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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2课件:2-2-2 平面与平面平行的判定_图文

时间:2013-09-24

成才之路· 数学
人教A版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

第二章
点、直线、平面之间的位置关系

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

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第二章
2.2 直线、平面平行的判定及其性质

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

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第二章
2.2.2 平面与平面平行的判定

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

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课前自主预习

基础巩固训练

思路方法技巧

能力强化提升

第二章

2.2

2.2.2

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课前自主预习

第二章

2.2

2.2.2

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温故知新 1.两个平面之间的位置关系: 相交和平行 ,两平面之间 的位置关系依据公共点的个数来划分的. 2.a∥b,b?α, a?α 则a∥α(线面平行的判定定理).

第二章

2.2

2.2.2

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3.判定线面平行的方法有:定义和 判定 定理,虽然可以 用定义判定,但不易操作,所以常用判定定理,转化为证明 “线线平行”,体现了“空间问题平面化”的基本思想.

第二章

2.2

2.2.2

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4.长方体ABCD-A′B′C′D′中,E、F分别是平面 ABCD、平面A′B′C′D′的中心,长方体的6个面中与EF 平行的有( A.1个 ) B.2个 C.3个 D.4个

[答案]

D

第二章

2.2

2.2.2

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5.若直线m不平行于平面α,且m?α,则下列结论成立的 是( ) A.α内的所有直线与m异面 B.α内不存在与m平行的直线 C.α内存在唯一的直线与m平行 D.α内的直线与m都相交
[答案] B

第二章

2.2

2.2.2

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新课引入 木工师傅用气泡式水准仪在桌面上交叉放两次,如果水 准仪的气泡都是居中的,就可以判定这个桌面和水平面平 行,想一想,这是依据什么道理?

第二章

2.2

2.2.2

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自主预习 阅读材料P56~57回答下列问题. 平面与平面平行的判定定理 文字 一个平面内的两条 相交 直线与另一 语言 个平面 平行 ,则这两个平面平行 图形 语言

第二章

2.2

2.2.2

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符号 语言 作用

a?β,b?β, a∩b=P ,a∥α,b∥α?α

∥β
证明两个平面 平行

第二章

2.2

2.2.2

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[破疑点]平面与平面平行的判定定理告诉我们,可以通过 直接与平面平行来证明平面与平面平行.通常我们将其记 为:线面平行,则面面平行.因此处理面面平行(即空间问题) 转化为处理线面平行,进一步转化为处理线线问题(即平面问 题)来解决,以后证明平面与平面平行,只要在一个平面内找 到两条相交直线和另一个平面平行即可. 关于判定两平面平行的另一种方法:若一个平面内的两 条相交直线与另一个平面内的两条相交直线对应平行,则这 两个平面平行.
第二章 2.2 2.2.2

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已知三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是棱PA,PB,PC 的中点.求证:平面DEF∥平面ABC.

第二章

2.2

2.2.2

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[证明]

如图所示,在△PAB中,

因为D,E分别是PA,PB的中点,所以DE∥AB. 又AB?平面ABC,DE?平面ABC,因此DE∥平面ABC. 同理,EF∥平面ABC.又因为DE∩EF=E, 所以平面DEF∥平面ABC.

第二章

2.2

2.2.2

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思路方法技巧

第二章

2.2

2.2.2

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平面与平面平行判定定理的理解
学法指导 对面面平行的判定定理的理解

(1)定理可简记为:线面平行,则面面平行.这里的 “线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面. (2)用该定理判定两个平面平行需同时满足5个条件: a?α,b?α,a∩b=A,a∥β,b∥β.

第二章

2.2

2.2.2

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[例1]

下列命题正确的是(

)

①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行,则这 两个平面平行; ②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行,则 这两个平面平行; ③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行,则这两 个平面平行;

第二章

2.2

2.2.2

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④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行, 则这两个平面平行. A.①③ C.②③④
[答案] D

B.②④ D.③④

第二章

2.2

2.2.2

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[解析]

如果两个平面没有任何一个公共点,那么我们就

说这两个平面平行,也即是两个平面没有任何公共直线. 对于①:一个平面内有两条直线都与另外一个平面平 行,如果这两条直线不相交,而是平行,那么这两个平面相 交也能够找得到这样的直线存在. 对于②:一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平 行,同①.

第二章

2.2

2.2.2

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对于③:一个平面内任何直线都与另外一个平面平行, 则这两个平面平行.这是两个平面平行的定义. 对于④:一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面 平行,则这两个平面平行.这是两个平面平行的判定定理. 所以只有③④正确,选择D.

第二章

2.2

2.2.2

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规律总结:判断两平面平行的方法有三种:(1)利用定 义.(2)利用两平面平行的判定定理.(3)面面平行的传递 性.对于考查定义的问题,只需要找一个反例就行,不必把 每个题目的选择都正面推导一次.

