nbhkdz.com冰点文库

2015届高三第一学期期中数学复习精品专题(苏教版)——不等式、复数、平面向量

时间:2014-11-02


2014-2015 学年度第一学期高三数学期中迎考专题复习资料

专题:不等式、复数、平面向量导学案
牢记重点知识
1、掌握一元二次不等式的解法,基本不等式的应用,简单的线性规划,能解决相应的实 际问题 2、掌握平面向量的概念、运算,理解并能利用平面向量的运算解决相关问题 3、掌握复数的概念、运算,了解复数的几何意义 4、活用消元、换元、数形结合等思想方法解决不等式、向量综合问题.

自我检测
1、设复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2 ? 2i ,其中 i 是虚数单位,则 z 的值为 .

2、不等式

x ?1 ? 3 的解集为 x
?



3. 已知 e1 , e 2 是夹角为

?

? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 的两个单位向量, a ? e1 ? 2 e2 , b ? k e1 ? e2 , 若 a ? b ? 0 , 3

则 k 的值为____________

4、若复数

1 ? ai (a ? R) 是纯虚数( i 是虚数单位) ,则 a 的值为 2?i



5、 在 ?ABC 中,M 为 AB 的的三等分点,AM : AB ? 1: 3, N 为 AC 的中点,BN 与 CM 交于点 E , AB ? m, AC ? n ,则 AE ?

6.设 x, y 为正实数,且 log3 x ? log3 y ? 2 ,则

1 1 ? 的最小值是 x y



第1页

2014-2015 学年度第一学期高三数学期中迎考专题复习资料

剖析经典例题
例 1、已知向量 OA ? (1,7) , OB ? (5,1) , OP ? (2,1) ,点 Q 为直线 OP 上一动点. (Ⅰ)求 | OA ? OB | ; (Ⅱ)当 QA ? QB 取最小值时,求 OQ 的坐标.

例 2、如图,GH 是东西方向的公路北侧的边缘线,某公司准备在 GH 上的一点 B 的正北 方向的 A 处建一仓库,设 AB = y km,并在公路同侧建造边长为 x km 的正方形无顶中转站 CDEF(其中边 EF 在 GH 上) ,现从仓库 A 向 GH 和中转站分别修两条道路 AB,AC,已 知 AB = AC ? 1,且∠ABC = 60o. A (1)求 y 关于 x 的函数解析式; (2)如果中转站四周围墙造价为 1 万元/km,两条道路 造价为 3 万元/km,问:x 取何值时,该公司建中转站围墙和 两条道路总造价 M 最低? C
B 公 F 路

D

G

E

H

第2页

2014-2015 学年度第一学期高三数学期中迎考专题复习资料

例 3、心理学家研究某位学生的学习情况发现:若这位学生刚学完的知识存留量为 1 ,则 x 天后的存留量 y1 ?

4 ;若在 t (t ? 0) 天时进行第一次复习,则此时存留量比未复习情况 x?4

下增加一倍(复习的时间忽略不计),其后存留量 y2 随时间变化的曲线恰好为直线的一部 分,其斜率为

a (a ? 0) ,存留量随时间变化的曲线如图所示.当进行第一次复习后的 (t ? 4)2

存留量与不复习的存留量相差最大时,则称此时刻为“二次复习最佳时机点” (1)若 a ? ?1, t ? 5 ,求“二次复习最佳时机点”; (2)若出现了“二次复习最佳时机点”,求 a 的取值范围.

y2 y1

第3页

2014-2015 学年度第一学期高三数学期中迎考专题复习资料

第4页

2014-2015 学年度第一学期高三数学期中迎考专题复习资料

专题:不等式、复数、平面向量作业
班级: 姓名: 一、填空题: (请将答案填在空白处,在空行间写出简要过程) 1、复数 z ?

2?i 的实部为 1? i



?x ? y ? 5 ? 0 ? 2、已知实数 x , y 满足 ? x ? 3 ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?x ? y ? 0 ?
3、在复平面内,复数 z ?



2i ?(i 为虚数单位)对应点的坐标是???? . 1? i

2 4.已知不等式 x ? 2mx ? 1 ? 0 对一切 1 ? x ? 3 都成立,则 m 的取值范围是



5.二次方程 x2 ? (a2 ? 1) x ? a ? 2 ? 0 有一个根大于 1,另一个根小于 1 ,则 a 的取值范围 是 .

?x ? y ? 2 ? 6.已知 O 是坐标原点,点 A(?1,1) ,若点 M ( x, y ) 为平面区域 ? x ? 1 内的一动点, ? y?2 ?
则 OA ? OM 的取值范围是 .

