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2018年高中数学第三章不等式3.1不等关系3.1.1不等关系3.1.2不等关系与不等式达标练习北师大版必修5

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拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。如果 你希望 成功, 以恒心 为良友 ,以经 验为参 谋,以 小心为 兄弟, 以希望 为哨兵 。

3.1.2 不等关系与不等式
[A 基础达标] 1.若 A=a +3ab,B=4ab-b ,则 A、B 的大小关系是( A.A≤B C.A<B 或 A>B
2 2 2

)

B.A≥B D.A>B
2

解析:选 B.因为 A-B=a +3ab-(4ab-b ) 2 ? b? 3 2 =?a- ? + b ≥0, ? 2? 4 所以 A≥B. 2.已知 a<b<|a|,则( 1 1 A. > ) B.ab<1 D.a >b
2 2

a b

C. >1

a b

解析:选 D.由 a<b<|a|,可知 0≤|b|<|a|,由不等式的性质可知|b| <|a| ,所以 a >b ,故 选 D. 3.如果 loga3>logb3,且 a+b=1,那么( A.0<a<b<1 C.1<a<b )

2

2

2

2

B.0<b<a<1 D.1<b<a

解析:选 A.因为 a+b=1,a,b>0, 所以 0<a<1,0<b<1. lg 3 lg 3 因为 loga3>logb3,所以 > . lg a lg b 所以 lg a<lg b.所以 0<a<b<1. β ? π? ? π? 4.设 α ∈?0, ?,β ∈?0, ?,则 2α - 的范围是( 2 2 3 ? ? ? ? )

? 5 ? A.?0, π ? ? 6 ?
C.(0,π ) 解析: 选 D.0<2α <π , 0≤ β - <π . 3

? π 5 ? B.?- , π ? ? 6 6 ? ? π ? D.?- ,π ? ? 6 ?
β π π β π ≤ , 所以- ≤- ≤0, 由同向不等式相加得到- <2α 3 6 6 3 6

1 1 5.若 < <0,则下列结论不正确的是(

a b

)

1

A.a <b

2

2

B.ab<b

2

C.ab>a

2

D.|a|+|b|>|a+b|

1 1 解析:选 D.由 < <0,得 b<a<0.所以 A,B,C 均正确,但|a+b|=|a|+|b|,故选 D.

a b

6.某同学拿 50 元钱买纪念邮票,票面 8 角的每套 5 张,票面 2 元的每套 4 张,每种邮票至 少买两套,则用不等式表示上述不等关系为________. 解析:设买票面 8 角的 x 套,买票面 2 元的 y 套, 由题意列不等式组,得

x≥2,x∈N+, x≥2,x∈N+, ? ? ? ? 即?y≥2,y∈N+, ?y≥2,y∈N+, ? ?0.8×5x+2×4y≤50. ? ?2x+4y≤25. x≥2,x∈N+, ? ? 答案:?y≥2,y∈N+, ? ?2x+4y≤25
1 1 1 a b 7.已知 0<a< ,且 M= + ,N= + ,则 M,N 的大小关系是________. b 1+a 1+b 1+a 1+b 1 解析:因为 0<a< ,所以 1+a>0,1+b>0,1-ab>0,

b

1-a 1-b 2-2ab 所以 M-N= + = >0,即 M>N. 1+a 1+b (1+a)(1+b) 答案:M>N 8.若 m>2,则 m 与 2 的大小关系是________. 解析:因为 m=? ? ,又 m>2, 2 ?2? 所以 >1,所以? ? >1,又 2 >0,故 m >2 . 2 ?2?
m m m m m

mm ?m?m

m

?m?

m

答案:m >2

m

m

9.(1)已知 a<b<0,求证: < . 1 1 (2)已知 a>b, < ,求证:ab>0.

