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三角函数知识点总结及精炼习题

时间:2011-08-15


基本三角函数 Ⅰ
α α ∈Ⅰ α ∈Ⅱ α ∈Ⅲ α ∈Ⅳ
α α α α
2 2 2 2

α
2 ∈ Ⅰ、Ⅲ ∈ Ⅰ、Ⅲ ∈ Ⅱ、Ⅳ ∈ Ⅱ、Ⅳ



轴上的角的集合: 终边落在 x 轴上的角的集合: {α α = κπ , κ ∈ z}
? 2 ?

终边落在 y

轴上的角的集合: ? 轴上的角的集合: ?α α = κπ + π , κ ∈ z ? ? 合: ?αα = κ π ,κ ∈z? ? ?
? 2 ?
360 度 = 2 π 1° = 1 180 弧度

终边落在坐标轴上的角的集

l=α r S = 1 1 l r= α r2 2 2

π
180
.

弧度 = 180

弧度
°

π
弧度



基本三角函数符号记 忆: 一全,二正弦,三切,四 “一全,二正弦,三切, 余弦” 余弦”

= π

倒数关系: 倒数关系: SinαCscα = 1 数之积为 1

tanα cot α = 1

正六边形对角线上对应的三角函

CosαSecα = 1

tan 2 α + 1 = Sec 2α

平方关系: 2α 平方关系: Sin

+ Cos 2α = 1

1 + Cot 2α = Csc 2α

三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等与对 边对应的三角函数的平方

乘积关系: 乘积关系: Sinα = tanαCosα

, 顶点的三角函数等于相邻的点 对应的函数乘积



诱导公式

终边相同的角的三角函数值相等

Sin (α + 2 kπ ) = Sin α , k ∈ z Cos (α + 2 kπ ) = Cos α , k ∈ z tan (α + 2 kπ ) = tan α , k∈z

角α与角 ? α关于x轴对称

Sin(? α ) = ?Sinα Cos(? α ) = Cosα

tan(? α ) = ? tanα
Sin(π ? α ) = Sinα Cos(π ? α ) = ?Cosα tan(π ? α ) = ? tan α

角π ? α与角α关于y轴对称

Sin (π + α ) = ? Sin α 角π + α与角α关于原点对称 Cos (π + α ) = ? Cos α tan (π + α ) = tan α
?π ? Sin ? ? α ? = Cos α ? 2 ? ?π ? Cos ? ? α ? = Sin α ? 2 ? ?π ? tan ? ? α ? = cot α ? 2 ?
?π ? Sin ? + α ? = Cos α ? 2 ? ?π ? Cos ? + α ? = ? Sin α ? 2 ? ?π ? tan ? + α ? = ? cot α ? 2 ?



π
2

? α与角α关于y = x对称

上述的诱导公式记忆口诀: 奇变偶不变, “ 符号看象限” 上述的诱导公式记忆口诀: 奇变偶不变, 符号看象限” Ⅳ 周期问题

y = ASin y = ACos y = ASin y = ACos y = ASin y = ACos

(ω x (ω x (ω x

+ ? + ? + ?

) ) )

, A > 0 ,ω > 0 , , A > 0 ,ω > 0 , , A > 0 ,ω > 0 , , A > 0 ,ω > 0 , b b

T = T =



ω



(ω x (ω x (ω x

+ ? + ? + ?

) )+ )+

ω π T = ω π T = ω
, , T = T =

, A > 0 ,ω > 0 , b ≠ 0 , A > 0 ,ω > 0 , b ≠ 0

2π 2π

ω

ω

y = A tan (ω x + ? ) , A > 0 , ω > 0 , y = A cot (ω x + ? ) , A > 0 , ω > 0 , y = A tan (ω x + ? ) y = A cot (ω x + ? ) , A > 0 ,ω > 0 , , A > 0 ,ω > 0 ,

π ω π T = ω
T = T =

π ω π T = ω

Ⅴ 性 质 定义域 值 域 周期性 奇偶性 单调性

三角函数的性质
y = Sin x y = Cos x

R

R

[? 1,1]


[? 1,1]


奇函数
π π? ? ?2kπ ? 2 ,2kπ + 2 ?, k ∈ z , 增函数 ? ? π 3π ? ? 2kπ + ,2kπ + ?, k ∈ z , 减函数 ? 2 2? ?

偶函数

[2kπ ? π ,2kπ ], k ∈ z, 增函数 [2kπ ,2kπ + π ], k ∈ z, 减函数

对称中 心 对称轴

(kπ ,0), k ∈ z
π
2

π ? ? ? kπ + ,0 ?, k ∈ z 2 ? ?
x = kπ , k ∈ z

x = kπ +

,k ∈ z

5

4

3



5

y
2

4

1
3

x
y
-8

-2π -6

-3π /2 -4



-2

-π /2

O

π /2

2

π

4

3π /2

6



8

2

-1
1

-π /2
-8

3π /2 O π /2 2 π
4 6

x 2π
8

-2

-2π-6

-3π /2

-4



-2

-3
-1

-4
-2

-5
-3



-4

-5

-6

性 质 定义域 值 域 周期性 奇偶性 单调性 对称中 心 对称轴

y = tan x
? ? π ? x x ≠ κπ + , κ ∈ z ? 2 ? ?

y = cot x

{x x ≠ κπ , κ ∈ z}

R
π

R
π

奇函数
π π ? ? ? k π ? , k π + ? , k ∈ z , 增函数 2 2? ?

奇函数
(kπ , kπ + π ), k ∈ z, 增函数
π ? ? ,0 ? , k ∈ z ? kπ + 2 ? ?

(k π , 0 ), k ∈

z


10 8 6


y

y
4

2

x
-15 -10 -5

-3π /2 -π

-π /2

O

π /2

π 3π /2 5

10

15



-2

0

x

-4

-6

-8

-10


怎样由y = Sinx变化为y = ASin(ωx + ? ) + k



振幅变化: y = Sinx
y = ASinωx y = ASin(ωx + ? )

y = ASinx

左右伸缩变化: 平 移 变 化





上下平移变化

y = ASin(ωx + ? ) + k

三角形中的三角问题
A+ B+C =π
Sin ( A + B ) = Sin (C )

,

A+ B+C π = 2 2

,

A+B π C = 2 2 2
? A+ B? ?C ? Sin ? ? = Cos ? ? ? 2 ? ? 2 ?

Cos ( A + B ) = ? Cos (C )

? A+ B? ?C ? Cos ? ? = Sin ? ? ? 2 ? ? 2 ?

