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高中文科数学公式大全(完美)[1]

时间:2011-02-10


高中数学公式及知识点速记
一、函数、导数
1、函数的单调性 (1)设 x1、x 2 ∈ [ a, b], x1 < x 2 那么

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) < 0 ? f ( x)在[a, b] 上是增函数; f ( x1 ) ? f ( x 2 ) > 0 ? f ( x)在[a, b] 上是减函数. (2)设函数 y = f (x ) 在某个区间内可导,若 f ′( x ) > 0 ,则 f (x ) 为增函数;若 f ′( x ) < 0 ,则 f (x ) 为减
函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的 x ,都有 f ( ? x ) = f ( x ) ,则 f (x ) 是偶函数; 对于定义域内任意的 x ,都有 f ( ? x ) = ? f ( x ) ,则 f (x ) 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称。 3、函数 y = f (x ) 在点 x0 处的导数的几何意义 函数 y = f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y = f ( x) 在 P ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ′( x0 ) ,相应的切线方 程是 y ? y0 = f ′( x0 )( x ? x0 ) . 4、几种常见函数的导数 ① C = 0 ;② ( x n ) ' = nx n ?1 ;
'

③ (sin x) ' = cos x ;④ (cos x) ' = ? sin x ; ⑦ (log a x ) =
'

x ' x x ' x ⑤ ( a ) = a ln a ;⑥ (e ) = e ;

1 1 ' ;⑧ (ln x ) = x ln a x u v
'

5、导数的运算法则 (1) (u ± v) ' = u ' ± v ' . (2) (uv ) ' = u 'v + uv ' . (3) ( ) =

u 'v ? uv ' (v ≠ 0) . v2

6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数 y = f ( x ) 的极值的方法是:解方程 f ′ ( x ) = 0 .当 f ′ ( x0 ) = 0 时: (1) 如果在 x0 附近的左侧 f ′ ( x ) > 0 ,右侧 f ′ ( x ) < 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值; (2) 如果在 x0 附近的左侧 f ′ ( x ) < 0 ,右侧 f ′ ( x ) > 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值.

二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
8、同角三角函数的基本关系式

sin 2 θ + cos 2 θ = 1 , tan θ =

sin θ . cosθ

9、正弦、余弦的诱导公式 kπ ± α 的正弦、余弦,等于 α 的同名函数,前面加上把 α 看成锐角时该函数的符号;

kπ +

π

2

± α 的正弦、余弦,等于 α 的余名函数,前面加上把 α 看成锐角时该函数的符号。

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10、和角与差角公式

sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ; cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β ; tan α ± tan β tan(α ± β ) = . 1 m tan α tan β

11、二倍角公式

sin 2α = sin α cos α . cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2sin 2 α . 2 tan α tan 2α = . 1 ? tan 2 α 1 + cos 2α 2 cos 2 α = 1 + cos 2α , cos 2 α = ; 2 公式变形: 1 ? cos 2α 2 sin 2 α = 1 ? cos 2α , sin 2 α = ; 2

12、三角函数的周期 函数 y = sin(ω x + ? ) ,x∈R 及函数 y = cos(ω x + ? ) ,x∈R(A,ω, ? 为常数,且 A≠0,ω>0)的周期

T=



13、 函数 y = sin(ω x + ? ) 的周期、最值、单调区间、图象变换 14、辅助角公式

ω

;函数 y = tan(ω x + ? ) , x ≠ kπ +

π
2

, k ∈ Z (A,ω, ? 为常数,且 A≠0,ω>0)的周期 T =

π . ω

y = a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin( x + ? ) 其中 tan ? =
15、正弦定理

b a

a b c = = = 2R . sin A sin B sin C
16、余弦定理

a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A ; b 2 = c 2 + a 2 ? 2ca cos B ; c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C .
17、三角形面积公式

S=

1 1 1 ab sin C = bc sin A = ca sin B . 2 2 2

18、三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A + B + C = π ? C = π ? ( A + B ) 19、 a 与 b 的数量积(或内积)

a ? b =| a | ? | b | cos θ
20、平面向量的坐标运算 (1)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB = OB ? OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) . (2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = x1 x 2 + y1 y 2 . (3)设 a = ( x, y ) ,则 a =

uuu r

uuu uuu r r

x2 + y2

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21、两向量的夹角公式 公式 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ≠ 0 ,则

cos θ =

a ?b ab

=

x1 x 2 + y1 y 2 x1 + y1 ? x 2 + y 2
2 2 2 2

22、向量的平行与垂直

a // b ? b = λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 = 0 .

a ⊥ b(a ≠ 0) ? a ? b = 0 ? x 1 x2 + y1 y2 = 0 .

三、数列
23、数列的通项公式与前 n 项的和的关系

n =1 ? s1 , an = ? ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn = a1 + a2 + L + an ). ? sn ? sn ?1 , n ≥ 2
24、等差数列的通项公式

an = a1 + (n ? 1)d = dn + a1 ? d (n ∈ N * ) ;
25、等差数列其前 n 项和公式为

sn =

n(a1 + an ) n(n ? 1) d 1 = na1 + d = n 2 + (a1 ? d )n . 2 2 2 2 a1 n ? q (n ∈ N * ) ; q

26、等比数列的通项公式

an = a1q n ?1 =

27、等比数列前 n 项的和公式为

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ≠1 ,q ≠1 ? ? sn = ? 1 ? q 或 sn = ? 1 ? q . ?na , q = 1 ?na , q = 1 ? 1 ? 1
四、不等式
28、已知 x, y 都是正数,则有

x+ y ≥ xy ,当 x = y 时等号成立。 2 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x = y 时和 x + y 有最小值 2 p ; 1 2 (2)若和 x + y 是定值 s ,则当 x = y 时积 xy 有最大值 s . 4

