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3.2 第2课时 一元二次不等式及其解法习题课

时间:2014-04-01


第2课时

一元二次不等式及其解法 习题课

1.能应用一元二次不等式解决与之相关的实际问题;
2.掌握一元二次不等式、一元二次方程与一元二次函数的 关系,并且会利用三个“二次”之间的关系解决恒成立问 题;(重点、难点)

3.会解含参数的一元二次不等式.

汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车后还要继续向前
滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”. 刹车距离是分析事故的一个重要因素.一般来说刹车距离 与车速是二次函数关系,我们可以根据刹车距离判断汽车 的速度.

一元二次不等式在实际问题中的应用 例1 某种汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车车速

x km/h有如下关系:

1 1 2 s = x+ x . 20 180 在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于
39.5 m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少?(精确 到0.01 km/h)

解:设这辆汽车刹车前的车速至少为 xkm/h,根据题意,得
1 1 2 x+ x > 39.5. 20 180

移项整理,得 x2 + 9x - 7 110 > 0.
2 显然 ? ? 0, 方程 x + 9x - 7 110 = 0 有两个实数根,

即 x1 ≈ -88.94,x2 ≈ 79.94.

然后,画出二次函数 y = x2 +9x -7 110 的图象,由图 象得不等式的解集为

?x x < -88.94,或x > 79.94? . ∵x > 0,
所以这辆汽车刹车前的车速至少为 79.94 km / h.

例2

一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,

这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值 y(元)之

间有如下的关系:

y ? ?2x2 ? 220x.
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6 000元以上,那么它在一个星期内大约应该生产多少 辆摩托车? 解:设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车. 由题意得, -2x2 + 220x > 6 000. 移项整理得, x2 - 110x +3 000 < 0.

2 因为 Δ = 100 > 0, 所以方程 x - 110x +3 000 = 0 有两个实数根,

x1 = 50,x2 = 60.
由二次函数y = x2 -110x +3 000的图象(如图)

得不等式的解集为 ?x 50 < x < 60? . 因为在这个实际问题中x只能取整数值,所以,当这条 摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在 51~59辆之间时,这家工厂能够获得6 000元以上的收

益.

把实际问题转化为一元二次不等式来求解,要结 合问题的实际意义.

三个“二次”的关系 解一元二次不等式的过程涉及一元二次方程、一元二次 函数的图象的有关知识,那么一元二次不等式与一元二次方 程、一元二次函数之间有什么关系呢?

例3

2 已知一元二次不等式 ax + bx +1 > 0 的解集为

?x -2 < x < 1? ,

求 a , b 的值.

分析:-2和1是一元二次方程 ax2 + bx + 1 = 0 的两个根. 解:由根与系数的关系,得
b ? ? 2+1= ? , ? ? a ? ? ?2 ? 1 ? 1 . ? a ?

1 解得 a = b = - . 2
寻找关 系式

例4

不等式 ax2 +(a -1)x + a -1 < 0 对所有实数 x ∈ R

都成立,求a的取值范围. 分析:一元二次函数 y = ax2 +(a -1)x + a -1 开口向下, 且与x轴无交点. 解:(1)当 a = 0 时,不等式为 -x - 1 < 0, 即x > -1. 不符合题意. (2)当 a≠ 0 时,则 ?
? a < 0,
2

1 ?Δ =(a - 1) - 4a(a - 1)< 0. 解之得 a < - . 3 1? 综上所述,a 的取值范围是 ? ?a|a < - ? . 3? ?

含参不等式恒成立的问题
2 (1)一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 恒成立.

?a ? 0, ?? 2 ? ? b ? 4ac ? 0. ?

y

O

x
y
O

(2)一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0恒成立.
?a ? 0, ?? 2 ? ? b ? 4ac ? 0. ?

x

(3)一元二次不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 恒成立.
y

?a ? 0, ?? 2 ? ? b ? 4ac ? 0. ?

O

x

2 (4)一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 恒成立.

