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【金版学案】高中数学(人教A版)必修二练习:4.1.1圆的标准方程(含答案解析)

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第四章 4.1 4.1.1 圆与方程 圆的方程 圆的标准方程 A 级 基础巩固 一、选择题 1.已知点 P(a,a+1)在圆 x2+y2=25 内部,那么 a 的取值范围是( A.-4<a<3 C.-5<a<5 B.-5<a<4 D.-6<a<4 ) 解析:由 a2+(a+1)2<25 可得 2a2+2a-24<0, 解得-4<a<3. 答案:A 2.圆 x2+y2=1 的圆心到直线 3x+4y-25=0 的距离是( A.5 B.3 C.4 D.2 ) 解析:圆 x2+y2=1 的圆心为(0,0), 所以 d= 答案:A 3.若圆(x-a)2+(y-b)2=r2 过原点,则( A.a2+b2=0 C.a2+b2+r2=0 B.a2+b2=r2 D.a=0,b=0 ) |-25| =5. 32+42 解析:由题意得(0-a)2+(0-b)2=r2. 即 a2+b2=r2. 答案:B 4.圆(x-1)2+(y-1)2=1 上的点到直线 x-y=2 的距离的最大值是( A.2 C.2+ 2 2 B.1+ 2 D.1+2 2 ) |1-1-2| 解析: 圆(x-1)2+(y-1)2=1 的圆心为(1, 1), 圆心到直线 x-y=2 的距离为 = 1+1 2,圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离,即最大距离为 1+ 2. 答案:B 5.已知圆 C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x-y-1=0 对称,则圆 C2 的方程为( ) A.(x+2)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y-2)2=1 C.(x+2)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y+2)2=1 解 析 : 设 点 (x , y) 与 圆 C1 的 圆 心 ( - 1 , 1) , 关 于 直 线 x - y - 1 = 0 对 称 , 则 y-1 ? ?x+1=-1, ?x-1 y+1 ? ? 2 - 2 -1=0, ? ?x=2, 解得? 故圆 C2 的圆心为(2,-2),又知其半径为 1,故圆 C2 的方程为(x-2)2+ ?y=-2, ? (y+2)2=1. 答案:D 二、填空题 6.已知两圆 C1:(x-5)2+(y-3)2=9 和 C2:(x-2)2+(y+1)2=5,则两圆圆心间的距 离为__________. 解析:C1(5,3),C2(2,-1),根据两点间距离公式得|C1C2|= (5-2)2+(3+1)2= 5. 答案:5 7.圆心为直线 x-y+2=0 与直线 2x+y-8=0 的交点,且过原点的圆的标准方程是 ____________. ?x-y+2=0, ? 解析:由? 可 得 x = 2 , y = 4 , 即 圆 心 为 (2 , 4) 从 而 r = ?2x+y-8=0, ? (2-0)2+(4-0)2=2 5, 故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20. 答案:(x-2)2+(y-4)2=20. 8.点(5 a+1, a)在圆(x-1)2+y2=26 的内部,则 a 的取值范围是____________. 解析: 由于点在圆的内部, 所以(5 a+1-1)2+( a)2<26, 即 26a<26, 又 a≥0, 解得 0≤a<1. 答案:0≤a<1 三、解答题 9.求经过 A(-1,4),B(3,2)两点且圆心在 y 轴上的圆的方程. 解:法一 设圆心坐标为(a,b). 因为圆心在 y 轴上,所以 a=0. 设圆的标准方程为 x2+(y-b)2=r2. 因为该圆过 A,B 两点, 2 2 2 ? ? ?(-1) +(4-b) =r , ?b=1, ? 所以 2 解得? 2 2 2 ?3 +(2-b) =r , ?r =10. ? ? 所以所求圆的方程为 x2+(y-1)2=10. 法二 因为线段 AB 的中点坐标为(1,3),kAB= 2-4 1 =- , 2 3-(-1) 所以弦 AB 的垂直平分线方程为 y-3=2(x-1), 即 y=2x+1. ?y=2x+1, ?x=0, ? ? 由? 解得? ?x=0, ?y=1. ? ? 所以点(0,1)为圆的圆心. 由两点间的距离公式,得圆的半径 r= 10, 所以所求圆的方程为 x2+(y-1)2=10. 1 2 5 x- ? +(y+1)2= 关于直线 x-y+1=0 对称的圆的方程. 10.求圆? ? 2? 4 1 2 1 5 x- ? +(y+1)2= 的圆心为 M? ,-1?, 解:圆? ? 2? ?2 ? 4 半径 r= 5 .设所求圆的圆心为(m,n), 2 1 ? 因为它与? ?2,-1?关于直线 x-y+1=0 对称, ? m=-2, ? ? ? 因为? 解得? 3 1 ? ?n=2. m+ 2 n-1 ? ? 2 - 2 +1=0, 3? 5 所以所求圆的圆心坐标为? ?-2,2?,半径 r= 2 . 3 2 5 y- ? = . 所以对称圆的方程是(x+2)2+? ? 2? 4 B 级 能力提升 1.过点 P(1,1)的直线将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积 之差最大,则该直线的方程为( A.x+y-2=0 C.x-y=0 ) n+1 × 1=-1, 1 m- 2 B.y-1=0 D.x+3y-4=0 解析:两部分面积之差最大,即弦长最短,此时直线垂直于过该点的直径. 因为过点 P(1,1)的直径所在直线的斜率为 1,所以所求直线的斜率为-1,方程 x+y -2=0. 答案:A 2.已知圆 C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N 分别是圆 C1, C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为________. 解析:两圆的圆心均在第一象限,先求|PC1|+|PC2|的最小值. 作点 C1 关于 x 轴的对称点 C′1(2,-

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