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高考数学公式 及有利于快速解题的常用结论全汇

时间:2010-04-10


高中数学公式及常用结论大集会
1. 元素与集合的关系 x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . 2.德摩根公式

CU ( A ? B) ? CU A ? CU B; CU ( A ? B) ? CU A ? CU B .
3.包含关系

A ? B ? A ? A ? B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A

? A ? CU B ? ? ? CU A ? B ? R
4.容斥原理

card ( A ? B) ? cardA ? cardB ? card ( A ? B) card ( A ? B ? C ) ? cardA ? cardB ? cardC ? card ( A ? B) ? card ( A ? B) ? card ( B ? C ) ? card (C ? A) ? card ( A ? B ? C ) . n n n 5. 集合 {a1 , a2 ,?, an } 的子集个数共有 2 个; 真子集有 2 –1 个; 非空子集有 2 –1
个;非空的真子集有 2 –2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ;
2
n

(2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h) ? k (a ? 0) ;
2

(3)零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) . 7.解连不等式 N ? f ( x) ? M 常有以下转化形式

N ? f ( x) ? M ? [ f ( x) ? M ][ f ( x) ? N ] ? 0 M ?N M ?N f ( x) ? N |? ?0 ? | f ( x) ? ? 2 2 M ? f ( x) 1 1 ? . ? f ( x) ? N M ? N 8.方程 f ( x) ? 0 在 (k1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 不等价,前者是后
者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有且只有一个实根在
2

(k1 , k 2 ) 内,等价于 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 ,或 f (k1 ) ? 0 且 k1 ? ?
k1 ? k 2 b ?? ? k2 . 2 2a
9.闭区间上的二次函数的最值

k ? k2 b ? 1 ,或 f (k 2 ) ? 0 且 2a 2

2 二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能在 x ? ?

b 处及区 2a

间的两端点处取得,具体如下: (1)当 a>0 时, x ? ? 若

b b ? ? p, q ?, f x) nm ? ( ? ,) (f x ) 则 ( i f 2a 2a

xmxm a a

? (f,)p )?q ( f

?;

b ? ? p, q ?, f ( x)max ?max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ?min ? f ( p), f (q)? . 2a b ? ? p, q ? , 则 f ( xm i ? m?i nf p ) , , (若 ) (2) 当 a<0 时 , 若 x ? ? ) n ( f q ? 2a x??

x??

b ? ? p, q ?,则 f ( x)max ? max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? . 2a

10.一元二次方程的实根分布 依据:若 f (m) f (n) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内至少有一个实根 . 设 f ( x) ? x2 ? px ? q ,则

? p 2 ? 4q ? 0 ? (1)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m,??) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p ; ? ?m ? ? 2 ? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? ? (2)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内有根的充要条件为 f (m) f (n) ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 ? ?m ? ? p ? n ? ? 2 ? f (m) ? 0 ? f (n) ? 0 或? 或? ; ?af (n) ? 0 ?af (m) ? 0 ? p 2 ? 4q ? 0 ? (3)方程 f ( x) ? 0 在区间 ( ??, n) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p . ? ?m ? ? 2
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 (??,??) 的子区间 L (形如 ?? , ? ? ,?? ?, ? ? ,?? ,??? 不同)上含参数 的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t )min ? 0( x ? L) . (2)在给定区间 (??,??) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立 的充要条件是 f ( x, t )man ? 0( x ? L) .

?a ? 0 ?a ? 0 ? (3) f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0 恒成立的充要条件是 ?b ? 0 或 ? 2 . b ? 4ac ? 0 ?c ? 0 ? ?
4 2

12.真值表 p q 非p p或q p且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 是 不是 至少有一个 都是 不都是 至多有一个 大于 不大于 至少有 n 个 小于 不小于 至多有 n 个 对所有 x , 存在某 x , p 或q 成立 不成立 对任何 x , 不成立 存在某 x , 成立

反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1 )个

?p 且 ?q ?p 或 ?q

p 且q

14.四种命题的相互关系 原命题 若p则q 互 互 否 否 否命题 若非p则非q 互逆 为 逆 为 逆 否 逆否命题 若非q则非p 互逆 互 互 否 逆命题 若q则p

15.充要条件 (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? x1 ? x2 (2)设函数 y ? f (x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为减函数. 17.如果函数 f (x) 和 g (x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x) ? g ( x) 也是减 函 数 ; 如 果 函 数 y ? f (u ) 和 u ? g (x) 在 其 对 应 的 定 义 域 上 都 是 减 函 数 , 则 复 合 函 数 y ? f [ g ( x)] 是增函数.

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

18.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图 象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函 数是偶函数. 19.若函数 y ? f (x) 是偶函数, f ( x ? a) ? f (? x ? a) ; 则 若函数 y ? f ( x ? a) 是偶函 数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) . 20.对于函数 y ? f (x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f (x) 的对称轴是 函数 x ?

a?b a?b ;两个函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ? 对称. 2 2 a 21. 若 f ( x) ? ? f (? x ? a) , 则 函 数 y ? f (x) 的 图 象 关 于 点 ( ,0) 对 称 ; 若 2 f ( x) ? ? f ( x ? a) ,则函数 y ? f (x) 为周期为 2 a 的周期函数.
22.多项式函数 P( x) ? an xn ? an?1xn?1 ? ?? a0 的奇偶性 多项式函数 P ( x) 是奇函数 ? P ( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x) 是偶函数 ? P ( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x )

? f (2a ? x) ? f ( x) .

(2)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

? f (a ? b ? mx) ? f (mx) .

a?b 对称 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx ) 2

24.两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ?

a?b 对称. 2m

(3)函数 y ? f (x) 和 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y=x 对称. 25.若将函数 y ? f (x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图 象;若将曲线 f ( x, y) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图 象. 26.互为反函数的两个函数的关系

f (a) ? b ? f ?1 (b) ? a .
27. 若 函 数 y ? f (kx ? b) 存 在 反 函 数 , 则 其 反 函 数 为 y ?

1 [f k

?1

( x ) ? b] , 并 不 是

y ? [ f ?1 (kx ? b) ,而函数 y ? [ f ?1 (kx ? b) 是 y ?

1 [ f ( x ) ? b] 的反函数. k

28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x) ? cx , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c . (2)指数函数 f ( x) ? a x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0 . (3)对数函数 f ( x) ? loga x , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) . (4)幂函数 f ( x) ? x? , f ( xy) ? f ( x) f ( y), f ' (1) ? ? . (5)余弦函数 f ( x) ? cos x ,正弦函数 g ( x) ? sin x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? g ( x) g ( y) ,

f (0) ? 1, lim
x ?0

g ( x) ?1. x

29.几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f (x) 的周期 T=a; (2) f ( x) ? f ( x ? a) ? 0 ,

1 ( f ( x) ? 0) , f ( x) 1 或 f ( x ? a) ? ? ( f ( x) ? 0) , f ( x) 1 2 或 ? f ( x) ? f ( x) ? f ( x ? a ), ( f ( x) ? ? 0,1?) ,则 f (x) 的周期 T=2a; 2 1 ( f ( x) ? 0) ,则 f (x) 的周期 T=3a; (3) f ( x) ? 1 ? f ( x ? a) f ( x1 ) ? f ( x2 ) (4) f ( x1 ? x2 ) ? 且 f (a) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1,0 ?| x1 ? x2 |? 2a) , 则 1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) f (x) 的周期 T=4a; (5) f ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) ? f ( x ? 4a) ? f ( x) f ( x ? a) f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) f ( x ? 4a) ,则 f (x) 的周期 T=5a; (6) f ( x ? a) ? f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f (x) 的周期 T=6a.
或 f ( x ? a) ? 30.分数指数幂

(1) a (2) a

m n

?
?

1
n

?

m n

a 1

m

( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ). ( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

a

m n

31.根式的性质 (1) ( n a )n ? a . (2)当 n 为奇数时, n an ? a ; 当 n 为偶数时, n a n ?| a |? ? 32.有理指数幂的运算性质

? a, a ? 0 . ? ? a, a ? 0

ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) . (2) (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? Q) . (3) (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? Q) .
(1) 注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性 质,对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式
p

loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .
34.对数的换底公式

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a n n 推论 log a m b ? log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1 , n ? 1 , N ? 0 ). m log a N ?
35.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ;

M ? log a M ? log a N ; N (3) loga M n ? n loga M (n ? R) .
(2) log a 36.设函数 f ( x) ? logm (ax2 ? bx ? c)(a ? 0) ,记 ? ? b ? 4ac .若 f (x) 的定义域为
2

R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 ;若 f (x) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情形,需要
单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广



1 ,则函数 y ? logax (bx) a 1 1 (1)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? logax (bx) 为增函数. a a 1 1 (2)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? logax (bx) 为减函数. a a
若a ? 0,b ? 0, x ? 0 , x ? 推论:设 n ? m ? 1, p ? 0 , a ? 0 ,且 a ? 1 ,则 (1) logm? p (n ? p) ? logm n .

(2) log a m log a n ? log a

2

m?n . 2

38. 平均增长率的问题 如 果 原来 产值 的基 础数为 N ,平 均增 长率 为 p ,则 对 于时 间 x 的 总产 值 y ,有

y ? N(1? p)x .
39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系

n ?1 ?s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ). an ? ? ?sn ? sn?1 , n ? 2
40.等差数列的通项公式

an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;
其前 n 项和公式为

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 d 1 ? n 2 ? (a1 ? d )n . 2 2 sn ?
41.等比数列的通项公式

an ? a1q n ?1 ?

a1 n ? q (n ? N * ) ; q

其前 n 项的和公式为

? a1 (1 ? q n ) ,q ?1 ? sn ? ? 1 ? q ? na , q ? 1 ? 1

? a1 ? an q ,q ?1 ? 或 sn ? ? 1 ? q . ?na , q ? 1 ? 1

42.等比差数列 ?an ? : an?1 ? qan ? d , a1 ? b(q ? 0) 的通项公式为

?b ? (n ? 1)d , q ? 1 ? an ? ? bq n ? (d ? b)q n ?1 ? d ; ,q ?1 ? q ?1 ?
其前 n 项和公式为

?nb ? n(n ? 1)d , (q ? 1) ? sn ? ? . d 1 ? qn d (b ? ) ? n, (q ? 1) ? 1 ? q q ?1 1 ? q ?
43.分期付款(按揭贷款)

ab(1 ? b) n 每次还款 x ? 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ). (1 ? b) n ? 1
44.常见三角不等式 (1)若 x ? (0,

?

2

) ,则 sin x ? x ? tan x .

