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东营市2015年高考第二次模拟试题高三数学(文科)测试2015年4月

时间:2015-05-18


高三数学(文科)测试题
注意事项: 1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为非选择题,考试时间为 120 分钟, 满分 150 分. 2.把选择题选出的答案标号涂在答题卡上. 3.第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题纸规定的位置作答,否则不予评分.

第Ⅰ卷

选择题(共 50 分)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.将正确答案填写在答题卷相应位置. 1.已知 i 是虚数 单位,则 A. 1 ? 2i 2.若集合 A ? {x | ( ) A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | 0 ? x ? 1} 1
正视图

3?i =( 1? i
B. 2 ? i

) C. 2 ? i D. 1 ? 2i

x ? 0} , B ? {x | x 2 ? 2 x} ,则 A B ? x ?1
2 2

1 2

3
侧视图

3.若α ,β 是第一象限的角, “α >β ”是“sinα >sinβ ”的 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) 2

A.充分不必要条件 C.充要条件

2

4.一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为( A. 4 3 B.

俯视图

4 3 3

C.

2 3 3

D. 2 3

5. 执行右面的程序框图,如果输入的 x , t 均为 2,则输出的

S =(
A.4 C.6

) B.5 D.7

-1-

6. 已知 ?an ? 是首项为 1 的等比数列, s n 是 ?an ? 的前 n 项和,且 9s3 ? s6 ,则数列 ? ( A. )

?1? ? 的前 5 项和为 ? an ?

15 或5 8

B.

31 或5 16

C.

31 16

D.

15 8

7.有下列四种说法: ①命题: “ ?x0 ? R ,使得 x 2 ? x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R ,都有 x 2 ? x ? 0 ” ; ○ 2 已知随机变量 x 服从正态分布 N (1, ? 2 ) , P( x ? 4) ? 0.79 ,则 P( x ? ?2) ? 0.21; ○ 3 函数 f ( x) ? 2 sin x cos x ? 1, ( x ? R) 图像关于直线 x ? 数; ○ 4 设实数 x, y ? ?0,1? ,则满足: x 2 ? y 2 ? 1 的概率为 A.0 B.1 C.2

3? ? ? ?? 对称,且在区间 ?? , ? 上是增函 4 ? 4 4?

? .其中错误的个数是( 4
D.3



b ? f (3) , 8. 已知函数 f ( x ? 1) 是偶函数, 当 x∈(1, +∞)时, 函数 f ( x) ? sin x ? x , 设 a = f (? ) , c ? f (0) ,则 a 、 b 、 c 的大小关系为(
A. b < a < c B. c < a < b ) D. a < b < c )

1 2

C. b < c < a

9.已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? a cosax ? 1 的图象不可能是(

x2 y2 ? ? 1,随着 a 的增大该椭圆的形状( 10.已知焦点在 x 轴上的椭圆方程为 4a a 2 ? 1
A. 越扁 C.先接近于圆后越扁 B.越接近于圆 D.先越扁后接近于圆



-2-

第Ⅱ卷
11.已知 9 a ? 3,

非选择题(共 100 分)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

lg x ? a , 则 x ? _________.

12.某单位员工按年龄分为 A,B,C 三级,其人数之比为 5:4:1,现用分层抽样的方法从总体中抽取 一个容量为 20 的样本,已知 C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是 13.已知 f ( x) ? ?

1 , 则该单位员工总数为 _______. 45

? x 2 , ( x ? 0), ?? 2 sin x, (0 ? x ? ?)

,若 f [ f ( x0 )] ? 3 ,则 x0 ? ________.

