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高考数学合情推理与演绎推理

时间:2018-06-30


推理与证明
第一节 合情推理与演绎推理 1、归纳推理 把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理 (简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 归纳推理的一般步骤: ? 通过观察个别情况发现某些相同的性质 ? 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜 想) ? 证明 2、类比推理 由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出 他们在其他方面也相似或相同;或其中一类对象的某些已知特 征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简 称类比) . 类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤: ? 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; 从而 ? 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征, 得出一个猜想; ? 检验猜想。 3、演绎推理 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种 推理称为演绎推理. 演绎推理是由一般到特殊的推理; “三段论”是演绎推理的一般模式, 包括 ? 大前提---已知的一般原理; ? 小前提---所研究的特殊情况; ? 结论-----据一般原理,对特殊情况做出的判断. 题型一 用归纳推理发现规律 例 1: 通过观察下列等式,猜想出一个一般性的结论,并证明结论的真假。

sin 2 15 0 ? sin 2 75 0 ? sin 2 135 0 ?

3 3 ; sin 2 30 0 ? sin 2 90 0 ? sin 2 150 0 ? ; 2 2 3 3 sin 2 450 ? sin 2 105 0 ? sin 2 165 0 ? ; sin 2 60 0 ? sin 2 120 0 ? sin 2 180 0 ? . 2 2

解析:猜想: sin 2 (? ? 60 0 ) ? sin 2 ? ? sin 2 (? ? 60 0 ) ?

3 2

证明:左边= (sin? cos600 ? cos? sin 600 )2 ? sin 2 ? ? (sin? cos600 ? cos? sin 600 )2

3 3 = (sin 2 ? ? cos 2 ? ) ? =右边 2 2 注;注意观察四个式子的共同特征或规律(1)结构的一致性,(2)观察角的“共

性” (1)先猜后证是一种常见题型 (2)归纳推理的一些常见形式:一是“具有共同特征型” ,二是“递推型” ,三 是“循环型” (周期性)

题型二 用类比推理猜想新的命题
1 例 2:已知正三角形内切圆的半径是高的 ,把这个结论推广到空间正四面体, 3 类似的结论是______.

解析:原问题的解法为等面积法,即 S ?

1 1 1 ah ? 3 ? ar ? r ? h ,类比问题的解 2 2 3

1 1 1 法应为等体积法, V ? Sh ? 4 ? Sr ? r ? h 即正四面体的内切球的半径是高 3 3 4
1 4

注: (1)不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比 (2)类比推理常见的情形有:平面向空间类比;低维向高维类比;等差数列与 等比数列类比;圆锥曲线间的类比等 (3)在平面和空间的类比中,三角形对应三棱锥(即四面体) ,长度对应面积; 面积对应体积; 点对应线;线对应面;圆对应球;梯形对应棱台等。 (4)找对应元素的对应关系,如:两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂 直,边相等对应面积相等 题型三 利用“三段论”进行推理 例 3 某校对文明班的评选设计了 a, b, c, d , e 五个方面的多元评价指标,并通过经 验公式样
S? a c 1 ? ? 来计算各班的综合得分,S 的值越高则评价效果越好,若某班在自 b d e

测过程中各项指标显示出 0 ? c ? d ? e ? b ? a ,则下阶段要把其中一个指标的值 增加 1 个单位,而使得 S 的值增加最多,那么该指标应为 . (填入

a, b, c, d , e 中的某个字母)

解析:因 a, b, c, d , e 都为正数,故分子越大或分母越小时, S 的值越大,而在分 子都增加 1 的前提下,分母越小时,S 的值增长越多,? 0 ? c ? d ? e ? b ? a ,所 以 c 增大 1 个单位会使得 S 的值增加最多 注:从分式的性质中寻找 S 值的变化规律 ;此题的大前提是隐含的,需要经过 思考才能得到

1.下列说法正确的是 ( ) A.类比推理是由特殊到一般的推理 B.演绎推理是特殊到一般的推理 C.归纳推理是个别到一般的推理 D.合情推理可以作为证明的步骤 答案: C 2. 命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小 数”是假命题,推理错误的原因是( ) A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论” ,但大前提错误 D.使用了“三段论” ,但小前提错误 答案:C 填空题 3.已知 ai ? 0 (i ? 1, 2,?, n) ,考察下列式子: (i ) a1 ?
(iii ) (a1 ? a2 ? a3 )(

