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时间:2016-03-24


2011 届六校(惠州一中、珠海一中、东莞中学、中山纪念中学、深圳 实验中学、广州二中)高三联合考试试卷(理)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分为 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密 封线内 相应的位置上,用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;不能答在试卷上。 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答,答案必须写在答卷纸各题目指 定区域内的相应位置上,超出指定区域的答案无效;如需改动,先划掉原来的答案,然后 再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。 参考公式: (1)锥体的体积公式是 V ?

1 Sh 3

(2)记 f(k)+f(k+1)+f(k+2)+ ?? f(n)= 一、选择题:(每小题 5 分,共 40 分)

? f (i) ,其中 k, n 为正整数且 k ? n
i ?k

n

1.若 A= {x | x 2 ? 4 x ? 0 },B= ?x | x ? 3 ? 0? ,则 A ? B =( ) A. (0,3) B. (0,4) C. (0,3) D. (3,4) )

2. 等比数列 {an } 中,已知 a2 ? 2, a4 ? 4 ,则 a6 ? ( A. 6 B. 8 C. 10 D. 16

3. 下列函数中,既是偶函数又在 ? 0, ??? 上单调递增的是 A. y ? x3 B. y ? cos x C. y ? tan x D. y ? ln x

4. 已知空间向量 a ? (3,1,0),b ? ( x,?3,1) ,且 a ? b ,则 x ? ( A. ? 3 B. ?1 C. 1 D. 3 5、已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍,则椭圆的离心率等于( A.

?

?



) .

1 3

B.

2 3

C.

2 2 3

D.

10 3


6. 设 a 、 b 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,是下列命题中正确的是( A.若 a // b , a // ? ,则 b // ? C.若 ? ? ? , a ? ? ,则 a // ? B.若 ? ? ? , a // ? ,则 a ? ? D.若 a ? b , a ? ? , b ? ? ,则 ? ? ?

7. 方程 log3 x ? x ? 3 ? 0 的解所在的区间是( A. (0,1) B. (1,2) C.(2,3)



D. (3,4)

8. 已知过点(1,2)的二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如右图, 给出下列论断:① abc ? 0 ,② a ? b ? c ? 0 ,③ b ? 1 , ④a ?

1 . 其中正确论断是( 2
B. ②④ D. ②③④



A. ①③ C. ②③

二、填空题: (每小题 5 分,共 30 分,把正确答案填写在答卷相应地方上) 9. 已知 {an } 是首项为 1 的等差数列,且 a2是a1 , a5 的等比中项,且 a n ?1 ? a n , 则 {an } 的前 n 项和 Sn =______ 10. 在 ?ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos 2B =_______ 11. 如图所示,为了计算图中由曲线 y ?
5

x2 与直线x ? 2及x轴 2

4

y3
2

f?x? =
C(0,2) C(2,0)

所围成的阴影部分的面积 S=_____________。 12. 函数 f ( x ) ? log 2

x2 2
B

1 的定义域是___________, 2 ? x2
-4 -2

1

f ( x) 的值域是_____.
(第一空 2 分,第二空 3 分)

x O
-1 2 A(2,0) 4 6

? y ? x, ? 13. 已知 z ? 2 x ? y ,式中变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ,则 z 的最大值为______ ? x ? 2, ?
-2 -3

14. 右图中的三个直角三角形是一个体积为 20cm 的几何体的三视图,则 h=_________cm

3

-4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

15. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? cos(

?
2

? x) ? 3 sin(

?
2

? x)

(x ?R ) .

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 的最大值,并指出此时 x 的值.

16、(本小题满分 12 分) 某建筑公司用 8000 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 12 层、每 层 4000 平方米的楼房。经初步估计得知,如果将楼房建为 x(x ? 12)层,则每平方米 的平均建筑费用为 Q(x)=3000+50x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用 最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合费最小值是多少? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=

购地总费用 ) 建筑总面积

17. (本小题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 与 A' ABB ' 都是边长为 a 的正方形, 点 E 是 A' A 的中点, A' A ? 平面ABCD (1) 求证: A' C // 平面 BDE; (2) 求证:平面 A' AC ⊥平面 BDE (3) 求平面 BDE 与平面 ABCD 所成锐二面角的正切值。

18. (本小题共 14 分) 已知 ?ABC 的边 AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0

y

, 在 AC 边所在直线上 M (2, 0) 满足 BM ? MC , 点 T (?11)
且满足 AT ? AB ? 0 . (I)求 AC 边所在直线的方程; (II)求 ?ABC 外接圆的方程;

T

C O
A

M

N

B

x

(III)若动圆 P 过点 N (?2, 0) ,且与 ?ABC 的外接圆外切,求动圆 P 的圆心的轨迹方程.