(2) 若 x ? (0,

) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 . 2 (3) | sin x | ? | cos x |? 1 .
45.同角三角函数的基本关系式

?

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , tan ? =
46.正弦、余弦的诱导公式

sin ? , tan ? ? cot? ? 1 . cos ?
(n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数)

n ? (?1) 2 sin ? , n? ? sin( ? ? ) ? ? n ?1 2 ?(?1) 2 co s ? , ?
n ? 2 ( ? 1 ) co ? , s n? ? co s ( ? ? )? ? n ?1 2 ?( ? 1 )2 s i n , ? ?

47.和角与差角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? . 1 ? tan ? tan ? sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式);

cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? .
a sin ? ? b cos ? = b 定, tan ? ? ). a
48.二倍角公式

a 2 ? b2 sin(? ? ? ) ( 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 (a, b) 的 象 限 决

sin 2? ? sin ? cos ? . cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? . 2 tan ? tan 2? ? . 1 ? tan 2 ?
49. 三倍角公式

sin 3? ? 3sin ? ? 4sin 3 ? ? 4sin ? sin( ? ? ) sin( ? ? ) . 3 3 cos 3? ? 4 cos3 ? ? 3cos ? ? 4 cos ? cos( ? ? ) cos( ? ? ) 3 3

?

?

?

?

.

tan 3? ?

3tan ? ? tan 3 ? ? ? ? tan ? tan( ? ? ) tan( ? ? ) . 2 1 ? 3tan ? 3 3

50.三角函数的周期公式 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数,且 A≠0, ω >0)的周期 T ?

2?

?

;函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ?

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A

≠0,ω >0)的周期 T ?

? . ?

51.正弦定理

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C
52.余弦定理

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ; b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ; c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C .
53.面积定理

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 ??? ??? 2 ??? ??? 2 ? ? ? ? 1 (| OA | ? | OB |) ? (OA ? OB ) . (3) S ?OAB ? 2
(1) S ? 54.三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B)

?

C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2

55. 简单的三角方程的通解

sin x ? a ? x ? k? ? (?1)k arcsin a(k ? Z ,| a |? 1) . co s x ? a ? x ? 2k? ? arccos a(k ? Z ,| a |? 1) . tan x ? a ? x ? k? ? arctan a(k ? Z , a ? R) .
特别地,有

sin ? ? sin ? ? ? ? k? ? (?1)k ? (k ? Z ) . co s ? ? cos ? ? ? ? 2k? ? ? (k ? Z ) . tan ? ? tan ? ? ? ? k? ? ? (k ? Z ) .
56.最简单的三角不等式及其解集

sin x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arcsin a, 2k? ? ? ? arcsin a), k ? Z . sin x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? ? ? arcsin a, 2k? ? arcsin a), k ? Z . cos x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a, 2k? ? arccos a), k ? Z . cos x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a, 2k? ? 2? ? arccos a), k ? Z .
tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ? arctan a, k? ? ), k ? Z . 2 tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ?

?

?

2

, k? ? arctan a), k ? Z .

57.实数与向量的积的运算律 设λ 、μ 为实数,那么 (1) 结合律:λ (μ a)=(λ μ )a; (2)第一分配律:(λ +μ )a=λ a+μ a; (3)第二分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 58.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b·a (交换律); (2)( ? a) ·b= ? (a·b)= ? a·b= a· ? b); ( (3)(a+b) ·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且

只有一对实数λ 1、λ 2,使得 a=λ 1e1+λ 2e2. 不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 60.向量平行的坐标表示 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 a ? b(b ? 0) ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . 53. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ . 61. a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积. 62.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a+b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . (4)设 a= ( x, y ), ? ? R ,则 ? a= (? x, ? y ) . (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a·b= ( x1 x2 ? y1 y2 ) . 63.两向量的夹角公式

??? ??? ??? ? ? ?

cos? ?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

(a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ).

64.平面两点间的距离公式

??? ? ??? ??? ? ? d A, B = | AB |? AB ? AB

? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
65.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 A||b ? b=λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 66.线段的定比分公式 设 P ( x1 , y1 ) , P ( x2 , y2 ) , P ( x, y ) 是线段 PP 的分点, ? 是实数,且 PP ? ? PP ,则 1 2 1 2 1 2

??? ?

????

x1 ? ? x2 ? ???? ???? ?x ? 1? ? ??? OP ? ? OP ? ? 2 ? OP ? 1 ? y1 ? ? y2 1? ? ?y ? ? 1? ? ? ??? ??? ? ? ???? 1 ). ? OP ? tOP ? (1? t )OP ( t ? 1 2 1? ?
67.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ),则△ABC 的重心的坐 标是 G (

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3

68.点的平移公式

???? ??? ???? ? ? x' ? x ? h ? x ? x' ? h ? ? ?? ? OP' ? OP ? PP' . ? ' ' ?y ? y ? k ?y ? y ? k ? ?
'

注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F 上的对应点为 P ( x , y ) ,且 PP 的 坐标为 ( h, k ) . 69.“按向量平移”的几个结论

'

'

'

????
'

(1)点 P ( x, y ) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到点 P' ( x ? h, y ? k ) . (2) 函数 y ? f ( x) 的图象 C 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的函数解析式
' '

为 y ? f ( x ? h) ? k . (3) 图象 C 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 y ? f ( x) ,则 C 的函数
' '

解析式为 y ? f ( x ? h) ? k .
' ' (4) 曲 线 C : f ( x, y) ? 0 按 向 量 a= ( h, k ) 平 移 后 得 到 图 象 C , 则 C 的 方 程 为

f ( x ? h, y ? k ) ? 0 . (5) 向量 m= ( x, y ) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到的向量仍然为 m= ( x, y ) .
70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则

??? 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . ??? ? ??? ? ??? ? ? (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . ??? ? ??? ? ??? ? (5) O 为 ?ABC 的 ? A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC .
(1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC . 71.常用不等式:
2 2

(1) a, b ? R ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 (3) a3 ? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0).
(2) a, b ? R ? ? (4)柯西不等式

(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 , a, b, c, d ? R.
(5) a ? b ? a ? b ? a ? b . 72.极值定理 已知 x, y 都是正数,则有 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值

1 2 s . 4

推广 已知 x, y ? R ,则有 ( x ? y) 2 ? ( x ? y) 2 ? 2 xy (1)若积 xy 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | x ? y | 最大; 当 | x ? y | 最小时, | x ? y | 最小. (2)若和 | x ? y | 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | xy | 最小; 当 | x ? y | 最小时, | xy | 最大. 73. 一 元 二 次 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b ? 4ac ? 0) , 如 果 a 与
2 2

ax 2 ? bx ? c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax 2 ? bx ? c 异号,则其解集在两根之
间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.

x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ; x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) .
74.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有

x ? a ? x 2 ? a ? ?a ? x ? a .
2

x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a .
75.无理不等式 (1)

(2)

(3)

? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? . f ( x ) ? g ( x ) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ?

76.指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时,

a f ( x) ? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ; ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ? (2)当 0 ? a ? 1 时, a f ( x) ? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ; ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?
77.斜率公式

k?

y2 ? y1 ( P ( x1 , y1 ) 、 P ( x2 , y2 ) ). 1 2 x2 ? x1

78.直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). 1 (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ( x1 , y1 ) 、 P ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). ? 1 2 y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) (4)截距式 a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(3)两点式 79.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . ① l1 || l2 ? (2)若 l1 : A x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, 1

A1 B1 C1 ; ? ? A2 B2 C2

② l1 ? l2 ? A A2 ? B1B2 ? 0 ; 1 80.夹角公式

k2 ? k1 |. 1 ? k2 k1 ( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) A B ? A2 B1 (2) tan ? ?| 1 2 |. A1 A2 ? B1B2 ( l1 : A x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A A2 ? B1B2 ? 0 ). 1 1 ? 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 . 2 81. l1 到 l2 的角公式 k ? k1 (1) tan ? ? 2 . 1 ? k2 k1 ( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) A B ? A2 B1 (2) tan ? ? 1 2 . A1 A2 ? B1B2 ( l1 : A x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A A2 ? B1B2 ? 0 ). 1 1 ? 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 到 l2 的角是 . 2
(1) tan ? ?| 82.四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程:经过定点 P ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (除直线 0

x ? x0 ), 其 中 k 是 待 定 的 系 数 ; 经 过 定 点 P ( x0 , y0 ) 的 直 线 系 方 程 为 0 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ,其中 A, B 是待定的系数. (2)共点直线系方程: 经过两直线 l1 : A x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 的交点 1 的直线系方程为 ( A x ? B1 y ? C1 ) ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除 l2 ),其中λ 是待定的系数. 1 (3)平行直线系方程:直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线 系方程.与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程是 Ax ? By ? ? ? 0 ( ? ? 0 ),λ 是
参变量. (4)垂直直线系方程:与直线 Ax ? By ? C ? 0 (A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是

Bx ? Ay ? ? ? 0 ,λ 是参变量.
83.点到直线的距离 (点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ). A2 ? B 2 84. Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: 若 B ? 0 , B 与 Ax ? By ? C 同号时, 当 表示直线 l 的上方的区域; B 与 Ax ? By ? C 当 异号时,表示直线 l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若 B ? 0 , A 与 Ax ? By ? C 同号时, 当 表示直线 l 的右方的区域; A 与 Ax ? By ? C 当 异号时,表示直线 l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. ( A x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 1 设曲线 C : ( A x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 ( A A2 B1B2 ? 0 ) ,则 1 1

d?

| Ax0 ? By0 ? C |

( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是:

( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分; ( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分.
86. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . (2)圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).
2 2

? x ? a ? r cos? . ? y ? b ? r sin ? ( 4 ) 圆 的 直 径 式 方 程 ( x ? x )( x ? x ) ? ( y ? y )( y? y )? 0 圆 的 直 径 的 端 点 是 ( 1 2 1 2 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ).
(3)圆的参数方程 ? 87. 圆系方程 (1)过点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 的圆系方程是

( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?[( x ? x1 )( y1 ? y2 ) ? ( y ? y1 )( x1 ? x2 )] ? 0 ? ? ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?(ax ? by ? c) ? 0 , 其 中 a x? b y c 0 是 直 线
AB 的方程,λ 是待定的系数. (2)过直线 l : Ax ? By ? C ? 0 与圆 C : x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的交点的圆系方程
是 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C ) ? 0 ,λ 是待定的系数. (3) 过圆 C1 : x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F ? 0 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的交 1 点的圆系方程是 x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F ? ? ( x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 ,λ 是待定的 1 系数. 88.点与圆的位置关系 点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种 若d ?

(a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内.

89.直线与圆的位置关系
2 2 2 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
其中 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

.

