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高中数学课件 直线与圆的方程的应用

时间:2014-01-07


4.2.3 直线与圆的方程的应用

类型 一

直线与圆的方程的实际应用

尝试解答下列直线与圆的方程的应用问题,试总结解直线
与圆的方程的实际应用问题的一般步骤.

1.(2013·成都高一检测)如图所示,
一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱 顶离水面2m,水面宽12m,当水面下 降1m后,水面宽为 m.

2.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:
台风中心位于轮船正西70km处,受影响的范围是半径为30km的

圆形区域.(假设台风中心不动)已知港口位于台风中心正北
40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的

影响?

【解题指南】1.解答本题可先建立适当的坐标系求出圆拱桥

所在圆的标准方程,然后结合图形求出水面下降1m后的水面宽
度.

2.建立适当的坐标系,求出受台风影响的圆形区域所对应的圆
的方程及轮船航线所在直线l的方程,然后借助直线与圆的位 置关系判断轮船是否会受到台风的影响.

【解析】1.如图所示,以圆拱拱顶为坐 标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建 立直角坐标系,设圆心为C,水面所在弦 的端点为A,B,则由已知得A(6,-2),

B(-6,-2).

设圆的半径为r,则C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.① 将点A的坐标(6,-2)代入方程①,解得r=10.

所以圆的方程为x2+(y+10)2=100.②
当水面下降1m后,可设点A′的坐标为(x0,-3)(x0>0),将A′的

坐标(x0,-3)代入方程②,求得x0= 51 .所以,水面下降1m后,
水面宽为2x0=2 51 (m).

答案:2 51

2.如图所示,以台风中心为原点O, 东西方向为x轴,建立如图所示的 坐标系,其中,取10 km为1个长度

单位,这样,受台风影响的圆形区
域所对应的圆的方程为x2+y2=9.轮

船航线所在直线l的方程为4x+7y-28=0,问题转化为圆O与直
线l有无公共点问题,由于d ?
| 0 ? 0 ? 28 | 所以这艘轮船 ? 3.5>3, 65

不改变航线时,不会受到台风的影响.

【互动探究】题1中,条件不变,试求水面上升1m后,水面的宽.

【解析】如图所示,以圆拱顶为原点建立如图所示的坐标系,
设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,则由已知得A(6,-2), B(-6,-2),设圆的半径为r,则C(0,-r). 即圆的方程为x2+(y+r)2=r2①, 将点A的坐标(6,-2)代入方程①得r=10, 所以圆的方程为x2+(y+10)2=100② 当水面上升1m后,可设A′的坐标为(x0,-1)(x0>0), 将A′的坐标代入方程②得x0= 19 , 故水面上升1m后,水面宽为2x0=2 19(m).

【技法点拨】求解直线与圆的方程的实际应用问题的一般解

题步骤
(1)认真审题,明确题意. (2)建立平面直角坐标系,用方程表示直线和圆,从而在实际问 题中建立直线与圆的方程. (3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题. (4)把代数结果还原为实际问题的解.

提醒:直线与圆的方程应用的关注点

①建立不同的坐标系,对解决问题有直接影响.
②建系时一般将圆心放在坐标原点或坐标轴上 ,方程较简单.

【变式训练】一辆卡车宽2.7米,要经过一个半径为4.5米的

半圆形隧道(双车道,不得违章),则这辆卡车的平顶车厢厢
顶距离地面的高度不得超过( )

A.1.4米

B.3.0米

C.3.6米

D.4.5米

【解析】选C.如图所示,当OC=2.7米时,
CD ? OD2 ? OC2 ? 4.52 ? 2.72 =3.6(米).

即此时即为平顶车厢厢顶距离地面的 最高高度,即不得超过3.6米.

类型 二

坐标法在平面几何中的应用

试着解答下列题目,体会用坐标法解决平面几何问题的基 本思想及首要任务. 1.如图所示,在圆O上任取C点为圆心, 作一圆与圆O的直径AB相切于点D,圆C 与圆O交于点E,F,求证:EF平分CD.

2.已知Rt△ABC的斜边BC为定长2m,以斜边的中点O为圆心作直
径为定长2n(n>m)的圆,直线BC交此圆于P,Q两点,求证:

|AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值.

【解题指南】1.由题意建立平面直角坐标系,将平面几何问题
转化为解析几何知识求解.

2.以O为坐标原点,BC所在直线为x轴建立坐标系,由题意求出
有关点的坐标并借助两点间距离公式,证明其为定值.

【证明】1.取圆O的直径AB所在直线
为x轴,圆心O为坐标原点,建立平面

直角坐标系,如图所示,设圆O的方程
为x2+y2=1①,

EF与CD相交于H,令C(x1,y1),则可得圆C的方程
2 2 (x-x1)2+(y-y1)2= y1 ,即 x 2 ? y2 ? 2x1x ? 2y1y ? x1 =0②, 2 ①-②得 2x1x ? 2y1y ?1 ? x1 ? 0 ③,

③式就是直线EF的方程,设CD的中点为H′,其坐标为 (x1, y1 ),将H′代入③式,得
2 y 2 2 2 2 2 2 2 2x1 ? 2y1 ? 1 ? 1 ? x1 ? 2x1 ? y1 ? 1 ? x1 ? x1 ? y1 ? 1 ? 0, 2

即H′在直线EF上,所以EF平分CD.

