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北京师范大学附属实验中学2015届高三上学期期中考试数学(理)试题

时间:2018-09-03

北京师范大学附属实验中学
2014—2015 学年度第一学期高三年级数学(理)期中试卷
试卷说明: 1、本试卷共三道大题,20 道小题,共 10 页; 2、本次考试卷面分值 150 分,考试时间为 120 分钟; 3、试卷共两部分,第Ⅰ卷答案涂在机读卡上,第Ⅱ卷答案全部写在答题纸上. 命题人:黎栋材 审题人:李桂春

第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.已知集合 M ? {x | x ? a} , N ? {x | ?2 ? x ? 0} ,若 M A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? ?2
N ? ? ,则 a 的取值范围为

D. a ? ?2

2.下列函数中,在定义域内是减函数的是 A. f ( x ) ? ?

1 x

B. f ( x) ?

x

C . f ( x ) ? 2? x

D. f ( x) ? tan x

3.已知点 P 是函数 f ( x) ? sin(? x ? 最小值为

?
6

) 的图像 C 的一个对称中心,若点 P 到图像 C 的对称轴距离的

? ,则 f ( x) 的最小正周期是 4
B. π C.

A.2π

? 2

D.

? 4

4.已知向量 a ? (3,1), b ? (?2, ), 则下列向量可以与 a ? 2b 垂直的是 A. (?1, 2) 5.“ t ? 1 ”是“ ? t ”成立的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
n

1 2

B. (2, ?1)

C. (4, 2)

D. (?4, 2)

1 t

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6. 已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2 (3n ? 13) ,则数列的前 n 项和 Sn 的最小值是 A. S3 B. S4 C. S5 D. S6

7.数列 {an } 中, a1 ? 的最小值为 A. 236

1 1 ? an * , an ?1 ? (其中 n ? N ) ,则使得 a1 ? a2 ? a3 ? 2 1 ? an

? an ? 72 成立的 n

B. 238

C. 240

D. 242

8.已知集合 A = {a1 , a2 ,

, an }(n > 2) ,令 TA = {x x = ai + a j ,1 ? i

j ? n} , card(TA ) 表示集

合 TA 中元素的个数.关于 card(TA ) 有下列四个命题 ① card(TA ) 的最大值为

1 2 n ; 2

② card(TA ) 的最大值为

1 n(n - 1) ; 2

③ card(TA ) 的最小值为 2 n ; 其中,正确的是( A. ①③ ) B. ①④

④ card(TA ) 的最小值为 2n - 3 . C. ②③ D. ②④

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在 D ABC 中,若 tan A = - 2 ,则 cos ( B + C ) =
0.5

. . ;在 (0, ? ) 上

10.设 a ? e , 的顺序为 b ? log? 2 ,c ? cos 2 ,则 a, b, c 从大到小 .... 11.已知函数 f ( x) ? x ? 2sin x ,则函数 f ( x ) 在 (0, f (0)) 处的切线方程为 的单调递增区间为 12.若函数 f ( x) ? ? 值范围是 .

?ax( x ? 1) x ? 0 为奇函数,则 a 的值为 ? x(a ? x) x ? 0
.

,满足 f (t ? 1) ? f (2t ) 的实数 t 的取

13.如图,线段 AB ? 2 ,点 A, B 分别在 x 轴和 y 轴的非负半轴上运 动.以 AB 为一边,在第一象限内作矩形 ABCD , BC ? 1 .设 O 为 原点,则 OC ? OD 的取值范围是______. 14.对于函数 y ? f ( x) ,若在其定义域内存在 x 0 ,使得 x0 f ( x0 ) ? 1 成 称函数 f ( x) 具有性质 P. (1)下列函数中具有性质 P 的有 . 立,则

① f ( x) ? ?2x ? 2 2 ③ f ( x) ? x ?

② f ( x) ? sin x ( x ?[0,2? ]) ④ f ( x) ? ln( x ? 1) .

1 , ( x ? (0, ??)) x

(2)若函数 f ( x) ? a ln x 具有性质 P,则实数 a 的取值范围是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.设 c ? 0 .命题 P : y ? logc x 是减函数;命题 Q : x ?1 ? x ? 2c ? 0 对任意 x ? R 恒成立.若 P或Q 为真, P且Q 为假,试求 c 的取值范围.

