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数列求和7种方法(方法全

时间:2016-04-17


数列求和的基本方法和技巧(配以相应的练习)
一、总论:数列求和 7 种方法: 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法,等比数列的求和方法是错位相减 法, 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
3、 S n ?

1 k ? n(n ? 1) ? 2 k ?1

n

4、 S n ?

?k
k ?1

n

2

1 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6

5、 S n ?

?k
k ?1

n

3

1 ? [ n(n ? 1)]2 2
1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. 2

[例 1] 已知 x ?

解:由等比数列求和公式得

Sn ? x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n
1 1 (1 ? n ) x (1 ? x n ) 2 2 =1- 1 = = 1 2n 1? x 1? 2

(利用常用公式)

[例 2] 设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求 f (n) ?

Sn 的最大值. (n ? 32) S n ?1
1

解:由等差数列求和公式得 S n ? ∴ f ( n) ?

1 1 n(n ? 1) , S n ? (n ? 1)( n ? 2) 2 2

(利用常用公式)

n Sn = 2 (n ? 32) S n ?1 n ? 34 n ? 64



1 n ? 34 ? 64 n



( n?

1 8 n

?

) 2 ? 50

1 50

∴ 当

n?

1 8 ,即 n=8 时, f (n) max ? 50 n

二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. [例 3] 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ………………………① 解:由题可知,{ (2n ? 1) x n?1 }的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ x 设 xSn ? 1x ? 3x 2 ? 5x 3 ? 7 x 4 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n ………………………. ② ①-②得 (1 ? x)S n ? 1 ? 2x ? 2x 2 ? 2x 3 ? 2x 4 ? ? ? ? ? 2x n?1 ? (2n ? 1) x n
n ?1

}的通项之积

(设制错位) (错位相减)

1 ? x n ?1 ? (2n ? 1) x n 再利用等比数列的求和公式得: (1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ? 1? x


Sn ?

(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) (1 ? x) 2

[例 4] 求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2 2n 1 解:由题可知,{ n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 2 2 2 4 6 2n 设 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n …………………………………① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ………………………………② (设制错位) 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2n ①-②得 (1 ? ) S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 (错位相减) 2 2 2 2 2 2 2 1 2n ? 2 ? n ?1 ? n ?1 2 2 n?2 S n ? 4 ? n ?1 ∴ 2
2

练习题 1 答案:

已知

,求数列{an}的前 n 项和 Sn.

练习题

的前 n 项和为____

答案:

三、逆序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再把它与原 数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) .
0 1 2 n [例 5] 求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2n 0 1 2 n 证明: 设 S n ? Cn ………………………….. ① ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn

把①式右边倒转过来得
n n?1 1 0 S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn m n ?m 又由 Cn 可得 ? Cn 0 1 n?1 n …………..…….. ② S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn

(反序)

①+②得 ∴

0 1 n?1 n 2S n ? (2n ? 2)(Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ) ? 2(n ? 1) ? 2n

(反序相加)

S n ? (n ? 1) ? 2 n

题 1 已知函数 (1)证明: ;

(2)求

的值.

解:(1)先利用指数的相关性质对函数化简,后证明左边=右边 (2)利用第(1)小题已经证明的结论可知,

3

两式相加得:

所以

.

四、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或 常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. [例 7] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a 1 1 1 解:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a
将其每一项拆开再重新组合得

S n ? (1 ?

1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) a a a (3n ? 1)n (3n ? 1)n 当 a=1 时, S n ? n ? = 2 2 1 1? n 1? n a ? (3n ? 1)n = a ? a ? (3n ? 1)n 当 a ? 1 时, S n ? 1 a ?1 2 2 1? a

(分组) (分组求和)

[例 8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和. 解:设 ak ? k (k ? 1)(2k ? 1) ? 2k 3 ? 3k 2 ? k ∴

S n ? ? k (k ? 1)(2k ? 1) = ? (2k 3 ? 3k 2 ? k )
k ?1 k ?1

n

n

将其每一项拆开再重新组合得 Sn= 2

?
k ?1

n

k 3 ? 3? k 2 ? ? k
k ?1 k ?1

n

n

(分组)
2 2

= 2(1 ? 2 ? ? ? ? ? n ) ? 3(1 ? 2 ? ? ? ? ? n ) ? (1 ? 2 ? ? ? ? ? n)
3 3 3 2



n 2 (n ? 1) 2 n(n ? 1)(2n ? 1) n(n ? 1) ? ? 2 2 2

(分组求和)

n(n ? 1) 2 (n ? 2) = 2
4

五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后 重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) (2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1)
(2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(3) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) an ?

(5) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

(6) a n ?

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n
1 1 1 1 ? ( ? ) ( An ? B)( An ? C ) C ? B An ? B An ? C 1 n ? n ?1 1 1? 2 , ? n ?1 ? n 1 2? 3 1 n ? n ?1 1 1? 2 ? 1 n ? n ?1

(7) a n ?

(8) an ?

[例 9] 求数列

,? ? ?,

,? ? ? 的前 n 项和.

解:设 a n ?

