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2011年高三数学复习(第8章 圆锥曲线):8.2 双曲线

时间:2013-02-18


2011 年高三数学复习(第 8 章 圆锥曲线) :8.2 双 曲线
一、选择题(共 7 小题,每小题 5 分,满分 35 分) 1. 分) (5 实轴长是 2a 的双曲线, 其焦点为 F1, 2, F1 作直线交双曲线同一支于 A、 两点, F 过 B 若|AB|=m, ABF2 则△ 的周长是( ) A.4a B.4a﹣m C.4a+2m D.4a﹣2m

2. 分)如果双曲线 (5 A.10 B.

上一点 P 到它的右焦点的距离是 8,那么点 P 到它的右准线的距离是( C. D.



3. 分)“ab<0”是“方程 ax +by =c 表示双曲线”的( (5 A.必要条件但不是充分条件 C. 充分必要条件

2

2

) B. 充分条件但不是必要条件 D.既不是充分条件,又不是必要条件

4. 分)设双曲线 (5

=1(0<a<b)的半焦距为 c,直线 l 过(a,0) (0,b)两点,已知原点到直线 l 的距

离为 A.2

,则双曲线的离心率为( B.

) C. D.

5. 分)双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为 e1,e2,则 e1,e2 应满足的关系是( (5 A.e12+e22=1 B. e12﹣e22=1 C. D. =1 =1



6. 分)若方程 (5

表示双曲线,则实数 k 的取值范围是(



A.(﹣∞,﹣2)∪ (2,5)B.(﹣2,5)

C.(﹣∞,﹣2)∪ (5,+∞) (﹣2,2)∪ D. (5,+∞)

7. 分)若椭圆 (5 曲线的一个交点,则|PF1|?|PF2|等于( A.m﹣a B.

和双曲线 ) C.m2﹣a2

有相同的焦点 F1,F2,P 是两

D.

二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) 8. 分)以坐标轴为对称轴的等边双曲线,其一条准线是 y= (4

,则此双曲线方程是 _________ .

9. 分)若双曲线实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线离心率为 _________ . (4 10. 分)已知平面内有一长度为 4 的定线段 AB,动点 P 满足|PA|﹣|PB|=3,O 为 AB 中点,则|OP|的最小值是 (4 _________ .

11. 分)若双曲线 (4

的两渐近线的夹角为 60°,则它的离心率为 _________ .

三、解答题(共 10 小题,满分 0 分) 2 2 12.设椭圆与双曲线有公共焦点,它们的离心率之和为 2,若椭圆方程为 25x +9y =225,求双曲线方程.

13.已知双曲线的渐近线方程为

,两准线的距离为 ,求此双曲线方程.

14.双曲线 kx ﹣y =1,右焦点为 F,斜率大于 0 的渐近线为 l,l 与右准线交于 A,FA 与左准线交于 B,与双曲线 左支交于 C,若 B 为 AC 的中点,求双曲线方程.

2

2

15.在双曲线

的一支上不同的三点 A(x1,y1) 、B(

,6) 、C(x2,y2)与焦点 F(0,5)的距离

成等差数列. (1)求 y1+y2; (2)证明线段 AC 的垂直平分线经过某一定点,并求该定点的坐标.

16.已知双曲线 距离为 d.

的左右两个焦点分别是 F1,F2,P 是它左支上的一点,P 到左准线的

(1)若 y= x 是已知双曲线的一条渐近线,是否存在 P 点,使 d,|PF1|,|PF2|成等比数列?若存在,写出 P 点坐 标,若不存在,说明理由; (2)在已知双曲线的左支上,使 d,|PF1|,|PF2|成等比数列的 P 点存在时,求离心率 e 的取值范围.

17.求中心在原点,对称轴为坐标轴,且满足下列条件的双曲线方程: (1)经过两点( (2)双曲线过点(3,9 )( , ) ,离心率 ) ; .

18.求与双曲线

有共同渐近线,并且经过点(﹣3,

)的双曲线方程.

19.已知双曲线的焦点在 x 轴上,且过点 A(1,0)和 B(﹣1,0) 是双曲线上民于 A、B 的任一点,如果△ ,P APB 的垂心 H 总在双曲线上,求双曲线的标准方程.

20.设 P 是双曲线 证 .

