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2017年辽宁省大连市高三双基测试数学试卷(文科)

时间:2018-01-16

2017 年辽宁省大连市高三双基测试数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)已知集合 A={2,3,4},B={x|2x<16},则 A∩B=( A.? B.{2} C.{2,3,4} D.{2,3} ) )

2. (5 分)设复数 z 满足 z+i=i(2﹣i) ,则 =( A.1+3i B.﹣1+3i C.1﹣i D.﹣1+i 3. (5 分)已知函数 f(x)=

,则 f(f(2) )的值为(



A.﹣ B.﹣3 C.

D.3 , 则长方体的外接球体积为 ( )

4. (5 分) 长方体长, 宽, 高分别为 3, 2, A.12π B. π C.8π D.4π

5. (5 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a4+a10=20,则 S13=( A.6 B.130 C.200 D.260 )



6. (5 分)已知直线 y=mx 与 x2+y2﹣4x+2=0 相切,则 m 值为( A.± B.± C.± D.±1

7. (5 分)在空间直角坐标系 O﹣xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(1,0, 2) , (1,2,0) , (1,2,1) , (0,2,2) ,若正视图以 yOz 平面为投射面,则该 四面体左(侧)视图面积为( A. B.1 C.2 D.4 )

8. (5 分)函数 f(x)=sinx+cosx 的图象向右平移 t(t>0)个单位长度后所得函 数为偶函数,则 t 的最小值为( A. B. C. D. )

9. (5 分)已知过抛物线 y2=4x 焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点(点 A 在第 一象限) ,若 A.2 B. =3 C. ,则直线 l 的斜率为( D.
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10. (5 分)等差数列{an}的公差 d≠0,且 a3,a5,a15 成等比数列,若 a1=3,Sn 为数列 an 的前 n 项和,则 Sn 的最大值为( A.8 B.6 C.5 D.4 )

11. (5 分)若正整数 N 除以正整 m 后的余数为 n,则记为 N=n(modm) ,例如 10=4(mod6) .如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定律” 的某一环节,执行该框图,输入 a=2,b=3,c=5,则输出的 N=( )

A.6

B.9

C.12 D.21

12. (5 分)“一支医疗救援队里的医生和护士,包括我在内,总共是 13 名,下 面讲到人员情况,无论是否把我计算在内,都不会有任何变化,在这些医务人员 中:①护士不少于医生;②男医生多于女护士;③女护士多于男护士;④至少有 一位女医生.”由此推测这位说话人的性别和职务是( A.男护士 B.女护士 C.男医生 D.女医生 )

二、填空题(本小题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知如图所示的矩形,长为 12,宽为 5,在矩形内随机地投掷 1000 颗黄豆, 数得落在阴影部分的黄豆数为 600 颗, 则可以估计出阴影部分的面积约 为 .
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14. (5 分)若实数 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=3x+y 的最大值



. =3 , =x +y ,则 = .

15. (5 分)在锐角△ABC 中,

16. (5 分)已知函数 f(x)=|xex|﹣m(m∈R)有三个零点,则 m 的取值范围 为 .

三、解答题(本题共 60 分) 17. (12 分)已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 cos2B ﹣cos2C﹣sin2A=sinAsinB. (1)求角 C; (2)若 c=2 ,△ABC 的中线 CD=2,求△ABC 面积 S 的值.

18. (12 分)为了增强中小学生运动健身意识,某校举办中小学生体育运动知识 竞赛,学校根据男女比例从男生中随机抽取 120 人,女生中随机抽取 100 人,进 行成绩统计分析,其中成绩在 80 分以上为优秀,根据样本统计数据分别制作了 男生成绩频数分布表以及女生成绩频率分布直方图如图: 男生成绩: 分数段 频数 [50,60] 9 (60,70] 10 (70,80] 21 (80,90] 57 (90,100] 23

女生成绩: (如图) (1)根据以上数据完成下列 2×2 列联表 优秀 男生 女生 a c
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非优秀 b d

合计

合计 根据此数据你认为能否有 99.9%以上的把握认为体育运动知识竞赛是否优秀与 性别有关? 参考公式:K2= P(K2≥k0) k0 0.05 3.841 0.025 5.024 , (n=a+b+c+d) . 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

(2)在这 220 人中,学校男、女比例采用分层抽样的方式从成绩优良的学生中 抽取 6 人进行培训, 最后再从中随机抽取 2 人参加全市体育运动知识竞赛,求这 2 人是一男一女的概率.

