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数列求通项公式及求和9种方法

时间:2018-01-30

数列专题 1:根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型

一、 Sn 是数列{an}的前 n 项的和 (n ? 1 ) ? S1 a ? ? n 型一: ? Sn ? Sn?1 (n ? 2 ) 【方法】 : “ Sn ? Sn?1 ”代入消元消 an 。 【注意】漏检验 n 的值 (如 n ? 1 的情况 【例 1】.(1)已知正数数列 {a } 的前 n 项的和为 Sn , 且对任意的正整数 n 满足 2 Sn ? an ? 1 , 求数列 {an } 的
n

通项公式。 (2)数列 {a } 中, a1 ? 1 对所有的正整数 n 都有
n

a1 ? a2 ? a3 ??? an ? n2 ,求数列 {an } 的通项公式

【作业一】
n 2 n ?1 a ? 3 a ? 3 a ? ? ? 3 a ? (n ? N * ) , 2 3 n 1-1.数列 ?an ? 满足 1 3

求数列 ?an ? 的通项公式.

(二) .累加、 累乘

型如 an ? an?1 ? f (n) ,

型一: an ? an?1 ? f (n) ,用累加法求通项公式(推

an ? f ( n) an?1

导等差数列通项公式的方法) 【方法】 an ? an?1 ? f (n) , an?1 ? an?2 ? f (n ? 1) , ??, a2 ? a 1 ? f (2) n ? 2 , 况 型二:

从而 an ? a1 ? f (n) ? f (n ?1) ? ? ? f (2) ,检验 n ? 1 的情
an ? f (n) ,用累乘法求通项公式(推导等比 an?1 an an?1 a ? ? ? ? 2 ? f (n) ? f (n ? 1) ? ? ? f (2) an?1 an?2 a1

数列通项公式的方法) 【方法】 n ? 2 , 即 an
a1

? f (n) ? f (n ? 1) ? ? ? f (2) ,检验 n ? 1 的情

况 【小结】一般情况下, “累加法” ( “累乘法” )里只有 n ? 1 个等式相加(相乘).

1 a ? 【例 2】. (1) 已知 1 2 , a n

? a n ?1 ?

1 (n ? 2) ,求 n2 ?1

an .
(2)已知数列 ?an ? 满足 a 求 an .
n ?1

?

n 2 an ,且 a1 ? , n?2 3

【例 3 】 . ( 2009 广东高考文数)在数列 {an } 中,
1 n ?1 a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? )an ? n .设 bn n 2 的通项公式

an ? n

,求数列 {bn }

(三).待定系数法

an?1 ? can ? p

an?1 ? can ? (c ? 1) x ,故 (c ? 1) x ? p , 即 {an ?
等比数列

( c, p为非零常数, c ? 1, p ? 1 ) 【 方 法 】 构 造 an?1 ? x ? c(an ? x) , 即
p }为 c ?1

【例 4】. a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求数列 {an } 的通 项公式。

(四).倒数法

an?1 ?

kan can ? p

( k , p, c 为非零常数)
1 p 1 c ? ? ? , an ?1 k an k

【方法】两边取倒数,得 待定系数法求解 【例 5】.
an?1 ?

转化为

已 知 数 列 {an }

3 a ? 的首项为 1 5 ,

3an n ? 1, 2,? ,求 {an } 的通项公式 2an ? 1 ,

数列专题 2:数列求和 题组一 分组转化求和

1.数列 a1+2,?,ak+2k,?,a10+20 共有十项, 且其和为 240,则 a1+?+ak+?+a10 之值为 ( ) A.31 B.120 C.130 D.185

2n-1 练习 1.已知数列{an}的通项公式是 an= 2n ,

321 其前 n 项和 Sn= 64 ,则项数 n 等于 A.13 B.10 题组二 C.9

(

) D.6

裂项相消求和

2.设函数 f(x)=xm+ax 的导函数 f′(x)=2x+1, 1 则数列{f(n)}(n∈N*)的前 n 项和是 A. n n+1 n+2 B. n+1 n C. n-1 ( )

n+1 D. n

练习 2. 数列 an=

1 9 ,其前 n 项之和为10,则 n(n+1)

在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y+n=0 在 y 轴上的截距为 ( A.-10 B.-9 ) C.10 D.9

题组三

错位相减法求和

1 2 3 n 3.求和:Sn=a+a2+a3+?+an.

练习 3(2010· 昌平模拟)设数列{an}满足 a1+3a2+ n 32a3+?+3n-1an=3,n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式; n (2)设 bn=a ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
n


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