右分支上任意一点,F1,F2 分别为左、右焦点,设∠ 1F2=α,∠ 2F1=β(如图) PF PF ,求

21.如图,已知梯形 ABCD 中|AB|=2|CD|,点 E 分有向线段 为伪点,当 时,求双曲线离心率 c 的取值范围.

所成的比为 λ,双曲线过 C、D、E 三点,且以 A、B

2011 年高三数学复习(第 8 章 圆锥曲线) :8.2 双 曲线
参考答案与试题解析
一、选择题(共 7 小题,每小题 5 分,满分 35 分) 1. 分) (5 实轴长是 2a 的双曲线, 其焦点为 F1, 2, F1 作直线交双曲线同一支于 A、 两点, F 过 B 若|AB|=m, ABF2 则△ 的周长是( ) A.4a B.4a﹣m C.4a+2m D.4a﹣2m 考点: 双曲线的应用。 专题: 计算题。 分析: 先根据双曲线的定义可知,|AF2|﹣|AF1|=2a,|BF2|﹣|BF1|=2a,两式相加求得|AF2|+|BF2|=4a+m,进而根据代 入|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|求得答案. 解答: 解:由双曲线的定义可知,|AF2|﹣|AF1|=2a,|BF2|﹣|BF1|=2a, ∴ABF2 的周长为|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=4a+|AF1|+|BF1|+|AF1|+|BF1|=4a+2m △ 故选 C 点评: 本题主要考查了双曲线的应用.解题的关键是灵活利用了双曲线的定义.
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2. 分)如果双曲线 (5 A.10 B.

上一点 P 到它的右焦点的距离是 8,那么点 P 到它的右准线的距离是( C. D.



考点: 双曲线的简单性质。 专题: 计算题。 分析:

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由双曲线的第二定义可知点 P 到双曲线 率,由此可以求出点 P 到它的右准线的距离. 解答: 解:设点 P 到它的右准线的距离是 x,∵ ∴ ,解得

右焦点的距离和点 P 到它的右准线的距离之比等于离心

, .故选 D.

.故点 P 到它的右准线的距离是

点评: 本题考查双曲线的第二定义,解题时注意认真审题. 3. 分)“ab<0”是“方程 ax +by =c 表示双曲线”的( (5 A.必要条件但不是充分条件 C. 充分必要条件
2 2

) B. 充分条件但不是必要条件 D.既不是充分条件,又不是必要条件

考点: 双曲线的标准方程;必要条件、充分条件与充要条件的判断。 分析: 由“ab<0”推导“方程 ax2+by2=c 表示双曲线”,可举反例 c=0,此时方程 ax2+by2=c 不能表示双曲线;而由“方
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程 ax +by =c 表示双曲线”推导“ab<0”,可由双曲线的标准方程入手,结合 ax +by =c 的变形式

2

2

2

2

=1

推导出 ab<0. 最后由充分条件、必要条件的定义即可作出判断. 解答: 解:若 ab<0,则方程 ax +by =c 在 c=0 时无法表示双曲线; 反之,若方程 ax +by =c 表示双曲线,则方程可化为
2 2 2 2 2 2

=1,且 、 异号,那么

,即 ab<0.

所以“ab<0”是“方程 ax +by =c 表示双曲线”的必要不充分条件. 故选 A. 点评: 本题主要考查双曲线的标准方程,同时考查充分条件、必要条件的知识.

4. 分)设双曲线 (5

=1(0<a<b)的半焦距为 c,直线 l 过(a,0) (0,b)两点,已知原点到直线 l 的距

离为 A.2

,则双曲线的离心率为( B.

) C. D.

考点: 双曲线的简单性质。 专题: 计算题。 分析: 直线 l 的方程为

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,原点到直线 l 的距离为

,∴

,据此求出 a,b,c 间的数

量关系,从而求出双曲线的离心率. 解答: 解:∵ 直线 l 的方程为 ∴
2 2 4

,c =a +b ∴ 原点到直线 l 的距离为

2

2

2





∴ b =3c , 16a 2 2 2 4 2 2 4 4 ∴ (c ﹣a )=3c ,∴ c ﹣16a =3c , 16a 16a 4 2 ∴ ﹣16e +16=0, 3e 解得 故选 A. 点评: 若 ,则有 0<b<a. 或 e=2.0<a<b,∴ e=2.