19. (12 分) 如图, 已知四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, PD⊥平面 ABCD, E 为 PB 上任意一点. (1)证明:平面 EAC⊥平面 PBD; (2)试确定点 E 的位置,使得四棱锥 P﹣ABCD 的体积等于三棱锥 B﹣ACE 体积 的 4 倍.

20. (12 分)已知函数 f(x)=lnx+

(a∈R) .

(1)若函数 f(x)在区间(1,4)上单调递增,求 a 的取值范围; (2)若函数 y=f(x)的图象与直线 y=2x 相切,求 a 的值.
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21. (12 分)已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的左焦点 F1 与抛物线 y2=﹣4x ,过点 M(m,0)做斜率存在且不为 0 的直 ? 为定值.

的焦点重合,椭圆 E 的离心率为

线 l,交椭圆 E 于 A,C 两点,点 P( ,0) ,且 (1)求椭圆 E 的方程; (2)求 m 的值.

[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 22. (10 分)在极坐标系下,点 P 是曲线 ρ=2(0<θ<π)上的动点,A(2,0) , 线段 AP 的中点为 Q,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系. (1)求点 Q 的轨迹 C 的直角坐标方程; (2)若轨迹 C 上的点 M 处的切线斜率的取值范围是[﹣ 坐标的取值范围. ,﹣ ],求点 M 横

[选修 4-5:不等式选讲] 23.设函数 f(x)=|x+4|. (1)若 y=f(2x+a)+f(2x﹣a)最小值为 4,求 a 的值; (2)求不等式 f(x)>1﹣ x 的解集.

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2017 年辽宁省大连市高三双基测试数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)已知集合 A={2,3,4},B={x|2x<16},则 A∩B=( A.? B.{2} C.{2,3,4} D.{2,3} )

【分析】由指数函数的性质求出 B,由交集的运算求出 A∩B. 【解答】解:由题意得,B={x|2x<16}={x|x<4}, 又 A={2,3,4},则 A∩B={2,3}, 故选:D.

2. (5 分)设复数 z 满足 z+i=i(2﹣i) ,则 =( A.1+3i B.﹣1+3i C.1﹣i D.﹣1+i



【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 【解答】解:∵z+i=i(2﹣i) ,∴z=i+1. 则 =1﹣i. 故选:C.

3. (5 分)已知函数 f(x)=

,则 f(f(2) )的值为(



A.﹣ B.﹣3 C.

D.3

【分析】由已知中函数 f(x)=

,将 x=2 代入可得答案.

【解答】解:∵函数 f(x)=



∴f(2)=﹣1,

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∴f(f(2) )=f(﹣1)= , 故选:C

4. (5 分) 长方体长, 宽, 高分别为 3, 2, A.12π B. π C.8π D.4π

, 则长方体的外接球体积为 (



【分析】长方体的对角线就是外接球的直径,求出长方体的对角线长,即可求出 球的半径,外接球的体积可求. 【解答】解:由题意长方体的对角线就是球的直径. 长方体的对角线长为: 外接球的体积 V= 故选 B. = =4

5. (5 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a4+a10=20,则 S13=( A.6 B.130 C.200 D.260 (a1+a13) =



【分析】 由等差数列前 n 项和公式及通项公式得 S13= 由此能求出结果.

(a4+a10) ,

【解答】解:∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a4+a10=20, ∴S13= (a1+a13)= (a4+a10)= 20=130.

故选:B.