正弦定理: 正弦定理:

a b c a+b+c = = = 2R = SinA SinB SinC SinA + SinB + SinC
2

余弦定理: a 余弦定理:

= b 2 + c 2 ? 2bcCosA , b 2 = a 2 + c 2 ? 2acCosB c 2 = a 2 + b 2 ? 2abCosC b2 + c2 ? a 2 a2 + c2 ? b2 , CosB = 2bc 2ac 2 2 2 a +b ?c CosC = 2ab

变形: 变形:

CosA =

tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C

三角公式以及恒等变换 两角的和与差公式: 两角的和与差公式:
Sin (α + β ) = Sin αCos β + Cos αSin β Sin (α ? β ) = Sin αCos β ? Cos αSin β , S (α + β ) , S (α ? β )

Cos (α ? β ) = Cos α Cos β + Sin α Sin β , C ( α ? β ) tan (α + β ) = tan α + tan β 1 ? tan α tan β tan α ? tan β tan (α ? β ) = 1 + tan α tan β , T (α + β ) , T (α ? β )

Cos (α + β ) = Cos α Cos β ? Sin α Sin β , C ( α + β )

变形: 变形:

tanα + tan β = tan(α + β )(1 ? tanα tan β ) tanα ? tan β = tan(α ? β )(1 + tanα tan β ) tanα + tan β + tan χ = tanα tan β tan χ 其中α , β , χ为三角形的三个内角

Sin2α = 2Sin Cos α α
二倍角公式: 二倍角公式:

2 Cos α = 2Cos2α ?1 = 1? 2Sin2α = Cos2α ? Sin2α tan2α = 2 tanα 1? tan2 α
1 ? Cos α 2 1 + Cos α 2

Sin
半角公式: 半角公式:

α
2

= ± = ±

Cos

α
2

1? Cos Sinα 1? Cos α α α tan = ± = = 2 1+ Cos 1+ Cos α α Sinα
1 + Cos2α 1 ? Cos2α , Sin2α = 2 2

降幂扩角公式: 降幂扩角公式: Cos α =
2

1 [Sin(α + β ) + Sin(α ? β )] 2 1 CosαSinβ = [Sin(α + β ) ? Sin(α ? β )] 2 1 积化和差公式: 积化和差公式: CosαCosβ = [Cos(α + β ) + Cos(α ? β )] 2 1 SinαSinβ = ? [Cos(α + β ) ? Cos(α ? β )] 2 SinαCosβ =
和差化积公式: 和差化积公式:
?α + β ? ?α Sin α + Sin β = 2 Sin ? ?Cos ? ? 2 ? ? ?α + β ? ?α Sin α ? Sin β = 2Cos ? ? Sin ? 2 ? ? ? ?β ? ? 2 ? ?β? ? 2 ? ?β? ? 2 ? ?β? ? 2 ?

?α + β ? ?α Cos α + Cos β = 2Cos ? ?Cos ? ? 2 ? ? ?α + β ? ?α Cos α ? Cos β = ?2 Sin ? ? Sin ? ? 2 ? ?

(

S + S = 2 SC S ? S = 2CS C + C = 2CC C ? C = ?2 SS



万能公式: 万能公式:
Sin

α

=

2 1 + 1 ? 1 +

tan tan tan tan

α
2
2

α
2

2

α α
2 2

Cos

α

=

(

S +T ?C ? + )

2

tan α =

2 tan 1 ? tan

α
2
2

α
2

1 . y = aSin α + bCos α = 2. y = aCos α + bSin α = = a 2 + b 2 Cos (α ? ? ) 3. y = aSin α ? bCos α =

a 2 + b 2 Sin (α + ? ) a 2 + b 2 Sin (α + ? )

其中 , 其中 , 其中 ,

tan ? =

a 2 + b 2 Sin (α ? ? )

其中 ,

= ? a 2 + b 2 Cos (α + ? ) 其中 , 4. y = aCos α ? bSin α = a 2 + b 2 Sin (? ? α )

b a a tan ? = b b tan ? = a b tan ? = a a tan ? = b tan ? = a b

= ? a 2 + b 2 Sin (α ? ? ) 其中 , = a 2 + b 2 Cos (? + α ) 其中 ,

b a 注 : 不同的形式有不同的化 归, 相同的形式也有不同的 化归 , 进而可以 tan ? = 求解最值问题 . 不需要死记公式 , 只要记忆 1. 的推导即表达技巧 , 其它 的就可以直接写出 . 一般是表达式第一项是 正弦的就用两角和与差 的正弦来靠 , 第一 项是余弦的就用两角和 与差的与弦来靠 . 比较容易理解和掌握 .

补充: ? 补充: 1. 由公式

tan (α + β ) =

tan α + tan β 1 ? tan α tan β tan α ? tan β tan (α ? β ) = 1 + tan α tan β

, T (α + β ) , T (α ? β )

可以推导 : 当α + β = κπ +

π
4

时, κ ∈ z , (1 + tan α )(1 + tan β ) = 2

在有些题目中应用广泛。 2.
tan α + tan β + tan (α + β ) tan α tan β = tan (α + β )

补充 1.常见三角不等式: (1)若 x ∈ (0, (2) 若 x ∈ (0,
π π
2 ) ,则 sin x < x < tan x .
) ,则 1 < sin x + cos x ≤ 2 .

(3) |sin x | + | cos x |≥1. 2. sin(α + β ) sin(α ? β ) = sin 2 α ? sin 2 β (平方正弦公式); cos(α + β ) cos(α ? β ) = cos 2 α ? sin 2 β . a sin α + b cos α = a 2 + b 2 sin(α + ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 (a, b) 的

2

象限决定, tan ? =

b a

).
1 1 1 aha = bhb = chc ( ha、hb、hc 分别表 2 2 2

3.三角形面积定理: (1)S = (2) S
=

示 a、b、c 边上的高).
1 1 1 a b s in C = b c s in A = c a s in B 2 2 2 1 (3) S?OAB = (| OA | ? | OB |) 2 ? (OA ? OB) 2 . 2

.

4.三角形内角和定理
? 2C = 2π ? 2( A + B ) .

在△ABC 中,有
C π A+ B = ? 2 2 2

A + B + C = π ? C = π ? ( A + B) ?

5. 正弦型函数 y = A sin(ωx + φ ) 的对称轴为
x = kπ +

π ω
2



(k ∈ Z ) ;

对称中心为 (

kπ ?φ

ω

,0)(k ∈ Z) ;

类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心;

精炼习题
一、选择题: 选择题:
1. (如中)为了得到函数 y = sin ? 2 x ?

? ?

π?

? 的图象,可以将函数 y = cos 2 x 的图象( 6?



