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函数应用举例 (2)

时间:2012-12-14


第二章

新野县第一高级中学

李民

一、复习引入
1.基本函数:
正比例函数y=kx (k≠0)
常数函数(如y=3)

反比例函数y=k/x (k≠0)

分段函数 (形式)

一次函数y=kx+b (k≠0)

对数函数y=logax (a>0且a≠1)

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)

指数函数y=a x (a>0且a≠1)

2.函数的三种表示方法:
(1) 解析法(如上1.) (2) 列表法 (3) 图像法 我县中学阶段男生的身高、平均体重的对照表:
60 身高 (cm) 体重(kg) 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.5 0 20.92 26.86 31.1 1 38.85 47.25 55.05 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170

可以看出, 有些函数关系不适宜用解析法表示, 而适宜用列表法 和图像法表示.
怎样估计身高 170cm以上男 生的平均体重?

二、讲授新课

把前一期的利息和本金加在一起算做 本金,再计算下一期的利息.

例1 按复利计算利息的一种储蓄, 本金为a元, 每期利息为r , 设本利和为y, 存期为x, 写出本利和y随存期x变化的函数式。 若存入本金1000元, 每期利率2.25%,试计算5期后的本利和是多少? 分析: 期数 期 末 本利和 1 a(1+r) 2 a(1+r)2 3 a(1+r)3 … … x a(1+r)x 代入,得:

x 得到: y=a(1+r)

将a = 1000, r = 0.0225

y = 1000 × 1.02255 由计算器,得: y=1117.68 (元) 答:第5期后的本利和是y=1117.68 元.

解决增长率等一般性问题流程: 实际问题 找出常量变量
应用

分析归纳常 量变量关系

确定函数关系式

解决实际问题

例2 设在海拔x m处的大气压强是y Pa,y与x之间的函数关系式是 y=cekx, 其中c,k为常量。已知某地某天在海平面的大气压为 1.01×105Pa,1000m高空的大气压为0.90×105Pa, (结果保留3个有效数字). 求600m高空的大气压强 解: 由题意,知:x = 0时,y = 1.01 ?10 5, x = 1000时,y = 0.90 ?10 5, 代入y = cekx中,得: c = 1.01?105 k = 1 ? ln 0.90 ?4

y = 1.01 ?10 e
5

?1.15?10?4 x

1000

1.01

= ?1.15 ?10

答:在600m的高空的大气压约为0.943×105Pa

待定系数法解决应用问题的一般流程: 实际问题 找出恒等关系
应用

求出待定系数

确定函数关系式

解决实际问题

例3: 以下是我县中学阶段男生的身高、平均体重的对照表:
60 身高 (cm) 体重(kg) 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170

(1)根据表中提供的数据, 从已经学过的函数 y=ax+b,y=alnx+b, y=abx 中 选择一种函数, 使它比较近似的反映出我县男生体重 y 关于

试求出这个函数解析式。 身高 x 的函数关系式? (2)若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏 瘦,那么该地区某中学一男生身高为175cm,体重为78kg,他的体 重是否正常?

60 身高 (cm)

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

体重(kg) 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05

y=ax+b,y=alnx+b,y=abx 分析: 可以先根据表中的数据描点画出图象 (这个图象称为散点图),
再根据散点图的形状判断应当选择哪种函数关系, 然后根据已知数据 (选取两组数据)求出所选式子的待定常数, 从而确定函数表达式 并结合图像验证函数表达式拟合程度, 或者将表中的身高数据代入 求得的解析式, 看所得函数值是否与已知体重数据基本吻合 解: ⑴ 以身高为横坐标, 体重为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图, 根据散点图 , 来选择函数 , 把x=70,y=7.90和x=160,y=47.25 把x=70,y=7.90和x=160,y=47.25 两组数据分别代入 y=ax+b, y=47.60lnx-194.32 , y=alnx+b, y=abx 可得: y=0.44x-22.70, y=2×1.02x 通过比较,可用函数y=2×1.02x反映上述数据间的对应关系 我县男生体重y与身高x的近似函数式可选为: y=2×1.02x