16.如图,已知点 A(10,0) ,直线 x ? t (0 ? t ? 10) 与函数 y ? e2 x ?1 的图象交于点 P ,与 x 轴交于点 H , 记 ?APH 的面积为 f (t ) . (I)求函数 f (t ) 的解析式; (II)求函数 f (t ) 的最大值.

17.在△ ABC 中,已知 C ? (Ⅰ)求 tan B ;

3? 1 2 , cos 2 B ? ? sin A . 4 2

(Ⅱ)若 BC ? 2 ,求△ ABC 的面积.

18.已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? ax(a ? R) . (Ⅰ)若 a ? 1 ,求证:当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)求证: (1 ? )(1 ? ) ? (1 ?

1 2

1 4

1 ) ? e. 2n

19.已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 (Ⅰ)求抛物线 C 的方程;

3 2 . 2

(Ⅱ)设点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上一定点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切 点,求直线 AB 的方程,并证明直线 AB 过定点 Q .
[来源:Z+xx+k.Com]

(Ⅲ) 过 (Ⅱ) 中的点 Q 的直线 m 交抛物线 C 于 A, B 两点, 过点 A, B 分别作抛物线 C 的切线 l1 , l2 , 求 l1 , l2 交点 M 满足的轨迹方程.

? an , an ? 3l , l ? N* , ? 20. 已 知 数 列 {an } 的 首 项 a1 ? a, 其 中 a ? N , an ?1 ? ? 3 令 集 合 ? a ? 1 , a ? 3l , l ? N* . n ? n
*

A?{ x | x ? n a, N ? n* . }
(Ⅰ)若 a4 是数列 {an } 中首次为 1 的项,请写出所有这样数列的前三项; (Ⅱ)求证: {1,2,3} ? A ; (Ⅲ)当 a ? 2014 时,求集合 A 中元素个数 Card ( A) 的最大值.

北京师范大学附属实验中学
2014—2015 学年度第一学期期中高三年级 理科数学 一、选择题 请将选择题的答案填涂在机读卡上 二、填空题
9. 12. 题 三、解答题 15.(本题 13 分) 学号. 10. ; 13. . 11. . 14. ; ; .
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

考试答题纸

.

姓名 班级





线









[来源:学科网]

16.(本题 13 分)

[来源 :Zxxk.Com]

17.(本题 13 分)

18.(本题 14 分)

北京师范大学附属实验中学
2014—2015 学年度第一学期期中高三年级 理科数学
19.(本题 14 分)

考试答题纸

学号姓名 班级





线











20.(本题 13 分)

北京师范大学附属实验中学
2014—2015 学年度第一学期高三年级数学(理)期中试卷 答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1 C 2 C 3 B 4 C 5 A 6 B 7 B 8 D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.

5 5

10. a ? b ? c

11. y ? ? x , (

?
3

,? )

12. 1, t ? ? 1

13. [1,3]

14. (1) ①②④, (2) a ? 0或a ? ?e .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. P 真: 0 ? c ? 1 Q 真: c ?

1 2

1 c ? (0, ] [1, ??) 2
16.解: (I)由已知 AH ? 10 ? t , PH ? e2t ?1

1 2 1 1 (II)解: f '(t ) ? ? e2t ?1 ? ? (10 ? t ) ? 2e2t ?1 ? e2t ?1 (19 ? 2t ) 2 2
所以 ?APH 的面积为 f (t ) ? (10 ? t )e2t ?1 ,0 ? t ? 10 . 由 f '(t ) ? 0 得 t ? 9.5 , 函数 f (t ) 与 f '(t ) 在定义域上的情况下表:

t
f '(t )
f (t )

(0,9.5)
+ ↗

9.5 0 极大值

(9.5,10)

?


所以当 t ? 9.5 时,函数 f (t ) 取得最大值 t ? e20 . 17. (Ⅰ)解:由 C ?

1 4

3? 1 1 1 ? 2 ? ,得 cos 2 B ? ? sin ( ? B) ? ? [1 ? cos( ? 2 B)] . 4 2 4 2 2 2 1 2 所以 1 ? 2sin B ? 1 ? sin 2 B ? 1 ? sin B cos B , 2
即 2sin B ? sin B cos B .
2

? ,所以 sin B ? 0 , 4 1 所以 tan B ? . 2
因为 0 ? B ? (Ⅱ)解:由 0 ? B ?

