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数学选修4-4 4-5所有试卷含答案

时间:2018-07-01

数学选修 4-4 [基础训练 A 组]
一、选择题 1.若直线的参数方程为 ?

坐标系与参数方程

? x = 1 + 2t (t为参数) ,则直线的斜率为( ? y = 2 ? 3t



A.

2 3 3 C. 2

2 3 3 D. ? 2
B. ?

2.下列在曲线 ?

? x = sin 2θ (θ 为参数) 上的点是( ? y = cos θ + sin θ
B. ( ?



A. ( , ? 2) 3.将参数方程 ?

1 2

3 1 , ) 4 2

C. (2, 3)

D. (1, 3)

? x = 2 + sin 2 θ ? (θ 为参数) 化为普通方程为( 2 ? y = sin θ ?
B. y = x + 2 C. y = x ? 2(2 ≤ x ≤ 3) )

) D. y = x + 2(0 ≤ y ≤ 1)

A. y = x ? 2

4.化极坐标方程 ρ 2 cos θ ? ρ = 0 为直角坐标方程为( A. x2 + y 2 = 0或y = 1 B. x = 1

C. x2 + y 2 = 0或x = 1 )

D. y = 1

5.点 M 的直角坐标是 ( ?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( A. (2,

π
3

)

B. (2, ?

π
3

)

C. (2,

2π ) 3

D. (2, 2kπ + )

π
3

), (k ∈ Z )

6.极坐标方程 ρ cos θ = 2sin 2θ 表示的曲线为( A.一条射线和一个圆 二、填空题 1.直线 ? B.两条直线

C.一条直线和一个圆

D.一个圆

? x = 3 + 4t (t为参数) 的斜率为______________________。 ? y = 4 ? 5t ? x = et + e ? t ? (t为参数) 的普通方程为__________________。 t ?t ? y = 2(e ? e ) ? ? x = 1 + 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y = 5 相交于点 B ,又点 A(1, 2) , ? y = 2 ? 4t

2.参数方程 ?

3.已知直线 l1 : ?

1

则 AB = _______________。

1 ? ?x = 2 ? 2 t ? 4.直线 ? (t为参数) 被圆 x 2 + y 2 = 4 截得的弦长为______________。 ? y = ?1 + 1 t ? ? 2
5.直线 x cos α + y sin α = 0 的极坐标方程为____________________。 三、解答题 1.已知点 P ( x, y ) 是圆 x + y = 2 y 上的动点,
2 2

(1)求 2x + y 的取值范围;

(2)若 x + y + a ≥ 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

2.求直线 l1 : ?

?x = 1+ t ? (t为参数) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 = 0 的交点 P 的坐标,及点 P ? y = ?5 + 3t ?

与 Q (1, ?5) 的距离。

3.在椭圆

x2 y 2 + = 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 = 0 的距离取最小值。 16 12

2

数学选修 4-4 [综合训练 B 组]
一、选择题 1. 直线 l 的参数方程为 ? 之间的距离是( A. t1 ) C. 2 t1

坐标系与参数方程

?x = a + t (t为参数) , 上的点 P 对应的参数是 t1 , l 则点 P 与 P ( a, b) 1 1 ?y = b +t

B. 2 t1

D.

2 t1 2

1 ? ?x = t + 2.参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ?y = 2 ?
A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线



D.两条射线

1 ? ?x = 1+ 2 t ? 3.直线 ? (t为参数) 和圆 x 2 + y 2 = 16 交于 A, B 两点, ? y = ?3 3 + 3 t ? ? 2
则 AB 的中点坐标为( A. (3, ?3) ) C. ( 3, ?3) ) D. (3, ? 3) B. (? 3,3)

4.圆 ρ = 5 cos θ ? 5 3 sin θ 的圆心坐标是( A. ( ?5, ?

4π ) 3

B. ( ?5,

π
3

)

C. (5,

π
3

)

D. ( ?5,

5π ) 3


5.与参数方程为 ?

?x = t ? ? y = 2 1? t ?

(t为参数) 等价的普通方程为(
y2 = 1(0 ≤ x ≤ 1) 4

A. x +
2

y2 =1 4 y2 = 1(0 ≤ y ≤ 2) 4

B. x +
2

C. x +
2

D. x +
2

y2 = 1(0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2) 4


6.直线 ?

? x = ?2 + t (t为参数) 被圆 ( x ? 3) 2 + ( y + 1)2 = 25 所截得的弦长为( ? y = 1? t
B. 40

A. 98

1 4

C. 82

D. 93 + 4 3

3

二、填空题

1 ? ?x = 1? 1. 曲线的参数方程是 ? 则它的普通方程为__________________。 t (t为参数,t ≠ 0) , ? y = 1? t2 ?
2.直线 ?

? x = 3 + at (t为参数) 过定点_____________。 ? y = ?1 + 4t
2 2

3.点 P(x,y)是椭圆 2 x + 3 y = 12 上的一个动点,则 x + 2 y 的最大值为___________。 4.曲线的极坐标方程为 ρ = tan θ ?

1 ,则曲线的直角坐标方程为________________。 cos θ

5.设 y = tx(t为参数) 则圆 x 2 + y 2 ? 4 y = 0 的参数方程为__________________________。 三、解答题 1.参数方程 ?

