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高考数学选择题的解题策略

时间:2013-07-30


高考数学选择题的解题策略与技巧
高考数学选择题占总分值的
2 . 5

A. y ? 3 x

B. y ? ? 3x

C. y ?

3 x 3

D. y ? ?

3 x 3

其解答特点是“四选一” ,快速、准确、无误地选择好这个“一”是十 分重要的. 选择题和其它题型相比,解题思路和方法有着一定的区别,产生这种 现象的原因在于选择题有着与其它题型明显不同的特点:①立意新颖、构 思精巧、迷惑性强、题材内容相关相近,真假难分;②技巧性高、灵活性 大、概念性强、题材内容储蓄多变、解法奇特;③知识面广、跨度较大、 切入点多、综合性强. 正因为这些特点,使得选择题还具有区别与其它题型的考查功能:① 能在较大的知识范围内,实现对基础知识、基本技能和基本思想方法的考 查;②能比较确切地考查考生对概念、原理、性质、法则、定理和公式的 掌握和理解情况;③在一定程度上,能有效地考查逻辑思维能力,运算能 力、空间想象能力及灵活和综合地运用数学知识解决问题的能力.

(3)如果函数 y ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图像关于直线 x ? 于: A. 2 B. ? 2 C.1

?
8

对称,那么 a 等

D.-1

?2 ? x ? 1, x ? 0 ? (4)设函数 f ( x) ? ? 1 ,若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x 0 的取值范围为: ? x2,x ? 0 ?
A. (-1,1) B. (?1,??) C. (??,?2) ? (0,??) D. (??,?1) ? (1,??)

(5)已知向量 a ? e , | e |? 1 ,且对任意 t ? R ,恒有 | a ? t e |?| a ? e | ,则 A. a ? e B. C. e ? (a ? e) D. (e ? a) ? (a ? e)

答案: (1)A (2)C (3)C (4)D (5)C

四、典型例题
(一)直接法 直接从题目条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知 识,通过严密的推理和准确的运算,从而得出正确的结论,然后对照题目 所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择、涉及概念、性质的辨析或 运算较简单的题目常用直接法.

基础训练
(1) 若定义在区间 (-1, 内的函数 f ( x) ? log 2 a ( x ? 1) , 0) 满足 f ( x) ? 0 , 则 a 的取值范围是: 1 1 A. (0, ) B. (0, ] 2 2
1 C. [ , ?) ? 2

D. (0, ?) ?

(2)过原点的直线与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 相切,若切点在第三象限,则 该直线的方程是:

2 1 例 1、关于函数 f ( x) ? sin 2 x ? ( ) | x| ? ,看下面四个结论: 3 2 1 ① f (x) 是奇函数;②当 x ? 2007 时, f ( x) ? 恒成立;③ f (x) 的 2 3 1 最大值是 ;④ f (x) 的最小值是 ? .其中正确结论的个数为: 2 2 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

解 析 2 | x| 1 1 ? cos 2 x 2 | x| 1 1 2 f ( x) ? sin 2 x ? ( ) ? ? ? ( ) ? ? 1 ? cos 2 x ? ( ) | x| , 3 2 2 3 2 2 3



】 A. B. C. D. 【解析】 由圆的方程知圆必过原点, ∴排除 A、 选项, C 圆心 (a, , -b) 由 B、 两图知 a ? 0,?b ? 0 . D 直线方程可化为 y ? ax ? b , 可知应选 B. 【题后反思】 用排除法解选择题的一般规律是: (1)对于干扰支易于淘汰的选择题,可采用筛选法,能剔除几个就 先剔除几个; (2)允许使用题干中的部分条件淘汰选择支; (3)如果选择支中存在等效命题,那么根据规定---答案唯一,等效 命题应该同时排除; (4)如果选择支存在两个相反的,或互不相容的判断,那么其中至 少有一个是假的; (5)如果选择支之间存在包含关系,必须根据题意才能判定. (三)特例法 特例法也称特值法、特形法. 就是运用满足题设条件的某些特殊值、特殊关系或特殊图形对选项进 行检验或推理,从而得到正确选项的方法,常用的特例有特殊数值、特殊 数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.

∴ f (x) 为偶函数,结论①错;对于结论②,当 x ? 1000? 时,
x ? 2007, s in2 1000 ? 0 , ?

