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2013年上海市黄浦区高三数学二模试卷理科含答案

时间:2013-05-02


黄浦区 2013 年高考模拟考 数学试卷(理科)
考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料,解答必须在答题卷上进行,写在试卷上 的解答一律无效; 2.答卷前,考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚; 3.本试卷共 23 道试题,满分 150 分;考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题满分 56 分) 本大题共有 14 题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直 接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若复数 z 满足 2.函数
f (x) ?

2013 年 4 月 11 日

z 9

?1 z

? 0

,则 z 的值为 的定义域为
? 2y ?3 ? 0

. . 垂直,则直线 l
开始

x ? 1 ? lg ( 4 ? 2 x )

3.若直线 l 过点 A ( ? 1, 3) ,且与直线 x 的方程为 .

a←1 a←3a+1

4.等差数列 { a n } 的前 10 项和为 3 0 ,则 a 1 5.执行右边的程序框图,则输出的 a 值是 6.设 a 为常数,函数
f (x) ? x ? 4 x ? 3
2

? a 4 ? a 7 ? a1 0 ?



a >100
是 输出 a 结束




f (x + a)

.若 .

在[0, ? ? ) 上

是增函数,则 a 的取值范围是 7.在极坐标系中,直线 l : ? 线段长为 .
x a
2 2

c o s ? ? 1 被圆 C : ? ? 4 c o s ?

所截得的

(第 5 题图)

8.已知点 P ( 2 , ? 3 ) 是双曲线 则该双曲线方程是

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

上一点,双曲线两个焦点间的距离等于 4,


??? ? A B |? 2

9.在平行四边形 A B C D 中,若 |

,|

???? A D |? 1

, ?BAD

? 60?

,则 A B

??? ???? ? ? BD ?



10.已知 A , B , C 是球面上三点,且 AB =AC = 4cm, ? B A C 距离为 2
2

? 9 0 ? ,若球心 O

到平面 A B C 的

cm,则该球的表面积为

cm2.

— 1 —

11.在△ A B C 中, ? A 12.已知 x 且 An
2 3

? 120? , AB ? 5
n

, BC

? 7

,则
2

s in B s in C

的值为
3


n

? x ? x ?? ? x

? a 0 ? a 1 ( x ? 3) ? a 2 ( x ? 3) ? a 3 ( x ? 3) ? ? ? a n ( x ? 3)

( n ? N *)



? a0 ? a 1 ? a2 ? ? ? an

,则 lim

An 4
n

n? ?

?



13.一厂家向用户提供的一箱产品共 10 件,其中有 1 件次品.用户先对产品进行随机抽检以 决定是否接收.抽检规则如下:至多抽检 3 次,每次抽检一件产品(抽检后不放回) ,只要检 验到次品就停止继续抽检,并拒收这箱产品;若 3 次都没有检验到次品,则接收这箱产品.按 上述规则,该用户抽检次数的数学期望是 14.已知
f (x) ? 4 ? 1 x


( 1 3 , ?? )

,若存在区间 [ a , b ] ? .

,使得 { y |

y ? f ( x ), x ? [ a , b ]} ? [ m a , m b ] ,

则实数 m 的取值范围是

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知 c o s A. ?
24 25

?
2

?

4 5

,且 sin ? B. ?

?0
24 7

,则 ta n ? 的值为 C. ?
24 7

( D.
24 7



16.函数 A. y C. y
? ? ?

f (x) ?

1 2

x ? 1( x ? ? 2 )
2

的反函数是 B. y D. y
? ? ? 2 x ? 2 ( x ? 3) 2 x ? 2 ( x ? 3)
n





2 x ? 2 (1 ? x ? 3 ) 2 x ? 2 (1 ? x ? 3 )

17.下列命题:①“ 0

? a ? 1 2

1 2

”是“存在 n ? N * ,使得 (

1 2

) ? a

成立”的充分条件;②“ a
1 2

? 0



是“存在 n ? N * ,使得 (

) ? a
n

成立”的必要条件;③“ a

?

