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2015高考全国卷理科数学_图文

时间:2015-06-09

2015 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考试务必将自己 的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔吧答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答案一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. (1)已知集合 A ? ?? 2,?1,0,1,2? , B ? x ? x ? 1?? x ? 2 ? ? 0 ,则 A ? B ? ( (A) ?? 1,0? (B) ?0,1? (C) ?? 1,0,1? (D) ?0,1,2? )

?

?

)

(2)若 a 为实数,且 ?2 ? ai ??a ? 2i ? ? ?4i ,则 a ? ( (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

(3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以 下结论中不正确的是( )

(A)逐年比较:2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 (B)2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 (C)2006 年以来我国二氧化硫年排放量显减少趋势 (D)2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
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(4)已知等比数列 ?an ?满足 a1 ? 3 , a1 ? a3 ? a5 ? 21 , a3 ? a5 ? a7 ? ( (A)21 (B)42 (C)63 (D)84 )

)

(5)设函数 f ? x ? ? ? (A)3

?1 ? log 2 ?2 ? x ?, x ? 1, 则 f ?? 2 ? ? f ?log 2 12 ? ? ( 2 x ?1 , x ? 1, ?
(C)9 (D)12

(B)6

(6)一个正方形被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图, 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 (A)

1 8

(B)

1 7

(C)

1 6

(D)

1 5
)

(7)过三点 A?1,3? , B ?4,2 ? , C ?1,?7 ? 的圆交 y 轴于 M , N 两点,则 MN ? ( (A) 2 6 (B)8 (C) 4 6 (D)10

(8)右边程序框图的算法思路源于我国数学名著《九章算术》中的“更相减损术” ,执行该 程序框图,若输入的 a , b 分别为 14,18,则输出的 a ? ( (A)0 (B)2 (C)4 (D)14 )

(第 8 题图)

(第 9 题图)
?

(第 10 题图)

(9)已知 A , B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 90 , C 为该球面上的支点。若三棱锥

O ? ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为(
(A) 36? (B) 64? (C) 144?

) (D) 256?

(10)如图,长方形 ABCD 的边 AB ? 2 , BC ? 1 , O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC ,

CD 与 DA 运动,记 ?BOP ? x 。将动点 P 到 A , B 两点距离之和表示为 x 的函数 f ? x ? ,

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则 y ? f ? x ? 的图象大致为(

)

(11)已知 A , B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上, ?ABM 为等腰三角形,且顶 角为 120 ,则 E 的离心率为 (A) 5 (B)2 (C) 3 (D) 2
?

(12)设函数 f ?? x ? 是奇函数 f ? x ?? x ? R ? 的导函数, f ?? 1? ? 0 ,当 x ? 0 时,

xf ?? x ? ? f ? x ? ? 0 ,则使得 f ? x ? ? 0 成立的 x 的取值范围是(
(A) ?? ?,?1? ? ?0,1? (C) ?? ?,?1? ? ?? 1,0 ?

)

(B) ?? 1,0 ? ? ?1,?? ? (D) ?0,1? ? ?1,?? ?

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题—第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。 第 22 题—第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)设向量 a , b 不平行,向量 ?a ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 ? ? .

? x ? y ? 1 ? 0, ? (14)若 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0, 则 z ? x ? y 的最大值为 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
(15) ?a ? x ??1 ? x ? 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a ? (16)设 S n 是数列 ?an ?的前 n 项和,且 a1 ? 1 , an ?1 ? S n S n ?1 ,则 S n ?
4



. .

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三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分)

?ABC 中, D 是 BC 上的点, AD 平分 ?BAC , ?ABD 面积是 ?ADC 面积的 2 倍.
(Ⅰ)求

sin ?B ; sin ?C

(Ⅱ)若 AD ? 1 , DC ? (18) (本小题满分 12 分)

2 ,求 BD 和 AC 的长. 2

某公司为了解用户对其产品的满意度,从两地区分别随机调查了 20 个用户,得到用户对产 品的满意度评分如下: A 地区:62 78 B 地区:73 93 73 86 83 48 81 95 62 65 92 66 51 81 95 97 91 74 85 78 46 56 74 88 53 54 64 82 73 76 53 76 64 65 76 89 82 79

(Ⅰ) 根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图, 并通过茎叶图比较两地区满意度 评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可) ;

A 地区
4 5 6 7 8 9

B 地区

(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记事件 C : “ A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级” .假设两地区用户的 评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的 概率.

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(19) (本小题满分 12 分) 如图, 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB ? 16 ,BC ? 10 ,AA1 ? 8 , 点 E ,F 分别在 A1 B1 ,

D1C1 上,过点 E , F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由) ; (Ⅱ)求直线 AF 与平面 ? 所成角的正弦值.

(20)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : 9 x ? y ? m ?m ? 0 ? ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, l 与 C 有两个
2 2 2

交点 A , B ,线段 AB 的中点为 M . (Ⅰ)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ) 若 l 过点 ?

?m ? 延长线段 OM 与 C 交于点 P , 四边形 OAPB 能否为平行四边形? ,m? , ?3 ?

若能,求此时 l 的斜率;若不能,说明理由.

(21)(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? e
mx

? x 2 ? mx .

(Ⅰ)证明: f ? x ? 在 ?? ?,0 ? 单调递减,在 ?0,?? ? 单调递增; (Ⅱ)若对于任意 x1 , x2 ? ?? 1,1? ,都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? e ? 1 ,求 m 的取值范围.

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请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时请 清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, O 为等腰三角形 ABC 内一点, ?O 与 ?ABC 的底边 BC 交于 M , N 两点,与底边 上的高 AD 交于点 G ,且与 AB , AC 分别相切于 E , F 两点. (Ⅰ)证明: EF // BC ; (Ⅱ)若 AG 等于 ?O 的半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四边形 EBCF 的面积.

(23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? , ( t 为参数, t ? 0 ) ,其中 0 ? ? ? ? .在以 ? y ? t sin ? ,

O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标中,曲线 C2 : ? ? 2 sin ? , C3 : ? ? 2 3 cos ? .
(Ⅰ)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (Ⅱ)若 C1 与 C2 相交于点 A , C1 与 C3 相交于点 B ,求 AB 的最大值.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设 a, b, c, d 均为正数,且 a ? b ? c ? d ,证明: (Ⅰ)若 ab ? cd ,则 a ? b ? (Ⅱ) a ? b ?

c? d ;

c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件.

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