? 1 5 2 5 , tan B ? ,得 sin B ? , cos B ? . 4 2 5 5

所以 sin A ? sin( ? B) ? sin 由正弦定理得

? 4

? ? 10 . cos B ? cos sin B ? 4 4 10

AC BC ? , 所以 AC ? 2 2 . sin B sin A 1 所以 △ ABC 的面积 S ? AC ? BC sin C ? 2 . 2
18.(Ⅰ)易证 (Ⅱ)当 a ? 0 时, f ( x) 在 (?1, ??) 单调递增; 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (?1, ?1 ? ) 单调递增,在 (?1 ? , ??) 单调递减 (Ⅲ)要证 (1 ? )(1 ? ) ? (1 ?

1 a

1 a

1 2

1 4

1 ) ? e ,两边取以 e 为底的对数,即只需证明 2n 1 1 1 ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ? ln(1 ? n ) ? 1 2 4 2
, 1 ,得到 2n 1 1 , ln(1 ? n ) ? n 2 2

1 1 由(Ⅰ)可知, ln( x ? 1) ? x( x ? 0) ,分别取 x ? , , 2 4 1 1 1 1 ln(1 ? ) ? , ln(1 ? ) ? , 2 2 4 4
将上述 n 个不等式相加,得

1 1 1 1 1 1 ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ? ln(1 ? n ) ? ? ? ? ? n 2 4 2 4 2 2 1 ? 1 ? n ? 1. 2
从而结论成立.

19.(Ⅰ) x ? 4 y
2

(Ⅱ)直线 AB : x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0

定点 Q (2, 2)

[来源:学_科_网]

(Ⅲ)点 M 满足的轨迹方程: x ? y ? 2 ? 0 20.解: (I)27,9,3;8,9,3;6,2,3.

(II)若 ak 被 3 除余 1,则由已知可得 ak ?1 ? ak ? 1 , ak ?2 ? ak ? 2, ak ?3 ? (ak ? 2) ;

1 3

1 3 1 1 若 ak 被 3 除余 0,则由已知可得 ak ?1 ? ak , ak ?3 ? ak ? 2 ; 3 3 1 所以 ak ?3 ? ak ? 2 , 3 1 2 所以 ak ? ak ?3 ? ak ? ( ak ? 2) ? (ak ? 3) 3 3

若 ak 被 3 除余 2,则由已知可得 ak ?1 ? ak ? 1 , ak ?2 ? (ak ? 1) , ak ?3 ? (ak ? 1) ? 1 ;

1 3

所以,对于数列 {an } 中的任意一项 ak ,“若 ak ? 3 ,则 ak ? ak ?3 ”. 因为 ak ? N* ,所以 ak ? ak ?3 ? 1 . 所以数列 {an } 中必存在某一项 am ? 3 (否则会与上述结论矛盾! ) 若 am ? 3 ,则 am?1 ? 1, am?2 ? 2 ;若 am ? 2 ,则 am?1 ? 3, am?2 ? 1 ,若 am ? 1 ,则 am?1 ? 2, am?2 ? 3 , 由递推关系易得 {1,2,3} ? A . (III)集合 A 中元素个数 Card ( A) 的最大值为 21. 由已知递推关系可推得数列 {an } 满足: 当 am ?{1,2,3} 时,总有 an ? an ?3 成立,其中 n ? m, m ? 1, m ? 2, 下面考虑当 a1 ? a ? 2014 时,数列 {an } 中大于 3 的各项: 按逆序排列各项,构成的数列记为 {bn } ,由(I)可得 b1 ? 6 或 9, 由(II)的证明过程可知数列 {bn } 的项满足: .

bn?3 ? bn ,且当 bn 是 3 的倍数时,若使 bn ?3 ? bn 最小,需使 bn?2 ? bn ?1 ? 1 ? bn ? 2 ,
所以,满足 bn ?3 ? bn 最小的数列 {bn } 中, b3 ? 4 或 7,且 b3k ? 3b3k ?3 ? 2 , 所以 b3k ? 1 ? 3(b3( k ?1) ? 1) ,所以数列 {b3k ? 1} 是首项为 4 ?1 或 7 ? 1 的公比为 3 的等比数列, 所以 b3k ? 1 ? (4 ? 1) ? 3k ?1 或 b3k ? 1 ? (7 ? 1) ? 3k ?1 ,即 b3k ? 3k ? 1 或 b3k ? 2 ? 3k ? 1 , 因为 36 ? 2014 ? 37 ,所以,当 a ? 2014 时, k 的最大值是 6, 所以 a1 ? b18 ,所以集合 A 重元素个数 Card ( A) 的最大值为 21.


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