ? b3b4 ? b4 b5 ? ? ? b2n?1b2n ? b2n b2n?1的值。 解: (1)由已知 3tS n ? (2t ? 3)S n?1 ? 3t ,即有

7

3t (a1 ? a2 ) ? (2t ? 3)a1 ? 3t 由 a1 ? 1 解得 a 2 ?
所以

2t ? 3 3t

a 2 2t ? 3 ? a1 3t

当 n ? 2时,有

3tS n+1 ? (2t ? 3)S n ? 3t 3tS n ? (2t ? 3)S n?1 ? 3t
①-②得

① ②

3tan+1 ? (2t ? 3)an ? 0
an?1 2t ? 3 ? an 3t
综上所述,知

an?1 2t ? 3 ? an 3t

n ?1

因此 {an } 是等比数列; (2) 由(1)知 f (t ) ?

2t ? 3 3t

2?
则 使b1 ? 1, bn ?

1 ?3 bn ?1 2 ? ? bn ?1 1 3 3? bn ?1
n ? (2,3,?)
2 1 n? 3 3

所以 bn ? bn?1 ?

2 3

因此, {bn } 是等差数列,且 b1 ? 1, bn ? b1 ? (n ? 1)d ?

(3) b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? ? ? b2n?1b2n ? b2n b2n?1 = b2 (b1 ? b3 ) ? b4 (b3 ? b5 ) ? ? ? b2n (b2n?1 ? b2n?1 )

4 4 n(b2 ? b2n ) 4 = ? (b2 ? b4 ? ? ? b2 n ) ? ? ? ?? ? 3 3 2 3 8 2 4 =? n ? n 9 3

5 4n ? 1 n( ? ) 3 3 2

8

21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ? x2 ? 8x, g ( x) ? 6ln x ? m. (I)求 f ( x ) 在区间 ?t, t ?1? 上的最大值 h(t ); (II) 是否存在实数 m, 使得 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象有且只有三个不同的交 点?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由。 解: (I) f ( x) ? ? x2 ? 8x ? ?( x ? 4)2 ? 16. 当 t ? 1 ? 4, 即 t ? 3 时, f ( x ) 在 ?t, t ?1? 上单调递增,

h(t ) ? f (t ? 1) ? ?(t ? 1)2 ? 8(t ? 1) ? ?t 2 ? 6t ? 7;
当 t ? 4 ? t ? 1, 即 3 ? t ? 4 时, h(t ) ? f (4) ? 16; 当 t ? 4 时, f ( x ) 在 ?t, t ?1? 上单调递减,

h(t ) ? f (t ) ? ?t 2 ? 8t.
??t 2 ? 6t ? 7, t ? 3, ? 3? 综上, h(t ) ? ?16,      t ? 4, ??t 2 ? 8t ,   t ? 4 ?
(II)函数 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象有且只有三个不同的交点,即函数

? ( x) ? g ( x) ? f ( x) 的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
?? ( x) ? x 2 ? 8 x ? 6ln x ? m, ?? '( x) ? 2 x ? 8 ? 6 2 x 2 ? 8 x ? 6 2( x ? 1)( x ? 3) ? ? ( x ? 0), x x x

当 x ? (0,1) 时, ? '( x) ? 0, ? ( x) 是增函数; 当 x ? (0,3) 时, ? '( x) ? 0, ? ( x) 是减函数; 当 x ? (3, ??) 时, ? '( x) ? 0, ? ( x) 是增函数; 当 x ? 1, 或 x ? 3 时, ? '( x) ? 0.

?? ( x)最大值 ? ? (1) ? m ? 7,? ( x)最小值 ? ? (3) ? m ? 6ln3 ?15.

? 当 x 充分接近 0 时, ? ( x) ? 0, 当 x 充分大时, ? ( x) ? 0.

9

? 要使 ? ( x) 的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须
?? ( x)最大值 ? m ? 7 ? 0, ? ? ?? ( x)最小值 ? m ? 6 ln 3 ? 15 ? 0, ?
即 7 ? m ? 15 ? 6 ln 3.

所以存在实数 m , 使得函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图象有且只有三个不同的交点,m 的取值范围为 (7,15 ? 6ln 3).

22.在周长为定值的 △ABC 中,已知 AB =6 ,且当顶点 C 位于定点 P 时, cos C 有最小 值为

7 。 25

(1)建立适当的坐标系,求顶点 C 的轨迹方程。 (2)过点 A 作直线与(1)中的曲线交于 M、N 两点,求 BM ? BN 的最小值的集合。 解: (1)以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系。 设 CA ? CB ? 2a

(a ? 3)为定值。

所以 C 点的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆,焦距 2c ? 6 因为 cosC ?

CA ? CB ? 6 2
2 2

2 CA ? CB

?

2a 2 ? 18 CA ? CB

?1

2a 2 ) ? a2 2 18 18 7 所以 cos C ? 1 ? 2 ,由题意得 1 ? 2 = 25 a a
又 CA ? CB ? ( 所以 a ? 25
2

? 此时 PA ? PB , P点坐标为P(0, 4)
所以 P 点的轨迹方程为

x2 y2 ? ?1 25 16

( y ? 0)

(2)不妨设 A 点的坐标为 A(-3,0) ,M( x1 , y1 ) ,N( x2 , y2 ) ,当直线 MN 的倾斜角 不为 90 时,设其方程为 y ? k ( x ? 3)
0

代入椭圆方程化简,得

(

1 k2 2 3 2 9k 2 ? )x ? k x ? ( ? 1) ? 0 25 16 8 16

10

显然有 ? ? 0, 所以 x1+x 2 ? ?

150k 2 16 ? 25k 2

x1 x2 ? ?
又 BM ? 5 ? x1 , BN ? 5 ?

225k 2 ? 400 16 ? 25k 2
3 x2 5
9 x1 x 2 25

3 5

所以 BM ? BN ? 25 ? 3( x1 ? x 2 ) ?

450k 2 81k 2 ? 144 531 2 ? 144 k ? ? 25 ? 2 2 16 ? 25k 16 ? 25k 16 ? 25k 2 144 k2 ? 531 531 ? 25 ? ? 16 25 k2 ? 25 ? 25 ?

16 144 144 ? 531 的最小值,即考虑 1- 25 531 取最小值, 只要考虑 16 16 k2 ? k2 ? 25 25
k2 ?
显然 k ? 0时 , BM ? BN 取最小值 16 当直线 MN 的倾斜角为 90 时, x1=x2 ? ?3 ,得
0

BM ? BN ? (

34 2 ) ? 16 5

x2 y2 ? ?1 但 25 16

( y ? 0)

故 k ? 0 ,这样的 M、N 不存在。 即 BM ? BN 的最小值的集合为空集 。

11


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