将x=175 所得函数解析式, 可得: y=2×1.02175

利用计算器, 可得: y=63.98 由于78÷63.98≈ 1.22 >1.2 所以,该男生偏胖. 解法二 点评 y=2×1.02x 在利用两组已知数据 求出待选函数, y=0.44x-22.70, 还可以将任意组已知数据 如x=160,y=47.25 y=47.60lnx-194.32 , 分别代入待选函数, 比较估计值与实际值间的误差, 误差教小的就是 最接近反映实际情况的函数.

三、课堂练习:
练1某生上大学还需贷款1000元, 有两种还款方式, ⑴ 年利率10%, 单利计算,五年后还本付息; ⑵年利率10%,复利计算,五年后还本付息; 5 通过计算比较,你愿意选择那种方案? (1.09 =1.5386) 分析: 若选方案 ⑴, 五年后还本付息总额为: 1000+1000×10%×5 =1000×(1+10%×5 ) =1500(元) 若选方案 ⑵, 五年后还本付息总额为: 1000×(1+9%)5 =1538.6(元) 因为1500<1538.6 所以,选方案 ⑴较合算.

练2 已知马尔萨斯模型N=N0ekt, 其中N0 、k 为常数, t是时 间,N 表示经过时间 t 后人口的数量.根据美国人口普查资 料,美国1980年人口是22 600万,常数k=0.011,计算2020年 美国的人口数量. (e0.011×40 =1.5531)
分析:

2020年美国的人口数量为x,则: 22600 =N0·0.011×1980 e
x =N0·0.011×2020 e 两式相除: e0.011×40 = x/22600 即: x=22 600×1.5531=35100.06 ≈35100(万) 答: 2020年美国的人口数量约为35100万人.

练3 我国1995年底沙漠面积约95万公顷,并有观测数据如下:
观测时间 (年底) 1996 1997 0.4000 1998 0.6001 1999 0.7999 2000 1.001

沙漠比原有 0.2000 面积增加数 (万公顷)

请利用函数拟合的方法预测: ⑴若不采取措施,到2010年底,沙漠面积将达到多少? (设1996年至2000分别为第1,2,3,4,5年) ⑵若2000年底后,每年改造沙漠0.6万公顷沙漠,则那一年底 沙漠面积能减少至90万公顷? (设从1996年底起第x年沙漠面 积能减少至90万公顷)

y 1.0 0.8

画散点图并观察可知: y与x关系的图像近似的像一条直线. 所以,设y=kx+b,有 0.2 =k+b k =0.2 得 0.4 =2 k+b b =0 y=0.2x, 又因为原有沙漠面积95万公顷, 所以,答:到2010年底,沙漠面积约达到
1 2 3 4 5 6

0.6
0.4 0.2

o

x

95+0.2×15 =98(万公顷)

设从1996年底起第x年沙漠面积能减少至90万公顷 则这x年内沙漠面积将增加到 95+0.2x (万公顷) 这(x - 5)年内沙漠面积将减少0.6×(5-x ) (万公顷) 即95+0.2×x- 0.6×(5-x ) =90 所以x=20 答:到2015底年沙漠面积能减少至90万公顷

四、课堂作业:
课本: P89 习题 4. 5.

利用函数拟合确定函数的过程:
实际问题 画散点图 判断函数 类 型 待定系数法 确定函数 表达式 验 证 不好

在利用两组已知数据 求出待选函数, y=0.44x-22.70, y=2×1.02x y=47.60lnx-194.32 , 还可以将任意组已知数据

如x=160,y=47.25
分别代入待选函数, 比较估计值与实际值间的误差, 误差最小的就是 最接近反映实际情况的函数.

拟合程度 好

实际应用


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