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圆锥曲线的基本性质

时间:2015-06-21


圆锥曲线的基本性质
椭圆 1.到两定点 F1,F2 的距离之 和为定值 2a(2a>|F1F2|)的 点的轨迹 2.与定点和直线的距离之 比为定值 e 的点的轨迹. (0<e<1) 双曲线 1. 到两定点 F1,F2 的距离之差的 绝对值为定值 2a(0<2a<|F1F2|) 的点的轨迹 2.与定点和直线的距离之比为 定值 e 的点的轨迹.(e>1) 抛物线

定义

与定点和直线的距离相等的 点的轨迹.

图形



标准 方程

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b >0) a2 b2

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2

y 2 ? 2 px

程 范围 ─a?x?a,─b?y?b |x| ? a,y?R x?0,y?R

中心 顶点

原点 O(0,0) (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x 轴,y 轴; 长轴长 2a,短轴长 2b F1(c,0), F2(─c,0)

原点 O(0,0) (a,0), (─a,0) x 轴,y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. F1(c,0), F2(─c,0) (0,0)

对称轴

x轴

焦点

p F ( ,0 ) 2
x=-

x=± * 准 线

a2 c

x=±

a2 c

p 2

准线垂直于长轴,且在椭圆 外. 焦距 2c (c= a 2 ? b 2 )

准线垂直于实轴, 且在两顶点的 内侧. 2c (c= a 2 ? b 2 )

准线与焦点位于顶点两侧, 且到顶点的距离相等.

离心率

e?

c (0 ? e ? 1) a

e?

c (e ? 1) a

e=1

补充:1、双曲线的渐近线方程及双曲线系方程; 2、抛物线方程与图形对应关系
-1-

练习:
x2 y2 1、 已知方程 + =1(k∈R)表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是_________________ k+1 3-k

x2 2、 设 F1、 F2 为椭圆 +y2=1 的左、 右焦点, 过椭圆中心任作一直线与椭圆交于 P, Q 两点, 当四边形 PF1QF2 4 → → 面积最大时,PF1· PF2 的值等于________.

x2 y2 → → 3、O、F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,P 为椭圆上的任意一点,则OP· FP的最大值为 ( 4 3 A.2 B.3 C.6 D.8

)

4、已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 上一点 M 的横坐标为 4,则点 M 到左焦点的距离是 9 16

-2-

5、过双曲线 x2-y2=4 的焦点且平行于虚轴的弦长为

6、直线 y=kx+1 与双曲线 x2-y2=1 的交点只有一个,则 k=

7、已知:F1,F2 是双曲线 △ABF2 的周长为( A、4a

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,过 F1 作直线交双曲线左支于点 A、B,若 AB ? m , a2 b2
) C、4a+2m D、4a-m

B、4a+m

8、 已知抛物线方程为 y2=4x,直线 l 的方程为 x-y+4=0,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1,P 到直线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为________.

-3-

9、若点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1,则 P 点的轨迹方程是 A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x





10、已知△ABC 的三边 AB、BC、AC 的长依次成等差数列,且 AB ? AC ,点 B、C 的坐标分别为(-1, 0),(1,0),则顶点 A 的轨迹方程是( A、 ) B、

x2 y2 ? ?1 4 3
x2 y2 ? ? 1( x ? 0) 4 3

x2 y2 ? ? 1( x ? 0) 4 3 x2 y2 ? ? 1( x ? 0且y ? 0) 4 3

C、

D、

11 、△ABC 的顶点 A(-5,0)、B(5,0),内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨迹方程是 ( x y A. - =1 9 16
2 2

)

x y B. - =1 16 9

2

2

x y C. - =1(x>3) 9 16

2

2

x y D. - =1(x>4) 16 9

2

2

-4-

1 1? x2 12、椭圆 +y2=1 的一条弦 AB 被点 P? ?2,2?平分,则弦 AB 所在的直线方程是____________ 2 13. (2015 全国 2 理)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,ΔABM 为等腰三角形,且顶角为 120° ,则 E 的离心率为 A. 5 B.2 C. 3 D. 2

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