90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线.
91.圆的切线方程 (1)已知圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 .
2 2

①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是

D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0. 2 2 D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0 表示过两个切点 当 ( x0 , y0 ) 圆外时, x0 x ? y0 y ? 2 2 x0 x ? y0 y ?
的切点弦方程. ②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必 有两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线. (2)已知圆 x2 ? y 2 ? r 2 . ①过圆上的 P ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2 ; 0 ②斜率为 k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1 ? k 2 . 92.椭圆 93.椭圆

? x ? a cos? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? . 2 a b ? y ? b sin ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式 a 2 b2 a2 a2 PF1 ? e( x ? ) , PF2 ? e( ? x) . c c
2 2 x0 y0 ? 2 ?1. a2 b 2 2 x0 y0 ? 2 ?1. a2 b

94.椭圆的的内外部

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? a 2 b2 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? a b
(1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 95. 椭圆的切线方程 (1)椭圆

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b 2 2 x y (2)过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 ( 3 ) 椭 圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 相 切 的 条 件 是 a b 2 2 2 2 2 A a ?B b ?c . x2 y 2 96.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦半径公式 a b a2 a2 PF1 ?| e( x ? ) | , PF2 ?| e( ? x) | . c c
97.双曲线的内外部

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 ? a 2 b2 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? a b
(1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

2 2 x0 y0 ? 2 ?1. a2 b 2 2 x0 y0 ? ?1 . a 2 b2

x2 y2 x2 y 2 b ? 2 ? 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x . 2 a a b a b 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x a b a b 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上).
(1)若双曲线方程为 99. 双曲线的切线方程

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b 2 2 x y (2)过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 ? ? ( 3 ) 双 曲 线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与 直 线 A x? B y C0 相 切 的 条 件 是 a b A2 a 2 ? B2b2 ? c2 . 100. 抛物线 y 2 ? 2 px 的焦半径公式 p 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ? . 2 p p 过焦点弦长 CD ? x1 ? ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2 2 y 101.抛物线 y 2 ? 2 px 上的动点可设为 P ( ? , y? ) 或 P(2 pt 2 ,2 pt)或 P ( x? , y? ) ,其中 2p 2 y? ? 2 px? .
(1)双曲线

b 2 4ac ? b2 ) ? (a ? 0) 的图象是抛物线: (1)顶 2a 4a b 4ac ? b2 b 4ac ? b 2 ? 1 , ); , ); 点坐标为 (? (2)焦点的坐标为 (? (3)准线方程是 2a 4a 2a 4a 4ac ? b 2 ? 1 y? . 4a
102.二次函数 y ? ax ? bx ? c ? a( x ?
2

103.抛物线的内外部 (1)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的内部 ? y 2 ? 2 px( p ? 0) . 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的外部 ? y ? 2 px( p ? 0) .
2 2

(2)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? ?2 px( p ? 0) 的内部 ? y ? ?2 px( p ? 0) .
2 2

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? ?2 px( p ? 0) 的外部 ? y ? ?2 px( p ? 0) .
2 2

(3)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x ? 2 py( p ? 0) .
2 2

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的外部 ? x ? 2 py( p ? 0) .
2 2

(4) 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x ? 2 py( p ? 0) .
2 2

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? ?2 py( p ? 0) 的外部 ? x ? ?2 py( p ? 0) .
2 2

104. 抛物线的切线方程

(1)抛物线 y 2 ? 2 px 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) . (2) 过抛物线 y 2 ? 2 px 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) . (3)抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 pB2 ? 2 AC . 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 f1 ( x, y) ? 0 , f 2 ( x, y) ? 0 的交点的曲线系方程是

f1 ( x, y) ? ? f 2 ( x, y) ? 0 ( ? 为参数).
x2 y2 ? 2 ? 1 , 其 中 k ? max{a 2 , b2 } . 当 a2 ? k b ? k k ? min{a2 , b2 } 时,表示椭圆; 当 min{a2 , b2} ? k ? max{a2 , b2} 时,表示双曲线.
(2) 共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程 106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 或

AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ? ( 弦 端 点
A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 由方程 ?

?y ? kx ? b 2 消去 y 得到 ax ? bx ? c ? 0 ,? ? 0 , ? 为直线 ?F( x, y) ? 0

AB 的倾斜角, k 为直线的斜率).
107.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y) ? 0 关于点 P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y) ? 0 . (2)曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的曲线是

F (x ?

2 A( Ax ? By ? C ) 2 B( Ax ? By ? C ) ,y? ) ?0. 2 2 A ?B A2 ? B 2
2

108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , x0 x 代 x , y0 y 代 y 2 , 用 用 用

x0 y ? xy0 x ?x y ?y 代 xy ,用 0 代 x ,用 0 代 y 即得方程 2 2 2 x y ? xy0 x ?x y ?y Ax0 x ? B ? 0 ? Cy0 y ? D ? 0 ?E? 0 ? F ? 0 ,曲线的切线,切点弦,中点 2 2 2

弦,弦中点方程均是此方程得到. 109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 111.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 112.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直;

(4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a. (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (3)数乘分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和, 等于以这三个向量为棱的平行六面体的 以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ 使 a=λ b.

??? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? P、A、B 三点共线 ? AP || AB ? AP ? t AB ? OP ? (1 ? t )OA ? tOB . ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? AB || CD ? AB 、 CD 共线且 AB、CD 不共线 ? AB ? tCD 且 AB、CD 不共线.

118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 ? 存在实数对 x , y ,使 p ? ax ? by .

推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 ? 存在有序实数对 x , y ,使 MP ? xMA ? yMB , 或对空间任一定点 O,有序实数对 x , y ,使 OP ? OM ? xMA ? yMB .

????

??? ?

????

??? ?

???? ?

????

????

119. 对 空 间 任 一 点 O 和 不 共 线 的 三 点 A 、 B 、 C , 满 足 OP ? xOA ? yOB ? zOC

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

(x? y?z ?k) ,则当 k ? 1 时,对于空间任一点 O ,总有 P、A、B、C 四点共面;当 k ? 1 时,若 O ? 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点共面;若 O ? 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点不共 面.

???? ??? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? A、B、 、D 四点共面 ? AD 与 AB 、 AC 共面 ? AD ? xAB ? yAC ? C ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OD ? (1 ? x ? y)OA ? xOB ? yOC ( O ? 平面 ABC).

120.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组 x, y,z,使 p=xa+yb+zc. 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的三个有序实 数 x,y,z,使 OP ? xOA ? yOB ? zOC . 121.射影公式 已知向量 AB =a 和轴 l ,e 是 l 上与 l 同方向的单位向量.作 A 点在 l 上的射影 A ,作 B 点在 l 上的射影 B ,则
'

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

'

??? ? A' B' ?| AB | cos 〈a,e〉=a·e

122.向量的直角坐标运算 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) 则 (1)a+b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (2)a-b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (3)λ a= (?a1 , ?a2 , ?a3 ) (λ ∈R);

(4)a·b= a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ; 123.设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 124.空间的线线平行或垂直 设 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则

??? ??? ??? ? ? ? AB ? OB ? OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) .

r

r

? x1 ? ? x2 r r r r r r ? a Pb ? a ? ?b(b ? 0) ? ? y1 ? ? y2 ; ?z ? ? z 2 ? 1 r r r r a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2 ? 0 .
125.夹角公式 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 cos〈a,b〉=

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 2 a12 ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32

.

2 2 2 2 2 推论 (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 ? (a1 ? a2 ? a3 )(b12 ? b2 ? b3 ) ,此即三维柯西不等式.

126. 四面体的对棱所成的角 四面体 ABCD 中, AC 与 BD 所成的角为 ? ,则

cos ? ?

| ( AB 2 ? CD 2 ) ? ( BC 2 ? DA2 ) | . 2 AC ? BD

127.异面直线所成角

r r cos ? ?| cos a, b | r r | x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 | | a ?b | r ? = r 2 | a |?| b | x1 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2
o o

b b (其中 ? ( 0 ? ? ? 90 )为异面直线 a, 所成角, a, b 分别表示异面直线 a, 的方向向量)

r r

??? ?? ? AB ? m ?? ? ? ? arc sin ??? ?? ( m 为平面 ? 的法向量). | AB || m | 129.若 ?ABC 所在平面若 ? 与过若 AB 的平面 ? 成的角 ? ,另两边 AC , BC 与平面 ? 成的角分别是 ?1 、 ?2 , A、B 为 ?ABC 的两个内角,则

128.直线 AB 与平面所成角

sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? (sin2 A ? sin2 B)sin2 ? .
特别地,当 ?ACB ? 90 时,有
?

sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ? . 130.若 ?ABC 所在平面若 ? 与过若 AB 的平面 ? 成的角 ? ,另两边 AC , BC 与平面 ? ' ' 成的角分别是 ?1 、 ?2 , A 、B 为 ?ABO 的两个内角,则 tan2 ?1 ? tan2 ?2 ? (sin2 A' ? sin2 B' ) tan2 ? .
特别地,当 ?AOB ? 90 时,有
?

sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ? . 131.二面角 ? ? l ? ? 的平面角

?? ? ?? ? ?? ? m?n m?n ? ? arc cos ?? ? 或 ? ? arc cos ?? ? ( m , n 为平面 ? , ? 的法向量). | m || n | | m || n |
132.三余弦定理 设 AC 是α 内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO 与 AB 所成的角为 ? 1 ,AB 与 AC 所成的角为 ? 2 ,AO 与 AC 所成的角为 ? .则 cos? ? cos?1 cos? 2 . 133. 三射线定理 若夹在平面角为 ? 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 ? 1 , ? 2 ,与二面 角的棱所成的角是θ ,则有 sin2 ? sin2 ? ? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? 2sin?1 sin? 2 cos? ;

| ?1 ??2 |? ? ? 180? ? (?1 ??2 ) (当且仅当 ? ? 90? 时等号成立).
??? ? ??? ??? ? ? d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 . 135.点 Q 到直线 l 距离 ??? ? 1 h? (| a || b |)2 ? (a ? b)2 ( 点 P 在 直 线 l 上 , 直 线 l 的 方 向 向 量 a= PA , 向 量 |a| ??? ? b= PQ ).
136.异面直线间的距离 134.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

??? ?? ? ? ? | CD ? n | ? ( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n ,C、D 分别是 l1 , l2 上任一点,d 为 d? |n|

l1 , l2 间的距离).