? x = cos θ (sin θ + cos θ ) (θ 为参数) 表示什么曲线? ? y = sin θ (sin θ + cos θ )

2.点 P 在椭圆

x2 y 2 + = 1 上,求点 P 到直线 3 x ? 4 y = 24 的最大距离和最小距离。 16 9

3.已知直线 l 经过点 P (1,1) ,倾斜角 α = (1)写出直线 l 的参数方程。

π
6



(2)设 l 与圆 x 2 + y 2 = 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积。

4

数学选修 4-4 [提高训练 C 组]
一、选择题

坐标系与参数方程.

1.把方程 xy = 1 化为以 t 参数的参数方程是(
1 ? x = t2 ? A. ? 1 ? y = t?2 ?



? x = sin t ? B. ? 1 ? y = sin t ?

? x = cos t ? C. ? 1 ? y = cos t ?

? x = tan t ? D. ? 1 ? y = tan t ?


2.曲线 ?

? x = ?2 + 5t (t为参数) 与坐标轴的交点是( ? y = 1 ? 2t
2 5 1 2
B. (0, )、 , 0) (

A. (0, )、 , 0) ( C. (0, ?4)、 0) (8, 3.直线 ?

1 1 5 2 5 D. (0, )、 0) (8, 9

? x = 1 + 2t (t为参数) 被圆 x 2 + y 2 = 9 截得的弦长为( ?y = 2+t
12 5 5 9 D. 10 5
B.



12 5 9 C. 5 5
A.

? x = 4t 2 4.若点 P (3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线 ? (t为参数) 上, ? y = 4t
则 PF 等于( A. 2 C. 4 B. 3 D. 5 ) )

5.极坐标方程 ρ cos 2θ = 0 表示的曲线为( A.极点 C.一条直线 B.极轴 D.两条相交直线

6.在极坐标系中与圆 ρ = 4 sin θ 相切的一条直线的方程为( A. ρ cos θ = 2 C. ρ = 4 sin(θ + B. ρ sin θ = 2



π
3

)

D. ρ = 4 sin(θ ?

π
3

)

5

二、填空题 1.已知曲线 ?

? x = 2 pt 2 ? y = 2 pt

(t为参数,p为正常数) 上的两点 M , N 对应的参数分别为 t1和t2, ,

且t1 + t2 = 0 ,那么 MN =_______________。
2.直线 ?

? x = ?2 ? 2t ? ? y = 3 + 2t ?

(t为参数) 上与点 A(?2, 3) 的距离等于 2 的点的坐标是_______。

3.圆的参数方程为 ?

? x = 3sin θ + 4 cos θ (θ 为参数) ,则此圆的半径为_______________。 ? y = 4sin θ ? 3cos θ

4.极坐标方程分别为 ρ = cos θ 与 ρ = sin θ 的两个圆的圆心距为_____________。 5.直线 ?

? x = t cos θ ? x = 4 + 2 cos α 与圆 ? 相切,则 θ = _______________。 ? y = t sin θ ? y = 2sin α

三、解答题

1 ? x = (et + e ? t ) cos θ ? ? 2 1.分别在下列两种情况下,把参数方程 ? 化为普通方程: 1 t ?t ? y = (e ? e ) sin θ ? ? 2
(1) θ 为参数, t 为常数; (2) t 为参数, θ 为常数;

2.过点 P (

10 , 0) 作倾斜角为 α 的直线与曲线 x 2 + 12 y 2 = 1 交于点 M , N , 2

求 PM ? PN 的最值及相应的 α 的值。

6

新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修 4-4
一、选择题 1.D 2.B 3.C 4.C 5.C 6.C

坐标系与参数方程 [基础训练 A 组]

k=

y ? 2 ?3t 3 = =? x ? 1 2t 2

2 转化为普通方程: y = 1 + x ,当 x = ?

3 1 时, y = 4 2

转化为普通方程: y = x ? 2 ,但是 x ∈ [2, 3], y ∈ [0,1]

ρ ( ρ cos θ ? 1) = 0, ρ = x 2 + y 2 = 0, 或ρ cos θ = x = 1
(2, 2kπ + 2π ), (k ∈ Z ) 都是极坐标 3

ρ cos θ = 4 sin θ cos θ , cos θ = 0, 或ρ = 4 sin θ ,即ρ 2 = 4 ρ sin θ
则 θ = kπ +

π
2

, 或 x2 + y2 = 4 y

二、填空题 1. ?

5 4
2 2

k=

y ? 4 ?5t 5 = =? x ? 3 4t 4 y ? t ? x = et + e ? t ? x + 2 = 2e y y ? ? ?? ? ( x + )( x ? ) = 4 ?y t ?t 2 2 ? = e ?e ? x ? y = 2e ? t ?2 ? ? 2

2.

x y ? = 1, ( x ≥ 2) 4 16

3.

5 2

将?

? x = 1 + 3t 1 5 5 代入 2 x ? 4 y = 5 得 t = ,则 B ( , 0) ,而 A(1, 2) ,得 AB = 2 2 2 ? y = 2 ? 4t
直 线 为 x + y ?1 = 0 , 圆 心 到 直 线 的 距 离 d =

4 . 14

1 2 = ,弦长的一半为 2 2

22 ? (
5. θ =

2 2 14 ) = ,得弦长为 14 2 2

π
2



ρ cos θ cos α + ρ sin θ sin α = 0, cos(θ ? α ) = 0 ,取 θ ? α =
? x = cos θ , ? y = 1 + sin θ

π
2

三、解答题 1.解: (1)设圆的参数方程为 ?