5. 分)双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为 e1,e2,则 e1,e2 应满足的关系是( (5 2 2 A.e12+e22=1 B. e1 ﹣e2 =1 C. D. =1 =1



考点: 双曲线的简单性质。 专题: 计算题。 分析: 分别求出双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为 e1 和 e2,然后利用双曲线的性质探索 e1 和 e2 的关系. 解答: 解:∵ ,
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故选 D. 点评: 正确理解共轭双曲线的概念是解题的关键.

6. 分)若方程 (5

表示双曲线,则实数 k 的取值范围是(



A.(﹣∞,﹣2)∪ (2,5)B.(﹣2,5)

C.(﹣∞,﹣2)∪ (5,+∞) (﹣2,2)∪ D. (5,+∞)

考点: 双曲线的定义。 专题: 计算题。 分析: 要使方程是双曲线方程需要两个分母一个大于零,一个小于 0,进而联立不等式组求得 k 的范围. 解答: 解:要使方程 表示双曲线,
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解得 k>5 或﹣2<k<2 故选 D 点评: 本题主要考查了双曲线的定义.属基础题.

7. 分)若椭圆 (5 曲线的一个交点,则|PF1|?|PF2|等于( A.m﹣a B.

和双曲线 ) C.m2﹣a2

有相同的焦点 F1,F2,P 是两

D.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;圆锥曲线的共同特征。 专题: 计算题。 分析: 由题意知|PF1|+|PF2|=2m,|PF1|﹣|PF2|=2a,由此可知 |PF1|?|PF2|= 解答: 解:∵ 椭圆 两曲线的一个交点, ∴ 1|+|PF2|=2 ,|PF1|﹣|PF2|=2 |PF |PF1|?|PF2|= 和双曲线

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=m﹣a. 有相同的焦点 F1,F2,P 是

, =m﹣a.

故选 A. 点评: 本题考查双曲线和椭圆的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. 二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分)

8. 分)以坐标轴为对称轴的等边双曲线,其一条准线是 y= (4

,则此双曲线方程是



考点: 双曲线的标准方程。 专题: 计算题。 分析: 根据等边双曲线可知 c= 答案. 解答: 解:依题意可知 =2
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a,再根据准线方程可求得 a,再根据准线方程可得其焦点在 y 轴上, ,进而可得

∵ 等边双曲线 c= ∴ a=4, 由一条准线是 y= ∴ 双曲线方程为

可得其焦点在 y 轴上,

故答案为 点评: 本题主要考查了双曲线的标准方程的求法.常需要利用双曲线的性质及题设条件找到 a,b 和 c 的关系,进 而求得 a 和 b. 9. 分)若双曲线实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线离心率为 (4 .

考点: 双曲线的简单性质。 专题: 计算题。 分析: 由题设条件可知 4b=2a+2c,即 a+c=2b=2
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,由此可以导出双曲线离心率.

解答: 解:∵ 双曲线实轴长、虚轴长、焦距成等差数列, ∴ 4b=2a+2c,即 a+c=2b=2 ∴ +c +2ac=4c ﹣4a , a 整理得 3e ﹣2e﹣5=0,解得 答案: . 点评: 在解双曲线的离心率时,要注意双曲线的离心率大于 1. 10. 4 分) ( 已知平面内有一长度为 4 的定线段 AB, 动点 P 满足|PA|﹣|PB|=3, 为 AB 中点, O 则|OP|的最小值是 .
2 2 2 2 2



或 e=﹣1(舍去) .

考点: 双曲线的简单性质;双曲线的应用。 专题: 计算题。 分析: 由题意可知,点 P 是焦点在 x 轴,c=2,a= 的双曲线的右支,当 P 是双曲线的顶点时,|OP|有最小值.
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解答: 解:以 O 为原点,以 AB 为 x 轴,以 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐标系,

由题意可知,点 P 是焦点在 x 轴,c=2,a= 的双曲线的右支. 当 P 是双曲线的顶点时,|OP|有最小值 . 答案:|OP|的最小值是 . 点评: 恰当地建立平面直角坐标系是正确解题的关键.

