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第三讲 函数的奇偶性(教师版)

时间:2017-06-17


第三讲
1.奇、偶函数的概念

函数的奇偶性

一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做偶 函数. 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)就叫做 奇函数. 奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称. 2.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调 性相反. (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积都是偶函数;③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数. 3.周期性 (1)周期函数: 对于函数 y=f(x), 如果存在一个非零常数 T, 使得当 x 取定义域内的任何值时, 都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期.

一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称. 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件. 两个性质 (1)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. (2)设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 三种方法 判断函数的奇偶性,一般有三种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法. 三条结论 (1)若对于 R 上的任意的 x 都有 f(2a-x)=f(x)或 f(-x)=f(2a+x),则 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称. (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a-x)=f(x),且 f(2b-x)=f(x)(其中 a<b),则:y=f(x)是以

2(b-a)为周期的周期函数. 1 1 (3)若 f(x+a)=-f(x)或 f(x+a)= 或 f(x+a)=- ,那么函数 f(x)是周期函数,其中一个 f?x? f?x? 周期为 T=2a; (3)若 f(x+a)=f(x+b)(a≠b),那么函数 f(x)是周期函数,其中一个周期为 T=2|a-b|.

1 . ( 课本改编题 ) 已知 f(x) = ax2 + bx 是定义在 [a - 1,2a] 上的偶函数,那么 a + b 的值是 ________. 2.(课本改编题)下列函数中,所有奇函数的序号是________. x2+1 ①f(x)=2x4+3x2;②f(x)=x3-2x;③f(x)= ;④f(x)=x3+1. x 3.(2011· 广东)设函数 f(x)=x3cos x+1.若 f(a)=11,则 f(-a)=________. 4.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是________. 5.定义在 R 上的函数 y=f(x)是奇函数,且满足 f(1+x)=f(1-x).当 x∈[-1,1]时,f(x)=x3, 则 f(2 013)的值是 A.-1 B.0 C.1 D.2 ). ( )

5? 6. (2011· 全国)设 f(x)是周期为 2 的奇函数, 当 0≤x≤1 时, f(x)=2x(1-x), 则 f? ?-2?=( 1 A.- 2 1 B.- 4 1 C. 4 1 D. 2 ). D.直线 y=x 对称

1 7.(2012· 福州一中月考)f(x)= -x 的图象关于( x A.y 轴对称 B.直线 y=-x 对

C.坐标原点对称

8.(2011· 广东)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 ( ). B.f(x)-|g(x)|是奇函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数

A.f(x)+|g(x)|是偶函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数

10.(2011· 浙江)若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 解析 法一 ∵f(-x)=f(x)对于 x∈R 恒成立,∴|-x+a|=|x+a|对于 x∈R 恒成立,两边平 方整理得 ax=0 对于 x∈R 恒成立,故 a=0. 法二 由 f(-1)=f(1), 得|a-1|=|a+1|,得 a=0. 答案 0 11.(2005 年北京西城区模拟题)定义在 R 上的奇函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,又 f(-3)=0,则不等式 xf(x)<0 的解集为 A.(-3,0)∪(0,3) B.(-∞,-3)∪(3,+∞) C.(-3,0)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)

解析:由奇偶性和单调性的关系结合图象来解. 答案:A 12.定义在[-2,2]上的偶函数 g(x) ,当 x≥0 时,g(x)单调递减,若 g(1-m)<g (m) ,求 m 的取值范围________. 解:由 g(1-m)<g(m)及 g(x)为偶函数,可得 g(|1-m|)<g(|m|).又 g(x)在(0, +∞)上单调递减,∴|1-m|>|m|,且|1-m|≤2,|m|≤2,解得-1≤m<

1 . 2

题型一 函数奇偶性的判断及奇偶性质的运用 例1 判断下列函数的奇偶性. (2)f(x)=(x+1) 1-x ; 1+x 4-x2 (3)f(x)= . |x+3|-3

(1)f(x)= 9-x2+ x2-9;

探究提高 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域 对解决问题是有利的; (2)判断 f(x)与 f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性 的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数, 分段函数奇偶性的判断, 要分别 从 x>0 或 x<0 来寻找等式 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x)成立,只有当对称的两个区间上满 足相同关系时,分段函数才具有确定的奇偶性. 判断下列函数的奇偶性. 1-x 2+x (1)f(x)=lg ;(2)f(x)=(x-1) ; 1+x 2-x
2 2 (3)f(x)={x +x ?x>0?,?x -x ?x<0?; (4)f(x)=

lg?1-x2? . |x2-2|-2

例 2 已知函数 f ( x) ?

a ? 2x ? a ? 2 是定义在实数集上的奇函数,求函数的解析式。 2x ?1

分析:用 f(-x)=-f(x) (x∈R)较繁,用 f(0)=0 可较方便地求得 a=1, f ( x) ?