7、设向量 a ? (1, x), b ? (?3, 4) ,若 a // b ,则实数 x 的值为

.

8、已知 f ( x) ? log2 (x ? 2) ,若实数 m, n 满足 f (2m) ? f (n) ? 3 ,则 m ? n 的最小值是 _______

9、已知 a , b 为正实数且 ab ? 1 ,若不等式 ? x ? y ? ?
第5页

?a b? ? ? ? M 对任意的正实数 x, y 恒成 ?x y?

2014-2015 学年度第一学期高三数学期中迎考专题复习资料

立,则 M 的取值范围是



10、设 x ? 0 , y ? 0 且 x ? 2 y ? 1 ,则 2 x ? 3 y 2 的最小值为



11 、 (苏州市 2014 届高三上学期期中)设 a ? b ? 0 ,则 a 2 ? 为 .

1 1 的最小值 ? ab a ? a ? b ?

12.给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB , 它们的夹角为 120 . 如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动.若

o

OC ? xOA ? yOB, 其中 x, y ? R ,则 x ? y 的最大值是________.

二、解答题: 13. 设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b . (2)求 | b ? c | 的最大值;

第6页

2014-2015 学年度第一学期高三数学期中迎考专题复习资料

14、为了降低能源损耗,最近上海对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层.某幢建筑 物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的 能源消耗费用 C (单位:万元)与隔热层厚度 x (单位:cm)满足关系: C ( x) ?

k 3x ? 5

( 0 ? x ? 10 ,若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f ( x ) 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f ( x ) 的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f ( x ) 达到最小,并求最小值.

15、如图 1:OA , OB 是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤,线段 CD 和曲线 EF 分别是湖 OB 泊中的一条栈桥和防波堤.为观光旅游需要, 拟过栈桥 CD 上某点 M 分别修建与 OA , 平行的栈桥 MG , 且以 MG , 建 MK , MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台 MGK . 立如图 2 所示的直角坐标系,测得 CD 的方程是 x ? 2 y ? 20(0 ? x ? 20) ,曲线 EF 的方 程是 xy ? 200( x ? 0) ,设点 M 的坐标为 ( s, t ) . (题中所涉及长度单位均为米,栈桥及防 波堤都不计宽度)
第7页

2014-2015 学年度第一学期高三数学期中迎考专题复习资料

(1)求三角形观光平台 MGK 面积的最小值; (2)若要使 ?MGK 的面积不小于 320 平方米,求 t 的范围.

第8页

2014-2015 学年度第一学期高三数学期中迎考专题复习资料

专题:不等式、复数、平面向量(教师版)
牢记重点知识
1、掌握一元二次不等式的解法,基本不等式的应用,简单的线性规划,能解决相应的实 际问题 2、掌握平面向量的概念、运算,理解并能利用平面向量的运算解决相关问题 3、掌握复数的概念、运算,了解复数的几何意义 4、活用消元、换元、数形结合等思想方法解决不等式、向量综合问题.

自我检测
1、 (淮安、宿迁市 2014 届高三 11 月诊断)设复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2 ? 2i ,其中 i 是虚数 单位,则 z 的值为 答案:2 2、 (苏州市 2014 届高三上学期期中)不等式 ▲ .

x ?1 ? 3 的解集为 x





? 1 答案: (??,0) ? ? , ?? ? ?2 ?
? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 的两个单位向量, a ? e1 ? 2 e2 , b ? k e1 ? e2 , 若 a ? b ? 0 , 3 5 则 k 的值为____________. k ? 4 1 ? ai (a ? R) 是纯虚数 4、 (无锡市 2014 届高三上学期期中) 若复数 ( i 是虚数单位) , 则a 2?i

3. 已知 e1 , e 2 是夹角为

?

?

的值为 。 答案:2 5、 ( 无 锡 市 2014 届 高 三 上 学 期 期 中 ) 在 ?ABC 中 , M 为 AB 的 的 三 等 分 点 ,

AM : AB ? 1: 3, N 为 AC 的 中 点 , BN 与 CM 交 于 点 E , AB ? m, AC ? n , 则

AE ?
答案: m ?



