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数列通项公式的求法归纳(含例题)

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数列通项公式的求法 一、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目. 2 例 1.等差数列 {a n } 是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列, S 5 = a5 .求数列 {a n } 的通项公 式. 解:设数列 {a n } 公差为 d ( d > 0) 2 ∵ a1 , a3 , a9 成等比数列,∴ a3 = a1 a9 ,即 ( a1 + 2d ) 2 = a1 (a1 + 8d ) ? d 2 = a1 d ∵d ≠ 0, 2 ∵ S 5 = a5 ∴ a1 = d ………………………………① ∴ 5a1 + 5× 4 ? d = (a1 + 4d ) 2 …………② 2 ∴ an = 由①②得: a1 = 3 3 ,d = 5 5 3 3 3 + (n ? 1) × = n 】 5 5 5 点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。 二、公式法 若已知数列的前 n 项和 S n 与 a n 的关系,求数列 {a n } 的通项 a n 可用公式 an = ? ?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n = 1 求解。 ?S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? n ≥ 2 例 2.已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n 满足 S n = 2a n + ( ?1) n , n ≥ 1 .求数列 {a n } 的通项公式。 解:由 a1 = S1 = 2a1 ? 1 ? a1 = 1 n 当 n ≥ 2 时,有 a n = S n ? S n ?1 = 2( a n ? a n ?1 ) + 2 × ( ?1) , ∴ an = 2an ?1 + 2 × ( ?1) n ?1 , a n ?1 = 2a n ? 2 + 2 × ( ?1) n ? 2 , ……, a 2 = 2a1 ? 2. ∴an = 2n?1a1 +2n?1 ×(?1) +2n?2 ×(?1)2 +L+2×(?1)n?1 = 2n?1 + (?1)n[(?2)n?1 + (?2)n?2 +L+ (?2)] = 2n?1 ? (?1)n 2[1? (?2)n?1] 3 2 = [2n?2 + (?1)n?1]. 3 经验证 a1 = 1 也满足上式,所以 a n = 2 n?2 [2 + (?1) n?1 ] 3 点评:利用公式 a n = ? 三、由递推式求数列通项法 ?S n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n = 1 求解时,要注意对 n 分类讨论,但若能合写时一定要合并. ?S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? n ≥ 2 对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也 用到一些特殊的转化方法与特殊数列。 类型 1 递推公式为 a n +1 = a n + f (n) 解法:把原递推公式转化为 a n +1 ? a n = f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。 例 3. 已知数列 {a n } 满足 a1 = 解:由条件知: a n +1 ? a n = 1 1 , a n +1 = a n + 2 ,求 a n 。 2 n +n 2 1 1 1 1 = = ? n + n n(n + 1) n n + 1 分别令 n = 1,2,3,? ? ? ? ??, ( n ? 1) ,代入上式得 ( n ? 1) 个等式累加之,即 (a 2 ? a1 ) + (a3 ? a 2 ) + (a 4 ? a3 ) + ? ? ? ? ? ? +(a n ? a n?1 ) 1 1 1 1 1 1 1 = (1 ? ) + ( ? ) + ( ? ) + ? ? ? ? ? ? + ( ? ) 2 2 3 3 4 n ?1 n 所以 a n ? a1 = 1 ? 类型 2 (1)递推公式为 a n +1 = f ( n) a n 解法:把原递推公式转化为 1 n Q a1 = 1 , 2 ∴ an = 1 1 3 1 +1? = ? 2 n 2 n a n+1 = f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an 2 n , a n +1 = a n ,求 a n 。 3 n +1 例 4. 已知数列 {a n } 满足 a1 = 解:由条件知 a n+1 n = ,分别令 n = 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式累乘之,即 an n +1 a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n ?1 1 ? ? ? ?????? ? n = × × × ??????× ? n = a1 a 2 a3 a n?1 2 3 4 n a1 n 又Q a1 = 2 , 3 ∴ an = 2 3n 注:由 a n +1 = f (n)a n 和 a1 确定的递推数列 {a n } 的通项还可以如下求得: 所以 a n = f (n ? 1)a n ?1 , a n ?1 = f (n ? 2)a n ? 2 , ? ? ? , a 2 = f (1)a1 依次向前代入,得 a n = f (n ? 1) f (n ? 2) ? ? ? f (1)a1 , 类型 3 递推式: a n +1 = pa n + f (n ) 解法:只需构造数列 {bn } ,消去 f (n ) 带来的差异.其中 f (n ) 有多种不同形式 ① f (n ) 为常数,即递推公式为 a n +1 = pa n + q (其中 p,q 均为常数, ( pq ( p ? 1) ≠ 0) )。 解法:转化为: a n +1 ? t = p (a n ? t )

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