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[配套K12]2018版高中数学 第三章 指数函数和对数函数 5.3 第1课时 对数函数的图像和性质学案 北师大版必修1

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第 1 课时 对数函数的图像和性质
学习目标 1.掌握对数函数性质,并会运用性质比较大小,求单调区间,解对数不等式 等(重、难点);2.会画对数函数图像,知道多个对数函数图像如何判断相对位置,会对对数 函数图像进行简单的变换(重、难点);3.了解互为反函数的两函数图像关于直线 y=x 对称.

预习教材 P93-96 完成下列问题:

知识点一 对数函数的图像与性质

定义

y=logax(a>0,且 a≠1)

底数

a>1

0<a<1

图像

定义域

(0,+∞)

值域

R

单调性

在(0,+∞)上是增函数

在(0,+∞)上是减函数

共点性 函数值特点

图像过点(1,0) ,即 loga1=0

x∈(0,1)时,y∈(-∞,0) ;x∈[1, x∈(0,1)时,y∈(0,+∞) ;x∈[1,

+∞)时,y∈[0,+∞)

+∞)时,y∈(-∞,0]

对称性

函数 y=logax 与 y=log1ax 的图像关于 x 轴 对称;函数 y=logax 与 y=ax 的图像关于直线 y=x 对称.

【预习评价】

1.请你根据所学过的知识,思考对数函数解析式中的底数能否等于 0 或小于 0? 提示 因为 y=logax?x=ay,而在指数函数中底数 a 需满足 a>0 且 a≠1,故在对数函 数解析式中 a 的取值范围不能等于 0 或小于 0.

2.结合对数函数的图像说明对数函数的单调性与什么量有关?

提示 对数函数的单调性与解析式中的底数 a 有关,若 a>1,则对数函数是增函数,若

0<a<1,则对数函数是减函数.

知识点二 不同底的对数函数图像相对位置

一般地,对于底数 a>1 的对数函数,在(1,+∞)区间内,底数越大越靠近 x 轴;对于

底数 0<a<1 的对数函数,在(1,+∞)区间内,底数越小越靠近 x 轴.

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【预习评价】

1.将不同底数的对数函数的图像画在同一平面直角坐标系中,若沿直线 y=a(a<0)自

左向右观察能得到什么结论?

提示 将不同底数的对数函数的图像画在同一个平面直角坐标系中,沿直线 y=a(a<0)

自左向右看对数函数的底数逐渐减小.

2.结合教材 P94 例 5,你认为应怎样比较两个对数式的大小?

提示 第一步:考查相关函数的单调性.

第二步:比较真数的大小.

第三步:得出结论.

知识点三 y=logaf(x)型函数的单调区间

一般地,形如函数 f(x)=logag(x)的单调区间的求法:①先求 g(x)>0 的解集(也就是函

数的定义域);②当底数 a 大于 1 时,g(x)>0 限制之下 g(x)的单调增区间是 f(x)的单调增

区间,g(x)>0 限制之下 g(x)的单调减区间是 f(x)的单调减区间;③当底数 a 大于 0 且小于

1 时,g(x)>0 限制之下 g(x)的单调区间与 f(x)的单调区间正好相反.

【预习评价】

1.若函数 y=loga|x-2|(a>0 且 a≠1)在区间(1,2)上是增函数,则 f(x)在区间(2,+

∞)上的单调性为( )

A.先增后减

B.先减后增

C.单调递增

D.单调递减

解析 当 1<x<2 时,函数 f(x)=loga|x-2|=loga(2-x)在区间(1,2)上是增函数,所

以 0<a<1;函数 f(x)=loga|x-2|在区间(2,+∞)上的解析式为 f(x)=loga(x-2)(0<a<1),

故在区间(2,+∞)上是一个单调递减函数.