1 5

2 n 5

6.设 x, y 为正实数,且 log3 x ? log3 y ? 2 ,则

1 1 ? 的最小值是 x y



第9页

2014-2015 学年度第一学期高三数学期中迎考专题复习资料

剖析经典例题

例 1、已知向量 OA ? (1,7) , OB ? (5,1) , OP ? (2,1) ,点 Q 为直线 OP 上一动点. (Ⅰ)求 | OA ? OB | ; (Ⅱ)当 QA ? QB 取最小值时,求 OQ 的坐标. 解: (1) | OA ? OB |? 10 ………… (2) OQ ? (4, 2) ………………………

例 2、如图,GH 是东西方向的公路北侧的边缘线,某公司准备在 GH 上的一点 B 的正北 方向的 A 处建一仓库,设 AB = y km,并在公路同侧建造边长为 x km 的正方形无顶中转站 CDEF(其中边 EF 在 GH 上) ,现从仓库 A 向 GH 和中转站分别修两条道路 AB,AC,已 知 AB = AC ? 1,且∠ABC = 60o. A (1)求 y 关于 x 的函数解析式; (2)如果中转站四周围墙造价为 1 万元/km,两条道路 造价为 3 万元/km,问:x 取何值时,该公司建中转站围墙和 两条道路总造价 M 最低? C
B 公 F 路

D

G

E

H

解: (1)∵AB = y,AB = AC ? 1,∴AC = y ? 1. 在直角三角形 BCF 中,∵CF = x,?ABC = 60?, ∴?CBF = 30?,BC = 2x.由于 2x + y ? 1 > y,得 x ?
1 . 2

在△ABC 中,∵ AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos 60? , ∴ ( y ? 1)2 ? y 2 ? 4x2 ? 2xy .则 y ?
4 x2 ? 1 1 .由 y > 0,及 x ? ,得 x > 1. 2( x ? 1) 2

即 y 关于 x 的函数解析式为 y ?

4 x2 ? 1 (x > 1) . 2( x ? 1)

第 10 页

2014-2015 学年度第一学期高三数学期中迎考专题复习资料

(2) M ? 3(2 y ? 1) ? 4 x ? 令 x ? 1 = t,则 M ? 在t ?

12 x 2 ? 3 ? 3 ? 4x . x ?1

12(t ? 1) 2 ? 3 9 ? 3 ? 4(t ? 1) ? 16 t ? ? 25 ≥49 , t t

3 7 15 ,即 x ? , y ? 时,总造价 M 最低. 4 4 2 7 时,该公司建中转站围墙和道路总造价 M 最低. 4

答: x ?

例 3、心理学家研究某位学生的学习情况发现:若这位学生刚学完的知识存留量为 1 ,则 x 天后的存留量 y1 ?

4 ;若在 t (t ? 0) 天时进行第一次复习,则此时存留量比未复习情况 x?4

下增加一倍(复习的时间忽略不计),其后存留量 y2 随时间变化的曲线恰好为直线的一部 分,其斜率为

a (a ? 0) ,存留量随时间变化的曲线如图所示.当进行第一次复习后的 (t ? 4)2

存留量与不复习的存留量相差最大时,则称此时刻为“二次复习最佳时机点” (1)若 a ? ?1, t ? 5 ,求“二次复习最佳时机点”; (2)若出现了“二次复习最佳时机点”,求 a 的取值范围.

y2 y1

解:设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为 y ,由题

y2 ?

a

? t ? 4?

2

(x ? t) ?

8 (t ? 0) t ?4

第 11 页

2014-2015 学年度第一学期高三数学期中迎考专题复习资料

y ? y2 ? y1 ?

a

? t ? 4?

2

(x ? t) ?

8 4 ? (t ? 0) t ?4 x?4

当 a ? ?1, t ? 5 时,

y?

4 ?1 8 4 ?( x ? 4) 4 5 ? ? ? 1 ≤ ?2 ( x ? 5) ? ? ?1 ? , 2 81 x?4 9 (5 ? 4) 5? 4 x? 4 81
a 8 4 ?a( x ? 4) 4 8 a(t ? 4) (x ? t) ? ? ?? ? ? ? 2 2 (t ? 4) t?4 x?4 (t ? 4) x ? 4 t ? 4 (t ? 4) 2
当且仅当

当且仅当 x ? 14 时取等号,所以“二次复习最佳时机点”为第 14 天. (2) y ?

≤ ?2

?4a 8?a , ? 2 (t ? 4) t ?4
2 ?a

? a( x ? 4) 4 ? 即x ? 2 x?4 (t ? 4)

2 ?a

(t ? 4) ? 4

时取等号,由题意

(t ? 4) ? 4 ? t ,所以 ?4 ? a ? 0 .

