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创新设计2016_2017学年高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行课时作业

时间:2017-02-10

§4

用向量讨论垂直与平行

课时目标 1.会用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直 等位置关系.2.会用向量的有关知识证明线与线、线与面、面与面的垂直与平行.

1.空间中平行关系的向量表示 (1)线线平行 设直线 l,m 的方向向量分别为 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2)且(a2b2c2≠0),则 l∥ m ? ___________ ? __________ ? ______________. (2)线面平行 设直线 l 的方向向量为 a=(a1,b1,c1),平面 α 的法向量为 u=(a2,b2,c2),则 l∥ α ? ________ ? ____________ ? ________________________. (3)面面平行 设 平 面 α , β 的 法 向 量 分 别 为 u = (a1 , b1 , c1) , v = (a2 , b2 , c2) , 则 α ∥ β ? ____________ ? ______________ ? ________________. 2.空间中垂直关系的向量表示 (1)线线垂直 设直线 l 的方向向量为 a=(a1,a2,a3),直线 m 的方向向量为 b=(b1,b2,b3),则 l⊥ m ? ____________ ? __________ ? ________________________________. (2)线面垂直 设直线 l 的方向向量是 u=(a1,b1,c1),平面 α 的法向量是 v=(a2,b2,c2),则 l⊥ α ? ________ ? __________ ? __________________. (3)面面垂直 若平面 α 的法向量 u = (a1 , b1 , c1) ,平面 β 的法向量 v = (a2 , b2 , c2) ,则 α ⊥ β ? __________ ? ____________ ? ________________________.

一、选择题 1.若直线 l 的方向向量为 a=(1,0,2),平面 α 的法向量为 n=(-2,0,-4),则( ) A.l∥α B.l⊥α C.l?α D.l 与 α 斜交 2.平面 α 的一个法向量为(1,2,0),平面 β 的一个法向量为(2,-1,0),则平面 α 与 平面 β 的位置关系是( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能确定 3. 从点 A(2, -1,7)沿向量 a=(8,9, -12)的方向取线段长 AB=34, 则 B 点的坐标为( ) A.(-9,-7,7) B.(18,17,-17) C.(9,7,-7) D.(-14,-19,31) 4.

-1-

在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长为 a,M、N 分别为 A1B、AC 的中点,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( ) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 5.已知 A(3,0,-1),B(0,-2,-6),C(2,4,-2),则△ABC 是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 6.

如图所示, 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, E 是上底面中心, 则 AC1 与 CE 的位置关系是( A.平行 B.相交 C.相交且垂直 D.以上都不是 题 答 二、填空题 号 案 1 2 3 4 5 6

)

? 1 ? 7.已知直线 l 的方向向量为(2,m,1),平面 α 的法向量为?1, ,2?,且 l∥α ,则 m ? 2 ?
=________. 8.已知 a=(0,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)分别是平面 α ,β ,γ 的法向量,则 α , β ,γ 三个平面中互相垂直的有______对. 9.

如图,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、P、Q 分别为棱 AB、CD、BC 的中点,若平行六 面体的各棱长均相等,则( ) ①A1M∥D1P; ②A1M∥B1Q; ③A1M∥面 DCC1D1; ④A1M∥面 D1PQB1. 以上结论中正确的是________.(填写正确的序号)
-2-

三、解答题 10.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 是 B1D1 的中点,求证:B1C∥平面 ODC1.

11.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别为 AB、BC 的中点,在棱 BB1 上是否 存在点 M,使得 D1M⊥平面 EFB1?

能力提升 12.如图,四棱锥 P-ABCD 中,底

面 ABCD 为矩形, PA⊥底面 ABCD, PA=AB= 2, 点 E 是棱 PB 的中点. 证明: AE⊥平面 PBC.

-3-

13.

如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明:PA∥平面 EDB; (2)证明:PB⊥平面 EFD.

1.平行关系的常用证法 → 证明线线平行只需证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系,如证明 AB∥CD 只需证AB → =λ CD.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直,然后说明直线在 平面外.证面面平行可转化证两面的法向量平行. 2.垂直关系的常用证法 要证线线垂直,可以转化为对应的向量垂直. 要证线面垂直,可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直. 要证面面垂直,可以转化为证明两个平面的法向量垂直.

-4-

§4 知识梳理 1.(1)a∥b =kv

用向量讨论垂直与平行

a =λ b

a1 b1 c1 = = (2)a⊥u a·u=0 a1a2+b1b2+c1c2=0 (3)u∥v u a2 b2 c2

a1 b1 c1 = = (a2b2c2≠0) a2 b2 c2 a1 b1 c1 = = (a2b2c2≠0) (3)u⊥v u·v=0 a1a2+b1b2+c1c2=0 a2 b2 c2

