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2014年山东省高二暑假作业(2)数学 Word版含答案

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2014 高二暑假作业数学二
一、选择题 1. 已知 x 与 y 之间的一组数据: x 0 1 y 1 3
? ? ?

2 5

3 7

则 y 与 x 的线性回归方程 y ? b x ? a 必过点( ) A.(1.5 ,4) B. (2,2) C.(1.5 ,0) D.(1,2) 2. 如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形且体积为 俯视图可以是

1 ,则该几何体的 2

3. 如果 (3a ? A.-2835 4.

1
3

a

2

2 ) n 的展开式中各项系数之和为 128, 则展开式中 a 的系数是 (



B.2835
2

C.21

D.-21

已知 ?ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 ?ABC 的面积为 S,且

2 S ? ? a ? b ? ? c2 , 则 tan C 等于

3 4 4 3 B. C. ? D. ? 4 3 3 4 5. 点 P 到图形 C 上每一个点的距离的最小值称为点 P 到图形 C 的距离,那么平面内到定 圆 C 的距离与到定点 A 的距离相等的点的轨迹不可能 是( ) ...
A. A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.直线 2 2 6. 已知抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴的正半轴上,若抛物线的准线与双曲线 5x -y = 20 的两条渐近线围成的三角形的面积等于 4 5 ,则抛物线的方程为 A.y =4x B.y =8x x 2 7. 函数 y=2 -x 的图象大致是(
2 2

C.x =4y ).

2

D.x =8y

2

8.在下列区间中,函数 f(x)=e +4x-3 的零点所在的区间(

x

)

1 A.(- ,0) 4 9. 若二项式( A. 2k? ?

1 B.(0, ) 4

1 1 C.( , ) 4 2

1 3 D.( , ) 2 4

?

sin ? ? x ) 6 展开式的常数项为 20,则 ? 的值为 x (k ? Z )
B. 2k? ?

?

2

2

(k ? Z )

C. ?

?

2

D.

? 2

10. 已知 cos ? ?

3 ?? ? , 0 ? ? ? ? ,则 tan ? ? ? ? ? 5 4? ?
B.

A.

1 5

1 7

C. ?1

D. ?7

二、填空题 11. 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表:
广告费用 x(万元) 销售额 3 25
?

4 30

5 40

6 45

y (万元)
?? ?

? 根据上表可得回归方程 y ? bx ? a 中的 b 为 7.据此模型预报广告费用为 10 万元时销售

额为

(万元).

? y ? x, ? 12. 已知实数 x , y 满足不等式组 ? x ? y ? 2, 那么目标函数 z ? x ? 3 y 的最大值是 ? y ? 0, ?
13. 在样本的频率分布直方图中, 共有 9 个小长方 形, 若第一个长方形的面积为 0.02, 前五个 与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差 互为相反数,若样本容量为 160, 则中间一组 (即第五组)的频数为 .

.

14. 设 f1 ( x) ? cos x ,定义 f n ?1 ( x) 为 f n ( x) 的导 数,即 f n?1 ( x) ? f ' n ( x) , n ? N ,若
*

1 ?ABC 的内角 A 满足 f1 ( A) ? f 2 ( A) ? ? ? f 2013 ( A) ? ,则 sin 2 A 的值是 3

.

三、解答题 15.某种商品,现在定价 p 元,每月卖出 n 件,设定价上涨 x 成,每月卖出数量减少 y 成, 每月售货总金额变成现在的 z 倍. (1)用 x 和 y 表示 z; (2)设 x 与 y 满足 y=kx(0<k<1),利用 k 表示当每月售货总金额最大时 x 的值; 2 (3)若 y= x,求使每月售货总金额有所增加的 x 值的范围. 3

16. 已知函数 f ( x) ? k ? a ? x ( k , a 为常数, a ? 0 且 a ? 1 )的图象过点 A(0,1), B(3,8) . (1)求实数 k , a 的值; (2)若函数 g ( x) ?

f ( x) ? 1 ,试判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由 f ( x) ? 1

17. 已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F2,点 F1 与 F2 关于坐标原点对称,直线 m 垂直于 x 轴(垂 足为 T) ,与抛物线交于不同的两点 P,Q 且 F 1P ? F 2Q ? ?5 . (I)求点 T 的横坐标 x0 ; (II)若以 F1,F2 为焦点的椭圆 C 过点 ? 1, ①求椭圆 C 的标准方程; ② 过 点 F2 作 直 线 l 与 椭 圆 C 交 于 A,B 两 点 , 设 F2 A ? ? F2 B , 若

? ? ?

