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高考数学(文科,大纲版)大二轮教学专题复习课件专题七 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的最值问题、范_图文

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第 3 讲 圆锥曲线中的最值问 题、范围问题及轨迹问题 高考真题自测 热点考向突破 高考真题自测—夯基础 体验高考 提速度 1.(2013 年高考湖南卷,文 20)已知 F1,F2 分别是椭圆 x2 2 E: +y =1 的左、右焦点,F1,F2 关于直线 x+y-2=0 的 5 对称点是圆 C 的一条直径的两个端点. (1)求圆 C 的方程; (2)设过点 F2 的直线 l 被椭圆 E 和圆 C 所截得的弦长 分别为 a、b.当 ab 最大时,求直线 l 的方程. 解:(1)由题设知,F1,F2 的坐标分别为 (-2,0),(2,0),圆 C 的半径为 2,圆心为原点 O 关于直线 x+y-2=0 的对称点. 设圆心的坐标为(x0,y0), ? y0 ? 1, ? ? x0 ? 2, ? x0 由? 解得 ? ? y0 ? 2. ? x0 ? y0 ? 2 ? 0, ? ?2 2 所以圆 C 的方程为(x-2)2+(y-2)2=4. (2)由题意,可设直线 l 的方程为 x=my+2, 则圆心到直线 l 的距离 d= 所以 b=2 2 ? d = 2 2 2m 1? m 2 2 . 4 1? m . ? x ? my ? 2, ? 由 ? x2 2 ? y ? 1, ? ?5 得(m2+5)y2+4my-1=0. 设 l 与 E 的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则 y1+y2=4m 1 ,y y =. 1 2 2 2 m ?5 m ?5 于是 a= ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 = (1 ? m2 )( y1 ? y2 )2 2 = (1 ? m2 ) ? ( y ? y ) ? 4 y1 y2 ? 2 ? 1 ? 2 2 ? ? 16 m 4 2 5( m ? 1) 2 ? 2 = (1 ? m ) ? 2 . ?= 2 2 m ? 5? m ?5 ? (m ? 5) 8 5 ? m2 ? 1 8 5 ? m 2 ? 1 从而 ab= = 2 ( m 2 ? 1) ? 4 m ?5 = 8 5 m2 ? 1 ? 4 m2 ? 1 ≤ 2 8 5 m2 ? 1 ? 4 m2 ? 1 =2 5 . 当且仅当 m ? 1 = 2 4 m ?1 2 ,即 m=± 3 时等号 成立. 故当 m=± 3 时,ab 最大,此时,直线 l 的方程为 x= 3 y+2 或 x=- 3 y+2, 即 x- 3 y-2=0 或 x+ 3 y-2=0. 2.(2012 年高考四川卷,文 21)如图,动点 M 与两定点 A(-1,0)、B(1,0)构成△MAB,且直线 MA、MB 的斜率之积 为 4.设动点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设直线 y=x+m(m>0)与 y 轴相 交于点 P,与轨迹 C 相交于点 Q、 R,且|PQ|<|PR|,求 范围. PR PQ 的取值 解:(1)设动点 M 的坐标为(x,y), 当 x=-1 时,直线 MA 的斜率不存在; 当 x=1 时,直线 MB 的斜率不存在. 于是 x≠1 且 x≠-1, y y 此时,MA 的斜率为 ,MB 的斜率为 . x ?1 x ?1 y y 由题意有 · =4. x ?1 x ?1 化简可得 4x2-y2-4=0. 故动点 M 的轨迹 C 的方程为 4x -y -4=0(x≠1 且 x≠-1). 2 2 ? ? y ? x ? m, (2)由 ? 2 消去 y, 2 ? ?4 x ? y ? 4 ? 0 可得 3x -2mx-m -4=0.(*) 对于方程(*),其判别式 2 2 2 Δ=(-2m) -4×3(-m -4)=16m +48>0, 而当 1 或-1 为方程(*)的根时,m 的值为-1 或 1. 结合题设(m>0)可知,m>0 且 m≠1. 设 Q、R 的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR), 则 xQ,xR 为方程(*)的两根. 因为|PQ|<|PR|,所以|xQ|<|xR|, m ? 2 m2 ? 3 m ? 2 m2 ? 3 xQ= ,xR= . 3 3 2 2 xR 所以 = PQ xQ PR 3 2 1? 2 ?1 2 m = =1+ . 3 3 2 1? 2 ?1 2 1? 2 ?1 m m 此时 1 ? 3 3 >1, 且 ≠2, 1 ? 2 2 m m 2 2 1? 2 3 ?1 2 m 所以 1<1+ <3, 且 1+ 3 2 1? 2 ?1 m 5 ≠ , 3 xR 所以 1< = <3, PQ xQ PR PR xR 5 且 = ≠ . PQ xQ 3 ? 5? ?5 ? 即 的取值范围是 ?1, ? ∪ ? ,3 ? . PQ ? 3? ? 3 ? PR 感悟备考 与圆锥曲线有关的最值问题、 范围问题及轨迹问题是历 年高考考查的重点问题,这类问题经常与平面几何、函 数、不等式、三角函数等知识联系在一起,并且还渗透 着函数与方程、数形结合、转化与化归等一些重要数学 思想,具有一定的难度,在复习备考中,一要掌握解决解 析几何问题的一些基本方法,如设而不求的整体代入 法、点差法、求曲线方程的基本方法等;二要注意培养 代数运算能力和图形认识能力,能够准确地进行数与形 的语言转换和运算、推理的转换. 热点考向突破—讲策略 考向一 圆锥曲线中的最值问题 1 为 F2,设以 F1、 F2 为焦点,离心率 e= 的椭圆 2 促迁移 【例 1】 已知:如图,抛物线 y2=4x 的准线与 x 轴交于 F1,焦点 与抛物线的一个交点为 P. (1)求椭圆的方程; (2)若经过点 F2 的直线 l 被抛物线所截得的 弦长|A1A2|恰好等于△PF1F2 的周长,求该直线的方程; (3)若直线 y=k(x-1)与抛物线的两个交点 A1、A2

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