6. (5 分)已知直线 y=mx 与 x2+y2﹣4x+2=0 相切,则 m 值为( A.± B.± C.± D.±1



【分析】化圆的方程为标准方程,求得圆心与半径,利用圆心到直线的距离等于 半径,即可求得 m 的值. 【解答】解:圆 x2+y2﹣4x+2=00 的标准方程为(x﹣2)2+y2=2, ∴圆心(2,0) ,半径为 ∵直线 y=mx 与 x2+y2﹣4x+2=0 相切,
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=

∴m=1 或﹣1 故选:D.

7. (5 分)在空间直角坐标系 O﹣xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(1,0, 2) , (1,2,0) , (1,2,1) , (0,2,2) ,若正视图以 yOz 平面为投射面,则该 四面体左(侧)视图面积为( A. B.1 C.2 D.4 )

【分析】若正视图以 yOz 平面为投射面,则该四面体左(侧)视图为三角形,底 高分别为 1,2,即可得出结论. 【解答】 解: 若正视图以 yOz 平面为投射面, 则该四面体左 (侧) 视图为三角形, 底高分别为 1,2,面积为 1, 故选 C.

8. (5 分)函数 f(x)=sinx+cosx 的图象向右平移 t(t>0)个单位长度后所得函 数为偶函数,则 t 的最小值为( A. B. C. D. )

【分析】先根据左加右减的原则进行平移得到平移后的解析式,再由其关于 y 轴 对称得到 t=﹣kπ﹣ ,k∈Z,再结合 t>0,从而得到最小值. sin(x+ )然后向右平移 t(t>0)个单位后得到

【解答】解:y=sinx+cosx= y= sin(x﹣t+ =kπ+

)的图象为偶函数,关于 y 轴对称, ,k∈Z,可得:t=﹣kπ﹣ ,k∈Z,

∴﹣t+ ∵t>0,

∴当 k=﹣1 时,t 的最小值为 故选:C.



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9. (5 分)已知过抛物线 y2=4x 焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点(点 A 在第 一象限) ,若 A.2 B. =3 C. ,则直线 l 的斜率为( D. )

【分析】作出抛物线的准线,设 A、B 在 l 上的射影分别是 C、D,连接 AC、BD, 过 B 作 BE⊥AC 于 E.由抛物线的定义结合题中的数据,可算出 Rt△ABE 中,cos ∠BAE= ,得∠BAE=60°,即直线 AB 的倾斜角为 60°,从而得到直线 AB 的斜率 k 值. 【解答】解:作出抛物线的准线 l:x=﹣1,设 A、B 在 l 上的射影分别是 C、D, 连接 AC、BD,过 B 作 BE⊥AC 于 E. ∵ =3 ,∴设 AF=3m,BF=m,由点 A、B 分别在抛物线上,结合抛物线的定

义,得 AC=3m,BD=m. 因此,Rt△ABE 中,cos∠BAE= ,得∠BAE=60° 所以,直线 AB 的倾斜角∠AFx=60°, 得直线 AB 的斜率 k=tan60°= 故选:D. ,

10. (5 分)等差数列{an}的公差 d≠0,且 a3,a5,a15 成等比数列,若 a1=3,Sn 为数列 an 的前 n 项和,则 Sn 的最大值为( A.8 B.6 C.5 D.4 )

【分析】设出等差数列的公差,由 a3,a5,a15 成等比数列建立关系式,用 a1=3 和公差 d 表示出 a3,a5,a15 求解 d,求解数列 an 的前 n 项和 Sn 可得最大值
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【解答】解:设等差数列的公差为 d,a1=3, ∴a3=3+2d,a5=3+4d,a15=3+14d, 由 a3,a5,a15 成等比数列, 可得(3+4d)2=(3+2d) (3+14d) , ∵d≠0 解得:d=﹣2, ∴Sn= =4n﹣n2.

当 n=2 时,Sn 最大为 4. 故选:D.

