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选修2-2 1.5 定积分的概念

时间:2011-05-20


18、 第 18、19 课时 三维目标: 三维目标:
知识与技能:

周一、 2010- 22、 周一、周二 2010-3-22、23

课题: 课题:1.5 定积分的概念
⒈通 过 求 曲 边 梯 形 的 面 积 和 变 速 直 线 运 动 的 路 程 , 了 解 定 积 分 的 背 景 ; ⒉借 助 于 几 何 直 观 体 会 定 积 分 的 基 本 思 想 ,了 解 定 积 分 的 概 念 ,能 用 定 积 分 法 求 简 单 的 定 积 分 . 3.理解掌握定积分的几何意义和性质;

过程与方法:
通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法。

情感态度与价值观:
通过分割、逼近的观点体会定积分的来历,使学生从本质上理解定积分的几何意义,从而激发学生学习数 学的兴趣。

教学重点: 教学重点:定 积 分 的 概 念 、 用 定 义 求 简 单 的 定 积 分 、 定积分的几何意义. 教学难点: 教学难点:定 积 分 的 概 念 、 定积分的几何意义. 教学过程: 教学过程: 一.创设情景
问题:我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。有的是规则的平面图形,但现实生活中更多的 问题 是不规则的平面图形。对于不规则的图形我们该如何求面积?比如浙江 省的国土面积。 此问题在学生九年级中已有涉及,在九 年级时学生了解过以下求不规则面积的方法: 方法 1 将图形放在坐标纸上,也即将图形分割,看它有多少个“单位 面积”。。 方法 2 将图形从内外两个方面用规则图形(或规则图形的组合)逼近。 方法 3 将这块图形用一个正方形围住, 然后随机地向正方形内扔 “点” (如小石子等小颗粒),当点数 P 足够大时,统计落入不规则图形中的点 数 A,则图形的面积与正方形面积的比约为。 方法 4“称量”面积:在正方形区域内均匀铺满一层细沙,分别称得重量是 P(正方形区域内细沙重)、 A(所求图形内细沙重),则所求图形的面积与正方形面积的比是重量之比。

二.合作探究 问题一 曲边梯形的面积
如图,阴影部分类似于一个梯形,但有一边是曲线 y = f ( x) 的一段, 我们把由直线 x = a , x = b ( a ≠ b) , y = 0 和曲线 y = f ( x) 所围成的图 形称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积? 分割) 探究 1:分割,怎样分割?分割成多少个?分成怎样的形状?有几种方案? (分割) 提出自己的看法,同伴之间进行交流。 探究 2:采用哪种好?把分割的几何图形变为代数的式子。 近似代替)(求和) : (近似代替)(求和 、 求和) 写出面积求和式。老师①巡视,给予指导,即时纠正学生中的运算错误。②及时实物投影 ③比较三种求和式的优劣,规定近似代替的原则。 取极限) 探究 3:如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多? (取极限) 写出分割无限多时,相应的数学含义。 探究 4:采用过剩求和与不足求和所得到的结果一样,其意义是什么?(夹逼定理的意义) : (夹逼定理的意义)

例如:求图中阴影部分是由抛物线 y = x 2 ,直线 x = 1 以及 x 轴所围成的平面图形的面积 S。

思考: (1)曲边梯形与“直边图形”的区别? 思考: (2)能否将求这个曲边梯形面积 S 的问题转化为求“直边 图形”面积的问题? 分析: 分析:曲边梯形与“直边图形”的主要区别:曲边梯形有一边 是曲线段, “直边图形”的所有边都是直线段. 以直代曲” “以直代曲” 的思想的应用.

把区间 [ 0 ,1] 分成许多个小区间,进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形,对每个小曲边梯形“以直代取” , 即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值,对这些近似值求和,就 得到曲边梯形面积的近似值.分割越细,面积的近似值就越精确。当分割无限变细时,这个近似值就无限 分割越细, 分割越细 面积的近似值就越精确。当分割无限变细时, 逼近所求曲边梯形的面积 S.也即:用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积. 解: (1) 分割 .分割 将区间 [ 0 ,1] 等分成 n 个小区间: 在区间 [ 0 ,1] 上等间隔地插入 n ? 1 个点,
y y=x 2

? 1? ?1 2? ? n ?1 ? ?0 , n ? , ? n , n ? ,…, ? n ,1? ? ? ? ? ? ?
记第 i 个区间为 ?