A 向右平移

π
6

B 向右平移

π
3

C 向左平移

π
6

D 向左平移

π
3

错误分析:审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误. 答案: B 2.(如中)函数 y = sin x?1 + tan x ? tan

? ?

x? ? 的最小正周期为 2?
D

(

)

A

π

B 2π

C

π
2

3π 2

错误分析:将函数解析式化为 y = tan x 后得到周期 T = π ,而忽视了定义域的限制,导致 出错. 答案: B

3.(石庄中学)

π π 1 曲线 y=2sin(x+ ) cos(x- )和直线 y= 在 y 轴右侧的交点按横坐标从
4 4 2

小到大依次记为 P1、P2、P3……,则|P2P4|等于 ( ) A.π B.2π C.3π D.4π 正确答案:A 错因:学生对该解析式不能变形,化简为 Asin( ω x+ ? )的形式,从 而借助函数图象和函数的周期性求出|P2P 4 |。 4.(石庄中学)下列四个函数 y=tan2x,y=cos2x,y=sin4x,y=cot(x+

π
4

),其中以点(

π
4

,0)

为中心对称的三角函数有( )个 A.1 B.2 C.3 D.4 正确答案:D 错因:学生对三角函数图象的对称性和平移变换未能熟练掌握。 5.(石庄中学)函数 y=Asin(ωx+?)(ω>0,A≠0)的图象与函数 y=Acos(ωx+?)(ω>0, A≠0)的图 象在区间(x0,x0+
π )上( ω



A.至少有两个交点 B.至多有两个交点 C.至多有一个交点 D.至少有一个交点 正确答案:C 错因:学生不能采用取特殊值和数形结合的思想方法来解题。 6.(石庄中学) A.
π
6

在?ABC 中,2sinA+cosB=2,sinB+2cosA= 3 ,则∠C 的大小应为( B.
π
3

)

C.

π
6

或 π

5 6

D.

π
3



2π 3

正确答案:A 错因:学生求∠C 有两解后不代入检验。 7.已知 tanα tanβ是方程 x +3 3 x+4=0 的两根,若α,β∈(A.
π
3
2

π π

, ),则α+β=( 2 2



B.

π
3

或- π

2 3

C.-

π
3

或 π

2 3

D.- π

2 3

正确答案:D 错因:学生不能准确限制角的范围。 8. (搬中) 若 sinθ + cosθ = 1 ,则对任意实数 n,sin n θ + cos n θ 的取值为( A. 1 C. B. 区间(0,1) )

1 2 n?1

D. 不能确定

解一: 解一:设点 (sinθ, cosθ ) ,则此点满足

?x + y = 1 ?x = 0 ?x = 1 解得 ? 或? ? 2 2 ?y = 1 ?y = 0 ?x + y = 1
即?

?sinθ = 0 ?sinθ = 1 或? ?cosθ = 1 ?cosθ = 0

∴ sin n θ + cos n θ = 1 ∴ 选 A
解二: 解二:用赋值法,

令 sinθ = 0, cosθ = 1 同样有 sin θ + cos θ = 1
n n

∴选 A
说明: 说明:此题极易认为答案 A 最不可能,怎么能会与 n 无关呢?其实这是我们忽略了一 个隐含条件 sin θ + cos θ = 1 ,导致了错选为 C 或 D。
2 2

9.搬中)在 ?ABC 中, ( 3sin A + 4 cos B = 6, 3cos A + 4 sin B = 1 , ∠C 的大小为 则 ( A.



π
6

B.

5 π 6

C.

π

5 或 π 6 6

D.

π

2 或 π 3 3

解:由 ?

?3sin A + 4 cos B = 6 平方相加得 ?3cos A + 4 sin B = 1
1 2

sin( A + B) = ∴ sin C = ∴C = 1 2

π

5 或 π 6 6
5 6

若C = π 则 A+ B =

π
6


∵1 ? 3cos A = 4 sin B > 0

1 ∴ cos A < 3
∴ ∴ ∴ A C C > ≠ =

1 1 < 3 2

π
3 5 π 6 6

∴选 A

π

说明: 说明:此题极易错选为 C ,条件 cos A < 对题目条件的挖掘。

1 比较隐蔽,不易发现。这里提示我们要注意 3

10. (城西中学) ?ABC 中, A 、 B 、C 对应边分别为 a 、 b 、 c .若 a = x , b = 2 , B = 45° , 且此三角形有两解,则 x 的取值范围为 ( A. (2,2 2 ) 正确答案:A 错因:不知利用数形结合寻找突破口。 B. 2 2 C. ( 2 ,+∞) ) D. ( 2,2 2 ]

11.城西中学) ( 已知函数 y=sin( ω x+ Φ )与直线 y= 那么此函数的周期是( A ) 2π D 4π

1 π 的交点中距离最近的两点距离为 , 2 3

π
3

B

π

C

正确答案:B 错因:不会利用范围快速解题。 12 .( 城 西 中 学 ) 函 数 y = 2 sin( 是………………………… ( A. [0, )

π
6

? 2 x)( x ∈ [0, π ]) 为 增 函 数 的 区 间 5π ] 6 5π , π] 6

π
3

]

B. [

π
12

,

7π ] 12

C. [

π
3

,

D. [

正确答案:C 错因:不注意内函数的单调性。 13. (城西中学)已知 α , β ∈ ? ( ) A. α + β < π B. α + β > 正确答案(D) 错因:难以抓住三角函数的单调性。

?π ? , π ? 且 cos α + sin β > 0 ,这下列各式中成立的是 ? 2 ?

3π 2

C. α + β =

3π 2

D. α + β <

3π 2

14. (城西中学)函数 对称轴的方程是()

的图象的一条

正确答案 A 错因:没能观察表达式的整体构造,盲目化简导致表达式变繁而无法继续化简。 15. (城西中学)ω是正实数,函数 f ( x) = 2 sin ωx 在 [ ?

π π

, ] 上是增函数,那么( 3 4 24 7
D. ω ≥ 2



A. 0 < ω ≤ 正确答案 A

3 2

B. 0 < ω ≤ 2

C. 0 < ω ≤

错因:大部分学生无法从正面解决,即使解对也是利用的特殊值法。 16. (一中)在(0,2π)内,使 cosx>sinx>tanx 的成立的 x 的取值范围是 ( )

A、 (

π 3π
4 4 ,

)

B、 (

5π 3π , ) 4 2

C、 (

3π ,2π ) 2

D、(

3π 7π , ) 2 4

正确答案:C 17. (一中)设 f ( x ) = sin( x + 的实根 x1 , x2 ,则 x1 + x2 为 A、

π
4

) ,若在 x ∈ [ 0, 2π ] 上关于 x 的方程 f ( x) = m 有两个不等

π
2



5π 2

B、

π
2

C、

5π 2

D、不确定

正确答案:A 18. (蒲中)△ABC 中,已知 cosA= A、

16 56 B、 65 65 答案:A 点评:易误选 C。忽略对题中隐含条件的挖掘。 19. (蒲中)在△ABC 中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则∠C 的大小为( 5π 5π 2π π π π A、 B、 C、 或 D、 或 6 6 6 6 3 3 答案:A 点评:易误选 C,忽略 A+B 的范围。 20. (蒲中)设 cos1000=k,则 tan800 是( )
A、