2 x + y = 2 cos θ + sin θ + 1 = 5 sin(θ + ? ) + 1

7

∴? 5 + 1 ≤ 2 x + y ≤ 5 + 1
(2) x + y + a = cos θ + sin θ + 1 + a ≥ 0

∴ a ≥ ?(cos θ + sin θ ) ? 1 = ? 2 sin(θ + ) ? 1 4 ∴ a ≥ ? 2 ?1
2.解:将 ?

π

?x = 1+ t ? 代入 x ? y ? 2 3 = 0 得 t = 2 3 , ? y = ?5 + 3t ?

得 P (1 + 2 3,1) ,而 Q (1, ?5) ,得 PQ = 3.解:设椭圆的参数方程为 ?

(2 3) 2 + 62 = 4 3

4 cos θ ? 4 3 sin θ ? 12 ? x = 4 cos θ ? ,d = 5 ? y = 2 3 sin θ ?

=

4 5 4 5 θ cos θ ? 3 sin θ ? 3 = 2 cos(θ + ) ? 3 5 5 3

当 cos(θ +

π
3

) = 1 时, d min =

4 5 ,此时所求点为 (2, ?3) 。 5

新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修 4-4
一、选择题 1.C 2.D 距离为 t1 + t1 =
2 2

坐标系与参数方程 [综合训练 B 组]

2 t1

y = 2 表示一条平行于 x 轴的直线,而 x ≥ 2, 或x ≤ ?2 ,所以表示两条射线 1 3 2 t +t (1 + t ) 2 + (?3 3 + t ) = 16 ,得 t 2 ? 8t ? 8 = 0 , t1 + t2 = 8, 1 2 = 4 2 2 2 1 ? ?x = 1+ 2 × 4 ? ? ?x = 3 ?? 中点为 ? ? ? y = ?3 3 + 3 × 4 ? y = ? 3 ? ? 2

3.D

4.A

圆心为 ( , ?

5 2

5 3 ) 2

5.D

x2 = t,

y2 y2 = 1 ? t = 1 ? x2 , x2 + = 1, 而t ≥ 0, 0 ≤ 1 ? t ≤ 1, 得0 ≤ y ≤ 2 4 4
8

6.C

? 2 ? x = ?2 + 2t × ? x = ?2 + t ? 2 ,把直线 ? x = ?2 + t 代入 ?? ? ? ? y = 1? t ? y = 1? t ? y = 1 ? 2t × 2 ? ? 2

( x ? 3) 2 + ( y + 1)2 = 25 得 (?5 + t ) 2 + (2 ? t ) 2 = 25, t 2 ? 7t + 2 = 0

t1 ? t2 = (t1 + t2 )2 ? 4t1t2 = 41 ,弦长为 2 t1 ? t2 = 82
二、填空题 1. y =

x( x ? 2) ( x ≠ 1) ( x ? 1) 2

1 1 1? x = ,t = , 而 y = 1? t2 , t 1? x
即 y = 1? (

1 2 x( x ? 2) ) = ( x ≠ 1) 1? x ( x ? 1) 2

2. (3, ?1)

y +1 4 = , ?( y + 1)a + 4 x ? 12 = 0 对于任何 a 都成立,则 x = 3, 且y = ?1 x?3 a
x2 y 2 椭圆为 + = 1 ,设 P ( 6 cos θ , 2 sin θ ) , 6 4

3. 22

x + 2 y = 6 cos θ + 4sin θ = 22 sin(θ + ? ) ≤ 22
4. x 2 = y

ρ = tan θ ?

1 sin θ = , ρ cos 2 θ = sin θ , ρ 2 cos 2 θ = ρ sin θ , 即 x 2 = y cos θ cos 2 θ
4t ; 1+ t2

4t ? ?x = 1+ t2 ? 5. ? 2 ? y = 4t ? 1+ t2 ?

x 2 + (tx) 2 ? 4tx = 0 ,当 x = 0 时, y = 0 ;当 x ≠ 0 时, x =

4t ? ?x = 1+ t2 4t ? 而 y = tx ,即 y = ,得 ? 2 2 1+ t ? y = 4t ? 1+ t2 ?
2

三、解答题 1.解:显然

y y2 1 1 = tan θ ,则 2 + 1 = , cos 2 θ = 2 2 y x x cos θ +1 x2

1 1 2 tan θ x = cos 2 θ + sin θ cos θ = sin 2θ + cos 2 θ = × + cos 2 θ 2 2 2 1 + tan θ

9

1 即x= × 2

y y +1 1 y2 y x + x = , x(1 + 2 ) = + 1 2 2 2 y y y x x 1+ 2 1+ 2 1+ 2 x x x 2

得x+

y2 y = + 1 ,即 x 2 + y 2 ? x ? y = 0 x x
12 cos θ ? 12sin θ ? 24 5

2.解:设 P (4 cos θ ,3sin θ ) ,则 d =

12 2 cos(θ + ) ? 24 4 即d = , 5
当 cos(θ + 当 cos(θ +

π

π π
4 4

) = ?1 时, d max = ) = 1 时, d min

12 (2 + 2) ; 5 12 = (2 ? 2) 。 5

? π ? 3 x = 1 + t cos t ?x = 1+ ? ? ? 6 2 3.解: (1)直线的参数方程为 ? ,即 ? ? y = 1 + t sin π ? y = 1+ 1 t ? ? 6 ? 2 ? ? 3 t ?x = 1+ ? 2 代入 x 2 + y 2 = 4 (2)把直线 ? ? y = 1+ 1 t ? 2 ?
得 (1 +