1 2 1000? 1 ?( ) ? ,结论②错. 2 3 2 1 1 3 又 ∵ ?1 ? c o x ? 1 , ∴ , 从 而 ? 1? c o x ? 2 s 2 s 2 2 2 1 2 3 1 ? c o x ? ( ) | x| ? ,结论③错. 2 s 2 3 2 2 1 2 1 2 f ( x) ? s i n x ? ( ) | x| ? 中, sin 2 x ? 0,?( ) | x| ? ?1 ,∴ f ( x) ? , 3 2 3 2 等号当且仅当 x=0 时成立,可知结论④正确.

∴ f (1000? ) ?

【题后反思】 直接法是解答选择题最常用的基本方法,低档选择题可用此法迅速求 解,直接法运用的范围很广,只要运算正确必能得到正确的答案,提高直 接法解选择题的能力,准确地把握中档题的“个性” ,用简便方法巧解选 择题,是建在扎实掌握“三基”的基础上的,否则一味求快则会快中出错. (二)排除法 排除法也叫筛选法或淘汰法,使用排除法的前提条件是答案唯一,具 体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选” ,将其中与 题干相矛盾的干扰支逐一排除,从而获得正确结论. 例 2、直线 ax ? y ? b ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2by ? 0 的图象可能是:
y y y y

?2 ? x ? 1, x ? 0 ? 例 3、 设函数 f ( x) ? ? 1 , f ( x0 ) ? 1 , x 0 的取值范围为: 若 则 2 ? x ,x ? 0 ?
A . -1 , 1 ) ( D. (??,?1) ? (1,??) B . ? 1,?? ) ( C . (??,?2) ? (0,??)

O O x O x x O x

1 2 1 【解析】∵ f ( ) ? ? 1 ,∴ 不符合题意,∴排除选项 A、B、C, 2 2 2

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| x1 ? x2 | 恒成立,故选 A.

故应选 D. 例 4、已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 的图像如图所示,则 b 的取 值范围是: A. (??,0) C. (1,2) B. (0,1)
O 1 y

例 6、 若圆 x 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 上恰有相异两点到直线 4 x ? 3 y ? 25 ? 0 的 距离等于 1,则 r 的取值范围是: A.[4,6] B. [4,6) C. (4,6] D. (4,6)

【解析】圆心到直线 4 x ? 3 y ? 25 ? 0 的距离为 5,则当 r ? 4 时,圆上
2 x

D. (2,??)

只有一个点到直线的距离为 1,当 r ? 6 时,圆上有三个点到直线的距离等 于 1,故应选 D. 【题后反思】 代入验证法适用于题设复杂、结论简单的选择题,这里选择把选项代 入验证,若第一个恰好满足题意就没有必要继续验证了,大大提高了解题 速度. (五)数形结合法 “数缺形时少直观,形少数时难入微” ,对于一些具体几何背景的数学 题,如能构造出与之相应的图形进行分析,则能在数形结合,以形助数中 获得形象直观的解法. 例 7、若函数 y ? f ( x)( x ? R) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 x ? [?1,1] 时, 则函数 y ? f ( x)( x ? R) 的图像与函数 y ? log 3 | x | 的图像的交点 f ( x) ?| x | ,
y

【解析】设函数 f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 2) ? x 3 ? 3x 2 ? 2 x , 此时 a ? 1, b ? ?3, c ? 2, d ? 0 . 【题后反思】 这类题目若是脚踏实地地求解,不仅运算量大,而且极易出错,而通 过选择特殊点进行运算,既快又准,但要特别注意,所选的特殊值必须满 足已知条件. (四)验证法 又叫代入法,就是将各个选择项逐一代入题设进行检验,从而获得正 确的判断,即将各个选择支分别作为条件,去验证命题,能使命题成立的 选择支就是应选的答案. 例 5、在下列四个函数中,满足性质: “对于区间(1,2)上的任意
x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| x1 ? x2 | 恒成立”的只有:

个数为: A.2

B.3

C.4

D.无数个

Y=f(x) -3 -2 -1

y ? log 3
1 2 3 x

A. f ( x) ?

1 x

B. f ( x) ?| x |

C. f ( x) ? 2 x

D. f ( x) ? x 2

【解析】由已知条件可做出函数 f (x) 及 y ? log 3 | x | 的图像,如下图,由图像可得其交点的个数为 4 个, 故应选 C.

