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2012高中文科数学公式大全(完美攻略极品版)

时间:2012-11-03


托普高考教育

新课标高中文科数学公式总结
一、函数、导数
1.集合 { a1 , a 2 , ? , a n } 的子集个数共有 2 n 个;真子集有 2 n ? 1 个;非空子集有 2 n ? 1 个;非空的真子集 有 2 n ? 2 个. 2. 真值表 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 非p 假 假 真 真 p或q 真 真 真 假 p且q 真 假 假 假

3. 充要条件(记 p 表示条件, q 表示结论) (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 4. 全称量词 ? 表示任意, ? 表示存在; ? 的否定是 ? , ? 的否定是 ? 。 例: ? x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 的否定是
? x ? R, x ? x ? 1
2

?0

5. 函数的单调性 (1)设 x 1、 x 2 ? [ a , b ], x 1 ? x 2 那么
f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ? f ( x ) 在 [ a , b ] 上是增函数;
f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ? f ( x ) 在 [ a , b ] 上是减函数.

(2)设函数 y ? f ( x ) 在某个区间内可导,若 f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 为增函数;若 f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 为减 函数. 6. 复合函数 y ? f [ g ( x )] 单调性判断步骤: (1)先求定义域 (2)把原函数拆分成两个简单函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x ) (3)判断法则是同增异减(4)所求区间与定义域做交集 7. 函数的奇偶性 (1)前提是定义域关于原点对称。 (2)对于定义域内任意的 x ,都有 f ( ? x ) ? f ( x ) ,则 f ( x ) 是偶函数; 对于定义域内任意的 x ,都有 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,则 f ( x ) 是奇函数。 (3)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称。 8.若奇函数在 x =0 处有意义,则一定存在 f ? 0 ? ? 0 ; 若奇函数在 x =0 处无意义,则利用 f ? ? x ? ? ? f ? x ? 求解; 9.多项式函数 P ( x ) ? a n x n ? a n ?1 x n ?1 ? ? ? a 0 的奇偶性 多项式函数 P ( x ) 是奇函数 ? P ( x ) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x ) 是偶函数 ? P ( x ) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 10. 常见函数的图像:

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y
y
y
y

y

k<0
o

k>0
x
o

a<0
x

y=ax
0<a<1 1
o x

y=logax
0<a<1
2
x

y=x+
o1

a>1
o

1 x
x

a>0

1 a>1

-1

y=kx+b

-2

y=ax2+bx+c

11. 函数的对称性 (1)函数 y ? f ( x ) 与函数 y ? f ( ? x ) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称.

(2)对于函数 y ? f ( x ) ( x ? R ), f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) 恒成立,则函数 f ( x ) 的对称轴是 x ? a (3)对于函数 y ? f ( x ) ( x ? R ), f ( x ? a ) ? f ( b ? x ) 恒成立,则函数 f ( x ) 的对称轴是 x ?
a ?b 2

;

12. 由 f (x) 向左平移一个单位得到函数 f ( x ? 1) 由 f (x) 向右平移一个单位得到函数 f ( x ? 1) 由 f (x) 向上平移一个单位得到函数 f ( x) ? 1 由 f (x) 向下平移一个单位得到函数 f ( x) ? 1 若将函数 y ? f ( x ) 的图象向右移 a 、再向上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a ) ? b 的图象;若将曲 线 f ( x , y ) ? 0 的图象向右移 a 、向上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a , y ? b ) ? 0 的图象. 13. 函数的周期性 (1) f ( x ) ? f ( x ? a ) ,则 f ( x ) 的周期 T ?? a ? ; (2) f ( x ? a ) ? ? f ( x ) ,则 f ( x ) 的周期 T ? 2 ? a ? (3) f ( x ? a ) ?
1 f (x)

,则 f ( x ) 的周期 T ? 2 ? a ?

(4) f ( x ? a ) ? f ( x ? b ) ,则 f ( x ) 的周期 T ?? a ? b ? ; 14. 分数指数
m

(1) a n ? (2) a
? m n

n

a
1

m

( a ? 0, m , n ? N ? ,且 n ? 1 ).
?
n

?