11. (5 分)若正整数 N 除以正整 m 后的余数为 n,则记为 N=n(modm) ,例如 10=4(mod6) .如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定律” 的某一环节,执行该框图,输入 a=2,b=3,c=5,则输出的 N=( )

A.6

B.9

C.12 D.21

【分析】模拟运行程序,可得程序的作用是先求 2,3 的最小公倍数,再除以 5, 余数为 1,即可得出结论.
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【解答】解:模拟运行程序,可得程序的作用是先求 2,3 的最小公倍数,再除 以 5,余数为 1,故 N=6, 故选 A.

12. (5 分)“一支医疗救援队里的医生和护士,包括我在内,总共是 13 名,下 面讲到人员情况,无论是否把我计算在内,都不会有任何变化,在这些医务人员 中:①护士不少于医生;②男医生多于女护士;③女护士多于男护士;④至少有 一位女医生.”由此推测这位说话人的性别和职务是( A.男护士 B.女护士 C.男医生 D.女医生 【分析】 设女护士人数为 a, 男护士人数为 b, 女医生人数为 c, 男医生人数为 d, 根据已知构造不等式组,推理可得结论. 【解答】解:设女护士人数为 a,男护士人数为 b,女医生人数为 c,男医生人 数为 d,则有: (一)a+b≥c+d (二)d>a (三)a>b (四)c≥1 得出:d>a>b>c≥1 假设:c=1 仅有:a=4,b=3,d=5,c=1 时符合条件, 又因为使 abcd 中一个数减一任符合条件,只有 b﹣1 符合,即男护士, 假设:c>1 则没有能满足条件的情况 综上,这位说话的人是男护士, 故选:A. )

二、填空题(本小题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知如图所示的矩形,长为 12,宽为 5,在矩形内随机地投掷 1000 颗黄豆, 数得落在阴影部分的黄豆数为 600 颗, 则可以估计出阴影部分的面积约
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为 36



【分析】设阴影部分的面积为 S,由题意可得 【解答】解:设图中阴影部分的面积为 S, 由题意可得 解得 S=36 故答案为:36 = ,

=

,解之即可.

14. (5 分)若实数 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=3x+y 的最大值

为 6



【分析】先画出约束条件的可行域,再求出可行域中各角点的坐标,将各点坐标 代入目标函数的解析式,分析后易得目标函数 z=3x+y 的最大值. 【解答】解:由约束条件 ,得如图所示的三角形区域,

三个顶点坐标为 A(2,0) , 将三个代入 z=3x+y 得 z 的值分别为 6,

解得 B( , ) ,C(0,﹣1) ,﹣1,

直线 z=3x+y 过点 A (2,0)时,z 取得最大值为 6; 故答案为:6.

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15. (5 分)在锐角△ABC 中,

=3



=x

+y 、

,则 = 3 表示出



【分析】根据题意画出图形,结合图形,利用 即可.

,求出 x、y 的值

【解答】解:如图所示, 锐角△ABC 中, ∴ ∴ 又 = = =x + +y = ( = =3 ﹣ ﹣ , = , ) , ﹣ ( ﹣ )= + ;

∴x= ,y= , ∴ =3. 故答案为:3.

16. (5 分)已知函数 f(x)=|xex|﹣m(m∈R)有三个零点,则 m 的取值范围 为 (0, ) .

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【分析】函数 f(x)=|xex|﹣m(m∈R)有三个零点,转化为方程|xex|=m 有三 个不相等的实数解,即 y=m 与函数 y=|xex|的图象有三个交点,利用导数法分析 f(x)=xex 的单调性和极值,进而结合函数图象的对折变换画出函数 y=|xex|的图 象,数形结合可得答案. 【解答】解:函数 f(x)=|xex|﹣m(m∈R)有三个零点,令 g(x)=xex,则 g′ (x)=(1+x)ex, 当 x<﹣1 时,g′(x)<0,当 x>﹣1 时,g′(x)>0, 故 g(x)=xex 在(﹣∞,﹣1)上为减函数,在(﹣1,+∞)上是减函数, g(﹣1)=﹣ , 又由 x<0 时,g(x)<0,当 x>0 时,g(x)>0, 故函数 y=|xex|的图象如下图所示:

故当 m∈(0, )时,y=m 与函数 y=|xex|的图象有三个交点, 即方程|xex|=m 有三个不相等的实数解, 故 m 的取值范围是(0, ) , 故答案为: (0, ) .