”是“不等式 (

1 2

) ? a
n

对一切 )

n ? N * 恒成立”的充要条件.其中所有真命题的序号是

( D.①③

A.③

B.②③
2

C.①②
:x ? ?y
2

18.如果函数 y ? | x | ? 2 的图像与曲线 C 取值范围是 A. [ ? 1,1) B. { ? 1, 0}

? 4

恰好有两个不同的公共点,则实数 ? 的 ( )

C. ( ? ? , ? 1] ∪ [ 0 ,1)

D. [ ? 1, 0 ] ∪ (1, ? ? )

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷相应的编号规 定区域内写出必要的步骤.

— 2 —

19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 已知正四棱柱 A B C D
? A1 B 1 C 1 D 1 的底面边长为

2, A1 D

?

13


A1

D1

C1

(1)求该正四棱柱的侧面积与体积; (2)若 E 为线段 A1 D 的中点,求 B E 与平面 A B C D 所成角的大小.

B1

E

D

C B

A

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知复数 z 1 (1)若 2 z 1
? z2i ? s in x ? ? i

, z2

? (s in x ?

3 co s x ) ? i (? , x ? R

,i 为虚数单位) .

,且 x ? (0, π ) ,求 x 与 ? 的值;
???? ???? ? ? ???? ? ???? ? ? OZ2

(2)设复数 z 1 , z 2 在复平面上对应的向量分别为 O Z 1 , O Z 2 ,若 O Z 1
f (x)

,且 ?

? f (x)

,求

的最小正周期和单调递减区间.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 某医药研究所开发一种新药,在试验药效时发现:如果成人按规定剂量服用,那么服药
? ax , ( 0 ? x ? 1) ? 2 ?x ?1 y ? ? x ?1 ? a ?2 , ( x ? 1) ? 4 x ?1 ? 1 ?

后每毫升血液中的含药量 y (微克)与时间 x (小时)之间满足

,其

对应曲线(如图所示)过点 ( 2 ,

16 5

)



y

(1)试求药量峰值( y 的最大值)与达峰时间( y 取 最大值时对应的 x 值) ; (2)如果每毫升血液中含药量不少于 1 微克时治疗 疾病有效,那么成人按规定剂量服用该药一次后能维 x 持多长的有效时间?(精确到 0.01 小时)

— 3 —

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 设抛物线 C
B ( x2 , y2 )
: y
2

? 2 px( p ? 0)

的焦点为 F ,经过点 F 的动直线 l 交抛物线 C 于 A ( x 1 , y 1 ),

两点,且 y 1 y 2

? ?4



(1)求抛物线 C 的方程; (2)若 O E
???? ??? ? ??? ? ? 2 (O A ? O B ) (O

为坐标原点) ,且点 E 在抛物线 C 上,求直线 l 的倾斜角;

(3)若点 M 是抛物线 C 的准线上的一点,直线 M F , M A , M B 的斜率分别为 k 0 , k 1 , k 2 .求证: 当 k 0 为定值时, k 1
? k2

也为定值.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. 已知数列 { a n } 具有性质: a 1 为整数; ① ②对于任意的正整数 n, a n 为偶数时,a n ? 1 当 当 a n 为奇数时, a n ? 1
? an ? 1 2 ? an 2





(1)若 a 1 为偶数,且 a 1 , a 2 , a 3 成等差数列,求 a 1 的值; (2)设 a 1
? 2
m

? 3

(m

?3

且m

?

N) ,数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,求证: S n 时,都有 a n
? 0

? 2

m ?1

? 3;

(3)若 a 1 为正整数,求证:当 n

? 1 ? lo g 2 a 1 ( n ? N )



— 4 —

黄浦区 2013 年高考模拟考数学试卷
(理科)参考答案和评分标准
说明: 1.本解答仅列出试题的一种或两种解法,如果考生的解法与所列解答不同,可参考解答 中的评分精神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评 阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的 内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数 之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,考生应在答题卷相应编号的空格内直 接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1. ? 3i ; 7. 2
3

2. [ ? 1, 2 ) ; 3. 2 x 8. x 2
? y
2

? y ?1? 0

; 4.12;

5.121; 11.
3 5

6. [ 2 , ? ? ) ; ; 12.
4 3



?1

9. ? 3

10. 6 4 π ;



3

13.2.7;

14. ( 3, 4 ) .