5 3 ,sinB= ,则 cosC 的值为( ) 13 5 16 56 16 C、 或 D、 ? 65 65 65



1? k2 k

B、

? 1? k2 k

C、 ±

1? k2 k

D、 ±

k 1? k2

答案:B 点评:误选 C,忽略三角函数符号的选择。 21. 江安中学)已知角 α 的终边上一点的坐标为( sin (江安中学) ( ) 。 A、

2π 2π , cos ) ,则角 α 的最小值为 3 3

5π 6

B、

2π 3

C、

5π 3

D、

11π 6

正解: 正解:D

2 3 5 11 2π 2π tan α = cos π = ? ,∴ α = π或α = π ,而 sin > 0 cos <0 3 3 6 6 3 3
所以,角 α 的终边在第四象限,所以选 D, α = 误解: 误解: tan α = tan

11 π 6

2 2 π , α = π ,选 B 3 3

22. 江安中学)将函数 y = f ( x) sin x 的图像向右移 (江安中学)

π
4

个单位后,再作关于 x 轴的对称变 ) 。

2 换得到的函数 y = 1 ? 2 sin x 的图像,则 f ( x) 可以是(

A、 ? 2 cos x 正解: 正解:B

B、 2 cos x

C、 ? 2 sin x

D、 2 sin x

y = 1 ? 2 sin 2 x = cos 2 x ,作关于 x 轴的对称变换得 y = ? cos 2 x ,然后向左平移
个单位得函数 y = ? cos 2( x +

π
4

π
4

) = sin 2 x = f ( x) ? sin x 可得 f ( x) = 2 cos x

误解: 误解:未想到逆推,或在某一步骤时未逆推,最终导致错解。 23. 江安中学)A,B,C 是 ? ABC 的三个内角,且 tan A, tan B 是方程 3 x ? 5 x + 1 = 0 的 (江安中学)
2

两个实数根,则 ? ABC 是( ) A、钝角三角形 B、锐角三角形 正解: 正解:A

C、等腰三角形

D、等边三角形

3 ? ?tan A + tan B = 5 ? 由韦达定理得: ? ?tan A tan B = 1 ? 3 ?

5 tan A + tan B 5 ∴ tan( A + B) = = 3 = 1 ? tan A tan B 2 2 3
在 ?ABC 中, tan C = tan[π ? ( A + B )] = ? tan( A + B ) = ?

∴ ∠C 是钝角,∴ ?ABC 是钝角三角形。
24. 江安中学) (江安中学) 曲线 ?

5 <0 2

? x = cos θ (θ 为参数) 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是 ( ) 。 ? y = sin θ
2 2
C、1 D、 2

A、

1 2

B、

正解: 正解:D。

d = cos θ + sin θ
由于 ?

? x = cos θ 所表示的曲线是圆,又由其对称性,可考虑 θ ∈ I 的情况,即 ? y = sin θ

d = sin θ + cos θ
则d =

π? ? 2 sin ?θ + ? ∴ d max = 2 4? ?


误解: 误解:计算错误所致。 25. (丁中)在锐角⊿ABC 中,若 tan A = t + 1 , tan B = t ? 1 ,则 t 的取值范围为( A、 ( 2 ,+∞) B、 (1,+∞) C、 (1, 2 ) D、 (?1,1)

错解: B. 错因:只注意到 tan A > 0, tan B > 0, 而未注意 tan C 也必须为正. 正解: A. 26. (丁中)已知 sin θ = A、 错解:A 错因:忽略 sin θ + cos θ = 1 ,而不解出 m
2 2

4 ? 2m m?3

m?3 4 ? 2m π , cos θ = ( <θ <π ) ,则 tan θ = m+5 m+5 2 m?3 5 3 5 B、 ± C、 ? D、 ? 或 ? 4 ? 2m 12 4 12

(C)

正解:C π 27. (丁中)先将函数 y=sin2x 的图象向右平移 个单位长度,再将所得图象作关于 y 轴的 3 对称变换,则所得函数图象对应的解析式为 π A.y=sin(-2x+ ) 3 C.y=sin(-2x+ 错解:B π π 错因:将函数 y=sin2x 的图象向右平移 个单位长度时,写成了 y = sin( 2 x ? ) 3 3 正解:D 28. (丁中)如果 log 1 | x ?
2





B. D.

π y=sin(-2x- ) 3 2π y=sin(-2x- ) 3

2π ) 3

π π |≥ log 1 ,那么 sin x 的取值范围是( 3 2 2



A. [?

1 1 1 1 1 1 1 3 3 )∪( , ] B. [? , 1] C. [? , ) ∪ ( , 1] D. [? , , 1] 2 2 2 2 2 2 2 2 2

错解: D. 错因:只注意到定义域 x ≠ 正解: B. 29. (薛中)函数 y = A、 [ kπ ?

π
3

,而忽视解集中包含 x =

2π . 3


sin x cos x 的单调减区间是(

π
4

, kπ +

π
4

] (k ∈ z )

B、 [ kπ + D、 [ kπ +

π

C、 [ 2kπ +

π
4

,2kπ +

π
2

](k ∈ z )

π
4

, kπ +

π
2

3 , kπ + π ](k ∈ z ) 4 4 ](k ∈ z )

答案:D 错解:B 错因:没有考虑根号里的表达式非负。 30. (薛中)已知 sin x cos y =

1 , 则 cos x sin y 的取值范围是( 2



1 3 D、 [ ? 1 ,1 ] , ] 2 2 1 答案:A 设 cos x sin y = t , 则(sin x cos y )(cos x sin y ) = t ,可得 sin2x sin2y=2t,由 2 1 1 sin 2 x sin 2 y ≤ 1即 2t ≤ 1∴ ? ≤ t ≤ 。 2 2
A、 [ ? B、 [? C、 [? 错解:B、C

1 1 , ] 2 2

3 1 , ] 2 2

1 1 与 cos x sin y = t相加得 sin( x + y ) = + t 由 2 2 1 3 1 ? 1 ≤ sin( x + y ) ≤ 1得 ? 1 ≤ + t ≤ 1得 ? ≤ t ≤ 选 B,相减时选 C,没有考虑上述两种 2 2 2
错因:将 sin x cos y = 情况均须满足。 31. (薛中)在锐角 ? ABC 中,若 C=2B,则 A、 (0,2) B、 ( 2 ,2)

c 的范围是( b

) D、 (1, 3 )

C、 ( 2 , 3 )