专题:不等式、复数、平面向量作业
班级: 姓名: 一、填空题: (请将答案填在空白处,在空行间写出简要过程) 1、 (扬州市 2014 届高三上学期期中)复数 z ? 答案:

2?i 的实部为 ▲ . 1? i

1 2

?x ? y ? 5 ? 0 ? 2、 (扬州市 2014 届高三上学期期中)已知实数 x , y 满足 ? x ? 3 ,则目标函数 ?x ? y ? 0 ?
z ? x ? 2 y 的最小值为 ▲ .
答案:-3
第 12 页

2014-2015 学年度第一学期高三数学期中迎考专题复习资料

3、 (海安县 2014 届高三上学期期中)在复平面内,复数 z ? 的坐标是????▲ . 答案: (1,1)

2i ?(i 为虚数单位)对应点 1? i

2 4.已知不等式 x ? 2mx ? 1 ? 0 对一切 1 ? x ? 3 都成立,则 m 的取值范围是



5.二次方程 x2 ? (a2 ? 1) x ? a ? 2 ? 0 有一个根大于 1,另一个根小于 1 ,则 a 的取值范围 是 . ? ?1,0 ?

?x ? y ? 2 ? 6.已知 O 是坐标原点,点 A(?1,1) ,若点 M ( x, y ) 为平面区域 ? x ? 1 内的一动点, ? y?2 ?
则 OA ? OM 的取值范围是 .

7、 (盐城市 2014 届高三上学期期中)设向量 a ? (1, x), b ? (?3, 4) ,若 a // b ,则实数 x 的 值为 答案:- ▲ .

4 3

8、已知 f ( x) ? log2 (x ? 2) ,若实数 m, n 满足 f (2m) ? f (n) ? 3 ,则 m ? n 的最小值是 _______. 7 9、已知 a , b 为正实数且 ab ? 1 ,若不等式 ? x ? y ? ? 立,则 M 的取值范围是 .

?a b? ? ? ? M 对任意的正实数 x, y 恒成 ?x y?

10、 (苏州市 2014 届高三上学期期中)设 x ? 0 , y ? 0 且 x ? 2 y ? 1 ,则 2 x ? 3 y 的最小
2

值为




第 13 页

2014-2015 学年度第一学期高三数学期中迎考专题复习资料

答案: 3 4 11 、 (苏州市 2014 届高三上学期期中)设 a ? b ? 0 ,则 a 2 ? ▲ . 答案:4

1 1 的最小值为 ? ab a ? a ? b ?

12.给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB , 它们的夹角为 120 . 如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动.若

o

OC ? xOA ? yOB, 其中 x, y ? R ,则 x ? y 的最大值是________.
[解析]设 ?AOC ? ?

1 ? cos ? ? x ? y ? ? OC ? OA ? xOA ? OA ? yOB ? OA , ? ? 2 ,即 ? ? ? ?cos(1200 ? ? ) ? ? 1 x ? y ?OC ? OB ? xOA ? OB ? yOB ? OB, ? ? 2
∴ x ? y ? 2[cos ? ? cos(120 ? ? )] ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ?
0

?
6

)?2

二、解答题:

13. 设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b . (2)求 | b ? c | 的最大值;

第 14 页

2014-2015 学年度第一学期高三数学期中迎考专题复习资料

14、为了降低能源损耗,最近上海对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层.某幢建筑 物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的 能源消耗费用 C (单位:万元)与隔热层厚度 x (单位:cm)满足关系: C ( x) ?

k 3x ? 5

( 0 ? x ? 10 ,若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f ( x ) 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f ( x ) 的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f ( x ) 达到最小,并求最小值. 解: (1)当 x ? 0 时, c ? 8 ,? k ? 40 ,

? C ( x) ?

40 , 3x ? 5

? f ( x) ? 6 x ? 800 ? 10 , 3x ? 5

20 ? 40 800 ? 6x ? (0 ? x ? 10) 。 3x ? 5 3x ? 5

(2) f ( x) ? 2(3 x ? 5) ?

设 3x ? 5 ? t , t ? [5,35] ,? y ? 2t ? 当且仅当 2t ?

800 800 ? 10 ? 2 2t ? ? 10 ? 70. t t

800 , 即t ? 20时等号成立。这时 x ? 5 ,因此 f ( x)最小值为 70 t

所以,隔热层修建 5cm 厚时,总费用 f ? x ? 达到最小,最小值为 70 万元.