1 a
m

m

( a ? 0, m , n ? N ? ,且 n ? 1 ).

a

n

15.根式的性质 (1) ( n a ) n ? a . (2)当 n 为奇数时, n a n ? a ; 当 n 为偶数时, a ? | a | ? ?
n n

?a, a ? 0 ??a, a ? 0

.

16.指数的运算性质 (1) a r ? a s ? a r ? s ( a ? 0, r , s ? Q ) (3) ( a r ) s ? a rs ( a ? 0, r , s ? Q ) (2) a r ? a s ? a r ? s ( a ? 0, r , s ? Q ) (4) ( ab ) r ? a r b r ( a ? 0, b ? 0, r ? Q ) .

17. 指数式与对数式的互化式: log a N ? b ? a b ? N ( a ? 0, a ? 1, N ? 0) . 18.对数的四则运算法则:若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) log a ( M N ) ? log a M ? log a N ; (3) log a M
n

(2) lo g a
m

M N

? lo g a M ? lo g a N ;
n

? n log a M ( n ? R ) ;

(4) lo g a N

?

n m

lo g a N ( n , m ? R )

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(5)

loga a ?1
lo g m N lo g m a

(6)

loga 1?0

19. 对数的换底公式 : lo g a N ? 倒数关系式:

( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ).

loga b?logb a ?1
lo g a N

20. 对数恒等式: a 21. 零点存在定理:

? N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , N ? 0 ).

如果函数 f (x) 在区间(a, b)满足 f ( a ) ? f ( b ) ? 0 ,则 f (x) 在区间(a, b)上存在零点。 22. 函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 处的导数的几何意义 函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 处的导数是曲线 y ? f ( x ) 在 P ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线的斜率 f ? ( x 0 ) ,相应的切线 方程是 y ? y 0 ? f ? ( x 0 )( x ? x 0 ) . 23. 几种常见函数的导数 (1) C ? ? 0 (C 为常数) (3) (sin x ) ? ? cos x (5) (ln x ) ? ?
x

(2) ( x n ) ' ? nx n ?1 ( n ? Q ) (4) (cos x ) ? ? ? sin x (6) (log
x
a

1 x
x

x)? ?
x

1 x ln a

(7) ( e ) ? ? e 24. 导数的运算法则 (1) ( u ? v ) ? u ? v
' ' '

(8) ( a ) ? ? a ln a .
u v u v ? uv
' '

(2) ( u v ) ? u v ? u v
' '

'

(3) (

) ?
'

v

2

(v ? 0)

25. 复合函数的求导法则 设 函 数 u ? ? ( x ) 在 点 x 处 有 导 数 u x ' ? ? ' ( x ) , 函 数 y ? f (u ) 在 点 x 处 的 对 应 点 U 处 有 导 数 则复合函数 y ? f (? ( x )) 在点 x 处有导数, y x ? y u ? u x , 且 或写作 f x (? ( x )) ? f ( u )? ( x ) . yu ? f (u ) ,
' ' ' ' ' ' ' '

26. 求切线方程的步骤: ① 求原函数的导函数 f ? ( x ) ② 把横坐标 x 0 带入导函数 f ? ( x ) ,得到 f ? ( x 0 ) ,则斜率 k ? f ? ( x 0 ) ③ 点斜式写方程 y ? y 0 ? f ? ( x 0 )( x ? x 0 ) 27. 求函数的单调区间 ① 求原函数的导函数 f ? ( x ) ② 令 f ?( x ) ? 0 ,则得到原函数的单调增区间。 ② 令 f ?( x ) ? 0 ,则得到原函数的单调减区间。 28. 求极值常按如下步骤: ① 求原函数的导函数 f ? ( x ) ; ② 令方程 f ? ( x ) =0 的根,这些根也称为可能极值点 ③ 检查在方程的根的左右两侧的符号,确定极值点。 (可以通过列表法) 如果在 x 0 附近的左侧
f ? ( x ) ? 0 ,右侧 f ? ( x ) ? 0 ,则 f ( x 0 ) 是极大值;如果在 x 0 附近的左侧 f ? ( x ) ? 0 ,右侧 f ? ( x ) ? 0 ,

