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数学奥林匹克高中训练题

时间:2014-05-22


24

中 等 数 学

数学奥林匹克高中训练题 ( 19)
第 一 试
一、 填空题 ( 每小题 7 分 ,共 56 分) 1. 若函数 y = f ( x ) 的图像经过点 ( 2 ,4) , 则 y = f ( 2 - 2 x ) 的反函数必过点 . 2. 某天下午的课程表要排入物理、 化学 、 生物和两节自习共 5 节课 . 如果第一节不排 生物 ,最后一节不排物理 , 那么 , 不同的排课 表的方法有 种. 3. 正八边形 A 1 A 2 …A 8 的边长为 1 ,任取 两点 A i 、 Aj . 则 AiAj ? A 1 A 2 最大值为
. 4. 某人排版一个三角形 , 该三角形有一

π) . 求 : 3cos x ( 0 ≤x < 2 ( 1) f ( x ) 的值域 ;
( 2) f ( x ) 的单调区间 . 10. ( 15 分) 已知 a > 0 , b > 0 , log9 a = log12 b = log16 ( a + b) .
b 的值 . a


2

11. ( 15 分) 过点 ( 2 ,3) 作动直线 l 交椭圆
x

4

+ y = 1 于两不同点 P 、 Q ,过 P 、 Q 作椭圆

2

的切线 ,两条切线的交点为 M . ( 1) 求点 M 的轨迹方程 ;
(2) 设 O 为坐标原点 , 当四边形 POQM

个内角为 60° , 该角的两边边长分别为 x 和 9. 这个人排版时错把长 x 的边排成长 x + 1 , 但发现其他两边的长度没变 . 则 x = . 5. 过正方体外接球球心的截面截正方体 所得图形可能为 . ① 三角形  ② 正方形  ③ 梯形 ④ 五边形  ⑤ 六边形
6. 若 n ∈N , 且
n + 24 2

的面积为 4 时 ,求直线 l 的方程 .

第 二 试
(50 分) 如图 一、 1 ,锐角 △ ABC 外心为 O ,直线 BO 和 CO 分

n - 9 为正

2

整数 ,则 n = . 7. 对于实数 x ,[ x ] 表示不超过实数 x 的 最大整数 . 对于某个整数 k , 恰存在 2 008 个 正整数 n1 , n2 , …, n2 008 ,满足
k=[
3

n1 ] = [

3

n2 ] = …= [

3

n2 008 ] ,

别与边 AC 、 AB 交于 点 B′ 、 C′ . 直线 B′ C′ 交 △ABC 外 接 圆 于 图1 点 P、 Q . 若 A P = AQ , 求证 : △ABC 是等腰三角形 . ( 50 分) 已知数列{ a n } 由 二、
2 2 2 2 , a = a n + a n - 1 + …+ a1 ( n ∈N+ ) 3 n+1 确定 . 若对于任意的 n ( n ∈N+ ) ,
a1 =

且 k| ni ( i = 1 ,2 , …,2 008) . 则 k =

.

8. A 、 B 两队进行乒乓球团体对抗赛 , 每

队各三名队员 , 每名队员出场一次 . A 、 B 两 队的三名队员分别是 A 1 、 A2 、 A3 , B 1 、 B2 、 B3 , 且 A i 对 B j 的胜率为
i ( 1 ≤i 、 j≤ 3) . 则 A i+j

1
a1 + 1

+

1
a2 + 1

+ …+

1
an + 1

<M

队得分期望的最大可能值是    二、 解答题 ( 共 44 分)

.

恒成立 . 求 M 的最小值 . ( 50 分) ( 1) 证明 : 存在无穷多个正整 三、 数 n ,使 3 + 2 与 5 + 2 同时为合数 . ( 2) 试判断是否存在正整数 p 、 q ,使得对
n n

9. ( 14 分) 已知 f ( x ) = sin 2 x + 3sin x +

2009 年第 6 期
n 于任意的 n ( n ≥2 007 ) , 总 有 p ? 3 +2与

25

q? 5 + 2 之一为质数 ? 并证明你的结论 .

n

( 50 分) 已知边长为 n 的正方形及其 四、 2 内部的 ( n + 1 ) 个点 , 其中无三点共线 . 证

所以 ,3 k + 4 = 2 008 ] k = 668. 91 8. . 60 讨论可知 , 当 A 1 ∶ B 3 , A2 ∶ B 1 , A3 ∶ B2 时 , 期望最大为
91 . 60 二、 9. ( 1) 设 sin x + cos x = t ( - 2 ≤t ≤ 2 ) .
2

明 : 可以选取其中的三个点 ,以这三个点为顶 点的三角形的面积不超过
1 . 2

参考答案
第 一 试    一、 1. (4 ,0) .
由于 f ( 2) = 4 ,故函数 y = f ( 2 - 2 x ) 过点 ( 0 ,4) ,则其反函数过点 ( 4 ,0) .
2. 39.