2.如图,以O为原点,以直线BC为x轴,线段BC的垂直平分线
为y轴建立直角坐标系,则B(-m,0),

C(m,0),P(-n,0),Q(n,0).
设A(x,y),因为|OA|= |BC|=|m|=m, 所以点A在圆x2+y2=m2(除B,C两点)上, 所以|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=(x+n)2+y2+(x-n)2+y2+(2n)2 =2x2+2y2+6n2=2m2+6n2(定值).
1 2

【技法点拨】用坐标法解决平面几何问题的基本思想及首要
任务 (1)用坐标法解决平面几何问题的基本思想就是用代数的方法 解决几何问题,而建立它们联系的主要工具就是平面直角坐标 系. (2)首要任务是:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程 表示相应的几何元素将平面几何问题转化为代数问题 .

【拓展延伸】建立直角坐标系应遵循的一般原则 (1)原点取在定点,坐标轴取定直线或定线段所在的直线或图 形的对称轴.

(2)尽量利用图形的对称性.
(3)设出所需点的坐标时,能使所用的字母尽量少.用坐标法证

题时,不能把一般情况视为特殊情况.

【变式训练】街头有一片绿地,绿地如图所示(单位:m),其中
ABC为圆弧,求此绿地面积.

【解题指南】以O为原点建立直角坐标系,求出A,B,C三点所在 圆的方程,将图形分割为梯形和一弓形,然后分别求其面积.

【解析】如图所示建立坐标系,各点坐 标分别为A(0,7),B(3,8),C(7,6),所以 可得过A,B,C三点的圆弧方程为(x-3)2+ (y-3)2=25(0≤x≤7,y>6). |AC|= (7 ? 0)2 ? (6 ? 7) 2 ? 5 2, 设圆弧的 圆心为E,则∠AEC=90°. 故所求的面积为S梯形AODC+S弓形ABC=S梯形AODC+(S扇形ACE-S△ACE)

= (7 ? 6) ? 7 ? 1 ?? 52 ? 1 ? 52 ? 33 ? 25? (m 2 ).
2 4 2 4

1.直线 3 x+y-2 3 =0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为 ( A.30° B.45° C.60° D.90° )

【解析】选C.由于直线的倾斜角为 120°,画出草图,如图,易得等边三 角形.

2.已知点P为圆x2+y2-4x-4y+7=0上一点,且点P到直线x-y+m =0距离的最小值为 2 ? 1 ,则m的值为(
A. ? 2 B.2 C. ? 2
1?1

)
D. ? 2
2

【解析】选C.圆心到直线的距离 d ? | 2 ? 2 ? m | ? | m | 2 , 则
|m| 2 ? 1 ? 2 ? 1 .所以m=〒2. 2

3.过点P(2,3)向圆x2+y2=1作两条切线PA,PB,则弦AB所在直线

的方程为(
A.2x-3y-1=0 C.3x+2y-1=0

)
B.2x+3y-1=0 D.3x-2y-1=0

【解析】选B.设圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),以PO为直径的圆 (x-1)2+(y- 3 )2= 13 与圆x2+y2=1的公共弦所在直线即为所
2 4

求,直线方程为2x+3y-1=0,故选B.

4.集合A={(x,y)|x2+y2=4},B={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=r2},其 中r>0,若A∩B中有且仅有一个元素,则r的值是 【解析】因为A∩B中有且仅有一个元素, 所以圆x2+y2=4与圆(x-3)2+(y-4)2=r2相切. 当内切时, 32 ? 42 =|2-r|,解得r=7. 当外切时, 32 ? 42 =2+r,解得r=3. 答案:3或7 .

5.设村庄外围所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示,村 外一小路方程可用x-y+2=0表示,则从村庄外围到小路的最短 距离为_________.

【解析】因为圆心到直线的距离为 7 2 ,从村庄外围到小路
的最短距离为
7 2 -2. 2 2

答案:7 2 -2
2

6.用坐标法证明:若四边形的一组对边的平方和等于另一组 对边的平方和,则该四边形的对角线互相垂直.

【证明】如图,以AC所在的直线为x轴,过点B垂直于AC的直线

为y轴建立直角坐标系,设顶点坐标分别为A(a,0),
B(0,b),C(c,0),D(x,y),

因为|AB|2+|CD|2=|BC|2+|AD|2,
所以a2+b2+(x-c)2+y2=b2+c2+(x-a)2+y2, 化简得(a-c)x=0, 因为a-c≠0,所以x=0,所以D点在y轴上,所以AC⊥BD. 所以若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和 , 则该四边形的对角线互相垂直.


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