答案:C 错解:B 错因:没有精确角 B 的范围 40. (案中)函数 y = sin x和y + tan x的图象在[? 2π, ]上交点的个数是 2π A、3 正确答案:B B、5 C、7 D、9 ( )

错误原因:在画图时,0< x <

π
2

时, tan x > sin x 意识性较差。 )

41. 案中) ( 在△ABC 中, sin A + 4 cos B = 6,4 sin B + 3 cos A = 1, 则∠C 的大小为 ( 3 A、30° 正确答案:A B、150° C、30°或 150° D、60°或 150°

错误 原因:易 选 C,无讨论 意识,事 实上如 果 C=150° 则 A=30°∴ sin A =

1 ,∴ 2

3 sin A + 4 cos B <

11 <6 和题设矛盾 2
( )

42. (案中)函数f ( x ) = sin x + cos x + sin x ? cos x 的最小正周期为 A、 2π B、 π C、

π
2

D、

π
4

正确答案:C 错误原因:利用周期函数的定义求周期,这往往是容易忽视的,本题直接检验得

π? π ? f ? x + ? = f ( x ), 故T = 2? 2 ?
43. (案中)函数y = sin x?1 + tan x ? tan

? ?

x? ?的最小正周期为 2?





A、 π

B、 2π

C、

π
2

D、

3π 2

正确答案:B 错误原因:忽视三角函数定义域对周期的影响。 44. (案中)已知奇函数 f ( x )在[? 1,]上为 等调减函数,又α,β为锐角三角形内角,则 0 ( ) A、f(cosα)> f(cosβ) B、f(sinα)> f(sinβ) C、f(sinα)<f(cosβ) D、f(sinα)> f(cosβ) 正确答案: (C) 错误原因:综合运用函数的有关性质的能力不强。
π 45 . 案 中 ) 设 ω > 0, 函数f ( x ) sin ωx在[? π 3 ,4 ]上为增函数, 么 ω 的 取 值 范 围 为 ( = 那



) B、 0 > ω ≤
3 2

A、 0 > ω ≤ 2

C、 0 > ω ≤

24

7

D、 ω ≥ 2

正确答案:(B) 错误原因:对三角函数的周期和单调性之间的关系搞不清楚。

二填空题: 二填空题:
1. (如中)已知方程 x + 4ax + 3a + 1 = 0 (a 为大于 1 的常数)的两根为 tan α , tan β ,
2

且α 、 β ∈ ? ?

α +β ? π π? , ? ,则 tan 的值是_________________. 2 ? 2 2?
2

错误分析:忽略了隐含限制 tan α , tan β 是方程 x + 4ax + 3a + 1 = 0 的两个负根,从而 导致错误. 正确解法:∵ a > 1

∴ tan α + tan β = ?4a < 0 , tan α ? tan β = 3a + 1 > o

∴ tan α , tan β 是方程 x 2 + 4ax + 3a + 1 = 0 的两个负根
又α , β ∈ ? ?

? π π? , ? ? 2 2?

α+β ? π ? ? π ? ∴ α , β ∈ ? ? ,0 ? 即 ∈ ? ? ,0 ? 2 ? 2 ? ? 2 ?

由 tan 答案: -2 .

(α + β ) =

tan α + tan β ? 4a 4 α +β = = 可得 tan = ? 2. 1 ? tan α ? tan β 1 ? (3a + 1) 3 2

2 . 如 中 ) 已 知 5 cos 2 α + 4 cos 2 β = 4 cos α , 则 cos 2 α + cos 2 β 的 取 值 范 围 是 ( _______________. 错 误 分析 :由 5 cos 2 α + 4 cos 2 β = 4 cos α 得 cos
2

β = cos α ? cos 2 α

5 4

代入 cos

2

α + cos 2 β 中,化为关于 cos α 的二次函数在 [? 1,1] 上的范围,而忽视了 cos α 的隐
? 16 ? ? ?

含限制,导致错误. 答案: ?0, ? . 25 略解: 由 5 cos
2

α + 4 cos 2 β = 4 cos α 得 cos 2 β = cos α ? cos 2 α
? 4? ∴ cos α ∈ ?0, ? ? 5?

5 4

(1)

∵ cos 2 β ∈ [0,1]

将(1)代入 cos 2 α + cos 2 β 得 cos 2 α + cos 2 β = ? 3. (如中)若 A ∈ (0, π ) ,且 sin A + cos A = 错误分析:直接由 sin A + cos A = 得两解,忽略隐含限制 A ∈ ?

1 (cos α ? 2)2 + 1 ∈ ?0, 16 ? . ? 25 ? 4 ? ?

7 5 sin A + 4 cos A ,则 = _______________. 13 15 sin A ? 7 cos A

7 2 2 ,及 sin A + cos A = 1 求 sin A, cos A 的值代入求 13

?π ? , π ? 出错. ?2 ?

答案:

8 . 43

4. (搬中)函数 f ( x ) = a sin x + b 的最大值为 3,最小值为 2,则 a = ______,b = _______。 解:若 a > 0

1 ? ?a = 2 ?a + b = 3 ? 则? ∴? ?? a + b = 2 ?b = 5 ? ? 2
若a < 0

1 ? ?a = ? 2 ?? a + b = 3 ? ∴? 则? ?a + b = 2 ?b = 5 ? 2 ?
说明: 说明:此题容易误认为 a > 0 ,而漏掉一种情况。这里提醒我们考虑问题要周全。 5.(磨中)若 Sin

α

2

=

3 5

cos

α

2

=?

4 ,则α角的终边在第_____象限。 5

正确答案:四 错误原因:注意角

α
2

的范围,从而限制α的范围。

6. (城西中学)在△ABC 中,已知 A、B、C 成等差数列,则 tan 值为_________. 正确答案: 3 错因:看不出是两角和的正切公式的变形。 7. (一中)函数 y = sin x (sin x + cos x ) ( x ∈ [0, 正确答案: ? 0,

A C A C + tan + 3 tan tan 的 2 2 2 2

π
2

]) 的值域是



? ?

2 + 1? ? 2 ?

8. (一中)若函数 y = a cos x + b 的最大值是 1,最小值是 ?7 ,则函数 y = a cos x + b sin x 的最大值是 .正确答案:5

9. (一中)定义运算 a ? b 为: a ? b = ?

?a (a ≤ b ) , 例如,1 ? 2 = 1 ,则函数 f(x)= sin x ? cos x 的 ?b(a > b )
2 ] 2

值域为

.正确答案: [ ?1,

10. (蒲中)若 sin α = 答案:5

5 α ,α是第二象限角,则 tan =__________ 13 2

点评:易忽略

α
2

的范围,由 sin α =

2 tan

α
2

1 + tan 2

α
2

得 tan

α
2

=5 或

1 。 5

11. (蒲中)设ω>0,函数 f(x)=2sinωx 在 [? 答案:0<ω≤ 点评: [?