137.点 B 到平面 ? 的距离

??? ?? ? ? | AB ? n | ? ? ( n 为平面 ? 的法向量, AB 是经过面 ? 的一条斜线, A ? ? ). d? |n|

138.异面直线上两点距离公式

d ? h2 ? m2 ? n2 ? 2mn cos? . ???? ??? ? d ? h 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos EA' , AF .
d ? h 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos ? ( ? ? E ? AA' ? F ).
(两条异面直线 a、b 所成的角为θ ,其公垂线段 AA 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两
' 点 E、F, A E ? m , AF ? n , EF ? d ). 139.三个向量和的平方公式
'

? ? ? ? 2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? (a ? b ? c) 2 ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2b ? c ? 2c ? a ? 2 ? 2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? 2 | a | ? | b | cos a, b ? 2 | b | ? | c | cos b, c ? 2 | c | ? | a | cos c, a

140. 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、l2、l3 ,夹角分 别为 ?1、? 2、?3 ,则有
2 l 2 ? l12 ? l2 ? l32 ? cos2 ?1 ? cos2 ?2 ? cos2 ?3 ? 1 ? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ?3 ? 2 .

(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 141. 面积射影定理

S?

S' . cos?

(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ,它们所在平面所成锐二面角的为 ? ). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 S斜棱柱侧 和 V斜棱柱 ,它的直截面的周长和
'

面积分别是 c1 和 S1 ,则 ① S斜棱柱侧 ? c1l . ② V斜棱柱 ? S1l . 143.作截面的依据 三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行. 144.棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截, 那么所得的截面与底面相似, 截面面积与底面面积 的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比 (对应角相等, 对应边对应成比例的多边形是相 似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方) ;相应小棱锥与小棱锥的侧面积的 比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比. 145.欧拉定理(欧拉公式) V ? F ? E ? 2 (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F). (1) E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 n 的多边形,则面数 F 与棱数 E 的关系: E ?

1 nF ; 2 1 mV . 2

(2)若每个顶点引出的棱数为 m ,则顶点数 V 与棱数 E 的关系: E ? 146.球的半径是 R,则

4 ? R3 , 3 2 其表面积 S ? 4? R .
其体积 V ? 147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线 长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 148.柱体、锥体的体积

6 6 a ,外接球的半径为 a. 12 4

1 V柱体 ? Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). 3 1 V锥体 ? Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 3
149.分类计数原理(加法原理) N ? m1 ? m2 ? ? ? mn . 150.分步计数原理(乘法原理) N ? m1 ? m2 ??? mn . 151.排列数公式
m An = n(n ? 1)?(n ? m ? 1) =

n! * .( n , m ∈N ,且 m ? n ). (n ? m)!

注:规定 0! ? 1 .

152.排列恒等式
m m (1) An ? (n ? m ? 1) An ?1 ;

n m An ?1 ; n?m m m (3) An ? nAn??1 ; 1
(2) An ?
m

n n?1 n (4) nAn ? An?1 ? An ; m m m (5) An?1 ? An ? mAn ?1 .

(6) 1!? 2 ? 2!? 3 ? 3!? ? ? n ? n! ? (n ? 1)!? 1 . 153.组合数公式
m Cn =

Anm n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! * = = ( n ∈N , m ? N ,且 m ? n ). m 1? 2 ? ? ? m m!(n ? m)! ? Am

154.组合数的两个性质
m n (1) C n = C n ?m ; m m m (2) C n + Cn ?1 = Cn?1 . 0 注:规定 Cn ? 1 .

155.组合恒等式

n ? m ? 1 m ?1 Cn ; m n m m Cn ?1 ; (2) Cn ? n?m n m?1 m (3) Cn ? Cn ?1 ; m
(1) Cn ?
m

(4)

?C
r ?0 r r

n

r n

=2 ;

n

r r ?1 (5) C ? Crr?1 ? Crr?2 ? ? ? Cn ? Cn?1 . 0 1 2 r n (6) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? 2 n . 1 3 5 0 2 4 (7) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ?2 n?1 . 1 2 3 n (8) Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ? n2 n?1 . r 0 r 1 0 r r (9) CmCn ? Cm?1Cn ? ? ? Cmr Cn ? Cm?n . 0 1 2 n n (10) (Cn ) 2 ? (Cn ) 2 ? (Cn ) 2 ? ? ? (Cn ) 2 ? C2n .

156.排列数与组合数的关系
m An ? m ? Cn . ! m

157.单条件排列 以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列. (1) “在位”与“不在位” ①某(特)元必在某位有 An?1 种;②某(特)元不在某位有 An ? An ?1 (补集思想)
m
m?1

m ?1

1 m m 1 m ? An ?1 An ??1 (着眼位置) ? An ?1 ? Am?1 An ??1 (着眼元素)种. 1 1

(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻)

k m ①定位紧贴: k (k ? m ? n) 个元在固定位的排列有 Ak An ?? k 种. k n ? k ?1 k ②浮动紧贴: n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 An ? k ?1 Ak 种.注:此类问题

常用捆绑法; ③插空:两组元素分别有 k、h 个( k ? h ? 1 ) ,把它们合在一起来作全排列,k 个的一
h k 组互不能挨近的所有排列数有 Ah Ah ?1 种.

(3)两组元素各相同的插空 m 个大球 n 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法?
n Am?1 n 当 n ? m ? 1 时,无解;当 n ? m ? 1 时,有 n ? C m ?1 种排法. An

n (4) 两组相同元素的排列: 两组元素有 m 个和 n 个, 各组元素分别相同的排列数为 Cm ? n .

158.分配问题 (1)(平均分组有归属问题)将相异的 m 、 n 个物件等分给 m 个人,各得 n 件,其分配 方法数共有 N ? C mn ? C mn ?n ? C mn ?2 n ? ? ? C 2 n ? C n ?
n n n n n

(m n)! . (n!) m

(2)(平均分组无归属问题)将相异的 m · n 个物体等分为无记号或无顺序的 m 堆,其 分配方法数共有
n n n n n Cmn ? Cmn ? n ? Cmn ? 2n ...? C2n ? Cn (mn)! . N? ? m! m!(n!)m (3)(非平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +?+n m ) 个物体分给 m 个人,物件 必须被分完,分别得到 n1 , n2 ,?, nm 件,且 n1 , n2 ,?, nm 这 m 个数彼此不相等,则
n n n 其分配方法数共有 N ? C p1 ? C p 2 n ...Cn m ? m!? ? 1 m

p!m! . n1!n2!...nm!

(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +?+n m ) 个物体分给 m 个人, 物件必须被分完,分别得到 n1 , n2 ,?, nm 件,且 n1 , n2 ,?, nm 这 m 个数中分别有 a、 b、c、?个相等,则其分配方法数有 N ?

p !m ! . a!b!c!... n1 !n2 !...nm !(a !b !c !...) (5)(非平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 + +nm ) 个物体分为任意的 n1 , ? ?

nm n n C p1 ? C p 2? n1 ...Cnm ? m!

n2 ,?, nm 件无记号的 m 堆,且 n1 , n2 ,?, nm 这 m 个数彼此不相等,则其分配方法数 p! 有N ? . n1!n2!...nm! (6) (非完全平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +?+n m ) 个物体分为任意的 n1 , n2 ,?, nm 件无记号的 m 堆,且 n1 , n2 ,?, nm 这 m 个数中分别有 a、b、c、?个相等, p! 则其分配方法数有 N ? . n1!n2!...nm!(a!b!c!...) (7) (限定分组有归属问题)将相异的 p( p ? n1 +n2 +?+nm ) 个物体分给甲、 丙, 乙、 ?? 等 m 个人,物体必须被分完,如果指定甲得 n1 件,乙得 n2 件,丙得 n3 件,?时,则无论 n1 , n2 ,?, nm 等 m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
nm n n N ? C p1 ? C p 2? n1 ...Cnm ?

p! . n1!n2!...nm!

159. “错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题:信 n 封信与 n 个信封全部错位的组合数为

1 1 1 1 ? ? ? ? ? (?1) n ] . 2! 3! 4! n! 推广: n 个元素与 n 个位置,其中至少有 m 个元素错位的不同组合总数为 f (n) ? n ![
1 2 3 4 f (n, m) ? n !? Cm ( n ? 1)!? Cm ( n ? 2)!? Cm ( n ? 3)!? Cm ( n ? 4)! p m ? ? ? (?1) p Cm ( n ? p )!? ? ? (?1) m Cm ( n ? m)!

? n![1 ?

1 2 3 4 Cm Cm Cm Cm Cp Cm ? 2 ? 2 ? 4 ? ? ? (?1) p m ? ? ? (?1)m m ] . 1 m An An An An Anp An

160.不定方程 x1 +x2 +?+xn ? m 的解的个数
n? (1)方程 x1 +x2 +?+xn ? m ( n, m ? N ? )的正整数解有 Cm?11 个.

(2) 方程 x1 +x2 +?+xn ? m ( n, m ? N ? )的非负整数解有 Cn?m?1 个. (3) 方程 x1 +x2 +? +xn ? m( n, m ? N ? )满足条件 xi ? k ( k ? N , 2 ? i ? n ? 1 ) 的非负整数解有 Cm?1 ?( n?2)( k ?1) 个. (4) 方程 x1 +x2 +? +xn ? m( n, m ? N ? )满足条件 xi ? k ( k ? N , 2 ? i ? n ? 1 )
n ?1 1 n ?1 2 n ?1 n?2 n ? 2 n ?1 的正整数解有 C n?m?1 ? C n?2 C m?n?k ?2 ? C n?2 C m?n?2 k ?3 ? ? ? (?1) C n?2 C m?1?( n?2 ) k 个.

n ?1

?

n?1

?

161.二项式定理
0 1 2 r n (a ? b) n ? Cn a n ? Cn a n?1b ? Cn a n?2b 2 ? ? ? Cn a n?r b r ? ? ? Cn b n ;

二项展开式的通项公式
r 1, Tr ?1 ? Cn a n?r b r (r ? 0,2?,n) .

162.等可能性事件的概率

P ( A) ?

m . n

163.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B). 164. n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An). 165.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An). 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率
k Pn (k ) ? Cn Pk (1 ? P)n?k .

168.离散型随机变量的分布列的两个性质 (1) P ? 0(i ? 1, 2,?) ; i (2) P ? P ? ? ? 1. 1 2 169.数学期望

E? ? x1P ? x2 P2 ? ? ? xn Pn ? ? 1
170.数学期望的性质 (1) E (a? ? b) ? aE (? ) ? b . (2)若 ? ~ B(n, p) ,则 E? ? np .