2x ? 2 2x ?1

例 3 .已知 f(x)是奇函数,当 x∈(0,1)时,f(x)=lg f(x)的表达式是__________.

1 ,那么当 x∈(-1,0)时, 1? x 1 =lg(1-x). 1? x

解析:当 x∈(-1,0)时,-x∈(0,1) ,∴f(x)=-f(-x)=-lg 答案:lg(1-x)

例 4 已 知 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 [0,??) 上 为 减 函 数 , 若

f ( a 2 ? a ? 2 ) ? f (2a ? 1) ,求实数 a 的取值范围。

2 简解:f(x)是R上的偶函数且在 [0,??) 上为减函数,∴由 f ( a ? a ? 2 ) ? f ( 2a ? 1) 有:

a 2 ? a ? 2 ? f (2a ? 1)

? a2 ? a ? 2 ? 0 ?? 2 解得 a≤-1 或 a≥2. 2 ?a ? a ? 2 ? ( 2a ? 1)

例 5 已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]内递减,求满足:f(1-m)+f(1- m2)<0 的实数 m 的取值范围. 解 ∵f(x)的定义域为[-2,2],
?-2≤1-m≤2, ? ∴有? 2 ?-2≤1-m ≤2, ?

解得-1≤m≤ 3.① 又 f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减, ∴在[-2,2]上递减, ∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1)?1-m>m2-1, 即-2<m<1.② 综合①②可知,-1≤m<1.

题型二 抽象函数的单调性与奇偶性 例 2.定义在实数集上的函数 f(x),对任意 x,y∈R,有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且 f(0)≠0 ①求证:f(0)=1 ②求证:y=f(x)是偶函数 2 证:①令 x=y=0,则 f(0)+f(0)=2f (0) ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 ②令 x=0,则 f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y) ∴f(-y)=f(y) ∴y=f(x)是偶函数 变式:定义在 R 上的函数 y=f(x),对任意 x1,x2 都有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),判断函数 y=f(x) 的奇偶性并证明。 解:令 x1=x2=0 则 f(0)=f(0)+f(0) ∴f(0)=0 令 x1=x x2= -x 则 f(0)=f(x)+f(-x) ∴f(-x)= - f(x) ∴y=f(x)是奇函数 例2 定义在(-1,1)上的函数 f(x).

(ⅰ)对任意 x,y∈(-1,1)都有:f(x)+f(y)=f?

? x+y ?; ? ?1+xy?

(ⅱ)当 x∈(-∞,0)时,f(x)>0,回答下列问题. (1)判断 f(x)在(-1,1)上的奇偶性,并说明理由; (2)判断函数 f(x)在(0,1)上的单调性,并说明理由; 1? 1 ?1? ? 1 ? ? 1 ? (3)若 f? ?5?=2,试求 f?2?-f?11?-f?19?的值. 探究提高 对于抽象函数单调性和奇偶性的判断一般要紧扣定义.通过赋值要出现:f(x1) -f(x2)与 0 的大小关系, f(x)与 f(-x)的关系. 就本题来讲要注意运用 x<0 时 f(x)>0 的条件. 函数 y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当 x∈(0,+∞)时是增函数,若 f(1)=0,求不

1 等式 f[x(x- )]<0 的解集. 2 题型三 函数的奇偶性与周期性 例3 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2] 时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 011). 探究提高 判断函数的周期只需证明 f(x+T)=f(x) (T≠0)便可证明函数是周期函数,且周 期为 T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题,是高考考查的重点问题. 1 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)=- ,当 2≤x≤3 时,f(x) f?x? =x,则 f(105.5)=________. 【例 3】?已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且 f(x)的图象关于 x=1 对称,当 x∈[0,1] 时,f(x)=2x-1, (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[1,2]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)的值. [审题视点] (1)只需证明 f(x+T)=f(x),即可说明 f(x)为周期函数; (2)由 f(x)在[0,1]上的解析式及 f(x)图象关于 x=1 对称求得 f(x)在[1,2]上的解析式; (3)由周期性求和的值. (1)证明 函数 f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x),函数 f(x)的图象关于 x=1 对称,则 f(2+x) =f(-x)=-f(x),所以 f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x),所以 f(x)是以 4 为周期的周期 函数. (2)解 当 x∈[1,2]时,2-x∈[0,1], 又 f(x)的图象关于 x=1 对称,则 f(x)=f(2-x)=22 x-1,x∈[1,2].