则 sin 2 x = t - 1. 2 只要求 g ( t ) = t + 3 t - 1 的值域 . 2 3 13 又 g ( t) = t + ,故 t = ± 2 时 , 2 4 g ( t ) 取得最值 ,即 f ( x ) 的值域为
[ 1 - 3 2 ,1 + 3 2 ] . ( 2) f ′ ( x ) = 2cos 2 x + 3 ( cos x - sin x ) = ( cos x - sin x ) ( 2cos x + 2sin x + 3) .

由容斥原理可知 , 不同的排课表的方法 有
5! 4! 3! - 2× + = 39 种 . 2 2 2 3. 2 + 1.

根据向量内积的几何意义 ,只要看向量在
A 1 A 2 方向上的投影即可 . 故最大值为 2 + 1.

4. 4.
x+

又 2cos x + 2sin x + 3 ≥ 0 ,故 f ( x ) 的单调 π π 5 π 减 区间为 , , 单调增区间为 0 , 、 4 4 4 π 5 π . ,2 4 10. 设 log 9 a = log12 b = log16 ( a + b) = k . 则 a = 9 , b = 12 , a + b = 16 . 2 故 ( a + b) a = b . 解得
b 1+ 5 = . a 2
k k k



1 2

9

= cos 60° ,得 x = 4.

5. ②、 ⑤.

由对称性可知 , 所得图形应为中心对称 图形 ,且 ②、 ⑤ 可以截得 .
6. 5.

11. ( 1) 依题意设直线 l 的方程为 y = k ( x - 2) + 3.

与椭圆联立得
n + 24 2

注意到
=
2

n - 9
2

2

(1 + 4 k2 ) x2 + 8 k (3 - 2 k) x + 4 (4 k2 - 12 k + 8) = 0.

33
n + 24 +
2

n - 9

,

Δ = 64 ( 3 k - 2) > 0 ] k > 因此 ,

2 . 3



n + 24 +

2

n - 9 可能为 1 ,3 ,11 ,33.

设 P ( x 1 , y1 ) 、 Q ( x2 , y2 ) . 则过 P 、 Q的 椭圆的切线方程分别为
x1 x

从而解得 n = 5.
7. 668.



3

n - 1 < k ≤ n ,则
3 3 3

3

4
x2 x

+ y1 y = 1 , + y2 y = 1.

① ②

3 3 k ≤n , ( k + 1) > n .

4

又 k | n , 则 n 可取 k , k + k , …, k +
3 k + 3 k ,共 3 k + 4 个 .
2

①×x2 - ②×x1 ,并由 y1 = k ( x1 - 2) +
3 及 y2 = k ( x2 - 2) + 3 ,得

26

中 等 数 学

y=

1 3 - 2k

k≠

3 . 2
k≠

同理 , x =

- 4k 3 - 2k

3 . 2

所以 , △ABC 是等腰三角形 . 2 二、 由题可知 ,当 n ≥ 2 时 , an + 1 = a n + an . 又 a2 = a1 =
b1 =
2

故点 M 的轨迹方程为 x + 6 y - 2 = 0 ( 椭 圆外部分) . ( 2) 注意到
| PQ| = 64 ( 3 k - 2) ( 1 + k ) , 2 1 +4k | 3 - 2 k| 1+ k
2 2

4 = 9

1 3

2

+

1 ,不妨设 3

1 , b = an ( n ≥ 2) . 3 n 2 则 bn + 1 = b n + bn ( n ∈N+ ) .



下面用数学归纳法证明 :
, . 3 bn + 1 - 1 1 1 1 + + …+ = . b1 + 1 b2 + 1 bn + 1 bn + 1

O 到 PQ 的距离为 d1 = M 到 PQ 的距离为 d2 =
2

② 当 n =1 时 ,
b2 =
2

4| 3 k - 2| | 3 - 2 k| 1+ k
2

1+ k

则 d1 + d2 =

4k +1 | 3 - 2 k|

.

3 b2 - 1 3 4 1 , = = . 9 b1 + 1 b2 4

故四边形 POQM 的面积为
S=

1 4 3k - 2 ( d + d2 ) | PQ| = . 2 1 | 3 - 2 k| 11 . 4

当 S = 4 时 ,解得 k = 1 或 k =

式② 成立 . 假设 n = k 时 ,式 ② 成立 . 则 n = k +1时, 1 1 1 1 + + …+ + b1 + 1 b2 + 1 bk + 1 bk + 1 + 1
= = 3 bk + 1 - 1
bk + 1

因此 ,直线 l 为 x - y + 1 = 0 或 11 x - 4 y - 10 = 0.

+

1
bk + 1 + 1

第 二 试
一、 如图 2 , 联 结 B P、 QC . 由 A P = AQ , 得 ∠A PQ = ∠AQP. 则 ∠PBA = ∠AQP
= ∠A PC′ .
图2

3 bk + 1 ( bk + 1 + 1) - 1 . bk + 1 ( bk + 1 + 1)

又由式 ① 知 3 bk + 1 ( bk + 1 + 1) - 1 3 bk + 2 - 1 = . bk + 1 ( bk + 1 + 1) bk + 2 所以 , n = k + 1 时结论成立 . 1 1 1 则 + + …+ a1 + 1 a2 + 1 an + 1
= = 1
b1 + 1

+

1
b2 + 1

+ …+

1

bn + 1 1 + a1

+

1

-

1 1 + b1

又 ∠PAB 为公共角 ,所以 , △A PC′ △AB P. 2 则 AC′ ? AB = A P . 2 同理 , AB′ ? AC = AQ . 从而 , AC′ ? AB = AB′ ? AC . 因此 , C′ 、 B′ 、 C、 B 四点共圆 ,有 ∠ABO = ∠ACO . 联结 AO ,可得 △ABO △ACO . 则 AB = AC .