11. 分)若双曲线 (4

的两渐近线的夹角为 60°,则它的离心率为



考点: 双曲线的简单性质。 专题: 计算题。 分析: 先根据双曲线方程求得渐近线的斜率进而根据夹角是 60 度求得 的值,进而根据 c=
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求得 c,进而

离心率可得. 解答: 解:渐近线斜率是± 而夹角是 60 度 因为两直线关于 x 轴对称 所以和 x 轴夹角是 30 度或 60 度 即 =tan30= 若 = a =3b 2 2 2 2 c =a +b =4b e=
2 2 2

或 tan60=

=

e= 若 = b =3a 2 2 2 2 c =a +b =4b 2 e =4 e=2 所以 e= ,e=2
2 2

故答案为 2 或 点评: 本题主要考查了双曲线的性质.当涉及两直线的夹角问题时要注意考虑两种方面. 三、解答题(共 10 小题,满分 0 分) 2 2 12.设椭圆与双曲线有公共焦点,它们的离心率之和为 2,若椭圆方程为 25x +9y =225,求双曲线方程. 考点: 双曲线的标准方程;圆锥曲线的共同特征。

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专题: 计算题。 分析: 先根据椭圆的方程求得焦点坐标和离心率,进而可知双曲线的半焦距,设出双曲线的标准方程,根据离心 率之和求得 a,再利用 c 求得 b.答案可得. 解答: 解:整理椭圆方程得 ∴1= c

=4

∴ 焦点坐标为(0,4) (0,﹣4) ,离心率 e1=

∴ 设双曲线方程为 则半焦距 c2=4 + =2,a= b= ∴ 双曲线方程为 点评: 本题主要考查了双曲线的标准方程. .在求曲线方程的问题中,巧设方程,减少待定系数,是非常重要的方 法技巧.特别是具有公共焦点的两种曲线,它们的公共点同时具有这两种曲线的性质,解题时要充分注意. =

13.已知双曲线的渐近线方程为

,两准线的距离为 ,求此双曲线方程.

考点: 双曲线的简单性质。 专题: 计算题。 分析: 设双曲线方程为 双曲线方程. 解答: 解:设双曲线方程为

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,整理得

.再根据两条准线间的距离为 ,可以求出此

,整理得



当 λ>0 时,两条准线间的距离是

,解得 λ=1,∴ 此双曲线方程为



当 λ<0 时,两条准线间的距离是

,解得 λ=﹣

,∴ 此双曲线方程为



故此双曲线方程为 点评:





若双曲线的渐近线方程为 ax±by=0,可设双曲线方程为

14.双曲线 kx ﹣y =1,右焦点为 F,斜率大于 0 的渐近线为 l,l 与右准线交于 A,FA 与左准线交于 B,与双曲线 左支交于 C,若 B 为 AC 的中点,求双曲线方程. 考点: 双曲线的简单性质。 专题: 综合题。 分析: 由题设条件求出 A(

2

2

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) ,B(﹣



) .由 B 是 AC 中点,知 xC=2xB﹣xA=﹣



yC=2yB﹣yA=
2 2


2 4 2

将 xC、yC 代入方程 kx ﹣y =1,得 k c ﹣10kc +25=0.求出 k 的值,从而得到双曲线方程. 解答: 解:由题意 k>0,c= 渐近线方程 l 为 y= 准线方程为 x=± x, ,于是 A( , ) , ,

直线 FA 的方程为 y=



于是 B(﹣



) .

由 B 是 AC 中点,则 xC=2xB﹣xA=﹣



yC=2yB﹣yA=
2 2



将 xC、yC 代入方程 kx ﹣y =1,得 2 4 2 k c ﹣10kc +25=0. 解得 k(1+ )=5,则 k=4. 所以双曲线方程为:4x ﹣y =1. 点评: 本题考查双曲线的性质和综合运用,解题时要认真审题,仔细解答.
2 2

15.在双曲线

的一支上不同的三点 A(x1,y1) 、B(

,6) 、C(x2,y2)与焦点 F(0,5)的距离

成等差数列. (1)求 y1+y2; (2)证明线段 AC 的垂直平分线经过某一定点,并求该定点的坐标. 考点: 双曲线的简单性质。 专题: 计算题。 分析: (1)由双曲线的焦半径公式可知|AF|=
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,|BF|=

,|CF|=

,再由|AF|,|BF|,

|CF|成等差数列,可求出 y1+y2 的值. (2) 借助点差法求出 AC 的垂直平分线方程为 , 由此可以得到不论 为何值,

直线恒过定点



解答: 解: (1)由题设知,A、B、C 在双曲线的同一支上,且 y1,y2 均大于 0, ∴ 由双曲线的焦半径公式可知|AF|= ,|BF|= ,|CF|= ,

∵ |AF|,|BF|,|CF|成等差数列,∴ ∴1+y2=12. y (2) 证明: A, 在双曲线上, ∵ C ∴ , 且



. 两式相减得



于是 AC 的垂直平分线方程为 ∴ y=﹣ ∴ 不论 . 为何值,直线恒过定点 .