(3) 若 ? 服从几何分布,且 P(? ? k ) ? g (k , p) ? q k ?1 p ,则 E? ? 171.方差

1 . p

D? ? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p2 ? ? ? ? xn ? E? ? ? pn ? ?
2 2 2

172.标准差

?? = D? .
173.方差的性质 (1) D ? a? ? b? ? a2 D? ; (2)若 ? ~ B(n, p) ,则 D? ? np(1 ? p) .
(3) 若 ? 服从几何分布,且 P(?

? k ) ? g (k , p) ? qk ?1 p ,则 D? ?

q . p2

174.方差与期望的关系

D? ? E? 2 ? ? E? ? .
2

175.正态分布密度函数

f ? x? ?

? 1 e 2? 6

? x ? ? ?2
262

, x ? ? ??, ?? ? ,式中的实数μ , ? ( ? >0)是参数,分别表

示个体的平均数与标准差. 176.标准正态分布密度函数
x ? 1 f ? x? ? e 2 , x ? ? ??, ?? ? . 2? 6 2 177.对于 N (?, ? ) ,取值小于 x 的概率 ? x?? ? F ? x? ? ? ? ?. ? ? ? P?x1 ? x0 ? x2 ? ? P?x ? x2 ? ? P?x ? x1 ?
2

? F ? x2 ? ? F ? x1 ?

? x ?? ? ? x1 ? ? ? ? ?? 2 ? ??? ?. ? ? ? ? ? ?
178.回归直线方程
n n ? ? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? xi yi ? nx y ? ?b ? i ?1 n ? i ?1n ? ? a ? bx ,其中 ? 2 . y ? ? xi ? x ? ? xi 2 ? nx 2 ? i ?1 i ?1 ? ?a ? y ? bx

179.相关系数

r?

? ? xi ? x ?? yi ? y ?
i ?1

n

? (x ? x ) ? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

?
2

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

.
n 2 2 2 i ?1

(? xi ? nx )(? yi ? ny )
2 i ?1

n

|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小. 180.特殊数列的极限

?0 ? (1) lim q ? ?1 n ?? ?不存在 ?
n

| q |? 1 q ?1 | q |? 1或q ? ?1
.

?0 ? ak n k ? ak ?1n k ?1 ? ? ? a0 ? at (2) lim ?? n ?? b n t ? b n t ?1 ? ? ? b t t ?1 0 ? bk ?不存在 ?
(3) S ? lim

(k ? t ) (k ? t ) . (k ? t )

a1 1 ? q n 1? q
x ? x0

?

n ??

??

a1 1? q

( S 无穷等比数列

?a q ?
n ?1 1

( | q |? 1 )的和).

181. 函数的极限定理
x ? x0

lim f ( x) ? a ? lim? f ( x) ? lim? f ( x) ? a .
x ? x0

182.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0 的附近满足: (1) g ( x) ? f ( x) ? h( x) ; (2) lim g ( x) ? a, lim h( x) ? a (常数),
x ? x0 x ? x0

则 lim f ( x) ? a .
x ? x0

本定理对于单侧极限和 x ? ? 的情况仍然成立. 183.几个常用极限

1 ? 0 , lim a n ? 0 ( | a |? 1 ) ; n ?? n 1 1 (2) lim x ? x0 , lim ? . x ? x0 x ? x0 x x0
(1) lim
n ??

184.两个重要的极限 (1) lim

sin x ? 1; x ?0 x
x

? 1? (2) lim ?1 ? ? ? e (e=2.718281845?). x ?? ? x?
185.函数极限的四则运算法则 若 lim f ( x) ? a , lim g ( x ) ? b ,则
x ? x0 x ? x0

(1) lim ? f ? x ? ? g ? x ? ? ? a ? b ; ? ?
x ? x0
x ? x0

(2) lim ? f ? x ? ? g ? x ? ? ? a ? b ; ? ? (3) lim
x ? x0

f ? x? a ? ?b ? 0? . g ? x? b
n ??

186.数列极限的四则运算法则 若 lim an ? a, lim bn ? b ,则
n ??

(1) lim ? an ? bn ? ? a ? b ; (2) lim ? an ? bn ? ? a ? b ;
n ?? n ??

(3) lim

(4) lim ? c ? an ? ? lim c ? lim an ? c ? a ( c 是常数).
n ?? n ?? n ??

an a ? ?b ? 0? n ?? b b n

187. f (x) 在 x0 处的导数(或变化率或微商)

f ?( x0 ) ? y?
188.瞬时速度

x ? x0

? lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

? ? s?(t ) ? lim

?s s (t ? ?t ) ? s (t ) ? lim . ?t ?0 ?t ?t ? 0 ?t

189.瞬时加速度

a ? v?(t ) ? lim

?v v(t ? ?t ) ? v(t ) ? lim . ?t ? 0 ?t ?t ? 0 ?t 190. f (x) 在 ( a, b) 的导数 dy df ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) f ?( x) ? y ? ? ? ? lim ? lim . dx dx ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 191. 函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义
函 数 y ? f (x) 在 点 x0 处 的 导 数 是 曲 线 y ? f (x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处 的 切 线 的 斜 率

f ?( x0 ) ,相应的切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) .
192.几种常见函数的导数 (1) C ? ? 0 (C 为常数). (2) ( xn )' ? nxn?1 (n ? Q) . (3) (sin x)? ? cos x . (5) (ln x )? ? (4) (cosx)? ? ? sin x .

1 1 e x ; (log a )? ? log a . x x x x x x (6) (e )? ? e ; (a )? ? a ln a .
(1) (u ? v) ? u ? v .
' ' '

193.导数的运算法则 (2) (uv) ? u v ? uv .
' ' '

(3) ( ) ?
'

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) . v2

194.复合函数的求导法则 设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 ux ' ? ? ' ( x) ,函数 y ? f (u ) 在点 x 处的对应点 U 处有
' ' ' 导 数 yu ' ? f ' (u) , 则 复 合 函 数 y ? f (? ( x))在 点 x 处 有 导 数 , 且 yx ? yu ? ux , 或 写 作

f x' (? ( x)) ? f ' (u)? ' ( x) .
195.常用的近似计算公式(当 x 充小时) (1) 1 ? x ? 1 ? (2) 、

1 n 1 x ; 1? x ?1? x ; 2 n

(1 ? x)? ? 1 ? ? x(? ? R) ;

1 ?1? x; 1? x

(3) e ? 1 ? x ; (4) ln (1 ? x) ? x ;
x

(5) sin x ? x ( x 为弧度) ; (6) tan x ? x ( x 为弧度) ; arctan x ? x ( x 为弧度) (7) 196.判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法 当函数 f (x) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值. 197.复数的相等

a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R ) 198.复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值)
| z | = | a ? bi | = a2 ? b2 .
199.复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; (4) (a ? bi ) ? (c ? di ) ?

ac ? bd bc ? ad ? i (c ? di ? 0) . c2 ? d 2 c2 ? d 2

200.复数的乘法的运算律 对于任何 z1 , z2 , z3 ? C ,有 交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 . 结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) . 分配律: z1 ? ( z2 ? z3 ) ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 . 201.复平面上的两点间的距离公式

d ?| z1 ? z2 |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ( z1 ? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y2i ).
202.向量的垂直 非零复数 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di 对应的向量分别是 OZ1 , OZ2 ,则

???? ?

???? ?

???? ???? ? ? z OZ1 ? OZ2 ? z1 ? z2 的实部为零 ? 2 为纯虚数 ? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 z1

? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 ? | z1 ? z2 |?| z1 ? z2 | ? ac ? bd ? 0 ? z1 ? ?iz2 (λ 为非
零实数). 203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ,
2

?b ? b2 ? 4ac ; 2a b 2 ②若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? ; 2a 2 ③若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有两个共轭
①若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1,2 ?
2

复数根 x ?

?b ? ?(b2 ? 4ac)i 2 (b ? 4ac ? 0) . 2a

1.集合元素具有①确定性②互异性③无序性 2.集合表示方法①列举法 ②描述法 ③韦恩图 ④数轴法 3.集合的运算 ⑴ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ⑵ Cu(A∩B)=CuA∪CuB Cu(A∪B)=CuA∩CuB 4.集合的性质 ⑴n 元集合的子集数:2n 真子集数:2n-1;非空真子集数:2n-2 高中数学概念总结 一、 函数 1、 若集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 的所有不同的子集个数为 ,所有非空真子集的个 数是 。 二次函数 的图象的对称轴方程是 ,顶点坐标是 。用待定系数法求二次函数的解析式时, 解析式的设法有三种形式,即 , 和 (顶点式) 。 2、 幂函数 ,当 n 为正奇数,m 为正偶数,m<n 时,其大致图象是

3、 函数 的大致图象是 由图象知,函数的值域是 ,单调递增区间是 ,单调递减区间是 。 二、 三角函数 1、 以角 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系,在角 的终边上任取一个 异于原点的点 ,点 P 到原点的距离记为 ,则 sin = ,cos = ,tg = ,ctg = ,sec = ,csc = 。 2、同角三角函数的关系中,平方关系是: , , ; 倒数关系是: , , ; 相除关系是: , 。 3、诱导公式可用十个字概括为:奇变偶不变,符号看象限。如: , = , 。 4、 函数 的最大值是 ,最小值是 ,周期是 ,频率是 ,相位是 ,初相是 ;其图象的对 称轴是直线 ,凡是该图象与直线 的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间: 的递增区间是 , 递减区间是 ; 的递增区间是 , 递减区间是 , 的递增区间是 , 的递减区间是 。 6、

7、二倍角公式是:sin2 = cos2 = = = tg2 = 。 8、三倍角公式是:sin3 = 9、半角公式是:sin = tg = = = 。

cos3 = cos =

10、升幂公式是: 。 11、降幂公式是: 。 12、万能公式:sin = cos = 13、sin( )sin( )= , cos( )cos( )= = 。 14、 = ; = ; = 。 15、 = 。 16、sin180= 。 17、特殊角的三角函数值: 0 sin 0 10 cos 1 0 0 tg 0 1 不存在 0 不存在 ctg 不存在 1 0 不存在 0

tg =

18、正弦定理是(其中 R 表示三角形的外接圆半径) : 19、由余弦定理第一形式, = 由余弦定理第二形式,cosB= 20、△ABC 的面积用 S 表示,外接圆半径用 R 表示,内切圆半径用 r 表示,半周长用 p 表 示则: ① ;② ; ③ ;④ ; ⑤ ;⑥ 21、三角学中的射影定理:在△ABC 中, ,? 22、在△ABC 中, ,? 23、在△ABC 中:

24、积化和差公式: ① , ② , ③ , ④ 。 25、和差化积公式: ① , ② , ③ , ④ 。 三、 反三角函数 1、 的定义域是[-1,1],值域是 ,奇函数,增函数; 的定义域是[-1,1],值域是 ,非奇非偶,减函数;