| f ( x 2 ) ? f ( x1 ) | 1 1 ? ?1 , 所 以 【 解 析 】 当 f ( x) ? 时 , | x1 ? x 2 | | x1 x 2 | x

?2 x ? x ? 1, x ? 0 ? 1 例 8、设函数 f ( x) ? ? ,若 f ( x0 ) ? 1 若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x 0 的取 ? x2,x ? 0 ? y 值范围为:
A. (-1,1) C. ? 1,?? ) ( B. (??,?2) ? (0,??) D. (??,?1) ? (1,??)
1 x -1 O 1

成立,当 x ? (?1,0) 时, x ? 1? (0,1) ,则 2a ? (0,1) ,故选 A. 例 10、用 n 个不同的实数 a1 , a 2 , a3 ?, a n 可得 n! 个不同的排列,每个排 列 为 一 行 写 成 一 个 n! 行 的 矩 阵 , 对 第 i 行 ai1 , ai 2 , ai 3 ?, ain , 记
bi ? ?ai1 ? 2ai 2 ? 3ai 3 ? ? ? (?1) n ain ,
123 132 213 231 321 312

【解析】在同一直角坐标系中,做出函数 f (x) 和直线 x=1 的图像,它们相交于(-1,1)和 (1,1)两点,则 f ( x0 ) ? 1 ,得 x0 ? ?1或x0 ? 1 ,故选 D. 【题后反思】 严格地说,图解法并非属于选择题解题思路范畴,而是一种数形结合的 解题策略,但它在解有关选择题时非常简便有效,不过运用图解法解题一 定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉,否则错误的图像反会 导致错误的选择. (六)逻辑分析法 分析法就是根据结论的要求,通过对题干和选择支的关系进行观察分 析、寻求充分条件,发现规律,从而做出正确判断的一种方法,分析法可 分为定性分析法和定量分析法. 例 9、 若定义在区间 (-1, 内的函数 f ( x) ? log 2 a ( x ? 1) 满足 f ( x) ? 0 , 0) 则 a 的取值范围是: 1 A. (0, ) 2
1 B. (0, ] 2 1 C. ( ,?? ) 2

( i ? 1,2,3,?, n )例如用 1、2、3 排数阵如图所示, 由于此数阵中每一列各数之和都是 12, 所以 b1 ? b2 ? ? ? b6 ? ?12 ? 2 ? 12 ? 3 ? 12 ? ?24 ,那么用 1, 2,3,4,5 形成的数阵中, b1 ? b2 ? ? ? b120 ?

A.-3600 B.1800 C.-1080 D.-720 【 解 析 】 n ? 3 时 , 3!? 6 , 每 一 列 之 和 为 3!?2!? 12 ,
b1 ? b2 ? ? ? b6 ? 12 ? (?1 ? 2 ? 3) ? ?24 , n ? 5 时, 5!? 6 ,每一列之和为

5!?4!? 360 , b1 ? b2 ? ? ? b120 ? 360 ? (?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ? ?1080 ,故选 C.

【题后反思】 分析法实际是一种综合法,它要求在解题的过程中必须保持和平的心态、 仔细、认真的去分析、学习、掌握、验证学习的结果,再运用所学的知识 解题,对考察学生的学习能力要求较高. (七)极端值法 从有限到无限,从近似到精确,从量变到质变,应用极端值法解决某

D. (0,??)

些问题,可以避开抽象、复杂的运算,隆低难度,优化解题过程. 例 11、对任意 ? ? (0, ) 都有: 2 A sin(sin? ) ? cos? ? cos(cos? ) B. sin(sin? ) ? cos? ? cos(cos? )

?

【解析】要使 f ( x) ? 0 成立,只要 2a 和 x+1 同时大于 1 或同时小于 1

C sin(cos? ) ? cos(sin? ) ? cos?

