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浙江省杭州学军中学高二数学下学期期中考试文

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杭州学军中学 2010/2011 学年下学期期中考试高二年级数学(文)试卷

一、选择题(本题共 10 小题,其中每个小题只有一个答案是正确的,每个小题 3 分,共 30 分,把你 认为正确的答案填在答题卡上) 1.在复平面内,复数

i 2 +(1+ 3 i ) 对应的点位于 1? i

A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.“∵四边形 ABCD 为矩形,∴四边形 ABCD 的对角线相等”,补充以上推理的大前提为 A.正方形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形
2

B.矩形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形

3.用反证法证明: “方程 ax ? bx ? c ? 0, 且 a, b, c 都是奇数,则方程没有整数根” 正确的假设是方程存在实数根 x0 为 A.整数 B.奇数或偶数 C.正整数或负整数 D.自然数或负整数 4.观察右图图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为 A. C.? 5.复数 z ? ? B.△ D.○

1 1 3 ? i ,则 z 2 ? 2 ? z 2 2
B. ? 1 C. i D. ?

A.1

1 3 ? i 2 2

6.实部为 5,模与复数 4 ? 3i 的模相等的复数有 A.1 个 B .2 个 C .3 个 7.z 是纯虚数的一个充要条件是 A. z ? z ? 0 B. z ? z ? 0

D.4 个 D. z ? ? z?z ? 0?

C. z ? z ? 0

8.正四棱锥 S-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,E 是 SB 的中点,则 AE、SD 所成的角的余弦值为 1 A. 3 B .3 3 C. 3 3 2 D. 3

9.平面 α 的一个法向量为 v1=(1,2,1),平面 β 的一个法向量为 v2=(-2,-4,10),则平面 α 与平面 β A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定

10.已知直线 x ? y ? 1 ? 0 上的点 A 与曲线 ? ? 4 cos?? ?

? ?

??

? 上的点 B ,则 | AB | 的最小值是 3?

用心

爱心

专心

1

A.

2? 3 2

?1

B.

2? 3 2

?2

C.

1? 3 2

?1

D.

1? 3 2

?2

二、填空题(本题共 6 小题,每个小题 4 分,共 24 分,把你认为正确的答案填在答题卷上)

a ? 3i 为实数,则实数 a ? ___▲_____; 2 ? 9i 1? 1 ? an ? ? 12.某正数列前 n 项的和与通项的关系是 s n ? ? ,计算 a1 , a2 , a3 后,归纳出 an ? ___▲__; ? 2? an ? ?
11.若复数 13.已知 a>0,b>0,m=lg 14.在曲线 ρ= a+ b a+b ,n=lg ,则 m 与 n 的大小关系为___▲_____; 2 2

2? 3 上,极角为- 的点的直角坐标是___▲_____; 3 cos ? x y 5 ? ? 15.设 x, y 为实数,且 ,则 x ? y ? ___▲_____; 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i
16. 设 ?an ? 是集合 2t ? 2 s | 0 ? s ? t , s, t ? Z 中的所有数从小到大排成的数列, 即 a1 ? 3, a2 ? 5, a3 ? 6,

?

?

a4 ? 9, a5 ? 10, a6 ? 12,? ,则 a10 ? ___▲_____;
三、解答题(本题有 5 题,共 46 分,必须写出推理和演算过程) 17. (本题 10 分)设复数 z ? 1 ? i ,且

z 2 ? az ? b ? 1 ? i ,求实数 a , b 的值. z2 ? z ?1

18. (本题 10 分)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2, 点 E 在棱 AB 上移动. (1)证明:D1E⊥A1D; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离;

19. (本题 8 分)求证:

sin( 2? ? ? ) sin ? ? 2 cos( ? ? ? ) ? . sin ? sin ?

20. (本题 10 分)用反证法证明:关于 x 的方程

x 2 ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0 、x 2 ? (a ? 1) x ? a 2 ? 0 、x 2 ? 2ax ? 2a ? 0 ,当 a ? ?
个方程有实数根.

3 或 a ? ?1 时,至少有一 2

? x2 y2 ? 1 和抛物线 C2:y 2 ? 2 px( p ? 0) , 21. (本题 8 分) 已知椭圆 C1: ? 过点 M (1,0) 且倾斜角为 的 3 4 3
直线与抛物线交于 A 、 B ,与椭圆交于 C 、 D ,当 | AB |:| CD |? 5 : 3 时,求 p 的值.
用心 爱心 专心 2

杭州学军中学 2010/2011 学年下学期期中考试 高二年级数学(文)答卷
二、填空题(本题共 6 小题,每个小题 4 分,共 24 分,把你认为正确的答案填在相应横线上) 11、 ; 12、 ; 13、 ;

14、

;15、

;16、



三、解答题(本题有 5 题,共 46 分,必须写出推理和演算过程) 17、 (本题 10 分)

18、 (本题 10 分)

19、 (本题 8 分)

用心

爱心

专心

3

20、 (本题 10 分)

21(本题 8 分)

用心

爱心

专心

4

杭州学军中学 2010/2011 学年下学期期中考试 高二年级数学(文)答案
一、1、B;2、B;3、C;4、A;5、B;6、A;7、D;8、C;9、B;10、B; 二、11、 a ?

2 ;12、 an ? n ? n ? 1 ;13、 m ? n ;14、 (3,3 3) ;15、 9 ;16、 24 ; 3

三、17、 a ? ?1, b ? 2 ; 18、 (1)证一: D1 A 是 D1 E 在平面 AD1 上的射影,由三垂 线定理, A1 D ? AD1 ,所以 D1E⊥ A1 D ; 证二:建立如图的坐标系,则 则

DA1 ? ?1,0,1? ,设 E (1, t ,0) ,

D1 E ? ?1, t,?1? , DA1 ? D1 E ? 1 ? 1 ? 0 ,所以 D1E⊥ A1 D ;

(2)此时, E (1,1,0) , D1 E ? ?1,1,?1?,设平面 ACD1 的法向量是 n ? ?1, x, y ? ,

? 1 ? AD1 ? ?? 1,0,1? , AC ? ?? 1,2,0?,由 n ? AD1 ? 0, N ? AC ? 0 ,得 n ? ?1, ,1? ? 2 ?
取 n ? ?2,1,2?, d ? 19、略;

| n ? D1 E | |n|

?

1 1 ,求点 E 到面 ACD1 的距离是 . 3 3

1 ? 3 ?? 2 ? a ? 2 ? 1 3 ? 20、设三个方程都没有实根,则有判别式都小于零得: ?a ? 或a ? ?1 ? ? ? a ? ?1 , 3 2 ? ?? 2 ? a ? 0 ? ?
与a ? ?

3 或 a ? ?1 矛盾,故原命题成立; 2

1 ? x ? 1? t ? 2 ? (t是参数) ,分别代入椭圆、抛物线方程得: 21、解:设直线方程是 ? 3 ?y ? t ? 2 ?
5t 2 ? 4t ? 12 ? 0
(1)

3t 2 ? 4 pt ? 8 p ? 0

(2)

设 A、B、C、D 的参数分别为 t1、t 2、t 3、t 4 , 则 | AB |?| t1 ? t 2 |?

4 p2 ? 6 p 16 , | CD |?| t 3 ? t 4 |? ,由 | AB |:| CD |? 5 : 3 解得 p ? 2 。 5 3
用心 爱心 专心 5


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