?2 x ? y ? 2 ? 0, ? 14.设 x, y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0, 若目标函数 z ? 4ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 8,则 a ? x ? 0, y ? 0, ?
=_________时,

1 a ? 取得最小值. 2a b

15 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 原 点 A(?1,0), B(0, 5 ),C(3,0) , 动 点 D 满 足

CD ? 1 , 则

OA ? OB ? OD 的最大值是__________.
三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)某中学将 100 名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班” ,每班 50 人, 陈老师采用 A、B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验。为了解教学效果,期末考 试后,陈老师分别从两个班级中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计,作出茎叶图如下。记成绩不低 于 90 分者为“成绩优秀” 。

甲 9 9 5 4 5 4 1 3 1 4 1 3 6 0 2 0 2 9 8 7 6 5 3 0 3 0 2 6 1 4 7 5

8

9 8

乙 7 9 5 6 5 8 7

9 8 8

(Ⅰ)在乙班样本的 20 个个体中,从不低于 86 分的成绩中随机抽取 2 个,求抽出的两个均“成绩 优秀”的概率; (Ⅱ)由以上统计数据填写下面列联表,并判断是否有 90%的把握认为: “成绩优秀”与教学方式有 关。

甲班 (A 方式) 乙班 (B 方式) 成绩优秀 成绩不优秀 总计

总计

-3-

附K2 ?

n(n11 n22 ? n12 n21 ) 2 n(ad ? bc) 2 (此公式也可以写成 ? 2 ? ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) n1? n2? n?1n? 2
2

P( K ? k )

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

k

17. (本小题满分 12 分) )在 ?ABC 中,三个内角 A , B , C 的对边分别

C
为 a , b , c ,其中 c ? 2 , 且 (Ⅰ)求 a,b,C. ︿ ( Ⅱ ) 如 右 图 , 设 圆 O 过 A, B, C 三 点 , 点 P 位 于 劣 弧 AC 上 , 记

P

cos A b 3 . ? ? cos B a 1

B

A

?PAB ? ? ,求 ?PAC 面积最大值.
18 . ( 本小题满分 12 分 ) 如图,在梯形 ABCD 中, AB // CD ,

AD ? DC ? CB ? a , ?ABC ? 60? ,四边形 ACFE 是矩形,且平
面 ACFE ? 平面 ABCD ,点 M 在线段 EF 上. (Ⅰ )求证: BC ? 平面 ACFE ; (Ⅱ )当 EM 为何值时,AM//平面 BDF?证明你的结论。 19.(本小题满分 12 分) 设公比为正数的等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a3 ? 8, S2 ? 48 ,数列

{bn} 满足 bn ? 4log2 an .

[来源

(Ⅰ )求数列 {an } 和 {bn} 的通项公式; (Ⅱ )求正整数 m 的值,使得

bm ? bm?1 是数列 {bn} 中的项. bm?2
x2 y 2 ? ? 1 上不关于坐标轴对称的两个点,直线 AB 交 x 4 3

20.(本小题满分 13 分) 设 A, B 是椭圆 W :

轴于点 M (与点 A, B 不重合) ,O 为坐标原点. (Ⅰ)如果点 M 是椭圆 W 的右焦点,线段 MB 的中点在 y 轴上,求直线 AB 的方程; (Ⅱ) 设 N 为 x 轴上一点, 且 OM ? ON ? 4 , 直线 AN 与椭圆 W 的另外一个交点为 C, 证明: 点B 与点 C 关于 x 轴对称. 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ?
2

? ? e 2 x ? bx ? c, x ?1 2 ?a( x ln x ? x ? 1) ? 1, x ? 1

(Ⅰ)若 0 ? b ? 2e ,试讨论函数 f ( x) 在区间 ?? ?,1? 上的单调性; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 x ? 0 处取得极值 1,求 f ( x) 在区间 ?? 2,2?上的最大值.
-4-

高三数学(文科)测试题参考答案
一、选择:1-10:DADBD CAABB

二、填空:11、 10 ; 12、100; 13、 三、解答: 16.解:

? 2? 或 ; 3 3

14、

2 3

15、4

(Ⅱ)由已知数据得:

甲班 (A 方式) 乙班 (B 方式) 成绩优秀 成绩不优秀 总计 1 19 20 5 15 20

总计 6 34 40

17.解:(1)由正弦定理得

cos A sin B , ? cos B sin A

整理为 sin A cos A ? sin B cos B ,即 sin 2 A ? sin 2 B 又因为 0 ? 2 A, 2 B ? 2? ∴ 2 A ? 2 B 或 2 A ? 2 B ? ? ,即 A ? B 或 A ? B ?