,即



点评: 本题考查双曲线的性质及其运用,解题时要注意点差法的合理应用.

16.已知双曲线

的左右两个焦点分别是 F1,F2,P 是它左支上的一点,P 到左准线的

距离为 d. (1)若 y= x 是已知双曲线的一条渐近线,是否存在 P 点,使 d,|PF1|,|PF2|成等比数列?若存在,写出 P 点坐 标,若不存在,说明理由; (2)在已知双曲线的左支上,使 d,|PF1|,|PF2|成等比数列的 P 点存在时,求离心率 e 的取值范围. 考点: 双曲线的应用;等比数列的性质。 专题: 计算题。 分析: (1)假设存在点 P(x0,y0)满足题中条件,根据渐近线方程求得 a 和 b 的关系,进而求得 a 和 c 的关系
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求得 e; 进而根据

求得|PF2|=2|PF1|, 求得准线方程, 表示出|PF1|和|PF2|, 根据双曲线的定义可知|PF1|=

﹣(a+ex0) ,|PF2|=a﹣ex0,进而求得 x0,代入双曲线方程求得 y0,则 P 点坐标可得. (2)根据双曲线的定义可知|PF1|=ed,|PF2|=|PF1|+2a=ed+2a,进而根据 d,|PF1|,|PF2|成等比数列推断(ed)
2

=ed +2ad,将 e= 和 P 的坐标代入根据 x1≤﹣a,求得 a +2ac﹣c ≥0 整理后可求得离心率 e 的范围.

2

2

2

解答: 解: (1)假设存在点 P(x0,y0)满足题中条件. ∵ 双曲线的一条渐近线为 y= 由 =2 得, x,∴ = ,b= a,∴ =3a ,c ﹣a =3a ,e= =2. b
2 2 2 2 2

|PF2|=2|PF1|① ∵ 双曲线的两准线方程为 x=± ∴ 1|=|2x0+2 |PF , |=|2x0﹣a|.

|=|2x0+a|,|PF2|=|2x0﹣

∵ P 在双曲线的左支上, 点

∴ 1|=﹣(a+ex0) |PF ,|PF2|=a﹣ex0,代入① 得:a﹣ex0=﹣2(a+ex0) , ∴0=﹣ x ,代入双曲线方程得 y0=± . ,± ) .

∴ 存在点 P 使 d、|PF1|、|PF2|成等比数列,点 P 的坐标是(﹣ (2)|PF1|=ed, ∵ d,|PF1|,|PF2|成等比数列 ∴ (ed) =ed +2ad 由(1)得 x1=
2 2 2 2

,将 e= 和 P 的坐标代入. .

因为 x1≤﹣a.整理可得 a +2ac﹣c ≥0 2 2 两边同除 c .得 e ﹣2e﹣1≤0.所以 1﹣ <e< +1 ∵ e>1 ∴ e∈(1,1+ ) 点评: 本题主要考查了双曲线的应用.考查了学生综合分析问题的能力. 17.求中心在原点,对称轴为坐标轴,且满足下列条件的双曲线方程: (1)经过两点( (2)双曲线过点(3,9 )( , ) ,离心率 ) ; .

考点: 双曲线的标准方程。 分析:

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(1)由于不清楚双曲线的焦点在哪条坐标轴上,可设其方程为 别代入该方程形成方程组,最后解方程组即可.

(mn<0) ,然后把点的坐标分

(2)分别设出焦点在 x 轴、y 轴上的双曲线的方程,然后根据其过定点(3,9 有 c =a +b ,则列方程组,分别解之即可. 解答: 解: (1)设双曲线方程为 ,
2 2 2

) 、离心率 e= =

、且



,解得 m=25,n=75,

∴ 该双曲线的方程为



(2)若双曲线焦点在 x 轴上,设其方程为





,解得 b =﹣161(舍去) ;

2

若双曲线焦点在 y 轴上,设其方程为





,解得 a =81,b =9,

2

2

所以双曲线的方程为



故双曲线的方程为



点评: 本题主要考查双曲线的标准方程与性质,同时考查解方程组的运算能力.

18.求与双曲线

有共同渐近线,并且经过点(﹣3,

)的双曲线方程.

