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2017版高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、随机变量及其分布 第2讲 排列与组合课件 理_图文

时间:2016-07-26

第2讲
考试要求

排列与组合

1.排列、组合的概念,B级要求;2.排列数公式、组合

数公式以及利用排列、组合解决简单的实际问题,B级要求.

知识梳理
1.排列与组合的概念 名称 排列 组合 定义 一定的顺序 排成一列 从n个不同元素中取出 按照___________ m(m≤n)个不同元素 合成一组

2.排列数与组合数 不同排列 的 (1) 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有 _________

个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
不同组合 的 (2) 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有 _________

个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.

3.排列数、组合数的公式及性质
(1)Am n =________________________ 公 n! n(n-1)(n-2)?(n-m+1) = (n-m)!

m n(n-1)(n-2)?(n-m+1) A n m m= 式 (2)Cn =Am m!

n! =_______________ n,m∈N*,且 m≤n).特别地 C0 m!(n-m)! n=1

1 ;An n! 性 (1)0!=___ n=______.

m m-1 m n-m m n n (2)Cn =Cn ;Cn+1=_____________

C +C

诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( × ) (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( √ )
m (3)若组合式 Cx = C n n ,则 x=m 成立.( × )

(4)若给 A、 B 两人排位, 现给出排法如下: 先对两人分组,
1 有 C1 再把两组安排到两个位置上, 有 A2 2C1种方法, 2种方法, 1 2 故所有的排法有 C1 C 2 1A2=4 种方法.( × )

2.(2015· 广东卷)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方

仅写一条毕业留言,那么全班共写了 ________条毕业留言 ( 用
数字作答).
解析 依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人

中任选两人的排列数, 所以全班共写了 A2 40=40×39=1 560 条 毕业留言.

答案 1 560

3.(2015· 苏北四市模拟 ) 从 4名男同学和 3 名女同学中选出 3名 参加某项活动,其中男女生都有的选法种数为________.
解析
2 2 1 分两类:男 1 女 2 或男 2 女 1,各有 C1 C 和 C 4 3 4C3种

2 2 1 方法,所以选法种数为 C1 4C3+C4C3=12+18=30(种). 3 3 也可用间接法 C3 - C - C 7 4 3=30(种).

答案 30

4.(苏教版选修2-3P18T10改编)用数字1,2,3,4,5组成的无 重复数字的四位偶数的个数为________.

解析 分两步: (1)先排个位有 A1 2种排法.
1 3 (2)再排前三位有 A3 4种排法,故共有 A2A4=48(种)排法.

答案 48

5.(2016· 唐山调研)某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村 第一书记,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选

法的种数为________.
解析 法一
2 (直接法)甲、乙两人均入选,有 C1 C 7 2种.

2 甲、乙两人只有 1 人入选,有 C1 C 2 7种方法, 1 1 2 ∴由分类加法计数原理,共有 C2 2C7+C2C7=49(种)选法.

法二

(间接法)从 9 人中选 3 人有 C3 9种方法.

其中甲、乙均不入选有 C3 7种方法,
3 ∴满足条件的选排方法是 C3 9-C7=84-35=49(种).

答案 49

考点一 排列应用题

【例1】 3名女生和5名男生排成一排.
(1)如果女生全排在一起,有多少种不同排法? (2)如果女生都不相邻,有多少种排法? (3)如果女生不站两端,有多少种排法? (4)其中甲必须排在乙前面(可不邻),有多少种排法?

(5)其中甲不站左端,乙不站右端,有多少种排法?

解 (1)(捆绑法)由于女生排在一起,可把她们看成一个整体, 这样同五个男生合在一起有 6 个元素,排成一排有 A6 6种排 法,而其中每一种排法中,三个女生间又有 A3 3种排法,因
3 此共有 A6 6·A3=4 320(种)不同排法.

(2)(插空法)先排 5 个男生,有 A5 5种排法,这 5 个男生之间和 两端有 6 个位置, 从中选取 3 个位置排女生, 有 A3 6种排法,
3 因此共有 A5 5·A6=14 400(种)不同排法.

(3)法一(位置分析法)

因为两端不排女生,只能从 5 个男生

中选 2 人排列,有 A2 5种排法,剩余的位置没有特殊要求,
2 6 有 A6 6种排法,因此共有 A5·A6=14 400(种)不同排法.