第二章

2.2

2.2.2

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a、b、c为三条不重合的直线,α、β、γ为三个不重合平 面,现给出六个命题. ①a∥c,b∥c?a∥b;②a∥γ,b∥γ?a∥b; ③α∥c,β∥c?α∥β;④α∥γ,β∥γ?α∥β; ⑤α∥c,a∥c?α∥a;⑥a∥γ,α∥γ?α∥a.

第二章

2.2

2.2.2

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其中正确的命题是( A.①②③ C.①④
[答案] C

) B.①④⑤ D.①③④

第二章

2.2

2.2.2

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[解析]

①平行公理.

②两直线同时平行于一平面,这两条直线可相交、平行 或异面. ③两平面同时平行于一直线,这两个平面相交或平行. ④面面平行传递性. ⑤一直线和一平面同时平行于另一直线,这条直线和平 面或平行或直线在平面内. ⑥一直线和一平面同时平行于另一平面,这直线和平面 可平行也可能直线在平面内.故①④正确.
第二章 2.2 2.2.2

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两个平面平行的判定的应用
学法指导 平面与平面平行的判定方法:

(1)定义法:两个平面没有公共点; (2)判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于 另一个平面; (3)转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β 内的两条相交直线分别平行,则α∥β; (4)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.

第二章

2.2

2.2.2

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特别提醒:在证明线线、线面以及面面平行时,常常进 行如下转化: 线面平行的判定 面面平行的判定 线线平行 ――→ 线面平行 ――→ 面面 平行.

第二章

2.2

2.2.2

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[例2]

如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,E分

别是BC与B1C1的中点.求证:平面A1EB∥平面ADC1.

第二章

2.2

2.2.2

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[分析]

要证平面A1EB∥平面ADC1,只需证平面A1EB内

有两条相交直线平行于平面ADC1即可.

第二章

2.2

2.2.2

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[证明]

如图,由棱柱的性质知,B1C1∥BC,B1C1=BC.

又D,E分别为BC,B1C1的中点,所以C1E∥DB,C1E=DB, 则四边形C1DBE为平行四边形,因此EB∥C1D.又C1D?平面 ADC1,EB?平面ADC1,所以EB∥平面ADC1.

第二章

2.2

2.2.2

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连接DE,同理,EB1∥BD,EB1=BD, 所以四边形EDBB1为平行四边形, 则ED∥B1B,ED=B1B. 因为B1B∥A1A,B1B=A1A(棱柱的性质), 所以ED∥A1A,ED=A1A, 则四边形EDAA1为平行四边形, 所以A1E∥AD. 又A1E?平面ADC1,AD?平面ADC1, 所以A1E∥平面ADC1.
第二章 2.2 2.2.2

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由A1E∥平面ADC1,EB∥平面ADC1,A1E?平面A1EB, EB?平面A1EB,且A1E∩EB=E,所以平面A1EB∥平面ADC1.

第二章

2.2

2.2.2

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规律总结:(1)注意题中几何体,如棱柱的性质的应 用. (2)证明面面平行的基本思路:线线平行?线面平行?面 面平行.

第二章

2.2

2.2.2

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如图,点P是△ABC所在平面外一点,点A′、B′、C′ 分别是△PBC、△PAC、△PAB的重心.求证:平面 A′B′C′∥平面ABC.

第二章

2.2

2.2.2

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[分析]

要证平面A′B′C′∥平面ABC,可以利用重心

的性质寻找平行线.

第二章

2.2

2.2.2

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[证明]

如题图,连接PA′并延长交BC于点M,连接

PB′并延长交AC于点N,连接PC′并延长交AB于点Q.因为 A′、B′、C′分别是△PBC、△PAC、△PAB的重心,所以 PA′ M、N、Q分别是△ABC的边BC、AC、AB的中点,且 = A′M PB′ =2,所以A′B′∥MN. B′N 同理可得B′C′∥NQ,A′C′∥MQ.

第二章

2.2

2.2.2

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因为A′B′∥MN,MN?平面ABC,A′B′?平面ABC, 所以A′B′∥平面ABC,同理可证B′C′∥平面ABC. 又A′B′∩B′C′=B′,A′B′?平面A′B′C′, B′C′?平面A′B′C′, 所以平面A′B′C′∥平面ABC.

第二章

2.2

2.2.2

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规律总结:要证两平面平行,需先在一个平面内找到两 条相交直线平行于另一平面,在找线平行于面时,我们充分 利用了三角形的重心是三角形三条中线的交点,且重心到顶 点的距离是此中线长的三分之二,再利用比例关系求得线线 平行,推出线面平行,从而得出面面平行.