答案 D

2.函数 y=log2(x2-1)的增区间为________. 解析 ∵由 x2-1>0 解得定义域为{x|x<-1 或 x>1},又 y=log2x 在定义域上单调递增, y=x2-1 在(1,+∞)上单调递增,∴函数的增区间为(1,+∞).

答案 (1,+∞)

题型一 对数值的大小比较 【例 1】 比较下列各组中两个值的大小.
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(1)log31.9,log32; (2)log23,log0.32; (3)logaπ ,loga3.14(a>0,a≠1). 解 (1)因为 y=log3x 在(0,+∞)上是增函数, 所以 log31.9<log32. (2)因为 log23>log21=0,log0.32<log0.31=0, 所以 log23>log0.32. (3)当 a>1 时,函数 y=logax 在(0,+∞)上是增函数,则有 logaπ >loga3.14; 当 0<a<1 时,函数 y=logax 在(0,+∞)上是减函数,则有 logaπ <loga3.14. 综上所得,当 a>1 时,logaπ >loga3.14;当 0<a<1 时,logaπ <loga3.14. 规律方法 比较对数式的大小,主要依据对数函数的单调性.

(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较.

(2)若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.

(3)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,也可以利

用顺时针方向底数增大的规律画出函数的图像,再进行比较.

(4)若底数与真数都不同,则常借助 1,0 等中间量进行比较.

【训练 1】 (1)设 a=log32,b=log52,c=log23,则( )

A.a>c>b

B.b>c>a

C.c>b>a

D.c>a>b

(2)已知 a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则( )

A.a>b>c

B.a>c>b

C.b>a>c

D.c>a>b

解析 (1)a=log32<log33=1;c=log23>log22=1,由对数函数的性质可知 log52<log32, ∴b<a<c,故选 D.

(2)a=log23.6=log43.62,函数 y=log4x 在(0,+∞)上为增函数,3.62>3.6>3.2,所 以 a>c>b,故选 B.

答案 (1)D (2)B

题型二 对数型函数的单调性

【例 2】 讨论函数 y=log0.3(3-2x)的单调性. 解 由 3-2x>0,解得 x<32.

设 t=3-2x,x∈???-∞,32???. ∵函数 y=log0.3t 是减函数,且函数 t=3-2x 是减函数,

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∴函数 y=log0.3(3-2x)在???-∞,32???上是增函数. 规律方法 (1)求形如 y=logaf(x)的函数的单调区间,一定树立定义域优先意识,即由 f(x)>0,先求定义域.

(2)对于复合函数的单调性判断要遵循“同增异减”的原则.

【训练 2】 求函数 y=log2(x2-5x+6)的单调区间. 解 由 y=x2-5x+6 的图像可知,函数 y=log2(x2-5x+6)的定义域为(-∞,2)∪(3, +∞),令 u=x2-5x+6,可知 u=x2-5x+6 在(-∞,2)上是减函数,在(3,+∞)上是增

函数,而 y=log2u 在(0,+∞)上为增函数,故原函数的单调增区间为(3,+∞),单调递

减区间为(-∞,2).

典例 迁移

题型三 对数函数图像问题

【例 3】 (1)如图所示的曲线是对数函数 y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx 的 图像,则 a,b,c,d 与 1 的大小关系为________.

(2)已知 f(x)=loga|x|,满足 f(-5)=1,试画出函数 f(x)的图像. (1)解析 由图可知函数 y=logax,y=logbx 的底数 a>1,b>1,函数 y=logcx,y=logdx 的底数 0<c<1,0<d<1. 过点(0,1)作平行于 x 轴的直线,则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为 c,d, a,b,显然 b>a>1>d>c. 答案 b>a>1>d>c (2)解 因为 f(-5)=1,所以 loga5=1,即 a=5, 故 f(x)=log5|x|=?????lloogg55x,-x>x0,,x<0. 所以函数 y=log5|x|的图像如图所示.
【迁移 1】 (改变问法)例 3(2)条件不变,试写出函数 f(x)=loga|x|的值域及单调区 间. 教育配套资料 K12

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解 由例 3(2)的图像知 f(x)的值域为 R,递增区间为(0,+∞),递减区间为(-∞, 0).
【迁移 2】 (变换条件)若把典例 3(2)中的函数改为 y=log5|x+1|,请画出它的图像. 解 利用图像变换来解题,画出函数 y=log5|x|的图像,将函数 y=log5|x|的图像向左 平移 1 个单位,即可得函数 y=log5|x+1|的图像,如图所示.