三、解答题(本题共 60 分) 17. (12 分)已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 cos2B ﹣cos2C﹣sin2A=sinAsinB. (1)求角 C;
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(2)若 c=2

,△ABC 的中线 CD=2,求△ABC 面积 S 的值.

【分析】 (1)利用余弦定理表示出 cosC,把已知等式利用正弦定理化简,整理 后代入计算求出 cosC 的值,即可确定出 C 的度数. (2) 设∠ADC=α, 则∠CDB=π﹣α. 在△ADC 与△ADB 中, 由余弦定理可得: b2+a2=20, 在△ABC 中,由余弦定理可得:b2+a2+ba=24.可得 ba=4.即可得出. 【解答】 解: (1) ∵△ABC 的三个内角为 A, B, C, 且 cos2B﹣cos2C﹣sin2A=sinAsinB. sin2C﹣sinAsinB=sin2A+sin2B, ∴由正弦定理化简得:c2﹣ab=a2+b2, ∴cosC= 可得:cosC= ∵0<C<π, ∴C= . ,

(2) (2)设∠ADC=α,则∠CDB=π﹣α. 在△ADC 中,由余弦定理可得:b2= 在△CDB 中,由余弦定理可得:a22= ∴b2+a2=20, 在△ABC 中, 由余弦定理可得: ∴ba=4. ∴S△ABC= basin = . =b2+a2﹣2ba , 化为: b2+a2+ba=24. ﹣ ﹣2× , cos(π﹣α) ,

18. (12 分)为了增强中小学生运动健身意识,某校举办中小学生体育运动知识 竞赛,学校根据男女比例从男生中随机抽取 120 人,女生中随机抽取 100 人,进 行成绩统计分析,其中成绩在 80 分以上为优秀,根据样本统计数据分别制作了 男生成绩频数分布表以及女生成绩频率分布直方图如图: 男生成绩: 分数段 频数 [50,60] 9 (60,70] 10 (70,80] 21 (80,90] 57 (90,100] 23

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女生成绩: (如图) (1)根据以上数据完成下列 2×2 列联表 优秀 男生 女生 合计 a c 120 非优秀 b d 100 合计 120 100 220

根据此数据你认为能否有 99.9%以上的把握认为体育运动知识竞赛是否优秀与 性别有关? 参考公式:K2= P(K2≥k0) k0 0.05 3.841 0.025 5.024 , (n=a+b+c+d) . 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

(2)在这 220 人中,学校男、女比例采用分层抽样的方式从成绩优良的学生中 抽取 6 人进行培训, 最后再从中随机抽取 2 人参加全市体育运动知识竞赛,求这 2 人是一男一女的概率.

【分析】 (1)由列联表数据代入公式求出 K2,从而得到有 99.9%以上的把握认为 体育运动知识竞赛是否优秀与性别有关; (2)由题意男女比例为 2:1,抽取的 6 人中,男生 4 人,女生 2 人,从中随机 抽取 2 人参加全市体育运动知识竞赛,共有方法 方法有 8 种,即可得出结论. 【解答】解: (1)由题意,男生成绩优秀的人数为 57+23=80 人,非优秀的人数 为 40 人,女生成绩优秀的人数为 100×(0.25+0.3)=40,非优秀的人数为 60, K2= ≈15.644>10.828,
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=15 种,这 2 人是一男一女的

∴有 99.9%以上的把握认为体育运动知识竞赛是否优秀与性别有关; (2)由题意男女比例为 2:1,抽取的 6 人中,男生 4 人,女生 2 人,从中随机 抽取 2 人参加全市体育运动知识竞赛,共有方法 方法有 8 种,∴这 2 人是一男一女的概率是 . =15 种,这 2 人是一男一女的

19. (12 分) 如图, 已知四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, PD⊥平面 ABCD, E 为 PB 上任意一点. (1)证明:平面 EAC⊥平面 PBD; (2)试确定点 E 的位置,使得四棱锥 P﹣ABCD 的体积等于三棱锥 B﹣ACE 体积 的 4 倍.