请注意下面两题用到求和符号: f(k)+f(k+1)+f(k+2)+ ?? f(n)=

? f (i) ,其中 k, n 为正整数且 k ? n
i ?k

n

19. (本小题满分 14 分) 设 f ( x) 是定义在 [ a, b] 上的函数,用分点

T : a ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? b
将 区 间 [ a, b] 任 意 划 分 成 n 个 小 区 间 , 如 果 存 在 一 个 常 数 M ? 0 , 使 得 和 式

? f (x ) ? f (x
i ?1 i

n

i ?1

) ? M ( i ? 1, 2, ?, n )恒成立,则称 f ( x) 为 [a, b] 上的有界变差函数.

(1)函数 f ( x) ? x2 在 [0,1] 上是否为有界变差函数?请说明理由; (2)设函数 f ( x) 是 [ a, b] 上的单调递减函数,证明: f ( x) 为 [ a, b] 上的有界变差函数; (3) 若定义在 [ a, b] 上的函数 f ( x) 满足: 存在常数 k , 使得对于任意的 x1 、 x2 ?[a, b] 时,

f ( x1) ? f ( x2 ) ? k ? x1 ? x2 .证明: f ( x) 为 [a, b] 上的有界变差函数.

20.(本小题满分 14 分) 已知常数 a 为正实数,曲线 Cn : y ? 过定点( ? a ,0)

nx在其上一点 Pn ( xn , yn )处的切线 Ln 总经

(n ? N *)

(1) 求证:点列: P 1, P 2 ,?, P n 在同一直线上 (2) 求证: ln(n ? 1) ?

?
i ?1

n

a ?2 n yi

(n ? N *)

2011 届六校高三毕业班联合考试试卷 理科数学答案 2010。12。23
1.C 2. B 3. D 4. C 5、C 6.D 7. C 8. B

1 4 n2 9. 10. 11 . 12. ? 2 , 2 , [?1,??) 3 3 15. 解: (1)∵ f ?x? ? sin x ? 3 cos x

?

?

13. 5

14.

4

…… 4 分

?1 ? 3 ? ?? ? ? 2? ? 2? sin x ? cos x ? sin x cos ? cos x sin ? …… 6 分 ?2 ? 2 3 3? ? ? ? ?? ? …… 7 分 ? 2 sin? x ? ? . 3? ? ∴ T ? 2? . …… 8 分 ?? ? (2) 当 sin? x ? ? ? 1 时, f ( x) 取得最大值, 其值为 2 . ……10 分 3? ?
此时 x ?

?

3

?

?

2

? 2k? ,即 x ? 2k? ?

?

6

(k ? Z ) .

……12 分

16、解:设楼房每平方米的平均综合费为 f ( x) 元,依题意得

f ( x) ? Q( x) ?
法一:

8000 ? 10000 20000 ? 50 x ? ? 3000 4000 x x

( x ? 12, x ? N ) ……..5 分

20000 20000 ? 3000? 2 50x ? ? 3000 ? 5000 x x 20000 即x ? 20 上式取”=” 当且仅当 50 x ? x 因此,当 x ? 20 时, f ( x) 取得最小值 5000(元). f ( x) ? 50x ?
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……….9 分 ……….11 分

答:为了使楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 20 层, 每平方米的平均综合费最小值为 5000 元 法二: f ( x) ? 50 x ?

……….12 分 ………8 分

20000 20000 ? 3000 , f ' ( x) ? 50 ? x x2 f ' ( x) ? 0( x ? 0) ? x ? 20

0 ? x ? 20时, f ' ( x) ? 0,f ( x)是减函数; x ? 20时,f ' ( x) ? 0,f ( x)是增函数 ?当且仅当x ? 20时, f ( x)有最小值f (20) ? 5000
17.证明: (1)设 BD 交 AC 于 M,连结 ME. ? ABCD 为正方形,所以 M 为 AC 中点,[来源:高考资源网] 又 ?E 为 A' A 的中点? ME 为 ?A' AC 的中位线

………11 分

? ME // A' C 又 ? ME ? 平面BDE, A' C ? 平面BDE ? A' C // 平面 BDE. ……4 分 ? ABCD 为正方形 ? BD ? AC (2) ? A' A ? 平面ABCD, BD ? 平面ABCD? A' A ? BD.