π π

, ] 上为增函数,那么ω的取值范围是_____ 3 4

2 3 4 ] ? [?

πω πω
3 ,

π π

, ] 2 2 31 ,则 cosC=__________ 32

12. (蒲中)在△ABC 中,已知 a=5,b=4,cos(A-B)= 答案:

1 8 点评:未能有效地运用条件构造三角形运用方程思想实施转化。 13. 江安中学)在 ?ABC 中,已知 a ,b,c 是角 A、B、C 的对应边,则①若 a > b ,则 (江安中学)

f ( x) = (sin A ? sin B ) ? x 在 R 上是增函数; ②若 a 2 ? b 2 = ( a cos B + b cos A) 2 , ? ABC 则
是 Rt? ; ③ cos C + sin C 的 最 小 值 为 ?

2 ; ④ 若 cos A = cos 2 B , 则 A=B ; ⑤ 若

3 (1 + tan A)(1 + tan B ) = 2 ,则 A + B = π ,其中错误命题的序号是_____。 4
正解: 正解:错误命题③⑤。 ① a > b ? sin A > sin B,∴ sin A ? sin B > 0

∴ f ( x) = (sin A ? sin B) x在R上是增函数。
② a 2 ? b 2 = c 2 , a 2 = b 2 + c 2 , 则?ABC是Rt? 。 ③ sin c + cos c =

2 sin(c +

π
4

), 当 sin(c +
2。

π
4

) = ?1时最小值为 ? 2 ,

显然 0 < c < π , 得不到最小值 ?

④ cos 2 A = cos 2 B ? i > 2 A = 2 B A = B

ii >

2 A = 2π ? 2 B, A = π ? B, A + B = π (舍) ,∴ A = B 。

⑤ 1 + tan A + tan B + tan A ? tan B = 2,1 ? tan A ? tan B = tan A + tan B



∴ 错误命题是③⑤。

tan A + tan B π = 1,即 tan( A + B ) = 1, A + B = ∴ 1 ? tan A ? tan B 4

误解: 误解:③④⑤中未考虑 0 < C < π ,④中未检验。

14. 江安中学)已知 tan α = (江安中学) 角,则 α + β 的值为_____。

3 (1 + m) ,且 3 (tan α , tan β + m) + tan β = 0, α , β 为锐

正解: 正解: 60 ,令 m = 0, 得 α = 60 , 代入已知,可得 β = 0 , ∴ α + β = 60 误解: 误解:通过计算求得 α + β , 计算错误. 15. 江安中学 ) 给出四个命题:①存在实数 α ,使 sin α cos α = 1 ;②存在实数 α ,使 ( 江安中学)

sin α + cos α =

3 5π π 5π ;③ y = sin( ? 2 x) 是偶函数;④ x = 是函数 y = sin(2 x + )的 2 2 8 4

一条对称轴方程;⑤若 α , β 是第一象限角,且 α > 命题的序号是_____。 正解: 正解:③④

β ,则 sin α > sin β 。其中所有的正确

1 1 1 sin 2α ∈ [? , ],∴ sin α cos α = 1 不成立。 2 2 2 π 3 ② sin α + cos α = 2 sin(α + ) ∈ [? 2 , 2 ], ∈ [ ? 2 , 2 ],∴ 不成立。 4 2 5π π ③ y = sin( ? 2 x) = sin( ? 2 x) = cos 2 x 是偶函数,成立。 2 2
① sin α cos α =

④ 将x =

π
8

代入 2 x +

5π 3π π 得 ,∴ x = 是对称轴,成立。 4 2 8

⑤ 若 α = 390 , β = 60 , α >

β , 但 sin α < sin β ,不成立。

误解: 误解:①②没有对题目所给形式进行化简,直接计算,不易找出错误。 ⑤没有注意到第一象限角的特点, 可能会认为是 (0 ,90 ) 的角, 从而根据 y = sin x 做出了错误的判断。 16. (丁中)函数 y =| sin( 2 x + 错解:

π

π
2

1 ) ? | 的最小正周期是 3 3

错因:与函数 y =| sin( 2 x + 正解: π 17. (丁中)设

π
3

) 的最小正周期的混淆。

1 ? sin θ =tan θ ? secθ 成立,则 θ 的取值范围是_______________ 1 + sin θ

错解: θ ∈ [ 2kπ +

π

3 , 2 kπ + π ] 2 2

错因:由 tan θ ? secθ ≥ 0 不考虑 tan θ , sec θ 不存在的情况。

3 , 2 kπ + π ) 2 2 18. (丁中)①函数 y = tan x 在它的定义域内是增函数。
正解: θ ∈ ( 2kπ + ②若 α , β 是第一象限角,且 α >

π

β , 则 tan α > tan β 。

③函数 y = A sin(ωx + ? ) 一定是奇函数。 ④函数 y = cos(2 x +

π
3

) 的最小正周期为

π
2



上述四个命题中,正确的命题是 ④ 错解:①② 错因:忽视函数 y = tan x 是一个周期函数 正解:④ 19. (丁中)函数 f(x)= 错解: ??

sin x cos x 的值域为______________。 1 + sin x + cos x

? ?

2 1 2 1? ? , ? ? 2 2 2 2?

错因:令 t = sin x + cos x 后忽视 t ≠ ?1 ,从而 g (t ) =

t ?1 ≠ ?1 2

正解: ??

? ?

? ? 2 1 2 1? ? ,?1? ∪ ? ? 1, ? ? ? ? 2 2 2 2? ? ?
2

20. (丁中)若 2sin2α + sin 错解: [?4,2] 错因:由 sin
2

β = 3 sin α , 则 sin 2 α + sin 2 β 的取值范围是

α + sin 2 β = ? sin 2 α + 3 sin α ? 1, (1) 其中 ? 1 ≤ sin α ≤ 1 ,得错误结果;由

0 ≤ sin 2 β = 3 sin α ? 2 sin 2 α ≤ 1
得 sin α = 1 或 0 ≤ sin α ≤ 正解:[0 ,

1 结合(1)式得正确结果。 2

5 ] ∪ {2} 4

21. (薛中)关于函数 f ( x ) = 4 sin( 2 x +

π
3

1 )( x ∈ R ) 有下列命题,○ y=f(x)图象关于直线

x=? (?


π
6

2 对 称 ○ y=f(x) 的 表 达 式 可 改 写 为 y = 4 cos( 2 x ?