则 f ( x 0 ) 是极小值. ④ 将极值点带入到原函数中,得到极值。
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29. 求最值常按如下步骤: ① 求原函数的极值。 ② 将两个端点带入原函数,求出端点值。 ③ 将极值与端点值相比较,最大的为最大值,最小的为最小值。

二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
30. 同角三角函数的基本关系式
sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? =
2 2

sin ? cos ?

.

31. 正弦、余弦的诱导公式 奇变偶不变,符号看象限。 32. 和角与差角公式 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;
ta n (? ? ? ) ? ta n ? ? ta n ? 1 ? ta n ? ta n ?

.

33. 二倍角公式 sin 2? ? sin ? cos ? .
cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ? . 2 ta n ? ta n 2 ? ? . 2 1 ? ta n ?
2 2 2 2

2 cos

2

? ? 1 ? cos 2 ? , cos ? ? 1 ? cos 2 ? , sin
2

2

? ?

1 ? cos 2 ? 2 1 ? cos 2 ? 2

;

公式变形:
2 sin
2

? ?

;

34. 三角函数的周期 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,周期 T ? 函数 y ? cos(? x ? ? ) ,周期 T ? 函数 y ? tan(? x ? ? ) ,周期 T ?
2?

? 2?
? ?
?

; ;

.

35. 函数 y ? sin( ? x ? ? ) 的周期、最值、单调区间、图象变换(熟记) 36. 辅助角公式(化一公式)
y ? a sin x ? b cos x ? a
2

? b sin( x ? ? ) 其中 tan ? ?
2

b a

36. 正弦定理
a s in A ? b s in B
2 2

?

c s in C

? 2R .

37. 余弦定理
a ? b ? c ? 2 bc cos A ;
2

b ? c ? a ? 2 ca cos B ;
2 2 2

c ? a ? b ? 2 ab cos C .
2 2 2

38. 三角形面积公式
S ? 1 2 a b s in C ? 1 2 b c s in A ? 1 2 c a s in B .

39. 三角形内角和定理
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在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B ) 40. a 与 b 的数量积(或内积)
a ? b ? | a | ? | b | cos ?

sin( A ? B ) ? sin C

41. 平面向量的坐标运算

(1)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x 2 , y 2 ) ,则 A B ? O B ? O A ? ( x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ) . (2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x 2 , y 2 ) ,则 a ? b = ( x 1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ) . (3)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x 2 , y 2 ) ,则 a ? b = ( x 1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ) . (4)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x 2 , y 2 ) ,则 a ? b = x 1 x 2 ? y 1 y 2 . (5)设 a = ( x , y ) ,则 a ? 42. 两向量的夹角公式 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x 2 , y 2 ) ,且 b ? 0 ,则
cos ? ? a ?b a b ?
2

??? ?

??? ?

??? ?

x

2

? y

2

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ?
2

x2 ? y2

2

2

43. 向量的平行与垂直
a // b ? b ? ? a ? x 1 y 2 ? x 2 y1 ? 0 .

a ? b(a ? 0)

? a ? b ? 0 ? x 1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 .

44. 向量的射影公式 若, a 与 b 的夹角为 ? ,则 b 在 a 的射影为 | b | cos ?

三、数列
45. 数列 { a n } 的通项公式与前 n 项的和的关系(递推公式)
n ?1 ? s1 , an ? ? ( 数列 { a n } 的前 n 项的和为 s n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ). ? s n ? s n ?1 , n ? 2

46. 等差数列 { a n } 的通项公式
a n ? a1 ? ( n ? 1) d ? dn ? a1 ? d ( n ? N ) ;
*

47. 等差数列 { a n } 的前 n 项和公式
sn ? n ( a1 ? a n ) 2 ? n a1 ? n ( n ? 1) 2 d ? d 2 n ? ( a1 ?
2

1 2

d )n .