b a a b

a b

证明:(1)由于 - =

b a b2-a2 a b ab

(b+a)(b-a) = ,

ab

因为 a<b<0, 所以 b+a<0,b-a>0,ab>0,
2

(b+a)(b-a) 所以 <0,

ab

故 < . 1 1 1 1 (2)因为 < ,所以 - <0,

b a a b

a b

a b



b-a <0, ab

而 a>b,所以 b-a<0,所以 ab>0. 10.某中学为加强现代信息技术教学,拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房,每 个计算机房只配置 1 台教师用机,若干台学生用机.其中初级机房教师用机每台 8 000 元, 学生用机每台 3 500 元;高级机房教师用机每台 11 500 元,学生用机每台 7 000 元.已知 两机房购买计算机的总钱数相同,且每个机房购买计算机的总钱数不少于 20 万元也不超过 21 万元.则该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机? 解:设该校拟建的初级机房有 x 台计算机、高级机房有 y 台计算机,则 0.8+0.35(x-1)=1.15+0.7(y-1), ? ?20≤0.8+0.35(x-1)≤21, ?20≤1.15+0.7(y-1)≤21, ? ?x,y∈N ,


?556≤x≤585, ? 7 7 解得? 13 5 27 ≤y≤29 , 14 14 ? ?x,y∈N .
x=2y,


因为 x、y 为整数,所以?

?x=56, ? ? ?y=28

或?

?x=58, ? ? ?y=29.

即该校拟建的初级机房、高级机房各应有 56、28 或 58、29 台计算机. [B 能力提升]

11.有外表一样,重量不同的四个小球,它们的重量分别是 a,b,c,d,已知 a+b=c+d,

a+d>b+c,a+c<b,则这四个小球由重到轻的排列顺序是(
A.d>b>a>c C.d>b>c>a B.b>c>d>a D.c>a>d>b

)

解析:选 A.因为 a+b=c+d,a+d>b+c,所以 a+d+(a+b)>b+c+(c+d),即 a>c.所以

b<d.又 a+c<b,所以 a<b.综上可得,d>b>a>c.
12.若规定?

?a b? ?a -b? ?a -a? ?=ad-bc,则? ?与? ?的大小关系为________.(a,b∈R, a? ?b b? ?c d? ?b
3

且 a≠b) 解析:?

?a -b? ?a -a? 2 2 ? -? ?=[a·a-(-b)·b]-[a·b-(-a)·b]=a +b -2ab=(a- a? ?b b? ?b

b)2>0(因为 a≠b),
所以?

?a -b? ?a -a? ?>? ?. a? ?b b? ?b ?a -b? ?a -a? ?>? ? a? ?b b? ?b

答案:?

13.甲、乙两位采购员同去一家销售公司买了两次粮食,且两次粮食的价格不同,两位采购 员的购粮方式也不同.其中,甲每次购粮 1 000 kg,乙每次购粮用去 1 000 元钱,谁的购 粮方式更合算? 解:设两次粮食的价格分别为 a 元/kg 与 b 元/kg,且 a≠b. 则甲采购员两次购粮的平均单价为 1 000(a+b) a+b = 元/kg, 2×1 000 2 乙采购员两次购粮的平均单价为 2×1 000 2ab = 元/kg. 1 000 1 000 a+b +

a

b

2ab (a+b) -4ab (a-b) 因为 - = = , 2 a+b 2(a+b) 2(a+b) 又 a+b>0,a≠b,(a-b) >0, (a-b) a+b 2ab 所以 >0,即 > . 2(a+b) 2 a+b 所以乙采购员的购粮方式更合算. 14.(选做题)设 f(x)=ax +bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求 f(-2)的取值范围. 解:法一:设 f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n 为待定系数), 则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a+(n-m)b, 于是得?
?m+n=4 ? ?m=3 ? ,解得? , ?n-m=-2 ?n=1 ? ?
2 2 2

a+b

2

2

所以 f(-2)=3f(-1)+f(1). 又因为 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, 所以 5≤3f(-1)+f(1)≤10, 故 f(-2)的取值范围是[5,10]. 法二:由?
?f(-1)=a-b ? ?f(1)=a+b ?



4

1 a= [f(-1)+f(1)] ? ? 2 得? , 1 ? ?b=2[f(1)-f(-1)] 所以 f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又因为 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, 所以 5≤3f(-1)+f(1)≤10, 故 f(-2)的取值范围是[5,10].

5


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