?
2



b 3 , ? a 1

∴ A ? B 舍去,故 A ? B ? 可知 C ?

?
2

由 A? B ?

?
2

?
2

,∴ ?ABC 是直角三角形

-5-

(2)由(1)及 c ? 2 ,得 a ? 1 , b ? 3 , 设 ?PAB ? ? (

?7 分

?
6

?? ?

?
2

) ,则 ?PAC ? ? ?

?
6



在 Rt ?PAB 中, PA ? AB ? cos ? ? 2 cos ?
S ?PAC ?

所以

1 ? 1 ? PA ? AC ? sin(? ? ) ? ? 2 ? cos ? ? 3 ? sin(? ? ) ? 3 ? cos ? ? sin(? ? ? ) 2 6 2 6 6

? 3 cos ? (sin ? ?

3 1 3 3 ? cos ? ? ) ? cos ? sin ? ? cos 2 ? 2 2 2 2

3 3 1 ? cos 2? 3 3 1 3 ? sin 2? ? ? ? ( sin 2? ? cos 2? ) ? 4 2 2 2 2 2 4 ? 3 ? 3 sin(2? ? ) ? 2 6 4

因为

?
6

?? ?

?
2

所以

?
6

? 2? ?

?
6

?

5? , 6

当 2? ?

?
6

?

?
2

,即 ? ?

?
3

时, S ?PAC 最大值等于

3 . 4

18、解: (1)在梯形 ABCD 中,? AB // CD , AD ? BC , ? 四边形 ABCD 是等腰梯形? ?ABC ? 60? , AD ? CD

? ?DCA ? ?DAC ? 30? , ?DCB ? 120? ,
? ?ACB ? ?DCB ? ?DCA ? 90? ? AC ? BC .

? 四边形 ACFE 是矩形,? FC ? AC 又 平面 ACFE ? 平面 ABCD ,交线为 AC ? FC ? 面ABC ,? FC ? BC ? AC ? FC ? C
? BC ? 平面 ACFE .
(2)当 EM ?

3 a 时, AM // 平面 BDF , 3
BD ? N ,连接 FN ,则 CN : NA ? CD : AB ? 1 : 2 ,

由(1)知 AB= 2 a 在梯形 ABCD 中,设 AC

? EM ?

3 a ,而 EF ? AC ? 3a ,? EM : MF ? 1 : 2 , 3

? MF // AN ,? 四边形 ANFM 是平行四边形,? AM // NF ,
又? NF ? 平面 BDF , AM ? 平面 BDF ? AM // 平面 BDF . 19、解: (Ⅰ)设 {an } 的公比为 q ,则有 ?

?a1 ? q2 ? 8 ?a1 ? a1q ? 28

?q?
-6-

1 1 或 q ? ? (舍) 。 2 2

则 a1 ?

1 8 ? 32 , an ? 32 ? ( )n?1 ? 26? n , 2 2 q

bn ? 4log2 an ? 4log2 26?n ? ?4n ? 24 。
即数列 {an } 和 {bn} 的通项公式为 an ? 32 ? ( ) (Ⅱ)

1 2

n ?1

? 26? n , bn ? ?4n ? 24 。

bm ? bm?1 (24 ? 4m)(20 ? 4m) 4(6 ? m)(5 ? m) ,令 t ? 4 ? m(t ? 3, t ? Z ) ,所以 ? ? bm?2 (16 ? 4m) (4 ? m)

bm ? bm?1 4(6 ? m)(5 ? m) 4(2 ? t )(1 ? t ) 2 ? ? ? 4(t ? 3 ? ) , bm?2 (4 ? m) t t
如果

2 2 bm ? bm?1 是数列 {bn} 中的项,设为第 m0 项,则有 4(t ? 3 ? ) ? 4(6 ? m0 ) ,那么 t ? 3 ? 为小于 t t bm?2

等于 5 的整数,所以 t ?{?2, ?1,1,2} .