第二章

2.2

2.2.2

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探索延拓创新

第二章

2.2

2.2.2

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探索性问题,一般采用执果索因的方法,假设求解的结 果存在,从这个结果出发,寻找使这个结论成立的充分条 件,如果找到了符合题目结果要求的条件,则存在;如果找 不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾),则不存在.

第二章

2.2

2.2.2

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[例3]

已知底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD,点E

在PD上,且PE?ED=2? 1 ,在棱PC上是否存在一点F,使 BF∥面AEC?证明你的结论,并说出点F的位置. [分析] 解答本题应抓住BF∥面AEC.先找BF所在的平面

平行于平面AEC,再确定F的位置.

第二章

2.2

2.2.2

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[解析]

如下图所示,连接BD交AC于O点,连接OE,过

B点作OE的平行线交PD于点G,过点G作GF∥CE,交PC于点 F,连接BF.

第二章

2.2

2.2.2

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∵BG∥OE,BG?平面AEC,OE?平面AEC, ∴BG∥平面AEC.同理,GF∥平面AEC, 又BG∩GF=G. ∴平面BGF∥平面AEC, 又∵BF?平面BGF, ∴BF∥平面AEC. ∵BG∥OE,O是BD中点, ∴E是GD中点.

第二章

2.2

2.2.2

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又∵PE?ED=2? 1 ,∴G是PE中点. 而GF∥CE,∴F为PC中点. 综上,当点F是PC中点时,BF∥平面AEC.

第二章

2.2

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如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD 的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什 么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?

第二章

2.2

2.2.2

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[分析]

观察图形的特点,只需在两个平面中分别找到两

条相交直线互相平行,在CC1上选取中点Q恰好有AP∥BQ.

第二章

2.2

2.2.2

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[解析]

当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.

∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点, ∴QB∥PA.而QB?平面PAO,PA?平面PAO, ∴QB∥平面PAO.

第二章

2.2

2.2.2

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连接DB,∵P,O分别为DD1,DB的中点, ∴PO为△DBD1的中位线, ∴D1B∥PO. 而D1B?平面PAO,PO?平面PAO, ∴D1B∥平面PAO. 又D1B∩QB=B,∴平面D1BQ∥平面PAO.

第二章

2.2

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基础巩固训练

第二章

2.2

2.2.2

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1.六棱柱的表面中,互相平行的面最多有( A.2对 B.3对 C.4对

) D.5

[答案] C [解析] 底面为正六边形的六棱柱,互相平行的面最多.

第二章

2.2

2.2.2

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2.若两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平 行,则这两个平面的公共点个数( A.有限个 B.无限个
[答案] D

)

C.没有 D.没有或无限个

[解析] 两平面相交或平行,故选D.

第二章

2.2

2.2.2

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3.已知一条直线与两个平行平面中的一个相交,则它必 与另一个平面( A.平行 C.平行或相交 ) B.相交 D.平行或在平面内

[答案]

B

第二章

2.2

2.2.2

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4.若a,b,c,d是直线,α,β是平面,且a、b?α,c、d ?β,且a∥c,b∥d,则平面α与平面β( A.平行 C.异面
[答案] D

)

B.相交 D.不能确定

第二章

2.2

2.2.2

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5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列四对截面中彼此 平行的一对是( ) B.BDC1和B1D1C D.ADC1和AD1C

A.A1BC1和ACD1 C.B1D1D和BDA1

[答案]

A

[解析] 根据判定定理画图判断.

第二章

2.2

2.2.2

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6.在如图所示的几何体中,三个侧面AA1B1B,BB1C1C, CC1A1A都是平行四边形.则平面ABC与平面A1B1C1________ 平行(填“是”或“否”).

[答案]



[解析]

利用面面平行的判定定理的推论即可.
第二章 2.2 2.2.2

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7.已知平面α内有不共线的三点A,B,C,平面β内有不 共线的三点D,E,F,且AB∥DE,AC∥DF,求证:α∥β.

[证明]

∵AB∥DE,DE?β,AB?β,∴AB∥β.

同理可证,AC∥β. 又AB?α,AC?α,AB∩AC=A,∴α∥β.

第二章

2.2

2.2.2

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8.如下图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平 面A1BD∥平面CB1D1.

第二章

2.2

2.2.2

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[证明]

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,∵A1B∥D1C,

D1C?平面CB1D1, ∴A1B∥平面CB1D1.同理可证A1D∥平面CB1D1. 又∵A1B?平面A1BD,A1D?平面A1BD,A1B∩A1D=A1, ∴平面A1BD∥平面CB1D1.

第二章

2.2

2.2.2

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能力强化提升(点此链接)

第二章

2.2

2.2.2


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