【分析】 (1)连结 AC,BD,推导出 AC⊥BD,AC⊥PD,从而 AC⊥平面 PBD,由 此能证明平面 EAC⊥平面 PBD. (2)由 = ,能求出 E 为 PB 的中点.

【解答】证明: (1)连结 AC,BD, ∵底面 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD, ∵PD⊥平面 ABCD,AC? 平面 ABCD, ∴AC⊥PD, ∵BD∩PD=D,∴AC⊥平面 PBD, ∵AC? 平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 PBD. 解: (2)∵四棱锥 P﹣ABCD 的体积等于三棱锥 B﹣ACE 体积的 4 倍, ∴ = ,
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设 P 到平面 ABCD 的距离为 h, 则 = ,

=

=

解得 h= PD, 故此时 E 为 PB 的中点.

20. (12 分)已知函数 f(x)=lnx+

(a∈R) .

(1)若函数 f(x)在区间(1,4)上单调递增,求 a 的取值范围; (2)若函数 y=f(x)的图象与直线 y=2x 相切,求 a 的值. 【分析】 (1)求出原函数的导函数,由题意可得 f′(x)≥对任意 x∈(1,4)恒 成立, 分离参数 a, 可得﹣a≤ 4)上的最小值得答案; (2)设出切点坐标,求出函数在切点处的导数,可得切线斜率,再由两函数在 切点处的函数值相等求得 a 的值. 【解答】解: (1)函数 f(x)=lnx+ 则 f′(x)= , , , 利用导数求出函数 g (x) = 在 (1,

∵函数 f(x)在区间(1,4)上单调递增, ∴ 即﹣a≤ 令 g(x)= ≥0 在 x∈(1,4)上恒成立. 在 x∈(1,4)上恒成立. ,则 g′(x)= .

当 x∈(1,3)时,g′(x)>0,当 x∈(3,4)时,g′(x)<0. ∴g(x)在(1,3)上为增函数,在(3,4)上为减函数, ∴g(x)min=g(1)=4. 则 a≥﹣4; (2)设切点坐标为(x0,y0) ,则 f′(x0)= + ,

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+

=2

f(x0)=lnx0+

=2x0,②

联立①,②解得:x0=1,a=4.

21. (12 分)已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的左焦点 F1 与抛物线 y2=﹣4x ,过点 M(m,0)做斜率存在且不为 0 的直 ? 为定值.

的焦点重合,椭圆 E 的离心率为

线 l,交椭圆 E 于 A,C 两点,点 P( ,0) ,且 (1)求椭圆 E 的方程; (2)求 m 的值.

【分析】 (1)求出抛物线的焦点坐标得出椭圆 E 的左焦点 F1,从而求出 c;由离 心率求出 a,再求出 b2,即可写出 E 的标准方程; (2)设过点 M(m,0)的直线 l 为 y=k(x﹣m) ,代入 A、C 坐标, 利用跟与系数的关系得出 x1+x2 与 x1x2, 计算 值. 【解答】解: (1)抛物线 y2=﹣4x 的焦点坐标为(﹣1,0) , 且椭圆 E 的左焦点 F1 与抛物线 y2=﹣4x 的焦点重合, ∴F1(﹣1,0) ,∴c=1, 又 e= = ,得 a= c= , ? , 根据 ? 为定值求出 m 的 +y2=1,消去 y,设出

∴b2=a2﹣c2=

﹣12=1. +y2=1;

∴椭圆 E 的标准方程为

(2)设过点 M(m,0)的直线 l 为 y=k(x﹣m) , 代入 +y2=1,消去 y 得, (2k2+1)x2﹣4k2mx+2k2m2﹣2=0;

设 A(x1,y1) ,C(x2,y2) ,
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则 x1+x2= ∴ ?