1 1 1 ? 1 ; (ii ) (a1 ? a2 )( ? ) ? 4 ; a1 a1 a2

1 1 1 ? ? ) ? 9 . 我们可以归纳出,对 a1 , a2 ,?, an 也成立的类似不 a1 a2 a3

等式为 答案: (a1 ? a2 ? ? ? an )(
1 1 1 ? ? ? ? ) ? n2 a1 a2 an

4.现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是 a 的正方 形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为
a2 .类比到空间,有两个棱长均为 a 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的 4

中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为



[解析] (见高三复习 步步高) 解法的类比(特殊化) 易得两个正方体重叠部分的体积为
a3 8

5.已知 ?ABC 的三边长为 a, b, c ,内切圆半径为 r (用 S ?ABC 表示?ABC的面积) , 1 则 S ?ABC ? r (a ? b ? c) ; 类比这一结论有: 若三棱锥 A ? BCD 的内切球半径为 R , 2 则三棱锥体积 V A?BCD ? 1 [解析] R( S?ABC ? S?ABD ? S ?ACD ? S ?BCD ? 3 6.在平面直角坐标系中,直线一般方程为 Ax ? By ? C ? 0 ,圆心在 ( x0 , y0 ) 的圆的 一般方程为 ( x ? x0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ? r 2 ;则类似的,在空间直角坐标系中,平面的 一 般 方 程 为 ________________, 球 心 在 ( x0 , y0 , z 0 ) 的 球 的 一 般 方 程 为 _______________________. 答案; Ax ? By ? Cz ? D ? 0 ; ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? ( z ? z0 )2 ? r 2 7.(1)已知等差数列的定义为:在一个数列中,从第二项起,如果每一项与它的前 一项的和都为同一个常数, 那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的 公和. 类 比 等 差 数 列 的 定 义 给 出 “ 等 和 数 列 ” 的 定 义: ; ( 2 ) 已 知 数 列 ?an ? 是 等 和 数 列 , 且 a1 ? 2 , 公 和 为 5 , 那 么 a18 的 值 为 ____________. 答案: (1)在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么 这个数叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和; (2) a18 ? 3 ; 对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式: 22 ? 1 ? 3 32 ? 1 ? 3 ? 5 42 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 23 ? 3 ? 5 33 ? 7 ? 9 ? 11 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 根据上述分解规律,则 52 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 , 若 m3 (m ? N * ) 的分解中最小的数是 73,则 m 的值为 8. 答案: m ? 9 解答题 9.(1)已知等差数列 ?an ? , bn ? 求证: ?bn ? 仍为等差数列;

a1 ? a 2 ? ? ? a n (n? N ) , n

(2)已知等比数列 ?cn ? , cn ? 0 ( n ? N ) ,类比上述性质,写出一个真命题并 加以证明. n(a1 ? an ) a ? an a ? an 2 [解析](1) bn ? , bn ?1 ? bn ? n ?1 , ? 1 2 n 2 a ?a d ??an ? 为等差数列? bn ?1 ? bn ? n ?1 n ? 为常数,所以 ?bn ? 仍为等差数列; 2 2 ( 2 ) 类 比 命 题 : 若 ?cn ? 为 等 比 数 列 ,

cn ? 0

( n ? N * ),

d n ? n c1 ? c2 ? ? ? cn
n

,则 ?d n ?为等比数列
n 2

证明: d n ? (c1 ? cn ) ? c1cn ,

d n ?1 c ? n ?1 ? q 为常数, ?d n ?为等比数列 dn cn

10.将具有下列性质的所有函数组成集合 M:函数 y ? f ( x)( x ? D) ,对任意
x, y , x? y x? y 1 ? D 均满足 f ( ) ? [ f ( x) ? f ( y )] ,当且仅当 x ? y 时等号成立。 2 2 2

(1)若定义在(0,+∞)上的函数 f ( x) ∈M,试比较 f (3) ? f (5) 与 2 f (4) 大小. (2)设函数 g(x)=-x2,求证:g(x)∈M.
x? y 1 ) ? [ f ( x) ? f ( y )] ,令 x ? 3, y ? 5 得 f (3) ? f (5) < 2 f (4) 2 2 2 x ?x 1 ( x ? x ) 2 x 2 ? x2 ( x1 ? x2 ) 2 ? ?0 (2) g ( 1 2 ) ? [ g ( x1 ) ? g ( x2 )] ? ? 1 2 ? 1 2 2 4 2 4 x ? x2 1 ? g( 1 ) ? [ g ( x1 ) ? g ( x2 )] ,所以 g(x)∈M 2 2