3 2 1 t ) + (1 + t ) 2 = 4, t 2 + ( 3 + 1)t ? 2 = 0 2 2

t1t2 = ?2 ,则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2

新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修 4-4
一、选择题 1.D 2.B

坐标系与参数方程 [提高训练 C 组]

xy = 1 , x 取非零实数,而 A,B,C 中的 x 的范围有各自的限制
2 1 1 ,而 y = 1 ? 2t ,即 y = ,得与 y 轴的交点为 (0, ) ; 5 5 5 1 1 1 当 y = 0 时, t = ,而 x = ?2 + 5t ,即 x = ,得与 x 轴的交点为 ( , 0) 2 2 2
当 x = 0 时, t =
10

3.B

? x = 1 + 5t × ? x = 1 + 2t ? ? ?? ? ?y = 2+t ? y = 1 + 5t × ? ?

2 ? x = 1 + 2t 5 ,把直线 ? 代入 1 ?y = 2+t 5

x 2 + y 2 = 9 得 (1 + 2t )2 + (2 + t ) 2 = 9, 5t 2 + 8t ? 4 = 0

8 16 12 12 t1 ? t2 = (t1 + t2 ) 2 ? 4t1t2 = (? ) 2 + = ,弦长为 5 t1 ? t2 = 5 5 5 5 5
4.C 5.D 6.A 抛物线为 y = 4 x ,准线为 x = ?1 , PF 为 P (3, m) 到准线 x = ?1 的距离,即为 4
2

ρ cos 2θ = 0, cos 2θ = 0,θ = kπ ±

π
4

,为两条相交直线

ρ = 4 sin θ 的普通方程为 x 2 + ( y ? 2) 2 = 4 , ρ cos θ = 2 的普通方程为 x = 2
2 2 圆 x + ( y ? 2) = 4 与直线 x = 2 显然相切

二、填空题 1. 4 p t1 显然线段 MN 垂直于抛物线的对称轴。即 x 轴, MN = 2 p t1 ? t2 = 2 p 2t1

2. (?3, 4) ,或 (?1, 2)

1 2 (? 2t ) 2 + ( 2t )2 = ( 2) 2 , t 2 = , t = ± 2 2

3. 5

由?

? x = 3sin θ + 4 cos θ 得 x 2 + y 2 = 25 ? y = 4sin θ ? 3cos θ
1 2 1 2

4.

2 2

圆心分别为 ( , 0) 和 (0, )

5.

π
6

,或

5π 6

直线为 y = x tan θ ,圆为 ( x ? 4) 2 + y 2 = 4 ,作出图形,相切时, 易知倾斜角为

π
6

,或

5π 6

三、解答题 1.解: (1)当 t = 0 时, y = 0, x = cos θ ,即 x ≤ 1, 且y = 0 ; 当 t ≠ 0 时, cos θ =

x 1 t (e + e ? t ) 2 x2

,sin θ =

y 1 t ?t (e ? e ) 2 =1

而 x + y = 1 ,即
2 2

1 t (e + e ? t ) 2 4

+

y2 1 t ?t 2 (e ? e ) 4

11

(2)当 θ = kπ , k ∈ Z 时, y = 0 , x = ±

1 t (e + e ? t ) ,即 x ≥ 1, 且y = 0 ; 2 π 1 t ?t 当 θ = kπ + , k ∈ Z 时, x = 0 , y = ± (e ? e ) ,即 x = 0 ; 2 2

2x 2x 2y ? t ? t ?t ?e + e = cos θ ?2e = cos θ + sin θ kπ ? ? 当θ ≠ , k ∈ Z 时,得 ? ,即 ? 2 ? et ? e ? t = 2 y ? 2e ? t = 2 x ? 2 y ? ? sin θ cos θ sin θ ? ?
得 2e ? 2e
t ?t

=(

2x 2y 2x 2y + )( ? ) cos θ sin θ cos θ sin θ



x2 y2 ? 2 =1。 cos 2 θ sin θ

? 10 ?x = + t cos α 2.解:设直线为 ? (t为参数) ,代入曲线并整理得 2 ? y = t sin α ? (1 + sin 2 α )t 2 + ( 10 cos α )t + 3 =0 2

3 2 则 PM ? PN = t1t2 = 1 + sin 2 α
所以当 sin
2

α = 1 时,即 α =

π

2

, PM ? PN 的最小值为

3 π ,此时 α = 。 4 2

12

数学选修 4-5 [基础训练 A 组]
一、选择题 1.下列各式中,最小值等于 2 的是( A.