3 bn + 1 - 1
bn + 1

-

3 57 1 = . 20 20 bn + 1

又知 bn + 1 为正数 ,且
1 2 2 bn + 1 - bn = b n ≥b1 ≥ , 9

所以 ,当 n 趋于无穷大时 , bn + 1 趋于无穷大 . 则 M 的最小值为
n

57 . 20
n- 1

( 1) 注意到 3 + 2 = 3 ( 3 三、 - 1) + 5. 4 由费马小定理得 3 ≡ 1 ( mod 5) .

2009 年第 6 期

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数学奥林匹克高中训练题 ( 20)
第一试
一、 填空题 ( 每小题 7 分 ,共 56 分) 2 2 1. 设 a 、 b ∈N+ , 当 a + b 除以 a + b 时 ,商为 q ,余数为 r . 则使 q + r = 2 009 成 立的数对 ( a , b) 共有 对. 2. 四个家庭依次记为甲 、 乙、 丙、 丁 ,每家 四人 ,大家分四组进行四人比赛 . 那么 , 至少 有两组 、 每组四人来自不同家庭的概率为 . 3. 已知在 △ABC 中 , AC ≥AB , 边 BC 被
n    令 n - 1 = 4 r . 则 5| ( 3 + 2 ) , 即当 n =

分成 n ( n 为奇数) 等份 . 用 α 表示从点 A 看 包含边 BC 中点的那一等份的视角 , h 为边
BC 上的高 , BC = a . 若 tan α =

4 nh ,则 ( n2 - 1) a

2

∠BAC =
3

.
2

4. 已知 a 、 b、 c、 d ∈Z ,
f ( x ) = ax + bx + cx + d .

则 A (1 ,1) 、 B ( 2 009 ,1) 、 C ( - 6 020 ,2 ) 、 D ( 2 , - 6 020 ) 中 , 至多有 个在曲线 y = f ( x) 上 .
5. 已知一个四面体 ABCD 被 n + 1 ( n 为 1 ( x ∈N+ ) 时 , p? 3 + 2 与 q? 5 + 2 同时为合
n n

4 r + 1 ( r ∈N+ ) 时 ,3 + 2 为合数 .

n

数. 四、 令这 ( n + 1) 个点的凸包为 k 边形 .
(1) 若 k ≥ 4 n , 则 k 边形周长不超过 4 n ( 由于凸包在正方形内部) . 故存在连续的两
2

又 5 + 2 = 5 (5 6 理得5 ≡ 1 ( mod 7) .

n

n- 1

- 1 ) + 7 , 由费马小定

n 令 n - 1 = 6 s . 则 7| ( 5 + 2 ) , 即当 n =

6 s + 1 ( s ∈N+ ) 时 ,5 + 2 为合数 .

n

从而 , 只要 n - 1 = 12 t , 即 n = 12 t + 1
n ( t ∈N+ ) 时 ,3 n + 2 、 5 + 2都是合数 . 这样的 n

有无穷多个 . ( 2) 不存在 .
p? 3 + 2 = p ( 3 - 3) + 3 p + 2 ,
n n

条边 ,其长度之和不大于 2. 则以这两条边上 1 的三个顶点构成的三角形面积不大于 . 2 ( 2) 若 k < 4 n ,则从凸包某个顶点出发的
k - 3 条对角线将其分成 k - 2 个三角形 . 将

取 3 p + 2 的一个质因子 s ,则 ( s ,3) = 1. 由费马小定理知 ,当 n = t ( s - 1) + 1 ( t ∈N+ )
n n



凸包内的所有点编号 , 并且依次进行如下操 作 : 将每个点与包含它的最小的三角形的三 个顶点连线 . 则每进行一次操作增加两个三 角形 ,且这些三角形互不重叠 . 于是 , 对所有 点操作后共得到
( k - 2) + 2[ ( n + 1) 2 - k ] = 2 n2 + 4 n - k > 2 n2

时 , s | [ p ( 3 - 3 ) + 3 p + 2 ] , 即 p? 3 + 2 为合 数.
n n 同理 , q? 5 + 2 = q ( 5 - 5) + 5 q + 2 , 取 5 q + 2 的一个质因子 u ,则当 n = v ( u - 1) + 1 ( v ∈N+ ) ②

个三角形 . 故必有一个三角形的面积不大于
1 . 2

时 , q? 5 + 2 为合数 . 由式 ①、 ② 知 ,当 n = x ( s - 1) ( u - 1) +

n

综上所述 ,原命题成立 . (张  雷  苏 建 一  东 北 育 才 学 校 , 110001)


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