的定义域是 R,值域是 ,奇函数,增函数; 的定义域是 R,值域是 ,非奇非偶,减函数。 2、当 ;

对任意的 ,有: 当 。 3、最简三角方程的解集: 四、 不等式 1、若 n 为正奇数,由 可推出 吗? ( 能 ) 若 n 为正偶数呢? ( 均为非负数时才能) 2、同向不等式能相减,相除吗 (不能) 能相加吗? ( 能 ) 能相乘吗? (能,但有条件) 3、两个正数的均值不等式是: 三个正数的均值不等式是: n 个正数的均值不等式是: 4、两个正数 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是 6、 双向不等式是: 左边在 时取得等号,右边在 时取得等号。 五、 数列 1、等差数列的通项公式是 ,前 n 项和公式是: = 。 2、等比数列的通项公式是 , 前 n 项和公式是: 3、 当等比数列 的公比 q 满足 <1 时, =S= 。 一般地, 如果无穷数列 的前 n 项和的极限 存 在,就把这个极限称为这个数列的各项和(或所有项的和) ,用 S 表示,即 S= 。 4、若 m、n、p、q∈N,且 ,那么:当数列 是等差数列时,有 ;当数列 是等比数列时, 有 。 5、 等差数列 中,若 Sn=10,S2n=30,则 S3n=60; 6、等比数列 中,若 Sn=10,S2n=30,则 S3n=70; 六、 复数 1、 怎样计算?(先求 n 被 4 除所得的余数, ) 2、 是 1 的两个虚立方根,并且:

3、 复数集内的三角形不等式是: ,其中左边在复数 z1、z2 对应的向量共线且反向(同向) 时取等号,右边在复数 z1、z2 对应的向量共线且同向(反向)时取等号。 4、 棣莫佛定理是: 5、 若非零复数 ,则 z 的 n 次方根有 n 个,即:

它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系? 都位于圆心在原点,半径为 的圆上,并且把这个圆 n 等分。 6、 若 ,复数 z1、z2 对应的点分别是 A、B,则△AOB(O 为坐标原点)的面积是 。 7、 = 。 8、 复平面内复数 z 对应的点的几个基本轨迹: ① 轨迹为一条射线。 ② 轨迹为一条射线。 ③ 轨迹是一个圆。 ④ 轨迹是一条直线。 ⑤ 轨迹有三种可能情形:a)当 时,轨迹为椭圆;b)当 时,轨迹为一条线段;c)当 时, 轨迹不存在。 ⑥ 轨迹有三种可能情形:a)当 时,轨迹为双曲线;b) 当 时,轨迹为两条射线;c) 当 时,轨迹不存在。 七、 排列组合、二项式定理 1、 加法原理、乘法原理各适用于什么情形?有什么特点? 加法分类,类类独立;乘法分步,步步相关。 2、排列数公式是: = = ; 排列数与组合数的关系是: 组合数公式是: = = ; 组合数性质: = += = = 3、 二项式定理: 二项展开式的通项公式: 八、 解析几何 1、 沙尔公式: 2、 数轴上两点间距离公式: 3、 直角坐标平面内的两点间距离公式: 4、 若点 P 分有向线段 成定比λ ,则λ = 5、 若点 ,点 P 分有向线段 成定比λ ,则:λ = = ; = = 若 ,则△ABC 的重心 G 的坐标是 。 6、求直线斜率的定义式为 k= ,两点式为 k= 。 7、直线方程的几种形式: 点斜式: , 斜截式: 两点式: , 截距式: 一般式: 经过两条直线 的交点的直线系方程是: 8、 直线 ,则从直线 到直线 的角θ 满足: 直线 与 的夹角θ 满足: 直线 ,则从直线 到直线 的角θ 满足: 直线 与 的夹角θ 满足: 9、 点 到直线 的距离:

10、两条平行直线 距离是 11、圆的标准方程是: 圆的一般方程是: 其中,半径是 ,圆心坐标是 思考:方程 在 和 时各表示怎样的图形? 12、若 ,则以线段 AB 为直径的圆的方程是 经过两个圆 , 的交点的圆系方程是: 经过直线 与圆 的交点的圆系方程是: 13、圆 为切点的切线方程是 一般地,曲线 为切点的切线方程是: 。例如,抛物线 的以点 为切点的切线方程是: , 即: 。 注意:这个结论只能用来做选择题或者填空题,若是做解答题,只能按照求切线方程的常规 过程去做。 14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种,即: ①判别式法:Δ >0,=0,<0,等价于直线与圆相交、相切、相离; ②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系:距离大于半径、等于半径、小于半径,等 价于直线与圆相离、相切、相交。 15、抛物线标准方程的四种形式是: 16、抛物线 的焦点坐标是: ,准线方程是: 。 若点 是抛物线 上一点,则该点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径)是: ,过该抛 物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦(称为通径)的长是: 。 17、椭圆标准方程的两种形式是: 和 。 18、椭圆 的焦点坐标是 ,准线方程是 ,离心率是 ,通径的长是 。其中 。 19、若点 是椭圆 上一点, 是其左、右焦点,则点 P 的焦半径的长是 和 。 20、双曲线标准方程的两种形式是: 和 。 21、双曲线 的焦点坐标是 ,准线方程是 ,离心率是 ,通径的长是 ,渐近线方程是 。其 中 。 22、与双曲线 共渐近线的双曲线系方程是 。与双曲线 共焦点的双曲线系方程是 。 23、若直线 与圆锥曲线交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为 ; 若直线 与圆锥曲线交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为 。 24、圆锥曲线的焦参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离,对于椭圆和双曲线都有: 。 25、平移坐标轴,使新坐标系的原点 在原坐标系下的坐标是(h,k) ,若点 P 在原坐标系 下的坐标是 在新坐标系下的坐标是 ,则 = , = 。 九、 极坐标、参数方程 1、 经过点 的直线参数方程的一般形式是: 。

2、 若直线 经过点 ,则直线参数方程的标准形式是: 。其中点 P 对应的参数 t 的几何意 义是:有向线段 的数量。 若点 P1、P2、P 是直线 上的点,它们在上述参数方程中对应的参数分别是 则: ;当点 P 分有向线段 时, ;当点 P 是线段 P1P2 的中点时, 。 3、圆心在点 ,半径为 的圆的参数方程是: 。 3、 若以直角坐标系的原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,点 P 的极坐标为 直 角坐标为 ,则 , , 。 4、 经过极点,倾斜角为 的直线的极坐标方程是: , 经过点 ,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是: , 经过点 且平行于极轴的直线的极坐标方程是: , 经过点 且倾斜角为 的直线的极坐标方程是: 。 5、 圆心在极点,半径为 r 的圆的极坐标方程是 ; 圆心在点 的圆的极坐标方程是 ; 圆心在点 的圆的极坐标方程是 ; 圆心在点 ,半径为 的圆的极坐标方程是 。 6、 若点 M 、N ,则 。 十、 立体几何 1、求二面角的射影公式是 ,其中各个符号的含义是: 是二面角的一个面内图形 F 的面积, 是图形 F 在二面角的另一个面内的射影, 是二面角的大小。 2、若直线 在平面 内的射影是直线 ,直线 m 是平面 内经过 的斜足的一条直线, 与 所 成的角为 , 与 m 所成的角为 , 与 m 所成的角为θ ,则这三个角之间的关系是 。 3、体积公式: 柱体: ,圆柱体: 。 斜棱柱体积: (其中, 是直截面面积, 是侧棱长) ; 锥体: ,圆锥体: 。 台体: , 圆台体: 球体: 。 4、 侧面积: 直棱柱侧面积: ,斜棱柱侧面积: ; 正棱锥侧面积: ,正棱台侧面积: ; 圆柱侧面积: ,圆锥侧面积: , 圆台侧面积: ,球的表面积: 。 5、几个基本公式: 弧长公式: ( 是圆心角的弧度数, >0) ; 扇形面积公式: ; 圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角公式: ; 圆台侧面展开图(扇环)的圆心角公式: 。 经过圆锥顶点的最大截面的面积为(圆锥的母线长为 ,轴截面顶角是θ ) : 十一、比例的几个性质 1、比例基本性质: 2、反比定理: 3、更比定理: 5、 合比定理;

6、 分比定理: 7、 合分比定理: 8、 分合比定理: 9、 等比定理:若 , ,则 。 十二、复合二次根式的化简 当 是一个完全平方数时,对形如 的根式使用上述公式化简比较方便。

⑵并集元素个数: n(A∪B)=nA+nB-n(A∩B) 5.N 自然数集或非负整数集 Z 整数集 Q 有理数集 R 实数集 6.简易逻辑中符合命题的真值表 p 非p 真 假 假 真 二.函数 1.二次函数的极点坐标: 函数 的顶点坐标为 2.函数 的单调性: 在 处取极值 3.函数的奇偶性: 在定义域内,若 ,则为偶函数;若 则为奇函数。

1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(π2-a)=cos(a) cos(π2-a)=sin(a) sin(π2+a)=cos(a) cos(π2+a)=-sin(a)

sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) sin(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a)

2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b) tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b) 3.和差化积公式

sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2) sin(a)?sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2) cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2) cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2) 4.二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(b) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a)

5.半角公式

sin2(a2)=1-cos(a)2 cos2(a2)=1+cos(a)2 tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a)

6.万能公式 sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2) cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2) tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2)

7.其它公式(推导出来的 ) a?sin(a)+b?cos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中 tan(c)=ba a?sin(a)+b?cos(a)=a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=ab 1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))2 1-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))2 回答者: 吴域ぁ慕紫 - 二级 2007-7-23 21:57

可以下载 HTML 文件,总结得很好,很方便 http://www.ggjy.net/xspd/xsbk/200408/815.html 数学高考基础知识、常见结论详解 一、集合与简易逻辑: 一、理解集合中的有关概念 (1)集合中元素的特征: 确定性 , 互异性 , 无序性 。 集合元素的互异性:如: , ,求 ; (2)集合与元素的关系用符号 , 表示。 (3)常用数集的符号表示:自然数集 ;正整数集 、 ;整数集 ;有理数集 、实数集 。 (4)集合的表示法: 列举法 , 描述法 , 韦恩图 。 注意:区分集合中元素的形式:如: ; ; ; ; ; ; (5)空集是指不含任何元素的集合。 、 和 的区别;0 与三者间的关系) (

