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高中数学 2-2-1 直线与平面平行的判定课件 新人教A版必修2_图文

时间:2013-11-05

成才之路· 数学
人教A版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章
点、直线、平面之间的位置关系

第二章
2.2 直线、平面平行的判定及其性质

第二章
2.2.1 直线与平面平行的判定

课前自主预习 基础巩固训练 思路方法技巧 能力强化提升 名师辨误做答

课前自主预习

温故知新 1.直线与平面的位置关系:相交、平行、直线在平面内. 2.线线平行、线面平行的共同特征是什么? 无公共点. 实 际上,平行问题的“无公共点”为基本特征,抓住这一点,平 行问题就迎刃而解了. 3.判定线线平行常用的依据有:定义(判定无公共点)、公 理 4(找辅助线).

4.三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边, 且等于第三边长的 一半. 5.梯形中位线定理:梯形的中位线平行于两底边,且等 于两底边和的 一半. 6.经过直线外一点有 且只有一 行; 条直线与已知直线平

经过直线外一点有 无数 个平面与已知直线平行; 经过平面外一点有 无数 条直线与已知平面平行; 经过平面下一点 且只有一 平面与已知平面平行; 经过两条异面直线中的一条有 且只有一 个平面与另一 条直线平行.

新课引入 取一块形状为平行四边形的木板 ABCD,将平行四边形 ABCD 木板的一边 AB 紧靠桌面并绕 AB 转动,当 AB 的对边 CD 转动到任意一个位置时,是不是都与桌面所在的平面平 行?为什么?

自主预习 阅读教材 P54~55 回答下列问题. 直接与平面平行的判定定理

文字 平面外 一条直线与此平面内的一条直线 平行 , 语言 则该直线与此平面平行 图形 语言 符号 语言 a?α,b?α,且 a∥b?a∥α

作用 证明直线与平面 平行

[破疑点]直线与平面平行的判定定理告诉我们,可以通过 直线间的平行来证明直线与平面平行.通常我们将其记为“线 线平行,则线面平行”.因此,处理线面平行转化为处理线线 平行来解决.也就是说,以后证明一条直线和一个平面平行, 只要在这个平面内找到一条直线和已知直线平行即可.

在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与平面 BDD1B1 平行的棱 有________;与棱 CD 平行的面有________.

[答案]

A1A、C1C 面 A1B1C1D1、面 ABB1A1.

如下图所示,E,F 分别为三棱锥 A-BCD 的棱 BC,BA 上的点,且 BE:BC=BF:BA=1:3.求证:EF∥平面 ACD.

[证明]

∵BE:BC=BF:BA=1:3,

∴EF∥AC. 又 EF?平面 ACD,AC?平面 ACD, ∴EF∥平面 ACD.

思路方法技巧

直线与平面平行的判定定理
学法指导 1.应用判定定理证明线面平行的步骤

上面的第一步“找”是证题的关键,其常用方法有:利 用三角形、梯形中位线的性质;利用平行四边形的性质;利 用平行线分线段成比例定理.

2.线面平行判定定理应用的误区 (1)条件罗列不全,最易忘记的条件是a?α与b?α. (2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线.

3.证明直线与平面平行的方法 (1)定义:证明直线与平面无公共点(不易操作). (2)排除法:证明直线与平面不相交,直线也不在平面 内. (3)判定定理法.

[例1]

P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的

中点,求证:PC∥平面BDQ. [分析] 根据线面平行的判定定理,要证线面平行,只需

证明线线平行,即在平面BDQ内找一条直线平行于PC,可以 利用“中点”构造中位线解决.

[证明]

如图所示,连接AC交BD于O,连接QO.

∵四边形ABCD是平行四边形,∴O为AC的中点. 又Q为PA的中点,

∴QO∥PC. 显然QO?平面BDQ,PC?平面BDQ, ∴PC∥平面BDQ.

(2010· 陕西高考改编)如下图,在四棱锥 P-ABCD 中,底 面 ABCD 是矩形,E,F 分别是 PB,PC 的中点. 证明:EF∥平面 PAD.