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.C 16.D 17.B 18. A

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷相应的编号规 定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 解: (1)在正四棱柱 A B C D ∵ A A1 ∴ A A1
?
? A1 B 1 C 1 D 1 中,

z

D1

C1

平面 A B C D , ,故 A A1
?

AD ? ?

平面 A B C D , ,??????2 分
24
A1 B1

? AD

13 ? 4 ? 3

∴正四棱柱的侧面积为 ( 4 ? 2 ) ? 3 ? 体积为 ( 2
2

,?????4 分
E

) ? 3 ? 12



??????6 分
? xyz

(2)建立如图的空间直角坐标系 O

,由题意
3 2 )

D

C

可得 A ( 0 , 0 , 0 ) , B ( 0 , 2 , 0 ) , A1 ( 0 , 0 , 3 ) , D ( ? 2 , 0 , 0 ) , E ( ? 1, 0 ,
???? A A1 ? ( 0 , 0 , 3 )

,
A(O) B

, BE

??? ?

? ( ? 1, ? 2 ,

3 2

y

)

, ??????8 分

x

— 5 —

设 A A1 与 B E 所成角为 ? ,直线 B E 与平面 A B C D 所成角为 ? ,
???? ??? ? A A1 ? B E 则 c o s ? ? ???? ???? ? | A A1 | ? | B E |
???? 又 A A1

????

??? ?

9 2 3? 29 4 ? 3 29 29



????????????10 分

是平面 A B C D 的一个法向量, 故 s in ?

? cos ? ? 3 29 29

3

29 29

,?

? a rc s in

3

29 29



所以直线 B E 与平面 A B C D 所成的角为 a rc s in



???????????12 分

【另法提示:设 A D 中点为 G ,证 ? EBG 即为 B E 与平面 A B C D 所成的角,然后解直角三角 形 EBG ,求出 ? EBG 】 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 解: (1)由 2 z 1 ∴?
? 2 s in x ? 1, ? ? 2 ? ? s in x ? ? 3 cos x,
? z2i

,可得 2 s in

x ? 2 ? i ? 1 ? (s in x ?

3 c o s x )i

,又 ? , x ? R ,

又 x ? (0, π ) ,

??????????2 分

5π ? x ? , ? ? 6 或? ?? ? ? 1 . ? 2 ? ???? ? ???? ? (2) O Z 1 ? (s in x , ? ), O Z 2 ? (s in x ? 3 c o s x , ? 1) , ???? ? ???? ? 由 O Z 1 ? O Z 2 ,可得 s in x (s in x ? 3 c o s x ) ? ? ? 0 ,
π ? , ? x ? 故? 6 ? ? ? 1, ?

?????????6 分

?????????8 分

又?

? f ( x ) ,故 f ( x ) ? s in x ?
2

3 s in x c o s x

?

1 ? cos 2 x 2

?

3 2

s in 2 x ? s in ( 2 x ?

π 6

)?

1 2

?????????11 分 ??????????12 分



f (x)

的最小正周期 T
? π 2 ? 2x ? π 6

? π


3π 2
? π 3 , kπ ? 5π 6 ]( k ? Z )

又由 2 k π 故
f (x)

? 2 kπ ?

(k ? Z )

,可得 k π

?

π 3

? x ? kπ ?

5π 6



的单调递减区间为 [ k π



??????????14 分

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 解: (1)由曲线过点 ( 2 , 当0 当x
? x ? 1 时, y ? ?1
8x x ?1
2

16 5

)

,可得
8x 2x ? 4

a ?2 4
2 ?1

2 ?1

?1

?

16 5

,故 a

?8

????????2 分 ????????3 分

?



时,设 2 x ? 1

? t

,可知 t

?1,

— 6 —

y ?