空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 注意:条件为 ,在讨论的时候不要遗忘了 的情况。 如: ,如果 ,求 的取值。 二、集合间的关系及其运算 (1)符号“ ”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现 点与直线(面)的关系 ; 符号“ ”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。 (2) ; ; (3)对于任意集合 ,则: ① ; ; ; ② ; ; ; ; ③ ; ; (4)①若 为偶数,则 ;若 为奇数,则 ; ②若 被 3 除余 0,则 ;若 被 3 除余 1,则 ;若 被 3 除余 2,则 ; 三、集合中元素的个数的计算: (1)若集合 中有 个元素,则集合 的所有不同的子集个数为_________,所有真子集的个 数是__________,所有非空真子集的个数是 。 (2) 中元素的个数的计算公式为: ; (3)韦恩图的运用: 四、 满足条件 , 满足条件 , 若 ;则 是 的充分非必要条件 ; 若 ;则 是 的必要非充分条件 ; 若 ;则 是 的充要条件 ; 若 ;则 是 的既非充分又非必要条件 ; 五、原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有相同的 ; 注意: “若 ,则 ”在解题中的运用, 如: ”是“ ”的 条件。 “ 六、反证法:当证明“若 ,则 ”感到困难时,改证它的等价命题“若 则 ”成立, 步骤:1、假设结论反面成立;2、从这个假设出发,推理论证,得出矛盾;3、由矛盾判断 假设不成立,从而肯定结论正确。 矛盾的来源:1、与原命题的条件矛盾;2、导出与假设相矛盾的命题;3、导出一个恒假命 题。 适用与待证命题的结论涉及“不可能”“不是”“至少”“至多”“唯一”等字眼时。 、 、 、 、 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个 否定 正面词语 至少有一个 任意的 所有的 至多有 n 个 任意两个 否定 二、函数 一、映射与函数: (1)映射的概念: (2)一一映射: (3)函数的概念: 如:若 , ;问: 到 的映射有 个, 到 的映射有 个; 到 的函数有 个,若 ,则 到 的

一一映射有 个。 函数 的图象与直线 交点的个数为 个。 二、函数的三要素: , , 。 相同函数的判断方法:① ;② (两点必须同时具备) (1)函数解析式的求法: ①定义法(拼凑) :②换元法:③待定系数法:④赋值法: (2)函数定义域的求法: ① ,则 ; ② 则 ; ③ ,则 ; ④如: ,则 ; ⑤含参问题的定义域要分类讨论; 如:已知函数 的定义域是 ,求 的定义域。 ⑥对于实际问题,在求出函数解析式后;必须求出其定义域,此时的定义域要根据实际意义 来确定。如:已知扇形的周长为 20,半径为 ,扇形面积为 ,则 ;定义域为 。 (3)函数值域的求法: ①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如: 的形式; ②逆求法(反求法) :通过反解,用 来表示 ,再由 的取值范围,通过解不等式,得出 的 取值范围;常用来解,型如: ; ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; ⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如: ,利用平均值不等式公式来求值域; ⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。 求下列函数的值域:① (2 种方法) ; ② (2 种方法) ;③ (2 种方法) ; 三、函数的性质: 函数的单调性、奇偶性、周期性 单调性:定义:注意定义是相对与某个具体的区间而言。 判定方法有:定义法(作差比较和作商比较) 导数法(适用于多项式函数) 复合函数法和图像法。 应用:比较大小,证明不等式,解不等式。 奇偶性: 定义: 注意区间是否关于原点对称, 比较 f(x) 与 f(-x)的关系。 -f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x) f(x)为偶函数; f(x)+f(-x)=0 f(x) =-f(-x) f(x)为奇函数。 判别方法:定义法, 图像法 ,复合函数法 应用:把函数值进行转化求解。 周期性:定义:若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足:f(x+T)=f(x),则 T 为函数 f(x)的周期。 其他:若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足:f(x+a)=f(x-a),则 2a 为函数 f(x)的周期. 应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。 四、图形变换:函数图像变换: (重点)要求掌握常见基本函数的图像,掌握函数图像变换 的一般规律。 常见图像变化规律: (注意平移变化能够用向量的语言解释,和按向量平移联系起来思考) 平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b 注意: (ⅰ)有系数,要先提取系数。如:把函数 y=f(2x)经过 平移得到函数 y=f(2x+4)

的图象。 (ⅱ)会结合向量的平移,理解按照向量 (m,n)平移的意义。 对称变换 y=f(x)→y=f(-x),关于 y 轴对称 y=f(x)→y=-f(x) ,关于 x 轴对称 y=f(x)→y=f|x|,把 x 轴上方的图象保留,x 轴下方的图象关于 x 轴对称 y=f(x)→y=|f(x)|把 y 轴右边的图象保留,然后将 y 轴右边部分关于 y 轴对称。 (注意:它是一 个偶函数) 伸缩变换:y=f(x)→y=f(ω x), y=f(x)→y=Af(ω x+φ )具体参照三角函数的图象变换。 一个重要结论:若 f(a-x)=f(a+x),则函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称; 如: 的图象如图,作出下列函数图象: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) ; (8) ; (9) 。 五、反函数: (1)定义: (2)函数存在反函数的条件: ; (3)互为反函数的定义域与值域的关系: ; (4)求反函数的步骤:①将 看成关于 的方程,解出 ,若有两解,要注意解的选择;②将 互换,得 ;③写出反函数的定义域(即 的值域) 。 (5)互为反函数的图象间的关系: ; (6)原函数与反函数具有相同的单调性; (7)原函数为奇函数,则其反函数仍为奇函数;原函数为偶函数,它一定不存在反函数。 如:求下列函数的反函数: ; ; 七、常用的初等函数: (1)一元一次函数: ,当 时,是增函数;当 时,是减函数; (2)一元二次函数: 一般式: ;对称轴方程是 ;顶点为 ; 两点式: ;对称轴方程是 ;与 轴的交点为 ; 顶点式: ;对称轴方程是 ;顶点为 ; ①一元二次函数的单调性: 当 时: 为增函数; 为减函数;当 时: 为增函数; 为减函数; ②二次函数求最值问题:首先要采用配方法,化为 的形式, Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上,则 时:在顶点处取得最小值,最大值在距离对称轴较远的端点处取得; 时:在顶点处取得最大值,最小值在距离对称轴较远的端点处取得; Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上,则 时:最小值在距离对称轴较近的端点处取得,最大值在距离对称轴较远的端点处取得; 时:最大值在距离对称轴较近的端点处取得,最小值在距离对称轴较远的端点处取得; 有三个类型题型: (1)顶点固定,区间也固定。如: (2)顶点含参数(即顶点变动),区间固定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内,何时在区

间之外。 (3)顶点固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数. ③二次方程实数根的分布问题: 设实系数一元二次方程 的两根为 ;则: 根的情况 等价命题 在区间 上有两根 在区间 上有两根 在区间 或 上有一根 充要条件 注意:若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况,可先利用在开区间 上实根分布的情况,得 出结果,在令 和 检查端点的情况。 (3)反比例函数: (4)指数函数: 指数运算法则: ; ; 。 指数函数:y= (a>o,a≠1),图象恒过点(0,1) ,单调性与 a 的值有关,在解题中,往往要 对 a 分 a>1 和 0<a<1 两种情况进行讨论,要能够画出函数图象的简图。 (5)对数函数: 指数运算法则: ; ; ; 对数函数:y= (a>o,a≠1) 图象恒过点(1,0) ,单调性与 a 的值有关,在解题中,往往要对 a 分 a>1 和 0<a<1 两种情况进行讨论,要能够画出函数图象的简图。 注意: (1) 与 的图象关系是 ; (2)比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数,若底数不相同 时转化为同底数的指数或对数,还要注意与 1 比较或与 0 比较。 (3)已知函数 的定义域为 ,求 的取值范围。 已知函数 的值域为 ,求 的取值范围。 六、 的图象: 定义域: ;值域: ; 奇偶性: ; 单调性: 是增函数; 是减函数。 七、补充内容: 抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型: ① 正比例函数 ② ; ; ③ ; ; ④ ; 三、导 数 1.求导法则: (c)/=0 这里 c 是常数。即常数的导数值为 0。 (xn)/=nxn-1 特别地:(x)/=1 (x-1)/= ( )/=-x-2 (f(x)±g(x))/= f/(x)±g/(x) (k?f(x))/= k?f/(x) 2.导数的几何物理意义: k=f/(x0)表示过曲线 y=f(x)上的点 P(x0,f(x0))的切线的斜率。 V=s/(t) 表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。 3.导数的应用: ①求切线的斜率。 ②导数与函数的单调性的关系 一 与 为增函数的关系。 能推出 为增函数,但反之不一定。如函数 在 上单调递增,但 ,∴ 是 为增函数的充分不 必要条件。 二 时, 与 为增函数的关系。

若将 的根作为分界点, 因为规定 , 即抠去了分界点, 此时 为增函数, 就一定有 。 ∴当 时, 是 为增函数的充分必要条件。 三 与 为增函数的关系。 为增函数,一定可以推出 ,但反之不一定,因为 ,即为 或 。当函数在某个区间内恒有 , 则 为常数,函数不具有单调性。∴ 是 为增函数的必要不充分条件。 函数的单调性是函数一条重要性质, 也是高中阶段研究的重点, 我们一定要把握好以上三个 关系,用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题,都一律用开区 间作为单调区间,避免讨论以上问题,也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论 问题,要谨慎处理。 四单调区间的求解过程,已知 (1)分析 的定义域;(2)求导数 (3)解不等式 ,解集在 定义域内的部分为增区间(4)解不等式 ,解集在定义域内的部分为减区间。 我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系, 才能准确无误地判断函数的 单调性。以下以增函数为例作简单的分析,前提条件都是函数 在某个区间内可导。 ③求极值、求最值。 注意:极值≠最值。函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和 f(a) 、f(b)中最大的一个。 最小值为极小值和 f(a) 、f(b)中最小的一个。 f/(x0)=0 不能得到当 x=x0 时,函数有极值。 但是,当 x=x0 时,函数有极值 f/(x0)=0 判断极值,还需结合函数的单调性说明。 4.导数的常规问题: (1)刻画函数(比初等方法精确细微) ; (2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线) ; (3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高,而导数方法显得简便)等关于 次多项式的 导数问题属于较难类型。 2.关于函数特征,最值问题较多,所以有必要专项讨论,导数法求最值要比初等方法快捷 简便。 3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型,也是高考中考察综合能力的一 个方向,应引起注意。 四、不等式 一、不等式的基本性质: 注意:(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法,此法尤其适用于不成立的命题。 (2)注意课本上的几个性质,另外需要特别注意: ①若 ab>0,则 。即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变。 ②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分 类讨论。 ③图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象) ,直 接比较大小。 ④中介值法:先把要比较的代数式与“0”比,与“1”比,然后再比较它们的大小 二、均值不等式:两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 若 ,则 (当且仅当 时取等号) 基本变形:① ; ; ②若 ,则 , 基本应用:①放缩,变形; ②求函数最值:注意:①一正二定三取等;②积定和小,和定积大。