2 ? 6 ,不合题意; t 2 当 t ? ?1 或 t ? ?2 时, t ? 3 ? ? 0 ,符合题意. t
当 t ? 1 或 t ? 2 时, t ? 3 ? 所以,当 t ? ?1 或 t ? ?2 时,即 m ? 5 或 m ? 6 时,

bm ? bm?1 是数列 {bn} 中的项. bm?2
又 AF1 ? AF2 ? a

20.解: (1)由题意

c 1 1 ? , 得 c ? a ,所以 F 1 F 2 ? a a 2 2

由于 BF2 ? 2BF 1 ? AF2 ? F 1 F2 ? a 1 为 BF2 的中点,所以 AF 1 ,所以 F 所以 ?ABF2 的外接圆圆心为 F1 ( ?

a , 0) ,半径 r ? F1 A ? a ???????3 分 2
1 ? a ?3 2 ?a 2

又过 A、B、F2 三点的圆与直线 g : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,所以 解得 a ? 2 , c ? 1, b2 ? a2 ? c2 ? 3. 所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

(2)有(1)知 F2 (1,0) ,设 l 的方程为: y ? k ( x ? 1)

? y ? k ( x ? 1) ? (3 ? 4k 2)x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 将直线方程与椭圆方程联立 ? x 2 y 2 ,整理得 ?1 ? ? ?4 3
设交点为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,因为 3 ? 4k ? 0
2

则 x1 ? x2 ?

8k 2 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) 3 ? 4k 2
-7-

若存在点 P(m,0) ,使得以 PM , PN 为邻边的平行四边形是菱形, 由于菱形对角 线垂直 ,所以 (PM ? PN).MN ? 0 又 PM ? PN ? ( x1 ? m, y1 ) ? ( x2 ? m, y2 ) ? ( x1 ? x2 ? 2m, y1 ? y2 ) 新 课 标第 一网] 又 MN 的方向向量是 (1, k ) ,故 k ( y1 ? y2 ) ? x1 ? x2 ? 2m ? 0 ,则

k 2 ( x1 ? x2 ? 2) ? x1 ? x2 ? 2m ? 0 ,即 k 2 (
由已知条件知 k ? 0且k ? R,
?m ?

8k 2 8k 2 ? 2) ? ? 2m ? 0 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

k2 1 ? 3 3 ? 4k 2 ?4 k2

?0 ? m ?

1 ,故存在满足题意的点 P 且 m 的取值范围是 1 (0, ) 4 4

20、解: (Ⅰ)椭圆 W 的右焦点为 M (1,0) , 所以点 B 的横坐标为 ?1 ,

因为线段 MB 的中点在 y 轴上, 因为点 B 在椭圆 W 上,

将 x ? ?1 代入椭圆 W 的方程,得点 B 的坐标为 ( ?1, ? ) . 所以直线 AB (即 MB )的方程为 3x ? 4 y ? 3 ? 0 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 . (Ⅱ)证明: 由题意,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 B1 ( x2 , ? y2 ) .

3 2

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12, 2 2 2 由 ? 得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ?12 ? 0 , ? y ? kx ? m,
所以 ? ? (8km)2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) ? 0 ,

x1 ? x2 ? ?

8km 4m 2 ? 12 , x1 x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 m , 0) , k

在 y ? kx ? m 中,令 y ? 0 ,得点 M 的坐标为 ( ? 由 OM ? ON ? 4 ,得点 N 的坐标为 ( ?

4k , 0) , m

设直线 NA , NB1 的斜率分别为 k NA , k NB1 ,

y1 ? y2 则 k NA ? k NB1 ? ? ? 4k 4k x1 ? x2 ? m m 4k 4k ? x1 y2 ? y2 ? 因为 x2 y1 ? y1 ? m m

x2 y1 ? y1 ?