,x1x2=



=(x1﹣ ) (x2﹣ )+y1y2 +k2(x1﹣m) (x2﹣m) +k2m2) +k2m2)

=x1x2﹣ (x1+x2)+

=(k2+1)x1x2﹣(k2m﹣ ) (x1+x2)+(

= = ∴ ∴ ? 为定值, +

﹣ ;

+(

为定值,

令 3m2+5m﹣2=﹣4, 则 3m2+5m+2=0, 解得 m=﹣1 或 m=﹣ .

[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 22. (10 分)在极坐标系下,点 P 是曲线 ρ=2(0<θ<π)上的动点,A(2,0) , 线段 AP 的中点为 Q,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系. (1)求点 Q 的轨迹 C 的直角坐标方程; (2)若轨迹 C 上的点 M 处的切线斜率的取值范围是[﹣ 坐标的取值范围. 【分析】 (1)曲线 ρ=2(0<θ<π) ,即 ρ2=4, (0<θ<π) ,化为直角坐标方程: x2+y2=4 (0<y≤2) . 设线段 AP 的中点 Q (x, y) , A (x′, y′) , 则 解得 x′=2x﹣2,y′=2y.代入方程(x′)2+(y′)2=4,即可得出. (2)轨迹 C 的方程为:y= = ,设 M(x0,y0) .y′= , , y= , ,﹣ ],求点 M 横

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根据迹 C 上的点 M 处的切线斜率的取值范围是[﹣ ≤ ,解出即可得出.

,﹣

],可得



【解答】解: (1)曲线 ρ=2(0<θ<π) ,即 ρ2=4, (0<θ<π) ,化为直角坐标方 程:x2+y2=4(0<y≤2) . 设线段 AP 的中点 Q(x,y) ,A(x′,y′) ,则 y′=2y. ∵(x′)2+(y′)2=4,∴(2x﹣2)2+(2y)2=4,化为: (x﹣1)2+y2=1. 由 y′∈(0,2],可得 0<2y≤2,解得 0<y≤1. ∴点 Q 的轨迹 C 的直角坐标方程: (x﹣1)2+y2=1(0<y≤1) . (2)轨迹 C 的方程为:y= y′= = , ,﹣ ], = ,设 M(x0,y0) . ,y= ,解得 x′=2x﹣2,

∵迹 C 上的点 M 处的切线斜率的取值范围是[﹣ ∴ ≤ ≤ . . ,

解得: ≤x0≤

∴点 M 横坐标的取值范围是

[选修 4-5:不等式选讲] 23.设函数 f(x)=|x+4|. (1)若 y=f(2x+a)+f(2x﹣a)最小值为 4,求 a 的值; (2)求不等式 f(x)>1﹣ x 的解集. 【分析】 (1)求出 y 的解析式,利用绝对值不等式即可求解 a 的值. (2)函数含有绝对值,即可考虑到分类讨论去掉绝对值号,分别讨论当 x=﹣4 时,当 x>﹣4 时,当 x<﹣4 的情况,可得不同解析式求解不等式即可.
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【解答】解: (1)由题意,函数 f(x)=|x+4|. 那么 y=f (2x+a) +f (2x﹣a) =|2x+a+4|+|2x﹣a+4|≥|2x+a﹣4﹣ (2x﹣a+4) |=|2a| ∵最小值为 4,即|2a|=3, ∴a=

(2)函数 f(x)=|x+4|=

∴不等式 f(x)>1﹣ x 等价于 ﹣10

,解得:x>﹣2 或 x<

故得不等式 f(x)>1﹣ x 的解集为{x|x>﹣2 或 x<﹣10}.

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