? n ?1 ? n 1 n ? n ?1

(裂项)

则 Sn ?

1 2? 3

? ??? ?

(裂项求和)

= ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n ) = n ? 1 ?1 [例 10] 在数列{an}中, an ? ∵ an ?

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的和. n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

解:

1 2 n n ? ? ??? ? ? n ?1 n ?1 n ?1 2 2 1 1 ∴ bn ? ? 8( ? ) n n ?1 n n ? 1 ? 2 2
数列{bn}的前 n 项和

(裂项)



5

1 1 1 1 1 1 1 S n ? 8[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] 2 2 3 3 4 n n ?1 8n 1 ) = = 8(1 ? n ?1 n ?1
(2009 年广东文)20.(本小题满分 14 分)

(裂项求和)

已知点 (1, ) 是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 ) 的图象上一点, 等比数列 {an } 的前 n 项和为 f (n) ? c , 数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c,且前 n 项和 Sn 满足 Sn - S n ?1 = Sn + Sn?1 (n ? 2). (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1 3

1000 1 } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 的最小正整数 n 是多少? 2009 bn bn?1

0.【解析】 (1) Q f ?1? ? a ?

1 ?1? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ? 3?

x

2 1 ?? , a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? f ? 2? ? c? ?? f ?1? ? c ? ? ? ? ? 9 3 2 a3 ? ? ? f ? 3? ? c ? ??? ? f ? 2? ? c? ? ? ? 27 . 4 2 a2 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; a3 ? 2 3 3 27

a 1 2?1? 又公比 q ? 2 ? ,所以 an ? ? ? ? a1 3 3?3?
Q Sn ? Sn?1 ?

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n

n? N*



?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn ?1 ? Sn ? Sn ?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn?1 ? 1; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2

Sn ? 1? ? n ?1? ?1 ? n , Sn ? n2

2 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;

?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );
(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? ? 2n ? 1?

1? 1 ? n 1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ; ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1 2? 3? 2? 3 5? 2?5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
由 Tn ?

n 1000 1000 1000 ? 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. 2n ? 1 2009 9 2009
6

练习题 1.

.

练习题 2。

=

答案:

求数列通项公式的常用方法
(1)求差(商)法
5 [练习]数列 ?an ? 满足 S n ? S n ?1 ? an ?1,a1 ? 4 ,求 an 3

注意到 an?1 ? Sn?1 ? Sn ,代入得

Sn ?1 ? 4 又 S1 ? 4 ,∴ ?Sn ? 是等比数列, Sn ? 4n Sn ;

n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? …… ? 3 · 4n?1

(2)叠乘法
a n 如:数列 ?an ? 中, a1 ? 3,n ?1 ? ,求 an an n ?1



3 a a 1 a2 a3 1 2 n ?1 ,∴ n ? 又 a1 ? 3 ,∴ an ? · …… n ? · …… n. a1 n a1 a2 an?1 2 3 n

(3)等差型递推公式 由 an ? an?1 ? f (n),a1 ? a0 ,求 an ,用迭加法
? a3 ? a2 ? f (3) ? ? n ? 2 时, ? 两边相加得 an ? a1 ? f (2) ? f (3) ? ……? f (n) …… …… ? an ? an ?1 ? f (n) ? ? a2 ? a1 ? f (2)

∴ an ? a0 ? f (2) ? f (3) ? ……? f (n)
7

[练习]数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,an ? 3n?1 ? an?1 ? n ? 2? ,求 an (
已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

an ?

1 n ? 3 ? 1? 2 )

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n

解:由条件知: a n ?1 ? a n ?

1 1 1 1 ? ? ? n ? n n(n ? 1) n n ? 1
2

分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式累加之,即

(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? ? ? ? ? ?(an ? an?1 )
1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ) 2 2 3 3 4 n ?1 n 1 所以 a n ? a1 ? 1 ? n 1 1 1 3 1 ? a1 ? ,? a n ? ? 1 ? ? ? 2 2 n 2 n

(4)等比型递推公式

an ? can?1 ? d ( c、 d 为常数, c ? 0,c ? 1,d ? 0 )
可转化为等比数列,设 an ? x ? c ? an?1 ? x ? ? an ? can?1 ? ?c ?1? x 令 (c ? 1) x ? d ,∴ x ?
d d d ? ? ,c 为公比的等比数列 ,∴ ?an ? ? 是首项为 a1 ? c ?1 c ?1 c ? 1? ?

∴ an ?

d d ? n ?1 d ? n ?1 d ? ? ? ? a1 ? · c ,∴ an ? ? a1 ? ? ?c ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ?

(5)倒数法 如: a1 ? 1,an ?1 ?
2an ,求 an an ? 2

由已知得:

a ?2 1 1 1 1 1 1 ? n ? ? ,∴ ? ? an?1 2an 2 an an ?1 an 2

?1? 1 1 1 1 1 ∴ ? ? 为等差数列, ? 1 ,公差为 ,∴ ? 1 ? ? n ? 1? · ? ? n ? 1? , 2 a1 an 2 2 ? an ?
∴ an ?
2 n ?1

8


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