不等式选讲



x y + y x

B.

x2 + 5 x +4
2

C. tan θ +

1 tan θ
y

D. 2 x + 2? x

2.若 x, y ∈ R 且满足 x + 3 y = 2 ,则 3 + 27 + 1 的最小值是(
x



A. 3 3 9

B. 1 + 2 2

C. 6

D. 7 )

3.设 x > 0, y > 0, A = A. A = B C. A ≤ B

x+ y x y , B= + ,则 A, B 的大小关系是( 1+ x 1+ y 1+ x + y

B. A < B D. A > B

4.若 x, y , a ∈ R + ,且 x +

y ≤ a x + y 恒成立,则 a 的最小值是(
C. 1 D.



A.

2 2

B. 2

1 2

5.函数 y = x ? 4 + x ? 6 的最小值为( A. 2 B. 2 C. 4

) D. 6 )

6.不等式 3 ≤ 5 ? 2 x < 9 的解集为( A. [ ?2,1) U [4, 7) C. ( ?2, ?1] U [4, 7)

B. (?2,1] U (4, 7] D. (?2,1] U [4, 7)

二、填空题 1.若 a > b > 0 ,则 a +

1 的最小值是_____________。 b(a ? b)
a b b+m a+n , , , 按由小到大的顺序排列为 b a a+m b+n

2.若 a > b > 0, m > 0, n > 0 ,则

3.已知 x, y > 0 ,且 x 2 + y 2 = 1 ,则 x + y 的最大值等于_____________。

13

4.设 A =

1 1 1 1 + 10 + 10 + LL + 11 ,则 A 与 1 的大小关系是_____________。 10 2 2 +1 2 + 2 2 ?1 12 5.函数 f ( x ) = 3 x + 2 ( x > 0) 的最小值为_____________。 x
2 2 2

三、解答题 1.已知 a + b + c = 1 ,求证: a + b + c ≥

1 3

2.解不等式 x + 7 ? 3 x ? 4 + 3 ? 2 2 > 0

3.求证: a + b ≥ ab + a + b ? 1
2 2

4.证明: 2( n + 1 ? 1) < 1 +

1 1 1 + + ... + <2 n 2 3 n

14

数学选修 4-5 [综合训练 B 组]
一、选择题 1.设 a > b > c, n ∈ N ,且 A. 2 B. 3

不等式选讲

n 1 1 + ≥ 恒成立,则 n 的最大值是( a?b b?c a?c C. 4 D. 6
) D.最小值 ?1



x2 ? 2x + 2 2. 若 x ∈ ( ?∞,1) ,则函数 y = 有( 2x ? 2
A.最小值 1 3.设 P = B.最大值 1 C.最大值 ?1

2 , Q = 7 ? 3 , R = 6 ? 2 ,则 P, Q, R 的大小顺序是(
B. P > R > Q D. Q > R > P
3 3 2 2



A. P > Q > R C. Q > P > R

4.设不等的两个正数 a, b 满足 a ? b = a ? b ,则 a + b 的取值范围是( A. (1, +∞) C. [1, ] B. (1, ) D. (0,1)



4 3

4 3

5.设 a, b, c ∈ R + ,且 a + b + c = 1 ,若 M = ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ,则必有( A. 0 ≤ M <

1 a

1 b

1 c



1 8

B.

1 ≤ M < 1 C. 1 ≤ M < 8 8

D. M ≥ 8

6.若 a, b ∈ R + ,且 a ≠ b, M = A. M > N 二、填空题 B. M < N

a b + , N = a + b ,则 M 与 N 的大小关系是 b a
D. M ≤ N

C. M ≥ N

1.设 x > 0 ,则函数 y = 3 ? 3 x ?

1 的最大值是__________。 x

2.比较大小: log 3 4 ______ log 6 7 3.若实数 x, y , z 满足 x + 2 y + 3 z = a ( a为常数) ,则 x 2 + y 2 + z 2 的最小值为 4.若 a, b, c, d 是正数,且满足 a + b + c + d = 4 ,用 M 表示

a + b + c, a + b + d , a + c + d , b + c + d 中的最大者,则 M 的最小值为__________。
5.若 x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 1, xyz = 10 ,且 x
lg x

? y lg y ? z lg z ≥ 10 ,则 x + y + z = _____ 。
15

三、解答题 1.如果关于 x 的不等式 x ? 3 + x ? 4 < a 的解集不是空集,求参数 a 的取值范围。

a2 + b2 + c 2 a + b + c 2.求证: ≥ 3 3

3.当 n ≥ 3, n ∈ N 时,求证: 2 n ≥ 2( n + 1)

4.已知实数 a, b, c 满足 a > b > c ,且有 a + b + c = 1, a 2 + b 2 + c 2 = 1 求证: 1 < a + b <

4 3

16

数学选修 4-5 [提高训练 C 组]
一、选择题

不等式选讲

1.若 log x y = ?2 ,则 x + y 的最小值是(



A.

33 2 2
3 2 3

B.

23 3 3

C.

D.

2 3

2
a b c d + + + , a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b

+ 2. a, b, c ∈ R ,设 S =

则下列判断中正确的是( ) A. 0 < S < 1 B. 1 < S < 2 D. 3 < S < 4 C. 2 < S < 3 3.若 x > 1 ,则函数 y = x + A. 16 C. 4 B. 8 D.非上述情况

1 16 x + 的最小值为( x x2 + 1



4. b > a > 0 , P = 设 且

a+b a2 + b2 , = Q , M = ab , N = , = R , 1 1 1 1 2 2 + 2 + a2 b a b
2

2

则它们的大小关系是( A. P < Q < M < N < R C. P < M < N < Q < R 二、填空题 1.函数 y =

) B. Q < P < M < N < R D. P < Q < M < R < N

3x ( x < 0) 的值域是 x + x +1
2

.