法二(元素分析法)

从中间 6 个位置选 3 个安排女生,有 A3 6

3 5 种排法,其余位置无限制,有 A5 种排法,因此共有 A · A 5 6 5=

14 400(种)不同排法. (4)8 名学生的所有排列共 A8 其中甲在乙前面与乙在甲前 8种, 1 1 8 面的各占其中 ,∴符合要求的排法种数为 A8=20 160(种). 2 2 (5)甲、乙为特殊元素,左、右两边为特殊位置. 法一(特殊元素法) 甲在最右边时, 其他的可全排, 有 A7 7种;

甲不在最右边时,可从余下 6 个位置中任选一个,有 A1 6种. 而乙可排在除去最右边位置后剩余的 6 个中的任一个上,有
1 1 A1 A6 6种,其余人全排列,共有 A6·A6· 6 种.

1 1 6 由分类加法计数原理,共有 A7 7+A6·A6·A6=30 960(种).

法二(特殊位置法)

先排最左边,除去甲外,有 A1 7种,余下 7

1 6 个位置全排, 有 A7 种, 但应剔除乙在最右边时的排法 A · A 7 6 6种, 7 1 6 因此共有 A1 7·A7-A6·A6=30 960(种).

法三(间接法)

8 个人全排,共 A8 8种,其中,不合条件的有甲

7 在最左边时,有 A7 种,乙在最右边时,有 A 7 7种,其中都包含 8 了甲在最左边, 同时乙在最右边的情形, 有 A6 6种.因此共有 A8- 6 2A7 + A 7 6=30 960(种).

规律方法

(1) 对于有限制条件的排列问题,分析问题时有

位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特 殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条 件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法. (2) 对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序

问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.

【训练1】 (1)(2015· 四川卷改编)用数字0,1,2,3,4,5组成没
有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有________个.

(2)(2016· 南京、盐城调研)六个人从左至右排成一行,最左端只
能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有________种.

(3)(2016· 北京海淀区调研 )把5件不同产品摆成一排 .若产品A与
产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有 ________种.

解析

(1)由题意,首位数字只能是 4,5,若万位是 5,则有 3×A3 4

=72 个;若万位是 4,则有 2×A3 4个=48 个,故比 40 000 大的偶 数共有 72+48=120 个. (2)第一类:甲在左端,有 A5 5=5×4×3×2×1=120(种)方法; 第二类:乙在最左端,甲不在最右端,有 4A4 4=4×4×3×2×1= 96(种)方法.所以共有 120+96=216(种)方法. (3)记其余两件产品为 D、E,A、B 相邻视为一个元素,先与 D、E
3 2 排列,有 A2 A 种方法;再将 C 插入,仅有 3 个空位可选,共有 A 2 3 2 1 A3 C 3 3=2×6×3=36 种不同的摆法.

答案 (1)120 (2)216

(3)36

考点二 组合应用题 【例 2 】 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查,已知其中

有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种? (2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种? (3)至少有2种假货在内,不同的取法有多少种? (4)至多有2种假货在内,不同的取法有多少种?



(1)从余下的 34 种商品中,选取 2 种有 C2 34=561(种),

∴某一种假货必须在内的不同取法有 561 种.
3 2 (2)从 34 种可选商品中,选取 3 种,有 C3 34种或者 C35-C34=

C3 34=5 984(种).∴某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种.
2 3 (3)选取 2 件假货有 C1 20C15种,选取 3 件假货有 C15种,共有选 2 3 取方式 C1 C + C 20 15 15=2 100+455=2 555(种).

∴至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种. (4)选取 3 件的总数有 C3 35,因此共有选取方式
3 C3 35-C15=6 545-455=6 090(种).

∴至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种.

规律方法

组合问题常有以下两类题型:(1)“含有”或“不

含有 ” 某些元素的组合题型: “ 含 ” ,则先将这些元素取
出,再由另外元素补足; “ 不含 ” ,则先将这些元素剔除, 再从剩下的元素中去选取; (2)“ 至少 ” 或 “ 最多 ” 含有几个元素的题型:若直接法分 类复杂时,逆向思维,间接求解.

【训练2】 (1)(2016· 武汉二模)若从1,2,3,?,9这9个整数中
同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有 ________种. (2)(2014· 广 东 卷 改 编 ) 设 集 合 A = {(x1 , x2 , x3 , x4 , x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满 足 条 件 “1≤|x1| + |x2| + |x3| + |x4| + |x5| ≤ 3 ” 的 元 素 个 数 为

________.
解析 (1)共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数,要使和为 偶数,则 4 个数全为奇数,或全为偶数,或 2 个奇数和 2 个
4 2 2 偶数,∴共有不同的取法有 C4 + C + C 5 4 5C4=66(种).

(2)因为 xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5,且 1≤|x1|+|x2|+|x3| +|x4|+|x5|≤3, 所以 xi 中至少两个为 0,至多四个为 0. ①xi(i=1,2,3,4,5)中 4 个 0,1 个为-1 或 1,A 有 2C1 5=10 个元素; ②xi 中 3 个 0,2 个为-1 或 1,A 有 C2 5×2×2=40 个元素; ③xi 中 2 个 0,3 个为-1 或 1,A 有 C3 5×2×2×2=80 个元素; 从而,集合 A 中共有 10+40+80=130 个元素.