【迁移 3】 (变换条件)若把典例 3(2)中的函数改为 y=logb(x-1)(b>0 且 b≠1),试 求该函数恒过的定点.
解 令 x-1=1 得 x=2,又 y=logb1=0,故该函数恒过定点(2,0). 规律方法 1.根据对数函数图像判断底数大小的方法 作直线 y=1 与所给图像相交,交点的横坐标即为各个底数,依据在第一象限内,自左 向右,图像对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小. 2.对数型函数图像恒过定点问题 解决此类问题的根据是对任意的 a>0 且 a≠1,都有 loga1=0.例如,解答函数 y=m+ logaf(x)(a>0 且 a≠1)的图像恒过定点问题时,只需令 f(x)=1 求出 x,即得定点(x,m).

课堂达标

1.函数 y=ln x 的单调递增区间是( )

A.[e,+∞)

B.(0,+∞)

C.(-∞,+∞)

D.[1,+∞)

解析 函数 y=ln x 的定义域为(0,+∞),其在(0,+∞)上是增函数,故该函数的单

调递增区间为(0,+∞).

答案 B

2.设 a=log54,b=(log53)2,c=log45,则( )

A.a<c<b

B.b<c<a

C.a<b<c

D.b<a<c

解析 ∵1=log55>log54>log53>log51=0, ∴1>a=log54>log53>b=(log53)2,

又∵c=log45>log44=1.∴c>a>b.

答案 D

3.函数 f(x)=|log1 x|的单调递增区间是( ) 2

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A.???0,12???
C.(0,+∞)

B.(0,1] D.[1,+∞)

??-log1 x,x≥1, 2 解析 f(x)=
? log1 x,0<x<1. ?? 2

当 x≥1 时,f(x)=log1 x 是减函数,f(x)=-log1 x 是增函数.

2

2

∴f(x)的单调增区间为[1,+∞).

答案 D

4.函数 y=log1 (x2-6x+17)的值域为________. 2

解析 令 t=x2-6x+17=(x-3)2+8≥8,

因为 y=log1 t 为减函数,所以 y=log1 t≤log1 8=-3.

2

2

2

答案 (-∞,-3]

5.比较下列各组数的大小(仿照教材 P94 例 5 的解析过程).

(1)ln 0.3,ln 2.

(2)loga3.1,loga5.2(a>0,a≠1). 解 (1)因为函数 y=ln x 在(0,+∞)上是增函数,且 0.3<2,

所以 ln 0.3<ln 2.

(2)当 a>1 时,函数 y=logax 在(0,+∞)上是增函数,又 3.1<5.2,所以 loga3.1<loga5.2; 当 0<a<1 时,函数 y=logax 在(0,+∞)上是减函数, 又 3.1<5.2,所以 loga3.1>loga5.2.

课堂小结

1.与对数函数有关的复合函数单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响. 2.y=ax 与 x=logay 图像是相同的,只是为了适应习惯用 x 表示自变量,y 表示应变量, 把 x=logay 换成 y=logax,y=logax 才与 y=ax 关于 y=x 对称,因为(a,b)与(b,a)关于 y=x 对称.

3.比较两个(或多个)对数的大小时,一看底数,底数相同的两个对数可直接利用对数

函数的单调性来比较大小,若“底”的范围不明确,则需分两种情况讨论;二看真数,底数

不同但真数相同的两个对数可借助于图像,或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大

小;三找中间值,底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如 1 或 0 等)来比较.

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