2.若 a, b, c ∈ R + ,且 a + b + c = 1 ,则 a + b +

c 的最大值是
.

3.已知 ?1 < a, b, c < 1 ,比较 ab + bc + ca 与 ?1 的大小关系为 4.若 a > 0 ,则 a +

1 1 ? a 2 + 2 的最大值为 a a

.

5.若 x, y , z 是正数,且满足 xyz ( x + y + z ) = 1 ,则 ( x + y )( y + z ) 的最小值为______。

17

三、解答题 1. 设 a, b, c ∈ R ,且 a + b = c ,求证: a 3 + b 3 > c 3
+ 2 2 2

2.已知 a > b > c > d ,求证:

1 1 1 9 + + ≥ a ?b b?c c ?a a ? d

+ 3.已知 a, b, c ∈ R ,比较 a + b + c 与 a b + b c + c a 的大小。
3 3 3 2 2 2

4.求函数 y = 3 x ? 5 + 4 6 ? x 的最大值。

5.已知 x, y , z ∈ R ,且 x + y + z = 8, x 2 + y 2 + z 2 = 24 求证:

4 4 4 ≤ x ≤ 3, ≤ y ≤ 3, ≤ z ≤ 3 3 3 3

18

新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修 4-5
一、选择题 1.D 2.D 3.B

不等式选讲 [基础训练 A 组]

Q 2 x > 0, 2? x > 0,∴ 2 x + 2? x ≥ 2 2 x 2? x = 2

3x + 33 y + 1 ≥ 2 3x ? 33 y + 1 = 2 3x +3 y + 1 = 7
B= x y x y x+ y + > + = = A ,即 A < B 1+ x 1+ y 1+ x + y 1+ y + x 1+ x + y
x2 + y 2 x + y 2 ≥ ,即 x 2 + y 2 ≥ ( x + y) , 2 2 2

4.B

Q

∴ x+ y ≥

2 ( x + y ) ,而 x + y ≤ a x + y , 2
1 1 2 ( x + y ) 恒成立,得 ≤ , 即a ≥ 2 a a 2



x+ y ≥

5.A

y = x?4 + x?6 ≥ x?4+6? x = 2
? 2 x ? 5 < 9 ? ?9 < 2 x ? 5 < 9 ??2 < x < 7 ? ?? ?? ,得 (?2,1] U [4, 7) ? ? 2 x ? 5 ≥ 3 ?2 x ? 5 ≥ 3, 或2 x ? 5 ≤ ?3 ? x ≥ 4, 或x ≤ 1 ?

6.D

二、填空题 1. 3

( a ? b) + b +

1 1 ≥ 3 3 ( a ? b) ? b ? =3 b( a ? b) b( a ? b)

2.

b b+m a+n a b b+m < < < 由糖水浓度不等式知 < < 1, a a+m b+n b a a+m b b+n a a+n a+n a 且 < < 1 ,得 > > 1 ,即 1 < < a a+n b b+n b+n b x+ y ≤ 2 x2 + y2 , x + y ≤ 2 x2 + y 2 = 2 2

3. 2 4. A < 1

A=

1 1 1 1 1 1 1 1 + 10 + 10 + LL + 11 < 10 + 10 + 10 + LL + 10 = 1 10 2 2 +1 2 + 2 2 ? 1 14444244443 2 2 2 2
210 个

5. 9

f ( x) = 3x +

12 3 x 3x 12 3x 3 x 12 = + + 2 ≥ 33 ? ? =9 2 x 2 2 x 2 2 x2

19

三、解答题 1.证明:Q a + b + c = ( a + b + c) ? (2ab + 2bc + 2ac)
2 2 2 2

≥ (a + b + c) 2 ? 2(a 2 + b 2 + c 2 ) ∴ 3(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ (a + b + c) 2 = 1
∴ a2 + b2 + c2 ≥
2 2 2

1 3

1 (a + b + c) 2 2 2 2 另法一:Q a + b + c ? = a + b + c ? 3 3

1 = (2a 2 + 2b 2 + 2c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac) 3 1 = [(a ? b) 2 + (b ? c) 2 + (a ? c) 2 ] ≥ 0 3 ∴ a2 + b2 + c2 ≥ 1 3

另法二:Q (12 + 12 + 12 )( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ ( a + b + c ) 2 = 1 即 3( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 1 ,∴ a + b + c ≥
2 2 2

1 3

2.解:原不等式化为 x + 7 ? 3 x ? 4 + 2 ? 1 > 0 当x>

4 时,原不等式为 x + 7 ? (3 x ? 4) + 2 ? 1 > 0 3
2 4 2 ,即 < x < 5 + ; 2 3 2 4 时,原不等式为 x + 7 + (3 x ? 4) + 2 ? 1 > 0 3

得 x < 5+

当 ?7 ≤ x ≤ 得x>?

1 2 1 2 4 ? ,即 ? ? <x≤ ; 2 4 2 4 3

当 x < ?7 时,原不等式为 x + 7 ? (3 x ? 4) + 2 ? 1 > 0 得x > 6?