(3)解 ∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0, f(3)=f(-1)=-f(1)=-1 又 f(x)是以 4 为周期的周期函数. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013) =f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1. 判断函数的周期只需证明 f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期 为 T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题,是高考考查的重点问题. 【训练 3】 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, g(x)是定义在 R 上的奇函数, 且 g(x)=f(x-1), 则 f(2 013)+f(2 015)的值为( ).

A.-1 B.1 C.0 D.无法计算 解析 由题意,得 g(-x)=f(-x-1),

又∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, g(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴g(-x)=-g(x), f(-x)=f(x), ∴f(x-1)=-f(x+1), ∴f(x)=-f(x+2),∴f(x)=f(x+4), ∴f(x)的周期为 4, ∴f(2 013)=f(1),f(2 015)=f(3)=f(-1), 又∵f(1)=f(-1)=g(0)=0, ∴f(2 013)+f(2 015)=0. 答案 C 【示例】 ?(本题满分 12 分)(2011· 沈阳模拟)设 f(x)是(-∞, +∞)上的奇函数, f(x+2)=-f(x), 当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调增(或减)区间. 第(1)问先求函数 f(x)的周期,再求 f(π); 第(2)问,推断函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,再结合周期画出图象,由图象易求面 积; 第(3)问,由图象观察写出. [解答示范] (1)由 f(x+2)=-f(x)得, f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数,(2 分) ∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π) =-(4-π)=π-4.(4 分) (2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x),得:f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即 f(1+x) =f(1-x).

故知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称.(6 分) 又 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成中心对称,则 f(x)的图象如图所示.(8 分) 当-4≤x≤4 时,f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S,则 1 ? S=4S△OAB=4×? ?2×2×1?=4.(10 分) (3)函数 f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z),单调递减区间[4k+1,4k+3](k∈Z).(12 分) 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周期性将未知

区间上的问题转化为已知区间上的问题. 【试一试】 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数, 则( ). B.f(80)<f(11)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)

A.f(-25)<f(11)<f(80) C.f(11)<f(80)<f(-25)

[尝试解答] 由函数 f(x)是奇函数且 f(x)在[0,2]上是增函数可以推知,f(x)在[-2,2]上递增, 又 f(x-4)=-f(x)?f(x-8)=-f(x-4)=f(x),故函数 f(x)以 8 为周期,f(-25)=f(-1),f(11) =f(3)=-f(3-4)=f(1),f(80)=f(0),故 f(-25)<f(80)<f(11).故选 D. 答案 D

方法与技巧 1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数 f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件; (2)f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要 f?-x? 先将函数进行化简,或应用定义的等价形式: f( - x) = ± f(x) ? f( - x)± f(x) = 0 ? = f?x? ± 1(f(x)≠0). 3.奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 y 轴对称,反之也真.利用这一性质可 简化一些函数图像的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性. 失误与防范 1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称 是函数具有奇偶性的一个必要条件. 2.判断函数 f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个 x,均有 f(-x)=-f(x),而不能说存在 x0 使 f(-x0)=-f(x0).对于偶函数的判断以此类推. 3.分段函数奇偶性判定时,要以整体的观点进行判断,不可以利用函数在定义域某一区间 上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性.

课时规范训练 (时间:60 分钟) A 组 专项基础训练题组 一、选择题 1.(2011· 课标全国)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是 A.y=x
3

(

)

B.y=|x|+1 D.y=2
-|x|

C.y=-x2+1 2.(2011· 辽宁)若函数 f(x)= 1 A. 2 2 B. 3

x 为奇函数,则 a 等于 ?2x+1??x-a? 3 C. D.1 4

(

)

3.函数 f(x)在定义域 R 上不是常数函数,且 f(x)满足条件:对任意 x∈R,都有 f(2+x)=f(2 -x),f(1+x)=-f(x),则 f(x) A.是奇函数但非偶函数 B.是偶函数但非奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数 4. 已知 f(x)在 R 上是奇函数, 且满足 f(x+4)=f(x), 当 x∈(0,2)时, f(x)=2x2, 则 f(7)等于( A.-2 二、填空题 ?x+1??x+a? 5.设函数 f(x)= 为奇函数,则 a=________. x 6.(2010· 江苏)设函数 f(x)=x(ex+ae x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为________.