2? ?. 2 ? ?

? ?? ? 2 , ??1 求 , T A ?T B 的取值范围.

2014 高二暑假作业数学二
一、选择题 1—5 AAACD 二、填空题 11. 73.5 6—10 DACBD

12. 4

13. 36

14.

4 2 9

三、解答题 15.解:(1)按现在的定价上涨 x 成时,上涨后的定价为 p?1+ ?元,每月卖出数量为 ? 10?

?

x?

y? ? n?1- ?件,每月售货总金额是 npz 元, 10

?

?

因而 npz=p?1+ ?·n?1- ?,所以 z= ? 10? ? 10? (2)在 y=kx 的条件下,z= 1-k 10 +x 100 1-k

?

x?

?

y?

+x 100 -kx

-y

.

k 2 1-k =- x + x+1, 100 10

对称轴 x=- = k ? ? 2×?- ? ? 100? ∵0<k<1,∴ -k

k



k

>0.

∴当 x=

-k

k

时,z 有最大值.

2 (3)当 y= x 时,z= 3

2 ? ? +x ?10- x? 3 ? ? , 100

要使每月售货总金额有所增加,即 z>1, 2 ? ? 应有(10+x)·?10- x?>100,即 x(x-5)<0.所以 0<x<5. 3 ? ? 所以所求 x 的范围是(0,5).

? k ? a 0 ? 1, 16.解(1)把 A(0,1), B(3,8) 的坐标代入 f ( x) ? k ? a ,得 ? ?3 ?k ? a ? 8,
?x

解得 k ? 1, a ?

1 . 2

(2)由(1)知 f ( x) ? 2 x , 所以 g ( x) ?

f ( x) ? 1 2 x ? 1 . ? f ( x) ? 1 2 x ? 1

此函数的定义域为 R,又 g (? x) ? 所以函数 g ( x) 为奇函数

2?x ? 1 2 x ? 2?x ? 2 x 2x ?1 ? ? ? ? ? g ( x) , 2?x ? 1 2 x ? 2?x ? 2 x 2x ?1

17.解: (Ⅰ)由题意得 F2 (1,0) , F1 (?1,0) ,设 P( x0 , y0 ) , Q( x0 ,? y0 ) , 则F , y0 ) , F2Q ? ( x0 ? 1,? y0 ) . 1P ? ( x0 ? 1 由 F1P ? F2Q ? ?5 ,得 x0 ? 1 ? y0 ? ?5 即 x0 ? y0 ? ?4 ,① 又 P( x0 , y0 ) 在抛物线上,则 y0 ? 4x0 ,② 联立①、②易得 x0 ? 2 (Ⅱ) (ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,由题意得 c ? 1 ,
2 2 2 2 2

x2 y 2 设椭圆 C 的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a b

1 1 则 2 ? 2 ?1 ③ a b2 a 2 ? b2 ? 1 ④
2 将④代入③,解得 b2 ? 1 或 b ? ?

1 (舍去) 2

所以 a 2 ? b 2 ? 1 ? 2 故椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 2

(ⅱ)方法一: 容易验证直线 l 的斜率不为 0,设直线 l 的方程为 x ? ky ? 1

x2 ? y 2 ? 1中得: (k 2 ? 2) y 2 ? 2ky ?1 ? 0 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), y1 ? 0且y2 ? 0 ,则由根与系数的关系, 2k 可得: y1 ? y2 ? ? 2 ⑤ k ?2 1 y1 y2 ? ? 2 ⑥ k ?2 y 因为 F2 A ? ? F2 B ,所以 1 ? ? ,且 ? ? 0 . y2
将直线 l 的方程代入 将⑤式平方除以⑥式,得:

y1 y2 4k 2 1 4k 2 ? ?2?? 2 ??? ?2?? 2 y2 y1 k ?2 ? k ?2
由 ? ? ? ?2, ?1? ? ? 所以

1 4k 2 5 1 1 1 ? ? + ? ?2 ? ? ? ? ? ? 2 ? 0 ? ? ? ? 2 ?0 2 ? 2 ? 2 k ?2

0 ? k2 ?