2 ,与 x < ?7 矛盾; 2 1 2 2 ? < x < 5+ 2 4 2

所以解为 ?

20

3.证明:Q ( a + b ) ? ( ab + a + b ? 1)
2 2

= a 2 + b 2 ? ab ? a ? b + 1 1 = (2a 2 + 2b 2 ? 2ab ? 2a ? 2b + 2) 2 1 2 = [(a ? 2ab + b 2 ) + (a 2 ? 2a + 1) + (b 2 ? 2b + 1)] 2 1 = [(a ? b) 2 + (a ? 1)2 + (b ? 1) 2 ] ≥ 0 2
∴ a 2 + b 2 ≥ ab + a + b ? 1
4.证明:Q

1 1 1 < < k +1 + k 2 k k ?1 + k 1 < 2( k ? k ? 1) k 1 1 1 + + ... + <2 n 2 3 n

∴ 2( k + 1 ? k ) <

∴ 2( n + 1 ? 1) < 1 +

数学选修 4-5
一、选择题 1.C

不等式选讲

[综合训练 B 组]

Q

a ?c a ?c a ?b +b?c a ?b+b?c b?c a?b + = + = 2+ + ≥4 a?b b?c a ?b b?c a ?b b?c 1 1 4 1 1 n ∴ + ≥ ,而 + ≥ 恒成立,得 n ≤ 4 a?b b?c a?c a?b b?c a?c

2.C

y=

( x ? 1) 2 1 x ?1 1 1? x 1 + = + ≤ ?2 ? = ?1 2x ? 2 2x ? 2 2 2( x ? 1) 2 2(1 ? x)

3.B

Q 2 + 2 = 2 2 > 6,∴ 2 > 6 ? 2 ,即 P > R ;
又Q

6 + 3 > 7 + 2,∴ 6 ? 2 > 7 ? 3 ,即 R > Q ,所以 P > R > Q
( a + b) 2 4

4.B

a 2 + ab + b 2 = a + b, (a + b) 2 ? (a + b) = ab ,而 0 < ab <

( a + b) 2 4 所以 0 < (a + b) ? ( a + b) < ,得 1 < a + b < 4 3
2

21

5.D

M =(

a+b+c a+b+c a+b+c (b + c)(a + c)(a + b) ? 1)( ? 1)( ? 1) = a b c abc



8 ab bc ac =8 abc

6.A

Q a ≠ b,∴

a b + b > 2 a, + a >2 b b a



a b a b + b+ + a > 2 b + 2 a ,即 + > b+ a b a b a

二、填空题 1. 3 ? 2 3 2. >

y = 3 ? 3x ?

1 1 ≤ 3 ? 2 3x ? = 3 ? 2 3 ,即 ymax = 3 ? 2 3 x x
a b
a b b b

设 log 3 4 = a, log 6 7 = b ,则 3 = 4, 6 = 7 ,得 7 ? 3 = 4 ? 6 = 4 ? 2 ? 3 即3
a ?b

=

4 ? 2b 4 ? 2b a ?b ,显然 b > 1, 2b > 2 ,则 3 = >1? a ?b > 0 ? a > b 7 7

3.

a2 14

Q (12 + 22 + 32 )( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ ( x + 2 y + 3 z ) 2 = a 2

即 14( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ a 2 ,∴ x + y + z ≥
2 2 2

a2 14

4. 3

M≥

1 (a + b + c + a + b + d + a + c + d + b + c + d ) 4 3 = (a + b + c + d ) = 3 ,即 M min = 3 4

5. 12

lg( x lg x ? y lg y ? z lg z ) ≥ 1 ? lg 2 x + lg 2 y + lg 2 z ≥ 1
而 lg 2 x + lg 2 y + lg 2 z = (lg x + lg y + lg z ) 2 ? 2(lg x lg y + lg y lg z + lg z lg x)

= [lg( xyz )]2 ? 2(lg x lg y + lg y lg z + lg z lg x) = 1 ? 2(lg x lg y + lg y lg z + lg z lg x) ≥ 1
即 lg x lg y + lg y lg z + lg z lg x ≤ 0 ,而 lg x, lg y , lg z 均不小于 0 得 lg x lg y + lg y lg z + lg z lg x = 0 , 此时 lg x = lg y = 0 ,或 lg y = lg z = 0 ,或 lg z = lg x = 0 , 得 x = y = 1, z = 10 ,或 y = z = 1, x = 10 ,或 x = z = 1, y = 10
22

x + y + z = 12
三、解答题 1.解:Q x ? 3 + x ? 4 ≥ ( x ? 3) ? ( x ? 4) = 1

∴ ( x ? 3 + x ? 4 ) min = 1
当 a ≤ 1 时, x ? 3 + x ? 4 < a 解集显然为 φ , 所以 a > 1 2.证明:Q (1 + 1 + 1 )( a + b + c ) ≥ ( a + b + c)
2 2 2 2 2 2 2



a 2 + b 2 + c 2 ( a + b + c) 2 ≥ 3 9 a2 + b2 + c 2 a + b + c ≥ 3 3
n n 1 2 n 1 n ?1



3.证明:Q 2 = (1 + 1) = 1 + Cn + Cn + ...Cn ≥ 1 + Cn + Cn

+ Cnn = 2(n + 1)

∴ 2n ≥ 2(n + 1) (本题也可以用数学归纳法)
4.证明:Q a + b = 1 ? c, ab =

( a + b) 2 ? ( a 2 + b 2 ) = c2 ? c 2

∴ a, b 是方程 x 2 ? (1 ? c) x + c 2 ? c = 0 的两个不等实根,
则 >= (1 ? c ) 2 ? 4(c 2 ? c ) > 0 ,得 ?