D. sin(cos? ) ? cos? ? cos(sin? )

【解析】当 ? ? 0 时, sin(sin? ) ? 0 , cos? ? 1, cos(cos? ) ? cos1 ,故排 除 A、B, ? 当 ? ? 时, cos(sin? ) ? cos1 , cos? ? 0 ,故排除 C,因此选 D. 2 例 12、设 a ? sin ? ? cos? , b ? sin ? ? cos ? ,且 0 ? ? ? ? ? A.a ?
a2 ? b2 a2 ? b2 ?b? 2 2 a2 ? b2 a2 ? b2 ? ?b 2 2

?

4

,则

B.a ? b ?

a2 ? b2 a2 ? b2 ? 2 2

9 15 B.5 C.6 D. 2 2 【解析】由已知条件可知,EF//面 ABCD,则 F 到平面 ABCD 1 的距离为 2,∴ VF ? ABCD ? ? 32 ? 2 ? 6 ,而该多面体的体积必大于 6,故选 3 D. 例 14、已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径 的一半,且 AB=BC=CA=2,则球面面积是: 16? 8? 64? A. B. C.4? D. 3 9 9

A.

【 解 析 】 设 球 的 半 径 为 R , ?ABC 的 外 接 圆 半 径 r ?
S 球 ? 4?R 2 ? 4?r 2 ? 16 ? ? 5? ,故选 D. 3

Ca ?

a2 ? b2 a2 ? b2 ?a?b? D. 2 2

2 3 ,则 3

【 解 析 】 ∵ 0?? ? ? ?
a ? 1, b ? 2, a2 ? b2 3 ? , 2 2

?
4

, ∵ 令 ? ? 0, ? ?
E D

?
4

, 则
F C B

【题后反思】 有些问题,由于受条件限制,无法(有时也没有必要)进行精确的运算 和判断,而又能依赖于估算,估算实质上是一种数字意义,它以正确的算 理为基础,通过合理的观察、比较、判断、推理,从而做出正确的判断、 估算、省去了很多推导过程和比较复杂的计算,节省了时间,从而显得快

易知: 1 ? 1.5 ? 2 ? 1.5 ,故应选 A. 【题后反思】
A

捷.其应用广泛,它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的 运算方法. (九)割补法 “级割善补”是解决几何问题常用的方法,巧妙地利用割补法,可以将 不规则的图形转化为规则的图形,这样可以使问题得到简化,从而缩短解 题时间. 例 15、一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶 点在同一球面上,则此球的表面积为:
B C A D

有一类比较大小的问题,使用常规方法难以奏效(或过于繁杂) ,又无 特殊值可取,在这种情况下,取极限往往会收到意想不到的效果. (八)估值法 由于选择题提供了唯一正确的选择支,解答又无需过程,因此可通过猜 测、合情推理、估算而获得答案,这样往往可以减少运算量,避免“小题 大做” . 例 13、如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的正 3 方形,EF//AB, EF ? ,EF 与面 AC 的距离为 2,则该多面体的体积为: 2

A. 3?

B. 4?

C. 3 3?

D. 6?

A. y ? 3 x

B. y ? ? 3x

C. y ?

【解析】如图,将正四面体 ABCD 补成正方体,则正四面体、正方体的 中心与其外接球的球心共一面,因为正四面体棱长为 2 ,所以正方体棱 长为 1,从而外接球半径 R ? 【题后反思】 “割”即化整为零,各个击破,将不易求解的问题,转化为易于求解的 问题; “补”即代分散不集中,着眼整体,补成一个“规则图形”来解决 问题,当我们遇到不规则的几何图形或几何体时,自然要想到“割补法” . 五、限时课后练习 (1) 已知 ? , ? 是锐角, ? ? ? ? 且
1 3 A. [ , ] 2 2
1 3 B. [ , ) 2 2
3 ,故 S 球 ? 3? ,选 A. 2

3 x 3

D. y ? ?

3 x 3

0 2 n (5)如果 n 是正偶数,则 C n ? C n ? ? ? C n ?

A. 2 n

B. 2 n?1

C. 2 n?1

D. (n ? 1) ? 2 n ?1

(6)函数 f ( x) ? M sin(?x ? ? )(? ? 0) ,则区间[a,b]上是增函数,且
f (a) ? ?M , f (b) ? M ,则函数 g ( x) ? M cos( x ? ? ) 在[a,b]上是: ?