(

)

)

B.2

C.-98

D.98

7.(2010· 山东高考改编)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为常 数),则 f(-1)=______. 三、解答题 a 8.已知函数 f(x)=x2+ (x≠0). x (1)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若 f(1)=2,试判断 f(x)在[2,+∞)上的单调性. B 组 专项能力提升题组 一、选择题 1.(2011· 安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)等于( A.-3 B.-1 C.1 D.3 )

2a-3 2.设奇函数 f(x)的定义域为 R,最小正周期 T=3,若 f(1)≥1,f(2)= ,则 a 的取值范 a+1 围是 2 A.a<-1 或 a≥ 3 2 C.-1<a≤ 3 B.a<-1 2 D.a≤ 3 ( )

3.定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数,且 f(x)=f(2-x).若 f(x)在区间[1,2]上是减函数,则 f(x) ( A.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数 B.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数 D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数 二、填空题 3? ? 3? 4.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足条件 f? ?x+2?=-f(x),且函数 y=f?x-4?为奇函数, 给出以下四个命题: ①函数 f(x)是周期函数; 3 ? ②函数 f(x)的图像关于点? ?-4,0?对称; ③函数 f(x)为 R 上的偶函数; ④函数 f(x)为 R 上的单调函数. 其中真命题的序号为________. 5.(2011· 浙江)若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. ax+1 6.对于函数 f(x)= (其中 a 为实数,x≠1),给出下列命题: x-1 ①当 a=1 时,f(x)在定义域上为单调函数; ②f(x)的图像关于点(1,a)对称; ③对任意 a∈R,f(x)都不是奇函数; ④当 a=-1 时,f(x)为偶函数; ⑤当 a=2 时,对于满足条件 2<x1<x2 的所有 x1、x2 总有 f(x1)-f(x2)<3(x2-x1). 其中正确命题的序号为________. 三、解答题 7.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它的图像关于直线 x=1 对称. (1)求证:f(x)是周期为 4 的周期函数; (2)若 f(x)= x (0<x≤1),求 x∈[-5,-4]时,函数 f(x)的解析式. 8.函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1,f(x-1)<2,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范围. )

答案 要点梳理 1.f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) 2.(1)相同 相反 (2)①奇函数 ②偶函数 ③奇函数 3.(1)f(x) (2)存在一个最小 基础自测 1 1. 2.②③ 3.-9 3 4.(-1,0)∪(1,+∞) 5.C 题型分类· 深度剖析 2 ? ?9-x ≥0 ? 例 1 解 (1)由 2 ,得 x=± 3. ?x -9≥0 ? ∴f(x)的定义域为{-3,3}. 又 f(3)+f(-3)=0,f(3)-f(-3)=0. 即 f(x)=± f(-x). ∴f(x)既是奇函数,又是偶函数. 1-x ? ? ≥0 (2)由?1+x ,得-1<x≤1. ? ?1+x≠0 ∵f(x)的定义域(-1,1]不关于原点对称. ∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 2 ? ?4-x ≥0 (3)由? ,得-2≤x≤2 且 x≠0. ?|x+3|-3≠0 ? ∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称. 4-x2 4-x2 ∴f(x)= = . x ?x+3?-3 ∴f(x)=-f(-x),∴f(x)是奇函数. 1-x 变式训练 1 解 (1)由 >0?-1<x<1,定义域关于原点对称. 1+x 1+x ?1-x?-1 又 f(-x)=lg =lg? ? 1-x ?1+x? 1-x =-lg =-f(x), 1+x 故原函数是奇函数. 2+x (2)由 ≥0 且 2-x≠0?-2≤x<2, 2-x 定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数. (3)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又当 x>0 时,f(x)=x2+x,则当 x<0 时,-x>0,故 f(-x)=x2-x=f(x); 当 x<0 时,f(x)=x2-x, 则当 x>0 时,-x<0,

