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2015年高考数学复习学案:解三角形

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【考点概述】
1、掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.

2、能运用正弦、余弦定理等知识和方法解决一些与几何计算和测量有关的实际问题. 【重点难点】
三角形中的边角互化、一解两解问题以及动态最值问题.

【命题趋势】
1、 近几年高考命题加强了对知识综合性和应用性的考察,故三角形中三角问题常常与其他 数学知识相联系,既考查解三角形的知识与方法,又考查运用三角公式进行恒等变形的 技能及三角函数的应用意识. 2、解三角形问题在高考中经常以填空题出现(2010 年江苏卷第 13 题,2010 年上海理科卷 第 18 题,2010 年全国理科卷第 16 题、2010 年天津理科卷第 15 题、2010 年北京理科卷第 10 题、2010 年广东理科卷第 11 题、2010 年山东理科卷第 15 题等) ,但近几年来以解答题 形式出现的频率较高(2010 年江苏卷第 17 题、2010 年陕西理科卷第 17 题、2010 年福建理 科卷第 19 题、2009 年海南理理科卷第 17 题、2009 年天津理科卷第 17 题、2009 年辽宁理 科卷第 17 题、2009 年安徽理科卷第 16 题、2009 年浙江理科卷第 18 题等) ,因为与实际问 题的联系密切,今后这部分仍然是高考命题的一个热点.

【知识要点】 :
1、 正弦定理:

a b c ? ? =2R sin A sin B sin C 正弦定理的变形: sin A : sin B : sin C ? a : b : c

利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知两角和任意一边,求其他两边和一角. (2)已知两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而求出其他的边和角. 2、余弦定理:

b2 ? c2 ? a 2 a ? b ? c ? 2bc cos A ; cosA= 2bc
2 2 2

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ; cosB=

a 2 ? c2 ? b2 2ac a 2 ? b2 ? c2 2ab

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ; cosC=

利用余弦定理,可以解决以下三类有关三角形的问题: (1)已知三边,求三个角. (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. (3)已知两边和其中一边对角,求第三边和其他两个角. 3、三角形的面积公式: S ?ABC ?

1 1 1 ab sin C = ac sin B ? bc sin A . 2 2 2
1

4、射影定理: a=ccosB+bcosC,b=acosC+ccosA ,c=acosB+bcosA,

【基础训练】
1、在 △ ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ?

4 ,求 sin B = 5



2、在 ?ABC 中,若 sinA︰sinB︰sinC=5︰7︰8,则 B= . 3、在 ?ABC 中, sin A ? sin B 是 A>B 的 条件(填“充分不必要、必要不充分、 既不充分也不必要、充要” ) . 4、在 ?ABC 中,已知 a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边,若 是 .

a cos B ? , 则 ?ABC 的形状 b cos A

【典例分析】 :
例 1、 (1)在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 a= 3 ,b= 2 3 ,A =30°,则 B= .

变式 1:在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 a=2,b= 2 3 ,A= 30°,则边 c= .

变式 2:在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,已知 a= 3 3 ,b= 2 3 , A=30°,则 B 有几解?

2 例 2:在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 1 ? cos( ? ? 2 A) ? 2 sin

B?C . 2

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)当 a=6 时,求其面积的最大值,并判断此时 ?ABC 的形状.

例 3:如图:在 ?ABC 中,若 b ? 4, c ? 7 , BC 的中点为 D ,且 AD ?

7 ,求 cos A . 2

2

【巩固练习】
1、 (2010 年北京理 10) 在△ABC 中, 若 b = 1, c = 3 ,?C ?

2? , 则a = 3



2、( 2010 年上海理 18) 某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为 则此人根据上述条件,下列说法正确的是 . (1)不能作出这样的三角形 (2)可作出一个锐角三角形 (3)可作出一个直角三角形 (4)可作出一个钝角三角形

1 1 1 , , , 13 11 5

3、(2009 年广东理 6) 一质点受到平面上的三个力 F1 , F2 , F3 (单位:牛顿)的作用而处于平 衡状态. 已知 F1 ,F2 成 60 角, 且 F1 ,F2 的大小分别为 2 和 4, 则 F3 的大小为
0



4、(2010 年广东理 11)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1, b= 3 , A+C=2B,则 sinC= .

5、 (2010 年全国理 16)在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD= =2,若△ADC 的面积为 3 ? 3 ,则 ? BAC=______ _ .

1 DC, ? ADB=120°,AD 2

【课外作业】
1、 (2010 年山东理 15) 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若a ?

2 ,b ? 2 ,

sin B ? cos B ? 2 ,则角 A 的大小为



2、(2007 年山东理 11)在直角 ?ABC 中, CD 是斜边 AB 上的高,则下列等式不成立的序号 是 . (1) AC ? AC ? AB (3) AB ? AC ? CD
2 2

(2) BC ? BA ? BC (4) CD ?
2

2

( AC ? AB) ? ( BA ? BC ) AB
2

3 、 (2008 年海南理 3) 如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值





3

4、 ( 08 江苏高考 13 )满足条件 AB ? 2, AC ? 是 .

2BC 的三角形 ABC 的面积的最大值

5、 (2010 年天津理 7) 在△ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c, 若 a ? b ? 3bc ,
2 2

sinC=2 3 sinB,则 A=



6、 (2010 年天津理 15) 如图, 在 ?ABC 中,AD ? AB ,BC ? =

3 BD, AD ? 1 , CA ? D 则A

7、 (2010 年江苏高考 17) (14 分)某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位 m) ,如示意图, 垂直放置的标杆 BC 高度 h=4m,仰角∠ ABE=α,∠ ADE=β (1)该小组已经测得一组 α、β 的值,tanα=1.24,tanβ=1.20, ,请据此算出 H 的值 (2)该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位 m) ,使 α 与 β 之差较大,可以提高测量精确度,若电视塔实际高度为 125m,问 d 为多少时,α-β 最大

E

D

β

α B d

A

【反思感悟】
1、 解三角形常用方法: “化边为角” , “化角为边” . 2、 已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的个数问题. 3、 正、余弦两个定理的的灵活运用及内涵(余弦定理的向量本质) . 4、 应熟练掌握和运用内角和定理:A+B+C=兀, 结合诱导公式可以减少角的种数. 5、三角形中的动态最值问题的解法.

A B C ? ? ? ? 中互补和互余的关系, 2 2 2 2

课外探究:已知 a,b 及一边对角 A,则三角形解的情况.
A 为锐角 A 为钝角或直角

4

C 图形 b A A A 关系 式 解的 个 数 ① a b A A A

C a B A a=bsinA b A A A

C a B ④ A b A A A

C a B A

C b A A A a b A BA AA ⑧

C a B A









⑦ 一解

5

6


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