π
6

3 ) ○ y=f(x) 的 图 象 关 于 点

π
6

4 ,0) 对称 ○由 f ( x1 ) = f ( x 2 ) = 0可得x1 ? x 2 必是 π 的整数倍。其中正确命题的序号

。 2 3 答案:○○ 2 3 4 错解:○○○ 错因:忽视 f(x) 的周期是 π ,相邻两零点的距离为

T π = 。 2 2


22. (薛中)函数 y = 2 sin( ? x ) 的单调递增区间是

3 ,2kπ + π ](k ∈ z ) 2 2 π 1 错解: [ 2kπ ? ,2kπ + π ](k ∈ z ) 2 2
答案: [ 2kπ + 错因:忽视这是一个复合函数。 23. (案中)已知α + β =

π

π
3

,且 3 (tan α ? tan β + C ) + tan α = 0(C为常数 ),那么

tan β =



正确答案: 3 (1 + C ) 错误原因:两角和的正切公式使用比较呆板。 24. (案中) 函数y = sin x(sin x + cos x )? x ∈ ?0, ? ?的值域 是 ? ?

? ?

? π ?? ? 2 ??



正确答案: ?0,

? 1+ 2 ? ? 2 ? ?

错误原因:如何求三角函数的值域,方向性不明确

三、解答题: 解答题:
1. (石庄中学) 已知定义在区间[-π, π ] 当 x∈[π
6

2 3

上的函数 y=f(x)的图象关于直线 x= -

π
6

对称,

, π ]时,函数 f(x)=Asin(ωx+?)(A>0, ω>0,2 3

2 3

π
2

<?<

π
2

),其图象如图所示。

(1)求函数 y=f(x)在[-π, π ]的表达式; (2)求方程 f(x)=
2 的解。 2 2π π ? )=2π, 3 6

解:(1)由图象知 A=1,T=4( ω=
2π =1 T

在 x∈[f(
π
6

π
6


π

2π ]时 3

将(

π
6

,1)代入 f(x)得

)=sin( <?<

6

+?)=1 ∴?=

∵-

π
2

π
2

π
3

∴在[对称

π
6



2π ]时 3

f(x)=sin(x+

π
3

)

∴y=f(x)关于直线 x=-

π
6

∴在[-π,]

π
6

]时

f(x)=-sinx

π ? ?sin( x + ) 综上 f(x)= ? 3 ?? sin x ?
(2)f(x)=
2 2

x ∈ [?

π 2π
6 , 3

x ∈ [?π ,? ] 6

π

在区间[-

π
6



2π ]内 3

可得 x1=

5x 12

x2= π
4

π
12
3π 4

∵y=f(x)关于 x= ∴f(x)=

π
6

对称

∴x3=-

x 4= -

2 π 5π 3π π 的解为 x∈{,- ,- , } 2 4 4 12 12
4 4

2. (搬中) 求函数 y = sin x + cos x ?

3 的相位和初相。 4

解: y = (sin x + cos x ) ? 2 sin x cos x ?
2 2 2 2 2

3 4

1 1 = ? sin 2 2 x + 2 4 1 1 ? cos4 x 1 =? ? + 2 2 4 1 = cos4 x 4 1 π = sin(4 x + ) 4 2
∴ 原函数的相位为 4 x +

π
2

,初相为

π
2

说明: 说明:部分同学可能看不懂题目的意思,不知道什么是相位,而无从下手。应将所给函数式 变形为 y = A sin(ωx + ? ) ( A > 0,ω > 0) 的形式(注意必须是正弦) 。 3. (搬中) 若 sinα cos β =

1 ,求 sin β cosα 的取值范围。 2

解:令 α = sin β cosα ,则有

?1 ? 2 + a = sin(α + β ) ? ∴? ? 1 ? a = sin(α ? β ) ?2 ? 1 ? ? ?1 ≤ 2 + a ≤ 1 ? ∴? ??1 ≤ 1 ? a ≤.1 ? 2 ? 1 1 ∴? ≤ a ≤ 2 2

(1)

( 2)

说明: 说明:此题极易只用方程组(1)中的一个条件,从而得出 ?

3 1 1 3 ≤a ≤ 或? ≤a ≤ 。 2 2 2 2

原因是忽视了正弦函数的有界性。另外不等式组(2)的求解中,容易让两式相减,这样做 也是错误的,因为两式中的等号成立的条件不一定相同。这两点应引起我们的重视。 4. (搬中)求函数 y = 16 ? x 2 + sin x 的定义域。 解:由题意有

?2 kπ ≤ x ≤ 2 kπ + π ? ? ?4 ≤ x ≤ 4
当 k = ?1 时, ?2π ≤ x ≤ ?π ; 当 k = 0 时, 0 ≤ x ≤ π ; 当 k = 1 时, 2π ≤ x ≤ 3π

(*)

∴ 函数的定义域是 [ ?4 , ? π ]∪[0,π ]
说明: 说明:可能会有部分同学认为不等式组(*)两者没有公共部分,所以定义域为空集, 原因是没有正确理解弧度与实数的关系,总认为二者格格不入,事实上弧度也是实数。 5 . (搬中)已知 2α + β = π ,求 y = cos β ? 6 sinα 的最小值及最大值。 解:∵2α + β = π

∴ β = π ? 2α 3 11 ∴ y = 2 sin 2 α ? 6 sinα ? 1 = 2(sinα ? ) 2 ? 2 2
令 t = sinα 则 |t |≤ 1

11 3 ∴ y = 2(t ? ) 2 ? 2 2 3 而对称轴为 t = 2 ∴ 当 t = ?1 时, y max = 7 ;
当 t = 1 时, y min = ?5 说 明 : 此 题 易 认 为 sinα =

3 ?11 时 , y min = ,最大值不存在,这是忽略了条件 2 2

3 |sinα |≤ 1, 不在正弦函数的值域之内。 2
6. (搬中)若 0 < x < 解:∵0 < x <

π

π
2

2

,求函数 y = 4tgx + 9ctg 2 x 的最大值。

∴ tgx > 0 ∴ y = 4tgx + 9ctg 2 x = 2tgx + 2tgx + 9ctg 2 x ≥ 33 2tgx ? 2tgx ? 9ctg 2 x = 33 36
当且仅当 2tgx = 9ctg 2 x 即 tgx = 3

9 时,等号成立 2

∴ y min = 33 36
2 2 说明: 说明:此题容易这样做: y = 4tgx + 9ctg x = tgx + 3tgx + 9ctg x ≥

33 tgx ? 3tgx ? 9ctg 2 x = 9 ,但此时等号成立的条件是 tgx = 3tgx = 9ctg 2 x ,这样的 x 是不存
在的。这是忽略了利用不等式求极值时要平均分析的原则。 7. (搬中) 求函数 f ( x ) =