2 7

因为 TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x2 ? 2, y2 ) ,所以 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) ,

4(k 2 ? 1) 2k x ? x ? 4 ? k ( y ? y ) ? 2 ? ? ,所以 , 1 2 1 2 k2 ? 2 k2 ? 2 16(k 2 ? 1)2 4k 2 2 2 2 故 | TA ? TB | ? ( x1 ? x2 ? 4) ? ( y1 ? y2 ) ? ? (k 2 ? 2)2 (k 2 ? 2)2
又 y1 ? y2 ? ?

16(k 2 ? 2)2 ? 28(k 2 ? 2) ? 8 28 8 , ? 16 ? 2 ? 2 2 2 (k ? 2) k ? 2 (k ? 2)2 1 2 7 1 1 7 1 2 ? 2 ? ,即 t ? [ , ] , 令t ? 2 ,所以 0 ? k ? 所以 k ?2 7 16 k ? 2 2 16 2 7 17 2 2 2 所以 | TA ? TB | ? f (t ) ? 8t ? 28t ? 16 ? 8(t ? ) ? . 4 2 169 7 1 ]. 而 t ? [ , ] ,所以 f (t ) ? [4, 32 16 2 13 2 所以 | TA ? TB |? [2, ]. 8 ?
方法二:

1)当直线 l 的斜率不存在时,即 ? ? ?1 时, A(1, 又 T (2,0) ,所以 TA ? TB ? ( ?1,

2 2 ) , B(1,? ), 2 2

2 2 ) ? ( ?1, ? ) ?2 2 2

2)当直线 l 的斜率存在时,即 ? ? ?? 2,?1? 时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)

? y ? kx ? k ? 由 ? x2 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2 设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,显然 y1 ? 0, y2 ? 0 ,则由根与系数的关系,
4k 2 2k 2 ? 2 x ? x ? , 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? 2k y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2k ? 1 ? 2k 2 ? k2 y1 ? y2 ? k 2 ( x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1) ? 1 ? 2k 2 y 因为 F2 A ? ? F2 B ,所以 1 ? ? ,且 ? ? 0 . y2
可得: x1 ? x2 ? 将⑤式平方除以⑥式得:

⑤ ⑥

??

1

?

?2?

?4 1 ? 2k 2

1 ? 5 ? ? 1 ? ? ?? ,?2 ? 即 ? ? ? 2 ? ?? ,0 ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? 1 ?4 7 ? 0 ,解得 k 2 ? 故? ? 2 2 2 1 ? 2k 因为 TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x2 ? 2, y2 ) ,
由 ? ? ?? 2,?1? 得 ? ?

1

所以 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) , 又 x1 ? x2 ? 4 ?
2

? 4(1 ? k 2 ) , 1 ? 2k 2
2 2

16(1 ? k 2 )2 4k 2 故 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4) ? ( y1 ? y2 ) ? ? (1 ? 2k 2 )2 (1 ? 2k 2 )2
4(1 ? 2k 2 )2 ? 10(1 ? 2k 2 ) ? 2 10 2 ? ? 4? ? 2 2 2 (1 ? 2k ) 1 ? 2k (1 ? 2k 2 )2 1 7 1 1 ? 1? 2 ? ,即 t ? ? 0, ? , 令t ? ,因为 k ? 所以 0 ? 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 8 ? 8? 2 5 2 17 ? 169 ? 2 所以 TA ? TB ? 2t ? 10t ? 4 ? 2(t ? ) ? ? 4, ?. 2 2 ? ? 32 ?
所以 TA ? TB ? ? 2,

? 13 2 ? ? ? 8 ? ?

综上所述: | TA ? TB |? [2,

13 2 ]. 8


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