2.(1)a⊥b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0 (2)u∥v

u=λ v

作业设计 1.B [∵n=-2a,∴n∥a,∴l⊥α .] 2.C [∵(1,2,0)·(2,-1,0)=0,∴两法向量垂直,从而两平面也垂直.] → 3.B [设 B(x,y,z),AB=(x-2,y+1,z-7) =λ (8,9,-12),λ >0. 故 x-2=8λ ,y+1=9λ ,z-7=-12λ , 2 2 2 2 又(x-2) +(y+1) +(z-7) =34 , 2 2 得(17λ ) =34 ,∵λ >0,∴λ =2. ∴x=18,y=17,z=-17,即 B(18,17,-17).] → → 4.B [可以建立空间直角坐标系,通过平面的法向量AB和MN的关系判断.] → → → → → 5.C [∵AB=(-3,-2,-5),AC=(-1,4,-1),BC=(2,6,4),∴AB·AC=0, → → → ∴AB⊥AC,且|AB|≠|AC|≠|BC|, ∴△ABC 为直角三角形.] → → 6.C [可以建立空间直角坐标系,通过AC1与CE的关系判断.] 7.-8 解析 ∵l∥α ,∴l 的方向向量与 α 的法向量垂直. 1 ? 1 ? ∴(2,m,1)·?1, ,2?=2+ m+2=0,∴m=-8. 2 ? 2 ? 8.0 解析 ∵a·b=(0,1,1)·(1,1,0)=1≠0, a·c=(0,1,1)·(1,0,1)=1≠0, b·c=(1,1,0)·(1,0,1)=1≠0. ∴a,b,c 中任意两个都不垂直,即 α 、β 、γ 中任意两个都不垂直. 9.①③④ → → → → → → 解析 ∵A1M=AM-AA1=DP-DD1=D1P, ∴A1M∥D1P. ∵D1P 面 D1PQB1,∴A1M∥面 D1PQB1.

-5-

又 D1P

面 DCC1D1,∴A1M∥面 DCC1D1.

∵B1Q 为平面 DCC1D1 的斜线, ∴B1Q 与 D1P 不平行,∴A1M 与 B1Q 不平行. → → 10.证明 方法一 ∵B1C=A1D,B1 ? A1D, ∴B1C∥A1D,又 A1D ∴B1C∥平面 ODC1. → → → 方法二 ∵B1C=B1C1+B1B → → → → → → =B1O+OC1+D1O+OD=OC1+OD. → → → ∴B1C,OC1,OD共面. 又 B1C ? 平面 ODC1,∴B1C∥平面 ODC1. 方法三 平面 ODC1,

建系如图,设正方体的棱长为 1,则可得 B1(1,1,1),C(0,1,0),

? ? O? , ,1?,C1(0,1,1),
1 1 ?2 2

?

B1C=(-1,0,-1),




? ? OD=?- ,- ,-1?, 2 2
1 1

?

?

→ ? ? OC1=?- , ,0?. 1 1 ? 2 2

?

设平面 ODC1 的法向量为 n=(x0,y0,z0), → ? ?n·OD=0 则? → ? ?n·OC1=0 1 1 - x - y -z =0 ? ? 2 2 得? 1 1 ? ?-2x +2y =0 ②
0 0 0 0 0



-6-

令 x0=1,得 y0=1,z0=-1,∴n=(1,1,-1). → 又B1C·n=-1×1+0×1+(-1)×(-1)=0, → ∴B1C⊥n,且 B1C ? 平面 ODC1, ∴B1C∥平面 ODC1. 11.解

→ → → 如图所示,分别以 DA , DC ,DD1为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,则 → ? ? ? ? ? ? D1(0,0,1),B1(1,1,1),E?1, ,0?,F? ,1,0?,设 M(1,1,m),∴EF=?- , ,0?,

?

1 2

?

1 ?2

?

1 1 ? 2 2

?

→ ? ? → B1E=?0,- ,-1?,D1M=(1,1,m-1).

?

1 2

?

若 D1M⊥平面 EFB1, 则 D1M⊥EF 且 D1M⊥B1E. → → → → 即D1M·EF=0,D1M·B1E=0, 1 1 ? ?-2+2+?m-1?×0=0 ∴? 1 0- +1-m=0 ? ? 2

1 ,∴m= , 2

即存在点 M 且为 B1B 的中点,使 D1M⊥平面 EFB1. 12.

证明 如图所示,以 A 为坐标原点,射线 AB、AD、AP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴, 建立空间直角坐标系. 设 D(0,a,0), 则 B( 2,0,0),C( 2,a,0), 2 2 ,0, ). 2 2

P(0,0, 2),E(

-7-

2 2 → → → → → → → 于是AE=( ,0, ),BC=(0,a,0),PC=( 2,a,- 2),则AE·BC=0,AE·PC= 2 2 0. 所以 AE⊥BC,AE⊥PC. 又因为 BC∩PC=C, 所以 AE⊥平面 PBC. 13.

证明 (1)以 D 为坐标原点,以 DA、DC、DP 所在的直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角 坐标系. 连结 AC,BD,AC 交 BD 于 G. 连结 EG.设 DC=a, 依题意得 A(a,0,0),P(0,0,a),E?0, , ?, ? 2 2? ∵底面 ABCD 是正方形,∴G 是此正方形的中心,

?

a a?

? ? 故点 G 的坐标为? , ,0?, ?2 2 ?
a a a? → → ?a ∴PA=(a,0,-a),EG=? ,0,- ?. 2? ?2
→ → ∴PA=2EG.即 PA∥EG. 而 EG ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB, ∴PA∥平面 EDB. → (2)依题意得 B(a,a,0),PB=(a,a,-a). → ? a a? 又DE=?0, , ?, ? 2 2?

a a → → 故PB·DE=0+ - =0, 2 2
∴PB⊥DE,由已知 EF⊥PB,且 EF∩DE=E, 所以 PB⊥平面 EFD.

2

2

-8-


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