48. 等差数列 { a n } 的中项公式
an ? a n ?1 ? a n ?1 2

49. 等差数列 { a n } 中,若 m ? n ? p ? q ,则 a m ? a n ? a p ? a q 50. 等差数列 { a n } 中, s n , s 2 n ? s n , s 3 n ? s 2 n 成等差数列 51. 等差数列 { a n } 中,若 n 为奇数,则 s n ? n a n ? 1
2

52. 等比数列的通项公式

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a n ? a1 q

n ?1

?

a1 q
n

? q (n ? N ) ;
n *

53. 等比数列前 n 项的和公式为
? a 1 (1 ? q ) ? a1 ? a n q ,q ? 1 ,q ? 1 ? ? 或 sn ? ? 1 ? q . sn ? ? 1 ? q ?na , q ? 1 ?na , q ? 1 ? 1 ? 1

当 q ? 1 时, a n ? n a1 54. 等比数列 { a n } 的中项公式
a n ? a n ?1 ? a n ? 1
2

55. 等比数列 { a n } 中,若 m ? n ? p ? q ,则 a m ? a n ? a p ? a q 56. 等比数列 { a n } 中, s n , s 2 n ? s n , s 3 n ? s 2 n 成等比数列

四、均值不等式
57. 均值不等式:如果 a , b ? R ? ,那么 a ? b ? 2 ab 。 “一正二定三相等” 58. 已知 x, y 都是正数,则有
x ? y 2 ? xy ,当 x ? y 时等号成立。

(1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值
1 4
2

p ;
s .

五、解析几何
59. 斜率的计算公式 (1) k ? tan ? (2) k ?
y 2 ? y1 x 2 ? x1

(3)直线一般式中 k ? ?

A B

60. 直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式 (4)截距式
y ? y1 y 2 ? y1
x a ? y b

?

x ? x1 x 2 ? x1

( y1 ? y 2 )( P1 ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x 2 , y 2 ) ( x1 ? x 2 )).

? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a、 b ? 0 )

(5)一般式 A x ? B y ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0). 61. 两条直线的平行 若 l1 : y ? k 1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b 2 (1) k 1 ? k 2 , b1 ? b 2 ; (2) k 1 , k 2 均不存在 62. 两条直线的垂直 若 l1 : y ? k 1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b 2 (1) k 1 k 2 ? ? 1 . (2) k1 ? 0, k 2 不存在 63. 平面两点间的距离公式
d A,B ?

( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 ) (A ( x1 , y1 ) ,B ( x 2 , y 2 ) ).
2 2

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64. 点到直线的距离
d ? | A x0 ? B y0 ? C | A ? B
2 2

(点 P ( x 0 , y 0 ) ,直线 l : A x ? B y ? C ? 0 ).

65. 圆的三种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2 . (2)圆的一般方程 x 2 ? y 2 ? D x ? E y ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4 F >0). 圆心坐标 ( ?
D 2 ,? E 2 ) 半径=

D

2

? E 2

2

? 4F

66. 直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2 的位置关系有三种:
d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ;
d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 . 弦长= 2 r
2

?d

2

其中 d ?

Aa ? Bb ? C A
2

.

? B

2

67. 椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质 椭圆:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) , a

2

?c
2

2

? b ,离心率 e ?
2 2 2

c a

? 1 .准线方程: x ? ? c a

a

2

c

双曲线:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0), c
b a x

?a

? b ,离心率 e ?

? 1 ,准线方程: x ? ?

a

2

c

渐近线方程是 y ? ? 抛物线: y 2 ? 2 px ,焦点 (

.
p 2

p 2

, 0 ) ,准线 x ? ?

。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.

68. 双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为
x a
2 2

?
b a

y b

2 2

? 1 ? 渐近线方程:
x a ? y b

x a

2 2

?

y b

2 2

? 0 ? y ? ? x a
2 2

b a

x

.

(2)若渐近线方程为 y ? ? (3)若双曲线与
x a
2 2

x ?