当 (常数) ,当且仅当 时, ; 当 (常数) ,当且仅当 时, ; 常用的方法为:拆、凑、平方; 如:①函数 的最小值 。 ②若正数 满足 ,则 的最小值 。 三、绝对值不等式: 注意:上述等号“=”成立的条件; 四、常用的基本不等式: (1)设 ,则 (当且仅当 时取等号) (2) (当且仅当 时取等号) (当且仅当 时取等号) ; (3) ; ; 五、证明不等式常用方法: (1)比较法:作差比较: 作差比较的步骤: ⑴作差:对要比较大小的两个数(或式)作差。 ⑵变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和。 ⑶判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小。 (2)综合法:由因导果。 (3)分析法:执果索因。基本步骤:要证??只需证??,只需证?? (4)反证法:正难则反。 (5)放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。 放缩法的方法有: ⑴添加或舍去一些项,如: ; ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如: ; ⑷利用常用结论: Ⅰ、 ; Ⅱ、 ; (程度大) Ⅲ、 ; (程度小) (6)换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的 换元有三角换元和代数换元。如: 已知 ,可设 ; 已知 ,可设 ( ); 已知 ,可设 ; 已知 ,可设 ; (7)构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式; 六、不等式的解法: (1)一元一次不等式: Ⅰ、 :⑴若 ,则 ;⑵若 ,则 ; Ⅱ、 :⑴若 ,则 ;⑵若 ,则 ; (2)一元二次不等式: 一元二次不等式二次项系数小于零的,同解变形为二次项系数大于 零;注:要对 进行讨论:

(5)绝对值不等式:若 ,则 ; ; 注意:(1).几何意义: : ; : ; (2)解有关绝对值的问题,考虑去绝对值,去绝对值的方法有: ⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值;①若 则 ;②若 则 ;③若 则 ; (3).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。 (4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。 (6)分式不等式的解法:通解变形为整式不等式; ⑴ ;⑵ ; ⑶ ;⑷ ; (7)不等式组的解法:分别求出不等式组中,每个不等式的解集,然后求其交集,即是这 个不等式组的解集,在求交集中,通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上,取它们的公 共部分。 (8)解含有参数的不等式: 解含参数的不等式时,首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需 要讨论: ①不等式两端乘除一个含参数的式子时,则需讨论这个式子的正、负、零性. ②在求解过程中,需要使用指数函数、对数函数的单调性时,则需对它们的底数进行讨论. ③在解含有字母的一元二次不等式时, 需要考虑相应的二次函数的开口方向, 对应的一元二 次方程根的状况 (有时要分析△) 比较两个根的大小,设根为 (或更多) , 但含参数, 要分 、 、 讨论。 五、数列 本章是高考命题的主体内容之一,应切实进行全面、深入地复习,并在此基础上,突出解决 下述几个问题: (1)等差、等比数列的证明须用定义证明,值得注意的是,若给出一个数列 的前 项和 ,则其通项为 若 满足 则通项公式可写成 .(2)数列计算是本章的中心内容, 利用等差数列和等比数列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地进行计算,是高考命题 重点考查的内容.(3)解答有关数列问题时,经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思 想解答数列题,是我们复习应达到的目标. ①函数思想:等差等比数列的通项公式求和公式 都可以看作是 的函数,所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解. ②分类讨论思想:用等比数列求和公式应分为 及 ;已知 求 时,也要进行分类; ③整体思想:在解数列问题时,应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势,运用整 体思想求解. (4)在解答有关的数列应用题时,要认真地进行分析,将实际问题抽象化,转化为数学问 题,再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用,决不是简 单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错. 一、基本概念: 1、 数列的定义及表示方法: 2、 数列的项与项数: 3、 有穷数列与无穷数列: 4、 递增(减) 、摆动、循环数列: 5、 数列{an}的通项公式 an: 6、 数列的前 n 项和公式 Sn: 7、 等差数列、公差 d、等差数列的结构:

8、 等比数列、公比 q、等比数列的结构: 二、基本公式: 9、一般数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系:an= 10、等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中 a1 为首项、ak 为已知的第 k 项) 当 d≠0 时,an 是关于 n 的一次式;当 d=0 时,an 是一个常数。 11、等差数列的前 n 项和公式:Sn= Sn= Sn= 当 d≠0 时,Sn 是关于 n 的二次式且常数项为 0;当 d=0 时(a1≠0) ,Sn=na1 是关于 n 的正 比例式。 12、等比数列的通项公式: an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中 a1 为首项、ak 为已知的第 k 项,an≠0) 13、等比数列的前 n 项和公式:当 q=1 时,Sn=n a1 (是关于 n 的正比例式); 当 q≠1 时,Sn= Sn= 三、有关等差、等比数列的结论 14、 等差数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、 S2m-Sm、 S3m-S2m、 S4m - S3m、 ?? 仍为等差数列。 15、等差数列{an}中,若 m+n=p+q,则 16、等比数列{an}中,若 m+n=p+q,则 17、 等比数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、 S2m-Sm、 S3m-S2m、 S4m - S3m、 ?? 仍为等比数列。 18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。 19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列 {an bn}、 、 仍为等比数列。 20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 22、三个数成等差的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d 23、三个数成等比的设法:a/q,a,aq; 四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?) 24、{an}为等差数列,则 (c>0)是等比数列。 25、{bn}(bn>0)是等比数列,则{logcbn} (c>0 且 c 1) 是等差数列。 26. 在等差数列 中: (1)若项数为 ,则 (2)若数为 则, , 27. 在等比数列 中: (1) 若项数为 ,则 (2)若数为 则, 四、数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数 列的通项结构。 28、分组法求数列的和:如 an=2n+3n 29、错位相减法求和:如 an=(2n-1)2n 30、裂项法求和:如 an=1/n(n+1) 31、倒序相加法求和:如 an= 32、求数列{an}的最大、最小项的方法: ① an+1-an=?? 如 an= -2n2+29n-3

② (an>0) 如 an= ③ an=f(n) 研究函数 f(n)的增减性 如 an= 33、在等差数列 中,有关 Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解: (1)当 >0,d<0 时,满足 的项数 m 使得 取最大值. (2)当 <0,d>0 时,满足 的项数 m 使得 取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 六、平面向量 1.基本概念: 向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。 2. 加法与减法的代数运算: (1) . (2)若 a=( ),b=( )则 a b=( ) . 向量加法与减法的几何表示:平行四边形法则、三角形法则。 以向量 = 、 = 为邻边作平行四边形 ABCD,则两条对角线的向量 = + , = - , = - 且有| |-| |≤| |≤| |+| |. 向量加法有如下规律: + = + (交换律); +( +c)=( + )+c (结合律); +0= +(- )=0. 3.实数与向量的积:实数 与向量 的积是一个向量。 (1)| |=| |·| |; (2) 当 >0 时, 与 的方向相同;当 <0 时, 与 的方向相反;当 =0 时, =0. (3)若 =( ) ,则 · =( ) . 两个向量共线的充要条件: (1) 向量 b 与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ,使得 b= . (2) 若 =( ),b=( )则 ‖b . 平面向量基本定理: 若 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 ,有且只有一 对实数 , ,使得 = e1+ e2. 4.P 分有向线段 所成的比: 设 P1、 是直线 上两个点, P 是 上不同于 P1、 的任意一点, P2 点 P2 则存在一个实数 使 = , 叫做点 P 分有向线段 所成的比。 当点 P 在线段 上时, >0;当点 P 在线段 或 的延长线上时, <0; 分点坐标公式:若 = ; 的坐标分别为( ),( ),( ) ;则 ( ≠-1) 中点坐标公式: . , 5. 向量的数量积: (1) .向量的夹角: 已知两个非零向量 与 b,作 = , =b,则∠AOB= ( )叫做向量 与 b 的夹角。 (2) .两个向量的数量积: 已知两个非零向量 与 b,它们的夹角为 ,则 ·b=| |·|b|cos . 其中|b|cos 称为向量 b 在 方向上的投影. (3) .向量的数量积的性质: 若 =( ),b=( )则 e· = ·e=| |cos (e 为单位向量); ⊥b ·b=0 ( ,b 为非零向量);| |= ; cos = = . (4) .向量的数量积的运算律: ·b=b· ;( )·b= ( ·b)= ·( b);( +b)·c= ·c+b·c.

6.主要思想与方法: 本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题, 特别是处理向量的相关位置关系, 正确运用共线向量和平面向量的基本定理, 计算向量的模、 两点的距离、向量的夹角,判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具,它往往会与三 角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点。 七、立体几何 1.平面的基本性质:掌握三个公理及推论,会说明共点、共线、共面问题。 能够用斜二测法作图。 2.空间两条直线的位置关系:平行、相交、异面的概念; 会求异面直线所成的角和异面直线间的距离;证明两条直线是异面直线一般用反证法。 3.直线与平面 ①位置关系:平行、直线在平面内、直线与平面相交。 ②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。 ③直线与平面垂直的证明方法有哪些? ④直线与平面所成的角:关键是找它在平面内的射影,范围是{00.900} ⑤三垂线定理及其逆定理:每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用 于证明垂直关系与空间图形的度量.如:证明异面直线垂直,确定二面角的平面角,确定点 到直线的垂线. 4.平面与平面 (1)位置关系:平行、相交, (垂直是相交的一种特殊情况) (2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。 (3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直,一般是依据性质 定理,可以证明线面垂直。 (4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→ (5)二面角。二面角的平面交的作法及求法: ①定义法,一般要利用图形的对称性;一般在计算时要解斜三角形; ②垂线、斜线、射影法,一般要求平面的垂线好找,一般在计算时要解一个直角三角形。 ③射影面积法, 一般是二面交的两个面只有一个公共点, 两个面的交线不容易找到时用此法?

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高中数学常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系

,. 2.德摩根公式 . 3.包含关系

4.容斥原理

. 5.集合 的子集个数共有 个;真子集有 –1 个;非空子集有 –1 个;非空的真子集有 –2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 ; (2)顶点式 ; (3)零点式 . 7.解连不等式 常有以下转化形式

. 8.方程 在 上有且只有一个实根,与 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程 有且只有一个实根在 内,等价于 ,或 且 ,或 且 .


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