2tgx 的最小正周期。 1 ? tg 2 x

解:函数 f ( x ) =

2tgx 的定义域要满足两个条件; 1 ? tg 2 x

tgx 要有意义且 tg 2 x ? 1 ≠ 0

∴ x ≠ kπ +

π
2

,且 x ≠

kπ π + (k ∈Z ) 2 4

当原函数式变为 f ( x ) = tg 2 x 时, 此时定义域为 x ≠

kπ π + (k ∈Z ) 2 4

显然作了这样的变换之后,定义域扩大了,两式并不等价 所以周期未必相同,那么怎么求其周期呢?首先作出 y = tg 2 x 的图象:
y

5 4π

π

3π π 4 2

π
4

5 3 7 0 π π 3 π π 4π 2π 4π x 4 2 4

而原函数的图象与 y = tg 2 x 的图象大致相同 只是在上图中去掉 x = kπ +

π
2

( k ∈ Z ) 所对应的点

从去掉的几个零值点看,原函数的周期应为 π 说明:此题极易由 y = tg 2 x 的周期是 说明:

π

2

而得出原函数的周期也是

π
2

,这是错误的,原

因正如上所述。那么是不是说非等价变换周期就不同呢?也不一定,如 1993 年高考题:函 数y=

1 ? tg 2 2 x 的最小正周期是( 1 + tg 2 2 x

) 。A.

π
4

B.

π
2

C.

π

D. 2π 。此题就可以

由 y = cos4 x 的周期为

π
2 5 5

而得原函数的周期也是

π
2

。但这个解法并不严密,最好是先求定

义域,再画出图象,通过空点来观察,从而求得周期。 8.(磨中)已知 Sinα= 正确答案:α+β= Sinβ=

10 ,且α,β为锐角,求α+β的值。 10

π
4

错误原因:要挖掘特征数值来缩小角的范围

9.(磨中)求函数 y=Sin(

π

4 2 π 2 7 π ]( k ∈ Z ) 正确答案:增区间[ kπ + , kπ + 3 4 3 12

—3x)的单调增区间:

4 tan x 10.(磨中)求函数 y= 的最小正周期 1 ? tan 2 x
正确答案:最小正周期π 错误原因:忽略对函数定义域的讨论。 11.(磨中)已知 Sinx+Siny= 正确答案:

错误原因:忽视 t=

π

—3x 为减函数

1 ,求 Siny—cos2x 的最大值。 3

4 9

错误原因:挖掘隐含条件

12. (丁中) (本小题满分 12 分) 设 f ( x) = 2(log 2 x) 2 + 2a log 2 1 1 + b ,已知 x = 时 f (x) 有最小值-8。 x 2

(1)、求 a 与 b 的值。 2)求满足 f ( x) > 0 的 x 的集合 A。 (

?a 1 ?a = 1 ?2 = 2 a 2 a ? ? 错解: f ( x) = 2(log 2 x ? ) + b ? ,当 ? 时,得 ? 15 2 2 2 ?b = ? 2 ?b ? a = ?8 ? ? 2 ?
2

错因:没有注意到应是 log 2

1 a = 时, f (x) 取最大值。 2 2
2

1 a ? ?log 2 2 = 2 ?a = ?2 a 2 a ? ,当 ? 时,得 ? 正解: f ( x ) = 2(log 2 x ? ) + b ? 2 2 2 ?b = ?6 ?b ? a = ?8 ? 2 ?
13. (薛中)求函数 f ( x ) = sin 2 x + 2 2 cos( 答 案 : 原 函 数 可 化

π
4

+ x) + 3 的值域 f ( x) = sin 2 x + 2(cos x ? sin x) + 3,
sin 2 x = 1 ? t 2
设 则

为 则

cos x ? sin x = t , t ∈ [? 2 , 2 ]

f ( x) = ?t 2 + 2t + 4 = ?(t ? 1) 2 + 5 ∴当t = 1时, f ( x) max = 5 ,
当 t = ? 2时, f ( x ) min = 2 ? 2 2 错解: ( ?∞ , 5 ]

错因:不考虑换元后新元 t 的范围。 (1)当 f(x)=0 有实数解时,求 a 的取值范围; 14. (蒲中)已知函数 f(x)=-sin2x+sinx+a, (2)若 x∈R,有 1≤f(x)≤

17 ,求 a 的取值范围。 4 1 1 解: (1)f(x)=0,即 a=sin2x-sinx=(sinx- )2- 2 4 1 1 ∴当 sinx= 时,amin= ,当 sinx=-1 时,amax=2, 2 4 1 ∴a∈[ ? ,2]为所求 4
17 ? 2 7 ?a ≤ sin x ? sin x + (2)由 1≤f(x)≤ 得 ? 4 4 ? 2 ?a ≥ sin x ? sin x + 1 17 1 = (sin x ? ) 2 +4≥4 4 2 1 3 u2=sin2x-sinx+1= (sin x ? ) 2 + ≤3 2 4 ∴ 3≤a≤4 点评:本题的易错点是盲目运用“△”判别式。
∵ u1=sin2x-sinx+

15. (江安中学)已知函数 f ( x ) = sin(ωx + Φ )(ω > 0,0 ≤ Φ ≤ π ) 是 R 上的偶函数,其图 像关于点 M ( π ,0) 对称,且在区间[0,

3 4

π
2

]上是单调函数,求 Φ 和 ω 的值。

正解: 正解:由 f ( x ) 是偶函数,得 f ( ? x ) = f ( x ) 故 sin( ?ωx + Φ ) = sin(ωx + Φ ) ,∴ ? cos Φ sin ωx = cos Φ sin ωx 对任意 x 都成立,且 ω > 0,∴ cos Φ = 0 依题设 0≤ Φ ≤ π ,∴ Φ =

π
2 3 4 3 4

由 f ( x ) 的图像关于点 M 对称,得 f ( π ? x ) = ? f ( π + x)

3 4 3 3ωx π 3ωx 3ωx ∵ f ( π ) = sin( + ) = cos( ),∴ cos( )=0 4 4 2 4 4 3ωx π 又 ω > 0 ,得 = + kπ , k = 0,1,2...... 4 2 2 ∴ ω = (2k + 1), k = 0,1,2... 3 2 2 π π 当 k = 0 时, ω = , f ( x ) = sin( x + ) 在 [0, ] 上是减函数。 3 3 2 2
取 x = 0得f ( π ) = ? f ( π ),∴ f ( π ) = 0

3 4

3 4

当 k = 1 时, ω = 2, f ( x ) = sin( 2 x + 当 k ≥2 时, ω =

π

误解: 误解:①常见错误是未对 K 进行讨论,最后 ω 只得一解。 ②对题目条件在区间 [0,

10 π π , f ( x) = sin(ωx + ) 在 [0, ] 上不是单调函数。 3 2 2 2 所以,综合得 ω = 或 ω = 2 。 3

) 在 [0, ] 上是减函数。 2 2

π

π

2

] 上是单调函数,不进行讨论,故对 ω ≥

10 不能排除。 3


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