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已打印点、直线和平面的位置关系(一)

时间:2012-12-27


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高一数学必修 2 第二章点、直线和平面的位置关系(一)
一、选择题 1.若直线 l 不平行于平面 α,且 l?α,则( A.α 内的所有直线与 l 异面 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 2.下列命题中错误的是( ) ) B.α 内不存在与 l 平行的直线 D.α 内的直线与 l 都相交

A.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B.如果平面 α 垂直于平面 β,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β C.如果平面 α⊥平面 γ,平面 β⊥平面 γ,α∩β=l,那么 l⊥平面 γ D.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β 3.设 m、n 是不同的直线,α、β、γ 是不同的平面,有以下四个命题: ① α∥β? ? ??β∥γ ? α∥γ ? ② α ⊥β? ? ??m⊥β ? m∥α ?



? ? m⊥α? m∥n? ??α⊥β ④ ??m∥α ? ? m∥β? n?α ?

其中,真命题是( A.①④ C.①③

) B.②③ D.②④ )

4. 已知 m、 为两条不同的直线, β 为两个不同的平面, n α、 则下列命题中正确的是( A.m?α,n?α,m∥β,n∥β?α∥β B.α∥β,m?α,n?β?m∥n C.m⊥α,m⊥n?n∥α D.n∥m,n ⊥α?m⊥α

5.(2011· 北京海淀二模)设 m,n 是不同的直线,α,β 是不同的平面,则下列条件能使 n⊥α 成立的是( ) B.α⊥β,n⊥β D.m∥α,n⊥m

A.α⊥β,n?β C.α⊥β,n∥β

6.(2011· 山东烟台质检)已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,给出下面有四个命题: ①α∥β?l⊥m; ②α⊥β?l∥m; ③l∥m?α⊥β; ④l⊥m?m 与 α 不相交. 则其中正确的命题为( A.①② C.①②③ ) B.①③ D.①③④

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7.l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面

)

B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面

8.已知 α1,α2,α3 是三个相互平行的平面,平面 α1,α2 之间的距离为 d1,平面 α2,α3 之间的距离为 d2,直线 l 与 α1,α2,α3 分别相交于 P1,P2,P3.那么“P1P2=P2P3”是“d1 =d2”的( ) B.必要不充分条件

A.充分不必要条件

9.平面 α 外有两条直线 m 和 n,如果 m 和 n 在平面 α 内的射影分别是直线 m1 和直线 n1,给出下列四个命题: ①m1⊥n1?m⊥n; ②m⊥n?m1⊥n1; ③m1 与 n1 相交?m 与 n 相交或重合; ④m1 与 n1 平行?m 与 n 平行或重合. 其中不正确的命题个数是( ... A.1 C.3 二、填空题 10.如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧棱 PA=a,PB =PD= 2a,则它的 5 个面中,互相垂直的面有________对. ) B.2 D.4

11.a、b 表示直线,α、β、γ 表示平面. ①若 α∩β=a,b?α,a⊥b,则 α⊥β; ②若 a?α,a 垂直于 β 内任意一条直线,则 α⊥β; ③若 α⊥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则 a⊥b; ④若 a 不垂直于平面 α,则 a 不可能垂直于平面 α 内无数条直线; ⑤若 l?α,m?α,l∩m=A,l∥β,m∥β,则 α∥β. 其中为真命题的是__________. 12.已知 α、β、γ 是三个互不重合的平面,l 是一条直线,给出下列四个命题: ①若 α⊥β,l⊥β,则 l∥α; ②若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β; ③若 l 上有两个点到 α 的距离相等,则 l∥α; ④若 α⊥β,α∥γ,则 γ⊥β.
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其中正确命题的序号是________. 13.如图:点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动,则下列四个命题: ①三棱锥 A-D1PC 的体积不变; ②A1P∥面 ACD1; ③DP⊥BC1; ④面 PDB1⊥面 ACD1. 其中正确的命题的序号是________. 三、解答题 14. 如图, 在△ABC 中, ∠ABC=45° ∠BAC=90° AD 是 BC 上的高, AD 把△ABD , , 沿 折起,使∠BDC=90° .

(1)证明:平面 ADB⊥平面 BDC; (2)若 BD=1,求三棱锥 D-ABC 的表面积.

15.如图,在△ABC 中,∠ABC=60° ,∠BAC=90° ,AD 是 BC 上的高,沿 AD 把△ABD 折起,使∠BDC=90° .
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(1)证明:平面 ADB⊥平面 BDC; → → (2)设 E 为 BC 的中点,求AE与DB夹角的余弦值.

16. .如图,在四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中,D1D⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是平行四 边形,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60° .

(1)证明:AA1⊥BD; (2)证明:CC1∥平面 A1BD.