故 f(-x)=x2+x=f(x), 故原函数是偶函数. 2 ? ?1-x >0, (4)由? 2 得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称, ?|x -2|-2≠0 ? lg?1-x2? lg?1-x2? ∴f(x)= =- . x2 -?x2-2?-2 lg[1-?-x?2] lg?1-x2? ∵f(-x)=- =- =f(x),∴f(x)为偶函数. 2 x2 ?-x? 例2 解 (1)令 x=y=0?f(0)=0, 令 y=-x,则 f(x)+f(-x)=0?f(-x)=-f(x)?f(x)在(-1,1)上是奇函数. (2)设 0<x1<x2<1, 则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) ? x1-x2 ?, =f? ? ?1-x1x2? x1-x2 而 x1-x2<0,0<x1x2<1? <0 1-x1x2 ? x1-x2 ?>0, ?f? ? ?1-x1x2? 即当 0<x1<x2<1 时,f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(0,1)上单调递减. 1? ?1? (3)由于 f? ?2?-f?5? 1? ? 1? =f? ?2?+f?-5? 1 1 - 2 5 ?1? =f 1 =f?3?, 1- 2×5 1? ? 1 ? ?1? 同理,f? ?3?-f?11?=f?4?, 1? ? 1 ? ?1? f? ?4?-f?19?=f?5?, 1? ? 1 ? ? 1 ? ∴f? ?2?-f?11?-f?19? 1? 1 =2f? = 2 × =1. ?5? 2

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变式训练 2 解 ∵y=f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数, ∴y=f(x)在(-∞,0)上也是增函数, 且由 f(1)=0 得 f(-1)=0. 1 若 f[x(x- )]<0=f(1), 2 1 x?x- ?>0 2 则 1 x?x- ?<1 2 1 即 0<x(x- )<1, 2

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1+ 17 1- 17 1 解得 <x< 或 <x<0. 2 4 4 1 若 f[x(x- )]<0=f(-1), 2 1 x?x- ?<0 2 则 1 x?x- ?<-1 2 1 由 x(x- )<-1,解得 x∈?. 2

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∴原不等式的解集是 1+ 17 1- 17 1 {x| <x< 或 <x<0}. 2 4 4 例3 (1)证明 ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)解 ∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2], ∴4-x∈[0,2], ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8,又 f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x2+6x-8, 即 f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4]. (3)解 =0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 011)=0. 变式训练 3 2.5 课时规范训练 A组 1.B 2.A 3.B 4.A 5.-1 6.-1 7.-3 8.解 (1)当 a=0 时,f(x)=x2, f(-x)=f(x),函数是偶函数. a 当 a≠0 时,f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R),取 x=± 1,得 f(-1)+f(1)=2≠0; x f(-1)-f(1)=-2a≠0, ∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1). ∴函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)若 f(1)=2,即 1+a=2,解得 a=1, 1 这时 f(x)=x2+ . x 任取 x1,x2∈[2,+∞),且 x1<x2, 1 ? 2 1? 则 f(x1)-f(x2)=(x2 1+ )- x2+x x1 ? 2? ∵f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)

x2-x1 =(x1+x2)(x1-x2)+ x1x2 1 ? =(x1-x2)? ?x1+x2-x1x2?. 由于 x1≥2,x2≥2,且 x1<x2, 1 ∴x1-x2<0,x1+x2> , x1x2 所以 f(x1)<f(x2), 故 f(x)在[2,+∞)上是单调递增函数. B组 1.A 2.C 3.B 6.②③⑤ 4.①②③ 5.0

7.(1)证明 由函数 f(x)的图像关于直线 x=1 对称,有 f(x+1)=f(1-x), 即有 f(-x)=f(x+2). 又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 故有 f(-x)=-f(x). 故 f(x+2)=-f(x). 从而 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即 f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)解 由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0. x∈[-1,0)时,-x∈(0,1], f(x)=-f(-x)=- -x. 故 x∈[-1,0]时,f(x)=- -x. x∈[-5,-4]时,x+4∈[-1,0], f(x)=f(x+4)=- -x-4. 从而,x∈[-5,-4]时, 函数 f(x)=- -x-4. 8.解 (1)∵对于任意 x1,x2∈D, 有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2), ∴令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1), ∴f(1)=0. (2)令 x1=x2=-1, 有 f(1)=f(-1)+f(-1), 1 ∴f(-1)= f(1)=0. 2 令 x1=-1,x2=x 有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数. (3)依题设有 f(4×4)=f(4)+f(4)=2, 由(2)知,f(x)是偶函数, ∴f(x-1)<2?f(|x-1|)<f(16). 又 f(x)在(0,+∞)上是增函数.

∴0<|x-1|<16, 解之得-15<x<17 且 x≠1. ∴x 的取值范围是{x|-15<x<17 且 x≠1}.


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