……6 分

又AC ? A' A ? A ? BD ? 平面A' AC.

? BD ? 平面BDE ?平面A' AC ? 平面BDE.
(3) 平面 BDE 与平面 ABCD 交线为 BD 由(2)已证 BD ? 平面A' AC.

.......... 9分

? BD ? AM , BD ? EM ? 锐角?AME为平面BDE与平面ABCD所成锐二面角的平面角 ........12 分 ? AA' ? 平面ABCD? A' A ? AM ,
在边长为a的正方形中AM ? 而AE ? 1 2 AC ? a 2 2

1 a A' A ? 2 2 AE 2 ? tan?AME ? ? 为所求 AM 2

.......... ...14分

法二: 依条件有 AB ? AD, A' A ? AB, A' A ? AD ,以 A 为坐标原点, 分别以 AB, AD, A' A 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则有 A(0,0,0), B(a,0,0), D(0, a,0), E (0,0, )

a 2

A' A ? 平面ABCD? 平面ABCD的一个法向量为 n1 ? A' A ? (0,0, a) a BD ? (?a, a,0), BE ? (?a,0, ),设平面BDE的一个法向量为 n 2 ? ( x, y , z ) 2 ?n2 ?BD ? ?ax ? ay ? 0 ? 则n2 ? BD, n2 ? BE ? ? , 可取n2 ? (1,1,2) a n ? BE ? ? ax ? z ? 0 ? 2 2 ? 设平面BDE与平面ABCD所成锐二面角大小为 ?,
……11 分

则 cos? ?| cos ? n1 , n2 ?|?| ? sin ? ?

n1 ? n2 | n1 | ? | n2 |

|?

2a a? 6

?

6 , 3

……13 分

3 sin ? 2 , tan? ? ? 为所求.......... .......... .......... .......... .14分 3 cos? 2

18.解: (I)? AT ? AB ? 0 ………..1 分 ? AT ? AB, 又T在AC上? AC ? AB, ?ABC为Rt?ABC , AB ? 3 又 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,所以直线 AC 的斜率为 .……….2 分 , 在直线 AC 上, 又因为点 T (?11) 所以 AC 边所在直线的方程为 y ? 1 ? ?3( x ? 1) .即 3x ? y ? 2 ? 0 . ………..4 分 ? x ? 3 y ? 6 ? 0, ? 2) ,….6 分 (II)AC 与 AB 的交点为 A,所以由 ? 解得点 A 的坐标为 (0, ?3x ? y ? 2 = 0 ? BM ? MC

? M (2,0)为Rt?ABC斜边上的中点 ,即为Rt?ABC外接圆的圆心
又 r= AM ?

(2 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 2 .

从 ?ABC 外接圆的方程为:

( x ? 2)2 ? y 2 ? 8 .

………..9 分

(III)因为动圆 P 过点 N ,所以 PN 是该圆的半径,又因为动圆 P 与圆 M 外切, 所以 PM ? PN ? 2 2 , 即 PM ? PN ? 2 2 . 故点 P 的轨迹是以 M ,N 为焦点,实轴长为 2 2 的双曲线的左支. 因为实半轴长 a ? ……….. 12 分

2 ,半焦距 c ? 2 .

所以虚半轴长 b ? c2 ? a2 ? 2 .

x2 y 2 ? ? 1( x ≤ ? 2) . ………..14 分 2 2 19 解: (1)? 函数 f ( x) ? x2 在 [0,1] 上是增函数, ? 对任意划分 T , f ( xn ) ? f ( xn ?1 )
从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为

? f (x ) ? f (x
i ?1 i

n

i ?1

) ? f ( x1 ) ? f ( x0 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ? f ( xn ) ? f ( xn?1 ) ? f (1) ? f (0) ? 1 ,

取常数 M ? 1 ,则和式

? f (x ) ? f (x
i ?1 i

n

i ?1

) ? M ( i ? 1, 2, ?, n )恒成立,
…………4 分

所以函数 f ( x) ? x2 在 [0,1] 上是有界变差函数. (2)? 函数 f ( x) 是 [ a, b] 上的单调递减函数,
? f (a) ? f ( x0 ) ? f ( x1 ) ? ? ? f ( xn?1 ) ? f ( xn ) ? f (b)

且对任意划分 T , T : a ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? b
? ? f ( xi ) ? f ( xi ?1 ) ? f ( x 0 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n ?1 ) ? f ( x n ) ? f (a) ? f (b) ,
n