8? 2 4
x ?1

x ?1

?1

?

8t t ?1
2

?

8t 2t

? 4

(当且仅当 t

? 1 时, y ? 4



????????5 分

综上可知 y m a x

? 4

,且当 y 取最大值时,对应的 x 值为 1 ????????6 分 , ????????8 分

所以药量峰值为 4mg,达峰时间为 1 小时. (2)当 0 解得 x
? x ? 1 时,由
8x x ?1
2

?1

,可得 x 2

? 8x ? 1 ? 0

? 4?

15

,又 4
? t

?

15 ? 1

,故 x

? 4?

15



当 x ? 1 时,设 2 x ? 1 由
8? 2 4
x ?1 x ?1

,则 t ? 1 ,
8t
2

?1

? 1 ,可得

t ?1

?1

,解得 t

? 4? 15

15


? lo g 2 ( 4 ? 15 ) ? 1

又t

? 1 ,故 t ? 4 ?

15

,所以 2 x ? 1

? 4?

,可得 x
?

. ????10 分 ????12 分

由图像知当 y ∵ lo g 2 ( 4
?

? 1 时,对应的 x

的取值范围是 [ 4 ,

1 5 , lo g 2 ( 4 ?

1 5 ) ? 1] ,

15 ) ? 1 ? (4 ?

1 5 ) ? 3 .8 5

所以成人按规定剂量服用该药一次后能维持大约 3 .8 5 小时的有效时间. ????14 分 【另法提示:可直接解不等式 y
? 1 ,得出

x 的取值范围,然后求出有效时间】

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 解: (1)设直线 l 的方程为 x
y
2

? ay ?

p 2

,代入 y 2

? 2 px

,可得

? 2 pay ? p

2

? 0

(*) 是直线 l 与抛物线的两交点, ????????2 分
? ?4

由 A ( x 1 , y 1 ),

B ( x2 , y2 )

故 y 1 , y 2 是方程(*)的两个实根, ∴ y1 y 2
? ?p
2

,又 y 1 y 2

? ?4

,所以 ? p 2 .

,又

p ? 0

,可得 p

? 2

所以抛物线 C 的方程为 y 2

? 4x

????????4 分

【另法提示:分直线 l 斜率存在与不存在两种情形,斜率存在时设直线 l 方程为点斜式】 (2)由(1)可知 y 1
???? ??? ? ??? ? ∵ O E ? 2 (O A ? O B )

? y2 ? 2 pa ? 4a



,∴ y E

? 2 ( y1 ? y 2 ) ? 8 a
2

x E ? 2 ( x 1 ? x 2 ) ? 2 ( a y 1 ? 1 ? a y 2 ? 1) ? 2 a ( y 1 ? y 2 ) ? 4 ? 8 a

? 4

?????????7 分

又点 E 在抛物线 C 上,故 y E 2 即 64a 2
? 32a ? 16
2

? 4 xE


? ? 2 2

,可得 a 2

?

1 2

,即 a
? 1 a ? ?


? [0,? ) ,

设直线 l 的倾斜角为 ? ,则 ta n ?

2

,又 ?

— 7 —

故直线 l 的倾斜角为 a rc ta n
yM xM ? 1 yM ?2

2

或π

? a rc ta n

2



?????????10 分

【另法提示:设直线 l 方程为点斜式】 (3) k 0
? ?

,可得 y M 又 y1 y 2
x2 ? 1
0

? ?2k0



?????????11 分

由(2)知 y 1 ∴ k1
? k2 ?

? y2 ? 4a,
?

? ?4
?


? y2 ? 2k0 ay2 ? 2 ?) y 2 8
0

y1 ? 2 k 0 x1 ? 1
2

y2 ? 2k0

y1 ? 2 k 0 a y1 ? 2 ) y ? 2

?

2 a 1y

y ? a
2

2
1

k ( a ?1 y
2

2 ( ?1 y )? y 2
2

k

y

y 2 ?

(a 1 y ?

?????????14 分

4

?