解析:(1)对于 f (

2、直接证明与间接证明
三种证明方法的定义与步骤: 1. 综合法 是由原因推导到结果的证明方法,它是利用已知条件和某些数学定 义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立的 证明方法。 2. 分析法 是从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中,使每一步结论成立的 充分条件,直到最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条 件、定义、公理、定理等)为止的证明方法。 3. 反证法 假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明 假设错误,从而证明了原命题成立,这样的方法叫反证法; 它是一种间接的证明方 法. 反证法法证明一个命题的一般步骤: (1) 假设命题的结论不成立; (2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止 (3) 断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立 题型一:用综合法证明数学命题 例 1 :对于定义域为 ?0,1? 的函数 f ( x) ,如果同时满足以下三条:①对任意的
? ; 1 x ??0,1? , 总 有 f ( x )? 0; ② f ( 1 ) 1 ③ 若 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,x1 ? x2 ? , 都 有

f ( x ? x ) ? f( 1x)? 1 2

f( 2成立,则称函数 f ( x) 为理想函数. x)

(1) 若函数 f ( x) 为理想函数,求 f (0) 的值; (2)判断函数 g ( x) ? 2x ? 1( x ? [0,1] )是否为理想函数,并予以证明; 解析: (1)取 x1 ? x 2 ? 0 可得 f (0) ? f (0) ? f (0) ? f (0) ? 0 . 又由条件① f (0) ? 0 ,故 f (0) ? 0 . (2)显然 g ( x) ? 2 x ?1 在[0,1]满足条件① g ( x) ? 0 ; 也满足条件② g (1) ? 1 .若 x1 ? 0 , x 2 ? 0 , x1 ? x 2 ? 1 ,则

g ( x1 ? x2 ) ? [ g ( x1 ) ? g ( x2 )] ? 2 x1 ? x2 ? 1 ? [(2 x1 ? 1) ? (2 x2 ? 1)]
? 2 x1 ? x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 1 ? (2 x2 ?1)(2 x1 ?1) ? 0
故 g (x) 理想函数. 注:紧扣定义,证明函数 g ( x) ? 2x ? 1( x ? [0,1] )满足三个条件 ,即满足条件③,

题型二:用分析法证明数学命题
1 4 ? ?9. a 1? a 1 4 ? ?9, 证明:∵ 0 ? a ? 1 ∴ 要证 a 1? a 去分母后需要证: (1-a)+4a≥9a(1—a) , 2 移项合并同类项,即需要证:9 a —6a+1≥0,

例 2:已知: 0 ? a ? 1 ,求证:

即要证; ? 3a ? 1? ? 0 ????(1)
2

而(1)式显然成立,

∴ 原不等式成立。

题型三:用反证法证明数学命题或判断命题的真假 例 3 :已知 f ( x) ? a x ?
x?2 (a ? 1) ,证明方程 f ( x) ? 0 没有负数根 x ?1

解析:假设 x0 是 f ( x) ? 0 的负数根,则 x0 ? 0 且 x0

a x0 ? ? ? ?1且

x0 ? 2 x0 ? 1

? 0 ? a x0 ? 1 ? 0 ? ?

x0 ? 2 ? 1 ,解得 1 ? x0 ? 2 ,这与 x0 ? 0 矛盾, x0 ? 1 2

故方程 f ( x) ? 0 没有负数根 注: (1)凡是“至少”“唯一”或含有否定词的命题从正面突破往往比较困难, 、 适宜用反证法 。即 “正难则反”(2)反证法步骤:假设结论不成立→推出矛 ;
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盾→假设不成立 。
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选择题 1.用反证法证明命题: 若整系数方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理根, 那么 a , b , c 中 至少有一个是偶数,下列假设中正确的是( A、假设 a , b , c 都是偶数 ).

B、假设 a , b , c 都不是偶数 D、假设 a , b , c 中至多有两个偶数

C、假设 a , b , c 中至多有一个偶数

答案;B 2.若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形, 那么这个三角形一定是( ) A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 答案: B , 则 使 得 a1 ? a2 ? 0a3 ? 1 2 , ) ( ?1 i x ? )(i ? 1 ,都 成 立 的3x 取 值 范 围 是 a ( B ) 3. 已 知
2

y

A

A.(0,

1 ) a1

B(0,

2 ) a1

C.