4k 4k ? x1 y2 ? y2 ? m m , 4k 4k ( x1 ? )( x2 ? ) m m

-8-

? x2 (kx1 ? m) ? (kx1 ? m) ?

4k 4k ? x1 (kx2 ? m) ? (kx2 ? m) ? m m

? 2kx1 x2 ? (m ?

4k 2 )( x1 ? x2 ) ? 8k m

? 2k ? (

4m2 ? 12 4k 2 8km ) ? ( m ? )(? ) ? 8k 2 3 ? 4k m 3 ? 4k 2

?

8m2 k ? 24k ? 8m2 k ? 32k 3 ? 24k ? 32k 3 3 ? 4k 2

? 0,
所以 kNA ? kNB1 ? 0 , 所以点 A , N , B1 三点共线,即点 B 与点 C 关于 x 轴对称.

21、解: (1)当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? (?e

2x

? bx ? c)? ? ?2e2 x ? b ,

1 b ln , 2 2 1 b 1 b 1 b 2 因为 0 ? b ? 2e ,因此 x0 ? ln ? 1 ,故导数值在 ( ??, ln ) 为正,在 ( ln ,1] 为负, 2 2 2 2 2 2 1 b 1 b 所以函数 f ?x ? 在 ( ??, ln ) 为增函数,在 ( ln ,1] 为减函数; 2 2 2 2
易知函数 f ? ? x ? 为 (??,1] 上的减函数,令 f ? ? x ? ? 0 得导函数有唯一零点 x0 ? (2)由题意当 x ? 0 时, f (0) ? c ? 1 ? 1, ? c ? 2 , 当 x ? 1 时, f ?( x) ? ?2e 2 x ? b , 依题意得 f ?(0) ? ?2e2 x ? b 经检验 ?
x?0

? ? 2e0 ? b ? 0, ?b ? 2 ,

2x ? ?b ? 2, ??e ? 2 x ? 2, x ? 1, 符合条件,因此 f ( x) ? ? 2 ? ?c ? 2 ?a ( x ln x ? x ? 1) ? 1, x ? 1,

当 ? 2 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?e2 x ? 2x ? 2 , f ?( x) ? ?2e 2 x ? 2 , 令 f ? ? x ? ? 0 得 x ? 0, 当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x) f ( x)

?2

(?2,0)
+

0 0 极大值 1

(0,1)
— 递减

1

?e?4 ? 2

递增

4 ? e2

由上表可知 f ( x) 在 [?2,1] 上的最大值为 1 .
2 当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? a( x ln x ? x ? 1) ? 1 .

-9-

f ?( x) ? a(2 x ln x ? x ? 1) ,
令 g ( x) ? 2 x ln x ? x ? 1 , 当 1 ? x ? 2 时,显然 g ( x) ? 0 恒成立, 当 a ? 0 时, f ?( x) ? a(2 x ln x ? x ? 1) ? 0,

f ( x) 在 (1,2] 单调递减,所以 f ( x) ? f (1) ? 1恒成立.
此时函数在 [?2,2] 上的最大值为 1 ; 当 a ? 0 时,在 (1,2] 上 f ( x) ? 1 , 当 a ? 0 时, 在 (1,2] 上 f ?( x) ? a(2 x ln x ? x ? 1) ? 0, 所以在 (1,2] 上,函数 f ( x) 为单调递增函数. ∴ f ( x) 在 (1,2] 最大值为 a(4 ln 2 ? 1) ? 1 ,

? a(4 ln 2 ? 1) ? 1 ? 1 ,故函数 f ( x) 在 [?2,2] 上最大值为 a(4 ln 2 ? 1) ? 1 .
综上:当 a ? 0 时, f ( x) 在 [?2,2] 上的最大值为 1 ; 当 a ? 0 时, f ( x) 在 [?2,2] 最大值为 a(4 ln 2 ? 1) ? 1 .

- 10 -


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