? i ?1 i ? , (i = 1, 2 , L , n) ,其长度为 ? n n? ?
?x =

O

i-1 i n n

1x

i i ?1 1 ? = n n n 分别过 个小曲边梯形,他们的面积分别记作: 分别过上述 n ? 1 个分点作 x 轴的垂线,从而得到 n 个小曲边梯形,他们的面积分别记作: 作 轴的垂线, ?S1 , ?S 2 ,…, ?S n
(2)近似代替 近似代替 记 f ( x ) = x ,如图所示,当 n 很大,即 ?x 很小时,在区间 ?
2 2

显然, S =

∑ ?S
i =1

n

y
i

y=x 2

? i ?1 i ? , ? n n? ?

上,可
O i-1 i n n 1x

以认为函数 f ( x ) = x 的值变化很小,近似的等于一个常数,不妨认为 的等于左端点

它近似

i ?1 处的函数值 n

? i ?1 ? f? ? ,从图形上看,就是用平行于 x 轴的直线段近似的代替小曲边梯 ? n ? ? i ?1 i ? 上, 用小矩形的面积 ?Si′ 近似的代替 ?Si , 即在局部范围内 “以 , ? n n? ?

形的曲边 (如图) 这样, . 在区间 ? 直代取” ,则有

? i ?1? ? i ?1? ? i ?1? 1 ?S i ≈ ?S i′ = f ? ? ? ?x = ? ? ? ?x = ? ? ? (i = 1,2, L , n) ? n ? ? n ? ? n ? n
2 2



(3)求和 求和 由①,上图中阴影部分的面积 Sn 为 S n = = = 从而得到 S 的近似值 S ≈ S n = (4)取极限 取极限 分别将区间 [ 0 ,1] 等分 8,16,20,…等份(如图) ,可以看到,当 n 趋向于无穷大时,即 ?x 趋向于 0 时,
n n ? i ?1? ? i ?1? 1 ?S i′ = ∑ f ? ? ? ?x = ∑ ? ? ? ∑ n ? n ? i =1 i =1 i =1 ? n ? n 2

= =

1 ? 1 ?? 1 ? S n = ?1 ? ? ?1 ? ? 趋向于 S ,从而有 3 ? n ? ? 2n ?
n 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? i ?1 ? 1 S = lim S n = lim ∑ f ? ? = lim ?1 ? ??1 ? ? = n →∞ n →∞ n →∞ 3 ? n ? n ? n ?? 2n ? 3 i =1

从数值上看出这一变化趋势:

问题: 问题:如果不是在区间的两个端点取,而是在每一个区间中间取任意一点作为高,会有怎样的结果? ★求曲边梯形面积的四个步骤: 求曲边梯形面积的四个步骤:

第 一 步 : 分 割 . 在 区 间 [ a , b] 中 任 意 插 入 n ? 1 各 分 点 , 将 它 们 等 分 成 n 个 小 区 间

[ xi ?1 , xi ] ( i = 1, 2 ,L , n ) ,区间 [ xi ?1 , xi ] 的长度 ?xi = xi ? xi ?1 ,
第二步:近似代替。 第二步 近似代替。 “以直代取” ,用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,求出每个小曲边梯形面 积的近似值. 第三步:求和. 第三步:求和. 第四步:取极限。 第四步:取极限。 说明:最后所得曲边形的面积不是近似值,而是真实值) (说明

问题二 汽车行驶的路程 汽车以速度 v 组匀速直线运动时,经过时间 t 所行驶的路程为 S = vt .如果汽车作变速直线运动,在时
刻 t 的速度为 v ( t ) = ?t + 2 (单位:km/h) ,那么它在 0≤ t ≤1(单位:h)这段时间内行驶的路程 S (单位:
2

km)是多少? 分析:与求曲边梯形面积类似,采取“以不变代变”的方法,把求匀变速直线运动的路程问题,化归 为匀速直线运动的路程问题.把区间 [0,1] 分成 n 个小区间,在每个小区间上,由于 v(t ) 的变化很小,可以 近似的看作汽车作于速直线运动,从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值,在求和得 S (单位: (思想:用化归为各个小区间上 km)的近似值,最后让 n 趋紧于无穷大就得到 S (单位:km)的精确值. 匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程) . 解:1.分割 1 在时间区间 [ 0 ,1] 上等间隔地插入 n ? 1 个点,将区间 [ 0 ,1] 等分成 n 个小区间:

? i ?1 i ? ? 1? ?1 2? ? n ?1 ? ?0 , n ? , ? n , n ? ,… ? n ,1? 记第 i 个区间为 ? n , n ? (i = 1, 2 , L , n) 其长度为 ?t = ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ?1 2? ? n ?1 ? 把汽车在时间段 ? 0 , ? , ? , ? ,…, ? ,1? 上行驶的路程分别记作: ?S1 , ?S 2 ,…, ?S n ? n? ?n n? ? n ? 显然, S =
(2)近似代替 当 n 很大,即 ?t 很小时,在区间 ?

? i ?1 i ? , ? 上,可以认为函数 v ( t ) = ?t 2 + 2 的值变化很小,近似的等于 ? n n?
2

i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ? 一个常数,不妨认为它近似的等于左端点 处的函数值 v ? ? = ?? ? + 2 ,从物理意义上看,即 n ? n ? ? n ? i ?1 ? i ?1 i ? 使汽车在时间段 ? 处的速度 , ? (i = 1, 2 , L , n) 上的速度变化很小,不妨认为它近似地以时刻 n ? n n?

? i ?1 ? ? i ?1 ? v? ? = ?? ? + 2 作匀速直线运动, ? n ? ? n ?
2

即 在 局 部 小 范 围 内 “ 以 匀 速 代 变 速 ” 于 是 用 小 矩 形 的 面 积 ?Si′ 近 似 的 代 替 ?Si , 则 有
2 ? ? i ? 1 ?2 ? 1 ? i ?1 ? ? i ?1? 1 2 ?Si ≈ ?Si′ = v ? ? ? + (i = 1,2, L , n) ① ? ? ?t = ? ? ? ? + 2 ? ? = ?? ? n ? ? n ? n n ? ? n ? ? n ? ?

(3)求和
n

由①得,

2 n n ? ? i ?1 ? ? i ?1 ? 1 2 ? ′ = ∑v? S n = ∑ ?Si + ? ? ?t = ∑ ? ? ? ? n? i =1 i =1 ? n ? i =1 ? ? n ? n ? ?

= = 从而得到 S 的近似值 S ≈ S n = (4)取极限

= =

当 n 趋向于无穷大时,即 ?t 趋向于 0 时, S n = ? ? 1 ?
n

1? 3?

1 ?? 1 ? ??1 ? ? + 2 趋向于 S , n ?? 2n ?

从而有 S = lim S n = lim
n →∞

n →∞

∑ n ?v? ?
i =1

1

? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 5 ? i ?1 ? ? = lim ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? + 2 ? = n ? n →∞ ? 3 ? n ? ? 2n ? ? 3

思考
2

结合求曲边梯形面积的过程,你认为汽车行驶的路程 S 与由直线 t = 0 , t = 1 , v = 0 和曲线

v = ?t + 2 所围成的曲边梯形的面积有什么关系?

归纳得到 一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为 v = v ( t ) ,那么我们也可以采用分割、近似代
替、求和、取极限的方法,利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想,求出它在 a≤ t ≤b 内所作的位 移S .

问题三 定积分的概念
从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现,它们都可以通过“分割、近似代替、求和、 取极限得到解决,且都归结为求一个特定形式和的极限,

1 S = lim ∑ f (ξ i ) ? ?x = lim ∑ f (ξ i ) ?x →0 n →∞
i =1 i =1

n

n

n

1 S = lim ∑ v(ξ i ) ? ?t = lim ∑ v(ξ i ) ?t →0 n →∞
i =1 i =1

n

n

n

事实上,许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限

☆定积分的概念
一般地,设函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上连续,用分点

a = x0 < x1 < x2 <L < xi ?1 < xi < L < xn = b
将区间 [ a, b] 等分成 n 个小区间,在每个小区间 [ xi ?1 , xi ] 上取一点 ξi ( i = 1, 2,L , n ) ,作和式:


i =1

n

f (ξ i ) ? ?x = ∑
i =1

n

b?a f (ξ i ) n

当 n → +∞ )时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上的定积分。记为:



b

a

f ( x)dx





b

a

f ( x)dx = lim ∑
n →∞ i =1

n

b?a f (ξ i ) n
变量,区间 [ a, b] 为 区间, b 积分 , a 积分 。

其中函数 f ( x ) 叫做 说明: (1)定积分 说明:

, x 叫做
b



a

f ( x)dx 是一个常数

(2)用定义求定积分的一般方法是:①分割: n 等分区间 [ a , b ] ;②近似代替:取点 ξi ∈ [ xi ?1 , xi ] ;③求 和:
n b b?a b?a f (ξi ) ;④取极限: ∫ f ( x)dx = lim ∑ f (ξi ) ∑ n a n →∞ n i =1 i =1 n

(3)曲边图形面积: S =

∫ f ( x )dx ;变速运动路程 S = ∫
b a

t2

t1

v(t )dt

☆定积分的几何意义
从几何上看,如果在区间[a,b]上的函数 f ( x ) 连续且恒有

f ( x) ≥ 0 。那么定积分 ∫ f ( x)dx 表示由直线 x = a , x = b
a

b

( a ≠ b ) y = 0 和曲线 y = f ( x) 所围成的曲边梯形的面积。 ,

☆定积分的性质
根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质 1 性质 2 性质 3 性质 4

∫ 1dx = b ? a
a

b

∫ ∫

a b

b

a
b

kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx (其中 k 是不为 0 的常数) (定积分的线性性质)
a

b

a

[ f1 ( x) ± f 2 ( x)]dx = ∫ f1 ( x)dx ± ∫ f 2 ( x)dx
a a

b

b

(定积分的线性性质)

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx (其中a < c < b)
a c

c

b

(定积分对积分区间的可加性) 说明:①推广: ②推广:

∫ [ f ( x) ± f
a

b

1

2

( x) ± L ± f m ( x)]dx = ∫ f1 ( x)dx ± ∫ f 2 ( x)dx ± L ± ∫ f m ( x)
a a a c2 b c1 ck

b

b

b



b

a

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + L + ∫ f ( x)dx
a

c1

③性质解释:
y

性质 1
y=1

y A C

4 性质B

M O a b x O a P b

N x

S曲边梯形AMNB = S曲边梯形AMPC + S曲边梯形CPNB
三.典例分析
例 1.利用定积分定义,证明

∫ 1dx = b ? a ,其中 a,b 均为常数且 a<b.
a

b

y

例 2 用定积分表示阴影部分的面积(不要求计算)
4 2

y = 2x

y

例 3. 1)计算定积分 ( )



2

1

( x + 1)dx (2) ∫ ( x + 1)dx
?2

2

O

2

4

8

x

四.巩固提高
1、定积分

∫ cdx
a

b

(c 为常数)的几何意义是

2、由 y=sinx, x=0,x= 3、定积分

π
2

,y=0 所围成图形的面积写成定积分的形式是 ( )



b

a

f ( x)dx 的大小

A、与 f (x ) 和积分区间 [a, b ] 有关,与 ξ i 的取法无关 B、与 f (x ) 有关,与区间 [a, b ] 及 ξ i 的取法无关 C、与 f (x ) 和 ξ i 的取法有关,与积分区间 [a, b ] 无关 D、与 f (x ) 、区间 [a, b ] 和 ξ i 的取法都有关 4、下列等式成立的个数是( ① )
π π π



1

0

f (t )dt = ∫ f ( x)dx ② ∫ 2 sin xdx + ∫π sin xdx = ∫ sin xdx
0
0 2 0

1





a

?a

x dx = 2 ∫ x dx
0

a

④ C、3



2

0

4 ? x 2 dx < ∫ 2dx
0

2

A、1 B、2 5、计算下列定积分

D、4

(1)



2

0

x 3 dx

(2)



2

?2

4 ? x 2 dx

(3)



1

0

(1 ? x)dx + ∫ ( x ? 1)dx
1

2

五 思悟小结
知识: 知识:定积分概念、几何意义 题型: 题型:定义求定积分,几何意义的应用 思想: 思想:以直代曲


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