1 < c <1 3

而 (c ? a )(c ? b) = c 2 ? ( a + b)c + ab > 0 即 c 2 ? (1 ? c )c + c 2 ? c > 0 ,得 c < 0, 或c > 所以 ?

2 3

1 4 < c < 0 ,即 1 < a + b < 3 3

23

数学选修 4-5
一、选择题 1.A 由 log x y = ?2 得 y = 而x+ y = x+

不等式选讲

提高训练 C 组]

1 , x2

1 x x 1 x x 1 1 3 = + + 2 ≥ 33 ? ? 2 = 33 = 3 2 2 x 2 2 x 2 2 x 4 2

a b c d + + + a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b a b c d a+b+c+d > + + + = =1 a+b+c+d b+c+d +a c+d +a+b d +a+b+c a+b+c+d a a c c b b d d < , < , < , < 即 S >1, a+b+c a+c c+d +a a+c b+c+d b+d d +a+b d +b a c c a b d d b 得 + < + =1, + < + =1 a+b+c c+d +a a+c a+c b+c+d d +a+b d +b b+d a b c d 即 + + + < 2 ,得 S < 2 ,所以 1 < S < 2 a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b 1 16 x 1 16 3.B y = x+ + 2 = x+ + ≥ 2 16 = 8 x x +1 x x+ 1 x R 为平方平均数,它最大 4.A
2.B 二、填空题 1. [ ?3, 0)

3x 3 1 1 = ,Q x < 0,∴ x + ≤ ?2, 得 x + + 1 ≤ ?1 x + x +1 x + 1 +1 x x x 1 3 ?1 ≤ < 0 ? ?3 ≤ < 0 ? ?3 ≤ y < 0 1 1 x + +1 x + +1 x x
y=
2

2. 3 3. >

(1 ? a + 1 ? b + 1 ? c ) 2 ≤ (12 + 12 + 12 )(a + b + c) = 3
构造单调函数 f ( x ) = (b + c ) x + bc + 1 ,则 f (1) = (1 + b)(1 + c ) > 0 ,

f (?1) = (?1 + b)(?1 + c) = (1 ? b)(1 ? c) > 0 ,即 ?1 < x < 1 , f ( x) > 0 恒成立,
所以 f ( a ) = (b + c ) a + bc + 1 > 0 ,即 ab + bc + ca > ?1 4. 2 ? 2 设 a +
2

1 1 1 = t (t ≥ 2) ,则 a 2 + 2 = t 2 ,即 a + = t 2 + 2 2 a a a 1 1 t ? a 2 + 2 = t 2 + 2 ? t (t ≥ 2) , y ' = ?1 < 0 a a t2 + 2 2 时, ymax = 2 ? 2

再令 y = a +

即 t ∈ [ 2, +∞) 时, y 是 t 的减函数,得 t =
24

5. 2

( x + y )( y + z ) = xy + y 2 + yz + zx = y ( x + y + z ) + zx ≥ 2 y ( x + y + z ) zx = 2
a b + =1 c c

三、解答题 1.证明:Q a, b, c ∈ R ,
+

∴0 <
2 3

2 2 2 a b < 1, 0 < < 1, a 3 , b 3 , c 3 > 0 c c
2 3

a +b
2

c3

a b a b a+b = ( )3 + ( )3 > + = = 1, ∴ a 3 + b 3 > c 3 c c c c c
2 2 2 2 2

2.证明:Q a > b > c > d ,∴ a ? b > 0, b ? c > 0, c ? d > 0

∴(

1 1 1 1 1 1 + + )(a ? d ) = ( + + )[(a ? b) + (b ? c) + (c ? d )] a ?b b?c c ?a a ?b b?c c?a

≥ 33


1 1 1 ? ? × 3 3 (a ? b)(b ? c)(c ? d ) = 9 a?b b?c c?a

1 1 1 9 + + ≥ a?b b?c c?a a ?d
3 3 3

3.解:取两组数: a, b, c 与 a 2 , b 2 , c 2 ,显然 a + b + c 是同序和,

a 2b + b 2 c + c 2 a 是乱序和,所以 a 3 + b3 + c3 ≥ a 2b + b 2 c + c 2 a
4.解:函数的定义域为 [5, 6] ,且 y > 0

y = 3× x ? 5 + 4 × 6 ? x

≤ 32 + 42 × ( x ? 5) 2 + ( 6 ? x )2 =5
5.证明:显然 x + y = 8 ? z , xy =

ymax = 5

( x + y)2 ? ( x2 + y 2 ) = z 2 ? 8 z + 20 2

∴ x, y 是方程 t 2 ? (8 ? z ) x + z 2 ? 8 z + 20 = 0 的两个实根,
由 <≥ 0 得

4 4 4 ≤ z ≤ 4 ,同理可得 ≤ y ≤ 4 , ≤ x ≤ 4 3 3 3

25


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