五、解析几何
29、直线的五种方程 . (1)点斜式 y ? y1 = k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). ) 1 (2)斜截式 y = kx + b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). 轴上的截距) (3)两点式

y ? y1 x ? x1 = ( y1 ≠ y2 )( P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ≠ x2 )). 1 y2 ? y1 x2 ? x1
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x y + = 1 ( a、b 分别为直线的横、纵截距, a、b ≠ 0 ) a b (5)一般式 Ax + By + C = 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(4)截距式 30、两条直线的平行和垂直 若 l1 : y = k1 x + b1 , l2 : y = k2 x + b2 ① l1 || l2 ? k1 = k2 , b1 ≠ b2 ; ② l1 ⊥ l2 ? k1k2 = ?1 . 31、平面两点间的距离公式

d A, B = ( x2 ? x1 ) 2 + ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
32、点到直线的距离

d=

| Ax0 + By0 + C | A2 + B 2

(点 P ( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax + By + C = 0 ).

33、 圆的三种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 . (2)圆的一般方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ( D 2 + E 2 ? 4 F >0). (3)圆的参数方程 ? 34、直线与圆的位置关系 直线 Ax + By + C = 0 与圆 ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 的位置关系有三种:

? x = a + r cos θ . ? y = b + r sin θ

d > r ? 相离 ? ? < 0 ; d = r ? 相切 ? ? = 0 ; d < r ? 相交 ? ? > 0 . 弦长= 2 r 2 ? d 2 Aa + Bb + C 其中 d = . A2 + B 2
35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质 椭圆:

? x = a cos θ x2 y2 c + 2 = 1(a > b > 0) , a 2 ? c 2 = b 2 ,离心率 e = < 1 ,参数方程是 ? . 2 a b a ? y = b sin θ

x2 y2 c b ? 2 = 1 (a>0,b>0), c 2 ? a 2 = b 2 ,离心率 e = > 1 ,渐近线方程是 y = ± x . 2 a a b a p p 抛物线: y 2 = 2 px ,焦点 ( ,0) ,准线 x = ? 。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离. 2 2
双曲线: 36、双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为

x2 y2 x2 y2 b ? 2 = 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 = 0 ? y = ± x . 2 a b a b a 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y = ± x ? ± = 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 = λ . a b a a b 2 2 x y x2 y2 (3)若双曲线与 2 ? 2 = 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 = λ ( λ > 0 ,焦点在 x 轴上, λ < 0 , a b a b

焦点在 y 轴上).

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37、抛物线 y = 2 px 的焦半径公式
2

p .(抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离 ) 抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。 抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离 2 p p 38、过抛物线焦点的弦长 AB = x1 + + x 2 + = x1 + x 2 + p . 2 2
2 抛物线 y = 2 px( p > 0) 焦半径 | PF |= x 0 +

六、立体几何
39、证明直线与直线平行的方法 (1)三角形中位线 (2)平行四边形(一组对边平行且相等) 40、证明直线与平面平行的方法 (1)直线与平面平行的判定定理(证平面外一条直线与平面内的一条直线平行) (2)先证面面平行 41、证明平面与平面平行的方法 平面与平面平行的判定定理(一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行) 两条相交 .... 42、证明直线与直线垂直的方法 转化为证明直线与平面垂直 43、证明直线与平面垂直的方法 (1)直线与平面垂直的判定定理(直线与平面内两条相交直线垂直) 两条相交 .... (2)平面与平面垂直的性质定理(两个平面垂直,一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面) 44、证明平面与平面垂直的方法 平面与平面垂直的判定定理(一个平面内有一条直线与另一个平面垂直) 45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 圆椎侧面积= πrl ,表面积= πrl + πr 圆柱侧面积= 2πrl ,表面积= 2πrl + 2πr
2 2

1 V柱体 = Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). 3 1 V锥体 = Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 3 4 3 2 球的半径是 R ,则其体积 V = π R ,其表面积 S = 4π R . 3
46、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算 47、点到平面距离的计算(定义法、等体积法) 48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质:侧棱平行且相等,与底面垂直。 正棱锥的性质:侧棱相等,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

七、概率统计
49、平均数、方差、标准差的计算

x1 + x 2 + L x n 1 2 2 2 2 方差: 方差: s = [( x1 ? x ) + ( x 2 ? x ) + L ( x n ? x) ] n n 1 标准差: [( x1 ? x) 2 + ( x 2 ? x) 2 + L ( x n ? x) 2 ] 标准差: s = n
平均数: 平均数: x = 50、回归直线方程
n ? ∑ ( xi ? x )( yi ? y ) ? i =1 = n $ = a + bx ,其中 ?b = 2 y ? ∑ ( xi ? x ) ? i =1 ? ?a = y ? bx

∑ x y ? nx y
i =1 n i i

n

∑x
i =1

2

i

? nx 2

.

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51、独立性检验 K =
2

n(ac ? bd ) 2 (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )

52、古典概型的计算(必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来,不重复、不遗 ... ... ... 漏)

八、复数
53、复数的除法运算

a + bi (a + bi )(c ? di ) (ac + bd ) + (bc ? ad )i = = . c + di (c + di )(c ? di ) c2 + d 2
54、复数 z = a + bi 的模 | z | = | a + bi | = a + b .
2 2

九、参数方程、极坐标化成直角坐标 ?ρ 2 = x 2 + y 2 ? ρ cos θ = x ? 55、 ? ? y ? ρ sin θ = y ?tan θ = ( x ≠ 0) x ?

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