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一道高考题的教学反思

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龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 一道高考题的教学反思 作者:朱秀芳 来源:《新校园· 中旬刊》2013 年第 12 期 在新课程背景下,如何加强有效性教学,适度避开教学盲区,减轻师生负担,提高教学成 绩,是广大教育工作者急切关心的话题,笔者以 2007 年浙江高考数学(理)20 题为例,初浅 谈谈对高考题教学的实施与体会。 一、案例 如图,直线 y=kx+b 与椭圆■+y2=1 交于 A、B 两点,记△ AOB 的面积为 S。 (1)求在 k=0,0 (2)当|AB|=2,S=1 时,求直线 AB 的方程。 本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识,考查解析几何的基本 思想方法和综合解题能力。 (1)解:设点 A 的坐标为(x1,b),点 B 的坐标为(x2,b),由■+y2=1,解得 x1.2=±2■,所以 S=■b|x1-x2|=2b■≤1,当且仅当 b=■时,S 取到最大值 1。 (2)解:由■+y2=1y=kx+b,得(k2+■)x2+2kbx+b2-1=0, 得:△ =4k2-b2+1>0x1+x2=■x1x2=■,由|AB|=■|x1-x2|=2, 得■=2。 设 O 到 AB 的距离为 d,则 d=■,又■,所以 b2=k2+1,代入上式,整理,得 k4-k2+■=0, 解得 k2=■,b2=■,经检验,△ >0,符合题意。 故直线 AB 的方程是:y=■x+■或 y=■x-■或 y=-■x+■或 y=-■x-■。 教师再提示解题重在用方程观点研究几何,用设而不求整体代换方法分析问题和解决问 题,培养较强的运算能力和不懈的毅力;再布置相关练习,一节课也就结束了。 这样的教学仅在于搞清题意,解决了题目,为解题而解题;对学生更深层次的学习、理 解、探究还未到位,与新课标的要求还有距离。因此,笔者继续带领学生向问题的原型探索。 二、本题在日常教学中的原型 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 原型 1:圆 x2+y2=1 上两点 A、B,圆心为 O,求 AOB 面积 S 的最大值。 学生:当 OA⊥OB 时,Smax=■|OA||OB|=■ 原型 2:椭圆■+y2=1 上 A、B 两点,记△ AOB 的面积为 S,求 S 最大值。 学生 1:当直线 AB 斜率不存在时,设点 A(x1,y1),点 B(x1,-y1),|AB|=2|y1|,记 O 到 AB 的距离为 d,d=|x1|,S=|x1||y1|=2■■≤■+y12=1,当且仅当|x1|=■,|y1|=■时取“=”; 当直线 AB 斜率存在时,设 AB:y=kx+b, 联立■+y2=1y=kx+b,得(k2+■)x2+2kx+b2-1=0, 得:△ =4k2-b2+1>0x1+x2=■x1x2=■, 由|AB|=■|x1-x2|=■ 设 O 到 AB 的距离为 d,则 d■,S=■■=2■≤1(当仅当 4k2+1=2b2 时,式子取“=”) ∴Smax=1。 学生 2:设 A(2cosα,sinα),B(2cosβ,sinβ),■,■的夹角为 θ,则: |OA|=■,|OB|=|■, sinθ=■ =■ S=■|OA||OBsinθ=|cos(α+β)|≤1(当 α=-β 时式子可取“=”), ∴Smax=1。 学生 3:圆 x2+y2=1 到椭圆■+y2=1 变换矩阵为■ 00 1,变换行列式的绝对值为■,而圆 x2+y2=1 上两点 A、B,圆心为 O,AOB 面积 S 的最大值为■,所以椭圆■+y2=

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