? 一定存在一个常数 M ? 0 ,使 f (a) ? f (b) ? M , 故 f ( x) 为 [ a, b] 上的有界变差函数. (3)? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? k ? x1 ? x2

i ?1

…………9 分

? 对任意划分 T , T : a ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? b

?
i ?1

n

f ( xi ) ? f ( xi ?1 ) ? ? k xi ? xi ?1 ? k ? xi ? xi ?1 ? k (b ? a) ,
i ?1 i ?1

n

n

取常数 M ? k (b ? a) ,

? 由有界变差函数定义知 f ( x) 为 [a, b] 上的有界变差函数. …………14 分
20 解: (1)法一: f ( x) ?

nx ? f ' ( x) ?

1 2 nx

? (nx)' ?

1 n ? 2 x

…….1 分

Cn : y ? nx在点Pn ( xn , yn )处的切线 Ln 的斜率 k n ? f ' ( xn ) ?
? : Ln的方程为 y ? y n ? 1 n ? ( x ? xn ) 2 xn

1 n ? 2 xn

………………..2 分

1 n 1 n ? Ln 经过点(?a,0) ? y n ? ? ? (?a ? x n ) ? ? (a ? x n ) 2 xn 2 xn 又 ? Pn 在曲线C n 上 ? y n ? nxn ? 1 n ? (a ? x n ) 2 xn

? x n ? a,? y n ? na ? Pn (a, na )总在直线x ? a上 即P …………………4 分 1, P 2 ,?, P n 在同一直线 x=a 上

(2) 解:由(1)可知 y n ?

an? f (i) ?
2

a 1 1 ? ? yi i i

………5 分

1 i

?

2 2 i

?

i ? i ?1

? 2( i ? i ? 1 )

(i ? 1,2, ? , n)

?
i ?1

n

n a n 1 ?? ? ? 2( i ? i ? 1 ) y i i ?1 i i ?1

? 2[( 1 ? 0 ) ? ( 2 ? 1) ? ? ? ( n ? n ? 1)] ? 2 n
设函数 F(x)= x ? ln(x ? 1), x ?[0,1],有F (0) ? 0

. . . . .9 .分 ....

? F ' ( x) ?

1 2 x

?

1 x ?1? 2 x ( x ? 1) 2 ? ? ? 0( x ? (0,1) x ? 1 2 x ( x ? 1) 2 x ( x ? 1) ........... .......... .......... .......... 11分 . 1 ? ln(n ? 1) ? ln n n

? F ( x)在[0,1]上为增函数?当0 ? x ? 1时有F ( x) ? F (0) ? 0 ?当0 ? x ? 1时有 x ? ln(x ? 1)恒成立 1 1 1 取x ? (i ? 1,2,3,? , n), f (i ) ? ? ln(1 ? ) ? ln(i ? 1) ? ln i i i i 即有f (1) ?
n

1 ? ln 2, f (2) ? 1
n i ?1

1 1 ? ln(1 ? ) ? ln 3 ? ln 2,? , f (n) ? 2 2

? ? f (i ) ??
i ?1

1 1 1 1 ? ? ??? ? ln 2 ? (ln 3 ? ln 2) ? ? ? [ln(n ? 1) ? ln n] ? l n n ( ? 1) i 1 2 n
n i ?1

综上所述有

l nn ( ? 1) ? ?

a ?2 n yi

…………………… 14 分

(1) 解法二:设切线 L n 的斜率为 k n , 由切线过点 (?a,0) 得切线方程为 y=k n (x+a) 则方程组 ?

? y ? k n ( x ? a)
2 ? y ? nx ( y ? 0)

的解为 ?

? x ? xn , ……..1 分 ? y ? yn
2 2 2

2 2 2 2 2 由方程组用代入法消去 y 化简得 k n x ? (2akn ? n) x ? k n a ? 0 (*)

有 ? ? (2ak n ? n) ? 4k n ? k n a ? ?4ank n ? n ? 0 ? k n ?
2 2 2 2 2

n ………2 分 4a

n 2 n n x ? ( 2a ? ? n) x ? ? a 2 ? 0即x 2 ? 2a ? x ? a 2 ? 0 4a 4a 4a ? x ? a即有xn ? a, yn ? nxn ? na
代入方程(*),得 即P 1, P 2 ,?, P n 在同一直线 x=a 上 …………………4 分 (2) 先证 : 0 ? x ? 1 时 x ? x ? ln(x ? 1) 以下类似给分


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