考点: 双曲线的简单性质;双曲线的标准方程。 专题: 待定系数法。 分析: 设所求双曲线为 解答: 解:设所求双曲线为 把点(﹣3, 解得 , )代入,得

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,把点(﹣3,

)代入,求出 λ,从而得到双曲线的方程.

, ,

∴ 所示的双曲线方程为



点评: 本题考查双曲线的性质和应用,解题时要注意待定系数法的合理运用. 19.已知双曲线的焦点在 x 轴上,且过点 A(1,0)和 B(﹣1,0) 是双曲线上民于 A、B 的任一点,如果△ ,P APB 的垂心 H 总在双曲线上,求双曲线的标准方程.

考点: 双曲线的标准方程。 专题: 计算题。 分析: 首先由题意设出双曲线的标准方程,再由 A、B 两点的坐标可得 a=1,然后根据△ APB 的垂心 H 总在双曲线
350129

上,则由双曲线的对称性可得点 P、H 关于 x 轴对称,那么直线 PB 与直线 HA 必然互相垂直,因此设出点 P 的坐标(m,n) ,进而列出方程组,最后消去参数 m、n 可解得 b,则双曲线方程解决. 解答: 解:依题意设双曲线的标准方程为 ,

因为 a=1,所以双曲线的标准方程为



又△ APB 的垂心 H 总在双曲线上,所以点 P、H 关于 x 轴对称, 设点 P 的坐标为(m,n) ,则点 H 的坐标为(m,﹣n) ,

所以

,解得 b=1,

故双曲线的标准方程为 x ﹣y =1. 点评: 本题考查双曲线的标准方程与性质,同时考查三角形垂心的概念、直线垂直的性质及解方程组的能力.

2

2

20.设 P 是双曲线 证 .

右分支上任意一点,F1,F2 分别为左、右焦点,设∠ 1F2=α,∠ 2F1=β(如图) PF PF ,求

考点: 双曲线的应用。 专题: 证明题。 分析: 设出内切圆的圆心及它与 x 轴的切点 N,半径为 r,则 M 与 N 有相同的横坐标,由双曲线的定义及切线长 定理得到 N 到 2 个焦点的距离,计算 2 个半角的正切值,等式得到证明. 解答:
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解:P 是双曲线

右分支上任意一点,F1,F2 分别为左、右焦点,

∴ a=2,b=2 ,c=4,F1(﹣4,0) 2(4,0) ,F , 设△ 1F2 的内切圆圆心为 M,内切圆与 x 轴的切点为 N,半径为 r,则 M 与 N 有相同的横坐标, PF 由双曲线的定义|pF1|﹣|PF2|=4,及切线长定理得,|NF1|﹣|NF2|=4, 又|NF1|+|NF2|=2c=8,∴ 1|=6,|NF2|=2, |NF 则 tan ∴ = = ,tan . = = ,

点评: 本题考查双曲线的综合应用.

21.如图,已知梯形 ABCD 中|AB|=2|CD|,点 E 分有向线段 为伪点,当 时,求双曲线离心率 c 的取值范围.

所成的比为 λ,双曲线过 C、D、E 三点,且以 A、B

考点: 双曲线的应用。 专题: 计算题。 分析: 首先以 AB 的垂直平分线为 γ 轴,直线 AB 为 x 轴,建立直角坐标系,记
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,其中

为双曲线的半焦距,h 是梯形的高,用定

比分点坐标公式可求得 x0 和 y0 的表达式.设双曲线方程,将点 C、E 坐标和 e 分别代入双曲线方程联立后 求得 e 和 h 的关系式,根据 λ 的范围求得 e 的范围. 解答: 解:如图,以 AB 的垂直平分线为 γ 轴,直线 AB 为 x 轴,建立直角坐标系 xOγ,则 CD⊥ 轴. γ 因为双曲线经过点 C、D,且以 A、B 为焦点,由双曲线的对称性知 C、D 关于 γ 轴对称, 依题意,记 其中 为双曲线的半焦距,h 是梯形的高, ,

由定比分点坐标公式得



设双曲线的方程为

,则离心率



由点 C、E 在双曲线上,将点 C、E 坐标和

代入双曲线的方程,得

,①

.②

由① 式得

,③

将③ 式代入② 式,整理得 故 由题设 解得 得, , ,



所以,双曲线的离心率的取值范围为[

].

点评: 本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运算能力和综合应用数学知识 解决问题的能力.


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