A.增函数

B.减函数

2? o , cs 2 ? ? cs 2 ? 的取值范围是: 则o 3 1 3 1 3 C. [ , ] D. [ , ) 2 4 2 4

(7)函数 f ( x) ? sin( ? 2 x) ? sin 2 x 的最小正周期是: 3 ? A. B. ? C.2 ? D.4 ? 2 (8)过点 A(1,-1) ,B(-1,1)且圆心在直线 x ? y ? 2 ? 0 上的圆的 方程是: A. ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 C. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 B. ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 D. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4

?

C.有最大值 M

D.有最小值—M

( 2 )( 2007 , 安 徽 高 考 ) 若 A ? {x | 2 ? 2 2? x ? 8, x ? Z } ,
B ? {x || log 2 x |? 1, x ? R} ,则 A 交 B 补中元素的个数为:

A.0

B.1

C.2

D.3

1 (3) 2007, ( 山东高考) 已知集合 M ? {?1,1} , ? {x | ? 2 x ?1 ? 4, x ? Z } , N 2

(9)定义在 (??,0) ? (0,??) 上的奇函数 f (x) ,在 (0,??) 上为增函数,
y 当 x ? 0 时, f (x) 的图像如下图所示,则不等式 x[ f ( x) ? f (? x)] ? 0 的解集

则M ?N ? A. {?1,1} B. {?1} C. {0} D. {?1,0}

是: A. (?3,0) ? (0,3) C. (??,?3] ? (3,??) B. (??,?3) ? (3,??) D. (?3,0) ? (3,??)
O O 3 x

(4)过原点的直线与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 相切,若切点在第三象限, 则该直线的方程是:

(10)函数 y ?| x 2 ? 1 | ?1 的图像与函数 y ? 2 x 的图像交点的个数为:

A.1 B.2 C.3 D.4 (11)如下图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正方 形, ?ADE, ?BCF 均为正三角形, 且 EF//AB, EF=2, 则该多面体的体积为:
E

1 ( 16 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ( ) x ? log 2 x , 正 实 数 a , b , c 满 足 3
f (c) ? 0 ? f (a) ? f (b) ,若实数 d 是函数 f (x) 的一个零点,那么下列四个
F 判断:①d<a;②d>b;③d<c;④d>c,其中可能成立的个数为:

2 A. 3

3 B. 3

4 C. 3

3 D. 2
A

D B

A.1
C

B.2

C.3

D.4

A (12)如下图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V,P、 1

C1 B1 Q

? ( x ? 1) 2 , x ? 1 (17)设函数 f ( x) ? ? ,则使得 f (?1) ? f (m ? 1) ? 1 成立的 ?4 ? x ? 1, x ? 1

Q 分别为侧棱 AA1、和 CC1 上的点,且 AP=C1Q,则四棱 锥 B—A1PQC 的体积为: A.
2V 3
P A D1 A1 B1 F O E A D C

m 的取值为: A.10

B.0,-1

C.0,-2,10

D.1,-1,11

B.

V 3

C.

3V 7

D.

2V 7

(18)已知点 P 是椭圆
C B C1

x2 y2 ? ? 1 上的动点,F1,F2 分别为椭圆的左右 8 4
|| PF1 | ? | PF2 || 的取值范围是: | OP | 1 2 ] C. ( , 2 2

(13)如右图所示,在正方体 AC1 中, E 为 AD 的中点,O 为侧面 AA1B1B 的中心,F 为 CC1 上任意一点,则 异面直线 OF 与 BE 所成的角是: A.

焦点,O 为坐标原点,则

A. [0, 答案: (1)D

2 ] 2

B. [0,2]

D. [0, 2 ]

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

H G

(2)C (3)B (4)C (5)B (6)C (7)B (8)

B

C (9) (10) (11) (12)B (13)D (14) (15) (16) A C A C D B (17)D (18)D

( 14 ) 要 得 到 函 数 y ? 2 sin 2 x 的 图 像 , 只 需 把 函 数
y ? 4 sin(x ?

?
6

) cos(x ?

?
6

) 的图像:

? ? 个单位 B.向左平移 个单位 3 3 ? ? C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位 6 6 (15)函数 y ?| log 1 x | 的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]
A.向右平移
2

的长度 b-a 的最小值是:

A.2

B.

3 2

C.3

D.

3 4


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