15、如图 1:OA , OB 是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤,线段 CD 和曲线 EF 分别是湖 OB 泊中的一条栈桥和防波堤.为观光旅游需要, 拟过栈桥 CD 上某点 M 分别修建与 OA ,
第 15 页

2014-2015 学年度第一学期高三数学期中迎考专题复习资料

平行的栈桥 MG , 且以 MG , 建 MK , MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台 MGK . 立如图 2 所示的直角坐标系,测得 CD 的方程是 x ? 2 y ? 20(0 ? x ? 20) ,曲线 EF 的方 程是 xy ? 200( x ? 0) ,设点 M 的坐标为 ( s, t ) . (题中所涉及长度单位均为米,栈桥及防 波堤都不计宽度) (1)求三角形观光平台 MGK 面积的最小值; (2)若要使 ?MGK 的面积不小于 320 平方米,求 t 的范围.

【解析】 先求出平台 MGK 面积的表达式, 也就是目标函数, 是包含 s和t 两个未知数的函数, 恰好 st 是一个整体,可用换元法转化为只含有一个未知数的函数,先应用基本不等式求出 st (函数自变量)的取值范围,再利用导数判断函数的单调性,最后利用单调性求出函数 的最小值。第(2)问需要根据第(1)问中函数的单调性求出 st 的取值范围,再代入消元, 解出 t 的范围 (1)由题意,得 K ( s,

200 200 ), G ( , t ) , ( s ? 0, t ? 0) , s t

又因为 M (s, t ) 在线段 CD: x ? 2 y ? 20(0 ≤ x ≤ 20) 上, 所以 s ? 2t ? 20(0 ? s ? 20) ,

S?MGK ?

1 1 200 200 1 40000 ? MG ? MK ? ( ? s )( ? t ) ? ( st ? ? 400) ?????4 分 2 2 t s 2 st

第 16 页

2014-2015 学年度第一学期高三数学期中迎考专题复习资料

第 17 页


赞助商链接

新课标2018届高考数学二轮复习专题一集合逻辑用语不等...

新课标2018高考数学二轮复习专题一集合逻辑用语不等式向量复数算法推理专题能力训练2不等式线性规划理_教学案例/设计_教学研究_教育专区。专题能力训练 2 x y 不...

...复习检测:4专题一 集合、逻辑用语、不等式、向量、...

2018数学高考(文)二轮复习检测:4专题一 集合、逻辑用语、不等式向量复数、算法、推理 Word版含解析_高考_高中教育_教育专区。专题能力训练 4 算法与推理 一、...

上海教材高中数学知识点总结(最全)

上海教材高中数学知识点总结(最全)_高三数学_数学_...目录 一、集合与常用逻辑 二、不等式 三、函数概念...平面向量 九、复数与推理证明 十、直线与圆 十一、...

湖北省黄冈中学2013年秋季高三数学(理科)函数、平面向...

湖北省黄冈中学2013年秋季高三数学(理科)函数、平面向量、数列、不等式复数、立体几何、解析几何测试卷_数学_高中教育_教育专区。2014 届高三数学测试题(13) (...

高考数学第二轮同步复习题23-不等式、推理与证明、算法...

高考数学二轮复习同步练习: 专题 7 不等式、推理与证明、算法与复数 x4+3x2+3 1.求函数 y= 的最小值. x2+1 [解析] 设 t=x2+1,则 t≥1,且 x2=...

...外国语学校2015届高三上学期第一次月考数学(文)(附...

数学吉林省长春外国语学校2015届高三学期第一次月...x ? 2 x 则不等式 xf ( x) ? 0 的解集是...9. 在复平面,复数 z ? 1 ? i 对应于点 P...

...市第十一高中2015届上学期高三期中考试数学(理)(附...

吉林省长春市第十一高中2015届学期高三期中考试数学...? ? ? ? ) i3 2.复数 ( i 为虚数单位)的...? e x dx ,则下列不等式中一定成立的是( ) 1...

2018年高考数学考点通关练第五章不等式推理与证明算法...

2018高考数学考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数36合情推理与演绎推理试题文_数学_高中教育_教育专区。考点测试 36 合情推理与演绎推理 一、基础小...

吉林省长春市普通高中2015届高三质量监测(二)数学(文)...

吉林省长春市普通高中2015届高三质量监测(二)数学(...【命题意图】 本题考查复数的除法运算, 以及复平面...10. 【命题意图】本题借助基本不等式考查点到直线...

2018年高考数学考点通关练第五章不等式推理与证明算法...

2018高考数学考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数40算法初步试题理_数学_高中教育_教育专区。考点测试 40 算法初步 一、基础小题 1.给出如下图...

相关文档

更多相关标签