? 0 ? 双曲线可设为

?

y b

2 2

? ?.

?

y b

2 2

? 1 有公共渐近线,可设为

x a

2 2

?

y b

2 2

? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,

焦点在 y 轴上). 69. 抛物线 y 2 ? 2 px 的焦半径公式 抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 焦半径 | PF | ? x 0 ? 70. 过抛物线焦点的弦长 AB ? x 1 ?
p 2 ? x2 ? p 2 p 2 ? x1 ? x 2 ? p .

.(抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。 )

六、立体几何
71. 证明直线与直线平行的方法 (1)三角形中位线 (2)平行四边形(一组对边平行且相等) 72. 证明直线与平面平行的方法 (1)直线与平面平行的判定定理(证平面外一条直线与平面内的一条直线平行) (2)先证面面平行
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73. 证明平面与平面平行的方法 平面与平面平行的判定定理(一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行) .... 74. 证明直线与直线垂直的方法 转化为证明直线与平面垂直 75. 证明直线与平面垂直的方法 (1)直线与平面垂直的判定定理(直线与平面内两条相交直线垂直) .... (2)平面与平面垂直的性质定理(两个平面垂直,一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面) 76. 证明平面与平面垂直的方法 平面与平面垂直的判定定理(一个平面内有一条直线与另一个平面垂直) 77. 柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 圆柱侧面积= 2 ? rl ,表面积= 2 ? rl ? 2 ? r 2 圆椎侧面积= ? rl ,表面积= ? rl ? ? r 2
V柱 体 ? V锥 体 ? 1 3 1 3 4 3 V台 体 ? 1 3 (S上 ? S下 ? S 上 S下 )h S h ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). S h ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高).

球的半径是 R ,则其体积 V ?

? R ,其表面积 S ? 4? R
3

2

78. 异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算(构造二面角的平面角) 79. 点到平面距离的计算(定义法、等体积法) 80. 直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质:侧棱平行且相等,与底面垂直。 正棱锥的性质:侧棱相等,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

七、概率统计
81. 平均数、方差、标准差的计算 平均数: x ? 标准差: s ?
x1 ? x 2 ? ? x n n

方差: s ?
2

1 n

[( x 1 ? x )
2

2

? (x2 ? x)

2

? ? (xn ? x) ]
2

1 n

[( x 1 ? x )

2

? (x2 ? x)

2

? ? (xn ? x) ]

82. 回归直线方程
? ? ? xi ? x ? ? yi ? y ? ? b ? i ?1 n ? ? a ? bx ,其中 2 y ? ? ? xi ? x ? ? i ?1 ? ?a ? y ? bx
n

?
?

?
i ?1

n

xi yi ? n x y xi ? n x
2 2

?
i ?1

n

.

83. 独立性检验 K

2

?

n ( ac ? bd )

2

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

84. 古典概型的计算(必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来,不重复、不遗 ... ... ... 漏) 85. 几何概型的计算,转化为体积,面积,长度之比。

八、复数
86. 复数的相等
a ? bi ? c ? di ? a ? c , b ? d .( a , b , c , d ? R )

87. 复数 z ? a ? bi 的模
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| z | =| a ? bi | =

a ?b
2

2

88. 复数 z ? a ? bi 的共轭复数
z ? a ? bi

89. 复数的四则运算法则 (1) ( a ? bi ) ? ( c ? di ) ? ( a ? c ) ? ( b ? d ) i ; (2) ( a ? bi ) ? ( c ? di ) ? ( a ? c ) ? ( b ? d ) i ; (3) ( a ? bi )( c ? di ) ? ( ac ? bd ) ? ( bc ? ad ) i ; (4) ( a ? b i ) ? ( c ? d i ) ? 90. 复数的周期 T ? 4
i ?i
1

ac ? bd c ?d
2 2

?

bc ? ad c ?d
2 2

i(c ? di ? 0)

i ? ?1
2

i ? ?i
3

i ?1
4

祝各位同学高考成功!!!!!!!!!!

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