F P

E

(0,

1 ) a3

D. (0,

2 ) a3

提示;

( 1? ai x 2 ? 1 x ∈ ( 0 , 2 ) 由 ) , ? ai
x

2 2 2 ? ? a1 ? a2 ? a3 ? 0 ? a1 a2 a3 得出结论。

填空题
B O

4





4 f ( x) ? x 4 ?2

x

C





1 2 1 0 0 0 f( )? f( ) ??? f ( ) =____________. 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 答案:500 5. 如图,在平面直角坐标系 x o y 中,设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0, a), B(b,0),C (c,0) ,点 P (0, p ) 在线段 AO 上的一点(异于 端点) 这里 a, b, c, p 均为非零实数, , 设直线 BP, CP 分别与边 AC, AB 交于点 E, F ,

某同学已正确求得直线 OE 的方程为 ? 1 ? 1 ? x ? ? 1 ? 1 ? y ? 0 ,请你完成直线 OF 的 ? ? ? ? ? ?
?b c? ?p a?

方程: (

)x?? ?

? 1 1? ? ?y ? 0。 p a? ? ?

1 1 答案: ? c b 6.将全体正整数排成一个三角形数阵:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ??????

按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左向右的第 3 个数为 答案: 解答题 7. 若 a ? b ? c ? d ? 0 且 a ? d ? b ? c ,求证: d ? a ? b ? c [解析]要证 d ? a ? b ? c ,只需证 ( d ? a )2 ? ( b ? c )2 即 a ? d ? 2 ad ? b ? c ? 2 bc ,因 a ? d ? b ? c ,只需证 ad ? bc 即 ad ? bc , 设 a ? d ? b ? c ? t ,则 ad ? bc ? (t ? d )d ? (t ? c)c ? (c ? d )(c ? d ? t ) ? 0
? ad ? bc 成立,从而 d ? a ? b ? c 成立

n2 ? n ? 2 。 2

8.在锐角三角形 ABC 中,求证: sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C [解析]? ?ABC 为锐角三角形,? A ? B ?

?
2

?A?

?
2

?B,

? y ? sin x 在 (0, ) 上是增函数,? sin A ? sin( ? B ) ? cos B 2 2

?

?

同理可得 sin B ? cos C , sin C ? cos A
? sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C

9. 设

a, b 为非零向量,且 a, b 不平行,求证 a ? b , a ? b
析 ] 假 设

不平行

[



a ? b ? ? (a ? b)





(1 ? ?)a ? (1 ? ?)b ? 0 ,
?1 ? ? ? 0 ?? ? a, b 不平行, 1 ? ? ? 0 ,因方程组无解,故假设不成立,即原命 ?

题成立

10. 已知 a、b、c 成等差数列且公差 d ? 0 ,求证: 列 [解析]? a、b、c 成等差数列,? 2b ? a ? c

1 1 1 、 、 不可能成等差数 a b c

1 1 1 2 1 1 假设 、 、 成等差数列,则 ? ? ? (a ? c) 2 ? 4ac ? (a ? c) 2 ? 0 ,?a ? c a b c b a c 1 1 1 从而 d ? 0 与 d ? 0 矛盾,? 、 、 不可能成等差数列 a b c

11. 已知 f ( x) ? ln x [解析]

证明: f (1 ? x) ? x ( x ? ?1)

即证: ln(x ? 1) ? x ? 0

1 ?x ?1 ? . x ?1 x ?1 当 x∈(-1,0)时,k′(x)>0,∴k(x)为单调递增函数; 当 x∈(0,∞)时,k′(x)<0,∴k(x)为单调递减函数; ∴x=0 为 k(x)的极大值点, ∴k(x)≤k(0)=0.

设 k ( x) ? ln( x ? 1) ? x, 则k ?( x) ?

即 ln(x ? 1) ? x ? 0 ? f (1 ? x) ? x ( x ? ?1) 12. 已知函数 y ?| x | ?1 , y ? x 2 ? 2 x ? 2 ? t , y ?
1 1? t (x ? ) ( x ? 0) 的最小值恰 2 x

好是方程 x3 ? ax2 ? bx ? c ? 0 的三个根,其中 0 ? t ? 1 .求证: a 2 ? 2b ? 3 ; [解析] 三个函数的最小值依次为 1 , 1 ? t , 1 ? t , 由 f (1) ? 0 ,得 c ? ?a ? b ? 1 ∴

f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ? x3 ? ax2 ? bx ? (a ? b ? 1) ? ( x ?1)[ x2 ? (a ? 1) x ? (a ? b ? 1)] ,

故方程 x2 ? (a ? 1) x ? (a ? b ? 1) ? 0 的两根是 1 ? t , 1 ? t . 故 1 ? t ? 1 ? t ? ?(a ? 1) , 1 ? t ? 1 ? t ? a ? b ? 1. ( 1 ? t ? 1 ? t )2 ? (a ?1)2 ,

即 2 ? 2(a ? b ? 1) ? (a ? 1)2 ∴
a 2 ? 2b ? 3 .


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