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17.如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB, EF⊥FB,∠BFC=90° ,BF=FC,H 为 BC 的中点.

(1)求证:FH∥平面 EDB; (2)求证:AC⊥平面 EDB; (3)求四面体 B-DEF 的体积.

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18.如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BB1=BC,AC1⊥平面 A1BD,D 为 AC 的中点.

(1)求证:B1C∥平面 A1BD; (2)求证:B1C1⊥平面 ABB1A1; (3)在 CC1 上是否存在一点 E,使得∠BA1E=45° ,若存在,试确定 E 的位置,并判断平 面 A1BD 与平面 BDE 是否垂直?若不存在,请说明理由.

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参考答案:
一、BDCDB 二、10、 5 DBCD 11、②⑤ 12、②④ 13、①②④

14. [解析] (1)∵折起前 AD 是 BC 边上的高. ∴当△ABD 折起后,AD⊥DC,AD⊥DB, 又 DB∩DC=D, ∴AD⊥平面 BDC, ∵AD?平面 ABD, ∴平面 ABD⊥平面 BDC. (2)由(1)知,DA⊥DB,DB⊥DC,DC⊥DA, ∵DB=DA=DC=1, ∴AB=BC=CA= 2, 1 1 从而 S△DAB=S△DBC=S△DCA= ×1×1= , 2 2 1 3 S△ABC= × 2× 2×sin60° = , 2 2 1 3 3+ 3 ∴三棱锥 D-ABC 的表面积 S= ×3+ = . 2 2 2 15. [解析] (1)∵折起前 AD 是 BC 边上的高,

∴当△ABD 折起后,AD⊥DC,AD⊥DB, 又 DB∩DC=D,∴AD⊥平面 BDC, ∵AD?平面 ABD,∴平面 ABD⊥平面 BDC. (2)由∠BDC=90° 及(1)知 DA,DB,DC 两两垂直,不妨设|DB|=1,以 D 为坐标原点, → → → 以DB, , 所在直线为 x, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, DC DA y, 易得 D(0,0,0), B(1,0,0), 1 3 C(0,3,0),A(0,0, 3),E( , ,0), 2 2

→ 1 3 → ∴AE=( , ,- 3),DB=(1,0,0), 2 2
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→ → ∴AE与DB夹角的余弦值为 1 → → 2 AE· DB 22 → → cos<AE,DB>= = = . → → 22 22 |AE|· | 1× |DB 4 16. [解析] (1)证明:∵DD1⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD,∴DD1⊥BD 又∵AB=2AD 且∠BAD=60° ∴由余弦定理得 BD2=AB2+AD2-2AB· ADcos∠BAD 即 BD= 3AD,∴AD2+BD2=AB2,∴BD⊥AD 又∵AD∩DD1=D ∴BD⊥平面 ADD1A1,又∵AA1?平面 ADD1A1, ∴BD⊥AA1 (2)连结 AC,交 BD 于 M,连结 A1M,A1C1, 1 ∵底面 ABCD 是平行四边形,∴AM=CM= AC 2 又∵AB=2AD=2A1B1 ∴A1G 綊 CM,即四边形 A1MCC1 是平行四边形; ∴CC1∥AM1,又∵CC1?平面 A1BD,A1M?平面 A1BD ∴CC1∥平面 A1BD. 17. [解析] (1)证明:设 AC 与 BD 交于点 G,联结 EG、GH.则 G 为 AC 中点,∵H 是 BC 中点, 1 ∴GH 綊 AB 2 1 又∵EF 綊 AB, 2 ∴四边形 EFGH 为平行四边形.∴FH∥EG. 又 EG?面 EDB, FH?面 EDB, 而 ∴FH∥面 EDB. (2)证明:∵EF∥AB,EF⊥FB.∴AB⊥FB. 又四边形 ABCD 为正方形, ∴AB⊥BC,又 FB∩BC=B,∴AB⊥面 BFC. ∵FH?面 BFC,∴AB⊥FH. 又∵FB=BC,H 是 BC 中点,∴FH⊥BC. 又 AB∩BC=B,∴FH⊥面 ABCD,∴FH⊥AC. 又 EG∥FH,∴EG⊥AC, 又 AC⊥BD,BD∩EG=G,∴AC⊥面 EDB. (3)∵EF⊥BF,BF⊥FC 且 EF∩FC=F,
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∴BF⊥面 CDEF, 即 BF⊥面 DEF. ∴BF 为四面体 B—DEF 的高. 又∵BC=AB=2,∴BF=FC= 2. 四边形 CDEF 为直角梯形,且 EF=1,CD=2. 1 1 1 ∴S△DEF= (1+2)× 2- ×2× 2= 2 2 2 2 1 1 1 ∴VB—DEF= × 2× 2= . 3 2 3

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