[分析]

本题要证明线面平行,根据判定定理,需先证线

线平行,即设法在平面 PAD 内找到一条平行于 EF 的直线,而 E、F 都是所在线段的中点,故可考虑应用中位线的性质.

[解答]

在△PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中点,∴EF

∥BC.
又 BC∥AD,∴EF∥AD. ∵AD?平面 PAD,EF?平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD.

[例 2]

如下图所示,两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF

所在平面相交于 AB,M∈AC,N∈FB,且 AM=FN.求证:MN

∥平面 BCE.

[分析]

解答本题可先在面 BCE 中找一条线与 MN 平行,

再判定出 MN∥面 BCE.

[证明]

方法一:作 MP∥AB 交 BC 于 P,NQ∥AB 交 BE

于 Q,如图①, ∴MP∥NQ. ∵AM=FN,

2 2 ∴MP= 2 MC= 2 BN=NQ. ∴MP∥NQ,且 MP=NQ,则四边形 MNQP 为平行四边 形.∴MN∥PQ. ∵MN?平面 BCE,PQ?平面 BCE, ∴MN∥平面 BCE.

方法二:如图②所示,连接 AN 并延长,交 BE 的延长线 于 G,连接 CG, ∵AF∥BG,AM=NF

AN FN AM ∴ = = . NG NB MC ∴MN∥CG.∵MN?平面 BCE,CG?平面 BCE, ∴MN∥平面 BCE.

规律总结:利用直线和平面平行的判定定理来证明线 面平行,关键是寻找平面内与已知直线平行的直线,常利用 平行四边形、三角形中位线、平行公理等.

四棱锥 P-ABCD 的各条棱长都是 13,M、N 分别是 PA 和 BD 上的点, PM:MA=BN:ND=5:8, 且 求证 MN∥平面 PBC.

[分析]

欲证 MN∥平面 PBC,根据判定定理,关键是在

PM BN 平面 PBC 内找到一条直线与 MN 平行, 而所给条件为MA=ND, 比例式自然会和平行产生联想,但 PA 与 BD 为异面直线,无 法直接利用此条件,于是想怎样做才能化异为共,使问题得到 解决,很自然的一个想法就是直线 PB 与两异面直线均相交, 且 PB?平面 PBC 内,只要在 PB 上取点 E,符合上述比例关 PE PM 系,产生平行线即可解决,于是在 PB 上取 E,使 = ,则 EB MA ME∥AB∥CD,只须再过 N 作 NF∥CD,∴ME∥NF.

[解析]

在平面 PAB 内过 M 作 ME∥AB 交 PB 于 E,在平

面 BCD 内过 N 作 NF∥DC 交 BC 于 F,连 EF,可得 ME∥NF.

ME PM 5 NF BN 5 又 = = , = = ,且 AB=CD. AB PA 13 CD BD 13 ∴ME=NF,∴MNFE 是平行四边形,∴MN∥EF, ∵MN?平面 PBC,EF?平面 PBC, ∴MN∥平面 PBC.

探索延拓创新

学法指导 实际问题应认真审题,从中挖掘所包含的数 学知识,构建数学模型,从而解决问题. [例3] 一木块如下图所示,点P在平面VAC内,过点P

将木块锯开,使截面平行于直线VB和AC,应该怎样画线?

[分析]

本题是一道实际应用题, 木工经常从事这项工作,

需用到线面平行的判定定理.

[解析]

在平面 VAC 内经过 P 作 EF∥AC,且与 VC 的交

点为 F,与 VA 的交点为 E, 在平面 VAB 内,经过点 E 作 EH∥VB,与 AB 交于点 H, 如下图所示.

在平面 VBC 内经过点 F 作 FG∥VB,与 BC 交于点 G, 连接 GH,则 EF、FG、GH、HE 为截面与木块各面的交 线. 证明:∵EH∥VB,FG∥VB, ∴EH∥FG, 可知 E、H、G、F 四点共面. ∵VB?平面 EFGH,EH?平面 EFGH, ∴VB∥平面 EFGH. 同理可证 AC∥平面 EFGH.