?8a ? 8k0a ?4a
2

2

? 8a ? 8k0
2

? 8a

? 4

?

8k0 (a 4(a
2

? 1)

? 1)

? 2k0

,又 k 0 为定值, ?????????16 分

所以 k 1

? k2

也为定值.

【另法提示:分直线 l 斜率存在与不存在两种情形讨论,斜率存在时设直线 l 方程为点斜式】 23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. (1)∵ a 1 为偶数,∴可设 a 1 若 n 为偶数,则 a 3 即 2n
? 5 2 n ? n 2
? 2n(n ? Z )

,故 a 2

?

a1 2

? n


? a1 ? a 3

,由 a 1 , a 2 , a 3 成等差数列,可知 2 a 2 ,故 a 1
? 0

, ????????2 分

,解得 n
?

? 0



若 n 为奇数,则 a 3 即2n
? 5 2 n ? 1 2

n ?1 2

,由 a 1 , a 2 , a 3 成等差数列,可知 2 a 2 ;

? a1 ? a 3



,解得 n

? 1 ,故 a 1 ? 2

∴ a 1 的值为 0 或 2. (2)∵ a 1
a3 ? a2 ? 1 2
? 2
m

???????? 4 分 是奇数,∴ a 2
? a1 ? 1 2 ? 2
m ?1

? 3( m ? 3, m ? N )

?1,

? 2

m?2

, a4

?

a3 2

? 2

m ?3

,依此类推,
? 2
m ? n ?1

可知 a 3 , a 4 , ? , a m ? 1 成等比数列,且有 a n 又 a m ?1 ∴当 n
? 2
0

(3 ? n ? m ? 1)



? 1 , am?2 ?

1?1 2

? 0

, am ?3
? m ?2

? 0

,?
? 0

? m ? 1 时, a n ? 0

;当 n

时,都有 a n



????????7 分

故对于给定的 m , S n 的最大值为 a 1
? (2
m

? a 2 ? ? ? a m ? a m ?1
0

? 3) ? (2

m ?1

? 1) ? 2

m?2

? 2

m ?3

?? ? 2

? (2

m

? 2

m ?1

?? ? 2 )? 4
0

— 8 —

?

2

m ?1

?1

2 ?1

? 4 ? 2

m ?1

? 3 ,所以 S n ? 2

m ?1

? 3



????????10 分

(3)当 a 1 为正整数时, a n 必为非负整数.证明如下: 当n
? 1 时,由已知 a 1 为正整数, ? k
an 2

可知 a 1 为非负整数,故结论成立;
? 0

假设当 n 则 a n ?1
?

时, a n 为非负整数,若 a n

,则 a n ? 1
?

? 0

;若 a n 为正偶数, 必为非负整数. ????????13 分

必为正整数;若 a n 为正奇数,则 a n ? 1

an ? 1 2

故总有 a n 为非负整数. 当 a n 为奇数时, 故总有 a n ? 1 当n
? an 2

a n ?1 ?

an ? 1 2
?
1 2

?

an 2

;当 a n 为偶数时, a n ? 1
an?2 2
2

?

an 2



,所以 a n 时, a n

a n ?1 2
)
n ?1

?

?? ?
)
lo g 2 a 1

a1 2
n ?1


?1

? 1 ? lo g 2 a 1

? (

a1 ? (

1 2

a1 ?

a1 a1

,即 a n

?1.

???????16 分

又 a n 必为非负整数,故必有 a n 【另法提示:先证“若
2
t ?1

? 0


2 ? ak ? 2
t t ?1

????????18 分
(t ? N *)

ak

为整数,且

,则

a k ?1
s

也为整数,且
?1

? a k ?1 ? 2

t

” 然后由 a 1 是正整数, , 可知存在正整数 s , 使得 2 s ? 1

? a1 ? 2

, 由此推得 a s
? 0



a s ?1 ? 0

, a s ? 2 及其以后的项均为0,可得当 n

? 1 ? lo g 2 a 1 ( n ? N )

时,都有 a n



— 9 —


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