答案 (1)66 (2)130

考点三

排列、组合的综合应用

【例3】 4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.

(1)恰有1个盒不放球,共有几种放法?
(2)恰有1个盒内有2个球,共有几种放法? (3)恰有2个盒不放球,共有几种放法?

解 (1)为保证“恰有 1 个盒不放球”,先从 4 个盒子中任意 取出去一个,问题转化为“4 个球,3 个盒子,每个盒子都要 放入球, 共有几种放法?”即把 4 个球分成 2, 1, 1 的三组, 然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球, 其余 2 个球放在另外 2
2 1 2 个盒子内,由分步乘法计数原理,共有 C1 C C × A 4 4 3 2=144(种).

(2)“恰有 1 个盒内有 2 个球”,即另外 3 个盒子放 2 个球, 每个盒子至多放 1 个球,也即另外 3 个盒子中恰有一个空盒, 因此, “恰有 1 个盒内有 2 个球”与“恰有 1 个盒不放球”是 同一件事,所以共有 144 种放法. (3)确定 2 个空盒有 C2 4种方法. 4 个球放进 2 个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类,第一类有序不
2 2 C 4C2 3 1 2 均匀分组有 C4C1A2种方法; 第二类有序均匀分组有 2 · A2 2种 A2 2 2 C 4C2 2 3 1 2 方法.故共有 C4(C4C1A2+ A2 ·A2 2)=84(种). 2

规律方法

(1)解排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即

先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置).对于 排列组合的综合题目,一般是将符合要求的元素取出或进 行分组,再对取出的元素或分好的组进行排列. (2)①不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时, 通常有三种类型: a. 不均匀分组; b.均匀分组; d. 部分均匀 分组,注意各种分组类型中,不同分组方法的差异 .②对于

相同元素的“分配”问题,常用的方法是采用“隔板法”.

【训练3】 (1)(2016· 泰州检测)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、 2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序,则同类节目不 相邻的排法种数是________.

(2)(2016· 济南二模)某校高二年级共有6个班级,现从外地转入
4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名,则不 同的安排方案种数为________.

解析

(1)法一 先安排小品节目和相声节目, 然后让歌舞节目

去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种:“小品 1,小 品 2,相声”, “小品 1,相声,小品 2”和“相声,小品 1, 小品 2”.对于第一种情况,形式为“□小品 1 歌舞 1 小品中
1 2 2□相声□”,有 A2 C 2 3A3=36(种)安排方法;同理,第三种情

况也有 36 种安排方法,对于第二种情况,三个节目形成 4 个
3 人,其形式为“□小品 1□相声□小品 2□”,有 A2 A 2 4=48 种

安排方法,故共有 36+36+48=120 种安排方法.

法二

先不考虑小品类节目是否相邻,保证歌舞类节目不相邻的排

3 法共有 A 3 · A 3 4 = 144( 种 ) ,再剔除小品类节目相邻的情况,共有 2 2 A3 · A · A 3 2 2=24(种),于是符合题意的排法共有 144-24=120(种).

(2)法一

1 2 将 4 人平均分成两组有2C4种方法,将此两组分配到 6 个 1 2 2 2 A6(种).所以不同的安排方法有 C4A6=90(种). 2

班级中的 2 个班有 法二 有

先从 6 个班级中选 2 个班级有 C2 然后安排学生 6种不同方法, 1 2 2 2 2 C6C4= A6C4=90(种). 2

2 C2 C 4 2种,故有

答案 (1)120 (2)90

[思想方法] 1.对于有附加条件的排列、组合应用题,通常从三个途径考虑 (1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他 元素.

(2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他
位置. (3)先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减去不合 要求的排列数或组合数.

2.排列、组合问题的求解方法与技巧 (1)特殊元素优先安排;(2)合理分类与准确分步;(3)排列、 组合混合问题先选后排;(4)相邻问题捆绑处理;(5)不相邻 问题插空处理;(6)定序问题排除法处理;(7)分排问题直排

处理;(8)“小集团”排列问题先整体后局部;(9)构造模型;
(10)正难则反,等价条件.

[易错防范] 1.区分一个问题属于排列问题还是组合问题,关键在于是否与
顺序有关. 2. 解受条件限制的排列、组合题,通常有直接法 ( 合理分类) 和 间接法(排除法).分类时标准应统一,避免出现重复或遗漏. 3.解组合应用题时,应注意“至少”、“至多”、“恰好”等

词的含义.
4.对于分配问题,一般是坚持先分组,再分配的原则,注意平 均分组与不平均分组的区别,避免重复或遗漏.


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