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高三北师大版理科数学一轮复习课时作业(28)等差数列B

时间:2019-03-12

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课时作业(二十八)B

[第 28 讲 等差数列]

[时间:35 分钟 分值:80 分]

基础热身 1. [2011· 昌平二模] 数列{an}对任意 n∈N*, 满足 an+1=an+3, 且 a3=8, 则 S10 等于( ) A.155 B.160 C.172 D.240 2.[2011· 福州质检] 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1+a9+a11=30,那么 S13 的值是 ( ) A.65 B.70 C.130 D.260 3.[2011· 佛山一模] 在等差数列{an}中,a1=0,公差 d≠0,若 ak=a1+a2+a3+…+a7, 则 k=( ) A.21 B.22 C.23 D.24 4.[2011· 辽宁卷] Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S2=S6,a4=1,则 a5=________. 能力提升 S3 S2 5.[2011· 汕头一模] 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 - =1,则数列{an} 3 2 的公差 d 是( ) 1 A. B.1 2 C.2 D.3 6.[2011· 漳州质检] {an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,令 bn=a3n,则数列{bn}的 一个通项公式是( ) A.bn=3n+2 B.bn=4n+1 C.bn=6n-1 D.bn=8n-3 7.[2011· 江西卷] 设{an}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和.若 S10=S11,则 a1 =( ) A.18 B.20 C.22 D.24 8.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=13,S3=S11,当 Sn 最大时,n 的值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.[2011· 江西八校联考] 设数列{an}为等差数列,其前 n 项和为 Sn,a1+a4+a7=99,a2 +a5+a8=93,若对任意 n∈N*,都有 Sn≤Sk 成立,则 k 的值为________. 1 1 10.[2011· 东城综合] 若数列{an}满足 - =d(n∈N*,d 为常数),则称数列{an}为调 an+1 an ?1? 和数列.记数列?x ?为调和数列,且 x1+x2+…+x20=200,则 x5+x16=________. ? n? 11.[2011· 海淀二模] 已知数列{an}满足 a1=t,an+1-an+2=0(t∈N*,n∈N*),记数列 {an}的前 n 项和的最大值为 f(t),则 f(t)=________. 1 1 12.(13 分)设数列 a1,a2,…,an,…中的每一项都不为 0,对任何 n∈N,都有 + a1a2 a2a3 1 n +…+ = ,证明:{an}为等差数列. anan+1 a1an+1

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难点突破 1 1 13.(12 分)[2011· 全国卷] 设数列{an}满足 a1=0 且 - =1. 1-an+1 1-an (1)求{an}的通项公式;
n 1- an+1 (2)设 bn= ,记 Sn= ?bk,证明:Sn<1. n k=1

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课时作业(二十八)B 【基础热身】 1.A [解析] 由 an+1=an+3,得 an+1-an=3,则数列{an}是公差 d=3 的等差数列,由 10×9 a3=8,得 a1+2d=8,a1=2,所以 S10=10×2+ ×3=155. 2 2.C [解析] 设等差数列{an}的公差为 d,由 a1+a9+a11=30,得 a1+a1+8d+a1+10d=30,即 a1+6d=10, 13×12 ∴S13=13a1+ d=13(a1+6d)=130. 2 7 ×6 3.B [解析] 由已知,有 a1+(k-1)d=7a1+ d,把 a1=0 代入,得 k=22. 2 6× 5 4.-1 [解析] 由 S2=S6, 得 2a1+d=6a1+ d 解得 4(a1+3d)+2d=0, 即 2a4+d=0, 2 所以 a4+(a4+d)=0,即 a5=-a4=-1. 【能力提升】 S3 S2 1 1 5.C [解析] 由 - =1,得 (3a1+3d)- (2a1+d)=1,解得 d=2. 3 2 3 2 6. C [解析] 由已知, 得{an}的通项公式为 an=2n-1, 则数列{bn}的前 4 项为 5,11,17,23, 即数列{bn}是首项 b1=5,公差为 6 的等差数列,它的一个通项公式为 bn=6n-1. 7.B [解析] 由 S10=S11,得 a11=S11-S10=0, ∴a1=a11+(1-11)d=0+(-10)(-2)=20. 8.C [解析] 方法 1:S3=S11 得 a4+a5+…+a11=0,根据等差数列性质可得 a7+a8=0, 根据首项等于 13 可推知这个数列递减,从而得到 a7>0,a8<0,故 n=7 时,Sn 最大. 方法 2:由 S3=S11 可得 3a1+3d=11a1+55d,把 a1=13 代入得 d=-2,故 Sn=13n-n(n -1)=-n2+14n,根据二次函数性质,当 n=7 时 Sn 最大. 方法 3:根据 a1=13,S3=S11,这个数列的公差不等于零,说明这个数列的和先是单调递 增的,然后单调递减,根据公差不为零的等差数列的前 n 项和是关于 n 的二次函数,以及二 3+11 次函数图像的对称性,当 S3=S11 时,只有 n= =7 时,Sn 取得最大值. 2 9.20 [解析] 依题意即求 Sn 最大时的项数 n.将两已知等式相减,可得公差 d=-2,由 3a1+9d=99,解得 a1=39,所以 an=39-2(n-1)=41-2n.当 an≥0 且 an+1<0 时,Sn 取得最 大值,由 41-2n≥0 且 39-2n<0,得 19.5<n≤20.5,所以 k=20. 10.20 [解析] 由调和数列的定义,得 xn+1-xn=d,即数列{xn}是等差数列, 则 x1+x20=x2+x19=…=x10+x11, ∴x1+x2+…+x20=10(x1+x20)=200, 故 x5+x16=x1+x20=20. 2t ,?t为偶数?, ?t + 4 11.? ?t+1? ? 4 ,?t为奇数?
2 2

[解析] 由已知 an+1-an=-2, 则数列{an}是公差为-2 的等

n?n-1? 差数列,数列{an}的前 n 项和为 Sn=nt+ ×(-2) 2 =-n2+(t+1)n t+1?2 ?t+1?2 =-?n- + . 4 2 ? ? t+1 t+1 ?t+1?2 若 t 为奇数, 是整数,则当 n= 时,Sn 有最大值 ; 2 2 4 t+1 t2+2t t t 若 t 为偶数,则 不是整数,则当 n= 或 n= +1 时,Sn 有最大值 . 2 2 2 4

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2

2t ?t为偶数?, ?t + 4 故 f(t)=? ?t+1? ? 4 ?t为奇数?.
2

1 1 1 n + +…+ = ,① a1a2 a2a3 anan+1 a1an+1 n+1 1 1 1 + +…+ = ,② a1a2 a2a3 an+1an+2 a1an+2 n+1 1 n ②-①得 = - , an+1an+2 a1an+2 a1an+1 在上式两端同乘以 a1an+1an+2,得 a1=(n+1)an+1-nan+2,③ 同理得 a1=nan-(n-1)an+1,④ ③-④得 2nan+1=n(an+an+2), 即 an+2-an+1=an+1-an,所以{an}为等差数列. 【难点突破】 1 1 13.[解答] (1)由题设 - =1, 1-an+1 1-an ? 1 ? 即?1-a ?是公差为 1 的等差数列. ? n? 1 1 又 =1,故 =n. 1-a1 1-an 1 所以 an=1- . n (2)证明:由(1)得 1- an+1 n+1- n 1 1 bn= = = - , n n n+1· n n+1 n n ? 1 - 1 ?=1- 1 <1. ∴Sn=∑ b =∑ ? ? k k=1 k=1? k k+1? n+1 12.[解答] 证明:依题意有

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