名师辨误做答

易错点 [例 4]

忽略线面平行的判定定理使用的前提条件 如果两条平行直线 a,b 中的 a∥α,那么 b∥α.这

个命题正确吗?为什么? [错解] 这个命题正确.

∵a∥α, ∴在平面 α 内一定存在一条直线 c,使 a∥c. 又∵a∥b,∴b∥c, ∴b∥α.

[错因分析] 错误的原因是利用线面平行的判定定理时, 忽略了定理使用的前提条件必须是平面外的一条直线与平面 内的一条直线平行.本题条件中的直线b与平面α有两种位置 关系:b∥α和b?α.

[正解]

这个命题不正确.

若 b?α,∵a∥α, ∴在平面 α 内必存在一条直线 c,使 a∥c. 又∵a∥b,∴b∥c, ∴b∥α. 若 b?α,则不满足题意. 综上所述,b 与 α 的位置关系是 b∥α 或 b?α.

基础巩固训练

1.三棱台 ABC-A1B1C1 中,直线 AB 与平面 A1B1C1 的位 置关系是( A.相交 C.在平面内 ) B.平行 D.不确定

[答案] B

[解析]

∵AB∥A1B1, AB?平面 A1B1C1, 1B1?平面 A1B1C1, A

∴AB∥平面 A1B1C1.

2.平面 α 与△ABC 的两边 AB,AC 分别交于 D,E,且 AD:DB=AE:EC,如下图所示,则 BC 与 α 的位置关系是( )

A.平行 C.异面

B.相交 D.BC?α

[答案] A

[解析]

在△ABC 中,∵AD:DB=AE:EC,

∴BC∥DE. ∵BC?α,DE?α,∴BC∥α.

3.若 l∥α,m?α,则 l 与 m 的关系是( A.l∥m C.l 与 m 相交 B.l 与 m 异面 D.l 与 m 无公共点

)

[答案] D
[解析] l 与 α 无公共点,∴l 与 m 无公共点.

4.下列命题: ①如果一条直线不在平面内,则这条直线就与这个平面平 行; ②过直线外一点,可以作无数个平面与这条直线平行; ③如果一条直线与平面平行,则它与平面内的任何直线平 行.

其中正确命题的个数为( A.0 个 B.1 个

) C.2 个 D.3 个

[答案] B

[解析] 只有②正确.

5.能保证直线a与平面α平行的条件是( A.a?α,b?α,a∥b B.b?α,a∥b C.b?α,c∥α,a∥b,a∥c

)

D.b?α,A∈a,B∈a,C∈b,D∈b,且AC=BD

[答案] A [解析] 根据线面平行的判定定理.

6.如下图,长方体ABCD-A′B′C′D′中,

(1)与直线CD平行的平面是________; (2)与直线CC′平行的平面是________; (3)与直线CB平行的平面是________.

[答案] (1)平面A′C′,平面A′B

(2)平面A′B,平面A′D
(3)平面A′D,平面A′C′

7.如图,在四棱锥P-ABCD中,点F是棱PD的中点,点 E为CD的中点,试判断直线EF与平面PAC的关系,并说明理 由.

[解析]

平行.

在△PDC中,E、F分别为CD、PD中点, ∴EF∥PC. 又PC?平面PAC,EF?平面PAC, ∴EF∥平面PAC.

8.在长方体ABCD-A′B′C′D′中,E,F分别是 AA′和CC′的中点,求证:直线EF∥平面AC. [分析] 转化为证明EF∥AC.

[证明]

如上图所示,连接 AC.

∵E,F 分别是 AA′和 CC′的中点, ∴AE=FC,AE∥FC. ∴四边形 ACFE 是平行四边形. ∴EF∥AC. 又∵EF?平面 AC,AC?平面 AC,∴EF∥平面 AC.


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