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新课改高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题(含答案) (1)

时间:2016-03-02


1.曲线 y ? x 3 在点 (2,8) 处的切线方程为(

) . D. y ? 2 x ? 32

A. y ? 6 x ? 12 B. y ? 12x ? 16 C. y ? 8x ? 10

2. 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象与 x 轴有三个不同交点 (0,0), ( x1 ,0) , ( x2 ,0) , 且 f ( x) 在 x ? 1 , x ? 2 时取得极值,则 x1 ? x2 的值为( A.4 4.设 y ? B.5 C.6 ) . D.不确定 )

1? x2 ,则 y ' ? ( sin x

A.

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) cos x sin 2 x

B.

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) cos x sin 2 x

C.

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) sin x
) .

D.

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) sin x

5.设 f ( x) ? ln x 2 ? 1 ,则 f ' (2) ? ( A.

4 5

B.

2 5

C.

1 5

D.

3 5
) .
?

7.函数 f ( x) ?
?

1 x ? e (sin x ? cos x) 在区间 [0, ] 的值域为( 2 2

1 1 A. [ , e 2 ] 2 2

1 1 B. ( , e 2 ) 2 2

?

?

C. [1, e ]
2

D. (1, e 2 ) )

1、(全国Ⅰ新卷理 3) 曲线 y ? A.y=2x+1
4

x 在点(-1,-1)处的切线方程为( x?2
C.y=-2x-3
2

B.y=2x-1

D.y=-2x-2

2、(江西卷文 4)若 f ( x) ? ax ? bx ? c 满足 f ?(1) ? 2 ,则 f ?(?1) ? ( ) A. ?4 B. ?2 C.2 D.4 2 3、(全国Ⅱ卷文 7)若曲线 y ? x ? ax ? b 在点 (0, b ) 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则 ( ) A. a ? 1, b ? 1 B. a ? ?1, b ? 1
2 ' 4 '

C. a ? 1, b ? ?1
3 '

D. a ? ?1, b ? ?1

4、(山东卷文 10)观察 ( x ) ? 2 x , ( x ) ? 4 x , (cos x) ? ? sin x ,由归纳推理可得: 若定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x) ,记 g ( x) 为 f ( x) 的导函数,则 g (? x) = ( ) A. f ( x) B. ? f ( x) C. g ( x) D. ? g ( x ) 8、设 y ? x ? ln x ,则此函数在区间(0,1)内为( ) A.单调递增, B、有增有减
'

C、单调递减, )

D、不确定

9、已知 f(x)= 3 x ? sin x ,则 f ?1? ? ( A .

1 +cos1 3

B.

1 sin1+cos1 3

C.

1 sin1-cos1 3

D.sin1+cos1

第 1 页

10、函数 y ? ln 2x 2 ? 1 的导数是( A.

?

?

) C.

2x ? 1 3? ) 与坐标轴围成的面积是 11、曲线 y ? cos x (0 ? x ? ( ) 2 5 A.4 B. C.3 D.2 2 13.曲线 y ? x 3 在点 (a, a 3 )(a ? 0) 处的切线与 x 轴、直线 x ? a 所围成的三角形的面积为
2

4x 2x 2 ? 1

B.

1

?

4x 2 x ? 1 ln 10
2

?

D.

?

4x 2 x ? 1 log2 e
2

?

1 ,则 a ? _________ 。 6
14.一点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的位移是 S ? 为零的时刻是_______________。
3 2 (18)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值.

1 4 3 3 t ? t ? 2t 2 ,那么速度 4 5

(1)讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f ( x) 的极大值还是极小值; (2)过点 A(0,16) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线方程.

(22) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 ax ? bx , a ? 0 。 2

(1)若 b ? 2 ,且函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围。

第 2 页

1 B (13) 、 ?1

2 C

3 A

4 B

5 B

6 C

7 A

8 B

9 B

10 A

11 C

12 B

(14) 、

t?0

(15) 、

1 ln 2 2

(16) 、

10

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) (18) (本小题满分 12 分) 解: (1) f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 3 ,依题意,

?3a ? 2b ? 3 ? 0, f ' (1) ? f ' (?1) ? 0 ,即 ? 解得 a ? 1, b ? 0 3 a ? 2 b ? 3 ? 0 . ?
∴ f ' ( x) ? x ? 3x ,∴ f ' ( x) ? 3x ? 3 ? 3( x ? 1)(x ? 1)
3 2

┅┅ (3 分)

令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ?1, x ? 1 若 x ? (??,?1) ? (1,??) ,则 f ' ( x) ? 0 故 f ( x) 在 (??,?1)和(1,??) 上是增函数;

, 1) ,则 f ' ( x) ? 0 若 x ? (?1
故 f ( x) 在 (?1,1) 上是减函数; 所以 f (?1) ? 2 是极大值, f (1) ? ?2 是极小值。 ┅┅┅┅┅┅┅┅ (2)曲线方程为 y ? x ? 3x ,点 A(0,16) 不在曲线上。
3

(6 分)

设切点为 M ( x0 , y0 ) ,则 y0 ? x0 ? 3x0 由 f ' ( x0 ) ? 3( x0 ? 1) 知,切线方程为
2

3

y ? y0 ? 3( x0 ? 1)(x ? x0 )
3

2

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
2

(9 分)

又点 A(0,16) 在切线上,有 16 ? ( x0 ? 3x0 ) ? 3( x0 ? 1)(0 ? x0 ) 化简得 x0 ? ?8 ,解得 x0 ? ?2 所以切点为 M (?2,?2) ,切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0 ┅┅┅┅┅┅ (12 分)
3

(22) (本小题满分 14 分) 解: (1) b ? 2 时,函数 h( x) ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x ,且 2

h' ( x ) ?

1 ax2 ? 2 x ? 1 ? ax ? 2 ? ? x x
(2 分)

∵函数 h( x) 存在单调递减区间,∴ h' ( x) ? 0 有解。 ┅┅┅┅

第 3 页

2 又∵ x ? 0 ,∴ ax ? 2 x ? 1 ? 0 有 x ? 0 的解。 2 ① 当 a ? 0 时, y ? ax2 ? 2 x ? 1为开口向上的抛物线, ax ? 2 x ? 1 ? 0 总有

x ? 0 的解;

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

(4 分)

2 ② 当 a ? 0 时, y ? ax2 ? 2 x ? 1为开口向下的抛物线,而 ax ? 2 x ? 1 ? 0 有

x ? 0 的解,则 ? ? 4a ? 4 ? 0 ,且方程 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一正根,此时, ?1 ? a ? 0
综上所述, a 的取值范围为 (?1,0) ? (0,??) 。 ┅┅┅┅┅┅┅ (7 分)

第 4 页


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