? a ? 0, ?? 2 ? ? b ? 4ac ? 0. ?

y
O

x

含参数的一元二次不等式的解法 例5 解关于 x 的不等式 2x2 + kx - k ≤ 0.

分析:分 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 进行讨论. 解: Δ= k2 + 8k = k(k + 8).
(1) 当 Δ>0, 即k < -8或k >0时,方程2x2 + kx - k = 0 有两个不相等的实数根, 所以不等式 2x2 + kx - k ? 0的解集是
? -k + k(k + 8)? ? -k - k(k + 8) ? x ? x ? ? ?; 4 4 ? ? ? ?

(2)当Δ= 0,即k = -8或k = 0时,方程2x2 +kx- k = 0 有两个相等的实数根,
? k? 所以不等式 2x + kx - k ? 0的解集是 ?- ?,即{2} 或 {0}. ? 4?
2

(3)当 Δ<0, 即-8< k <0时,方程2x2 +kx- k = 0 无实数根, 所以不等式

2x2 + kx - k ? 0的 解集为 ? .

例6

解关于 x 的不等式 ax2 -(a +1)x +1 < 0.

分析:题中二次项系数含有参数,因此要分 a = 0 及 a ≠ 0进行讨论.

解:原不等式可化为 (ax - 1)(x - 1)< 0. (1) 当a = 0时,x > 1. 1 (2) 当a < 0时,不等式可化为 (x - )(x - 1)> 0. a 1 1 ∵ < 1, ∴x < 或x > 1. a a

1 (3) 当a > 0时,不等式化为 (x - )(x - 1)< 0. a 1 1 若 < 1,即a > 1,则 < x < 1; a a 1 若 = 1,即a = 1,则解集为?; a 1 1 若 > 1,即0 < a < 1,则1 < x < . a a
综上所述,原不等式的解集为: ? ? 1 当a < 0时,x x < 或x > 1 x > 1? ; ? ? ? ;当a = 0时,x a ? ? ? 1? 当0 < a < 1时,x 1 < x < ? ? ;当a = 1时,?; a? ? ? 1 ? 当a > 1时, ?x < x < 1? . ? a ?

在解含参数的不等式时,往往要进行分类讨论:

(1)对二次项系数分是否为0,是正还是负进行讨论,
以确定解集的形式; (2)对判别式分Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0 进行讨论,以便确定二 次方程根的个数; (3)对相应的一元二次方程根的大小进行讨论,以确定解集.

? 1 1? 1.已知ax + 2x + c > 0的解集为 ?x - < x < ? ,试求a,c的值, 3 2? ? 并解不等式 - cx2 + 2x - a > 0.
2

解:由根与系数的关系,得
2 ? 1 1 + = , ? ? 3 2 a ? ? - 1×1 = c . ? ? 3 2 a

解得 a = -12,c = 2.

不等式 - cx2 + 2x - a > 0即为 - 2x2 + 2x + 12 > 0. ∴x2 - x - 6 < 0的解集为?x -2 < x < 3? .

2.不等式 (a - 2)x2 +(a - 2)x +1 ≥ 0 恒成立,

试求 a 的取值范围.
解:由题意知:

①当 a - 2 = 0 ,即 a = 2 时,不等式化为

1 ? 0, 恒成立,满足条件.
②当 a - 2≠0 ,即 a≠ 2 时,原不等式等价于
?a - 2 >0, a > 2, ? ? 即? 2 (a 2) 4(a 2) ? 0. ? ?2 ? a ? 6.

所以2 < a ? 6.

综上,a?的取值范围为2 ? a ? 6.

3.解关于 x 的不等式 x2 - ax - 6a 2 < 0. 解:原不等式可化为 (x - 3a)(x + 2a)< 0.

它所对应的二次方程的两根为 -2a,3a .
当 -2a > 3a, 即 a < 0 时, 原不等式的解集为

?x 3a < x < -2a? ;

当 -2a = 3a,即 a = 0时,原不等式的解集为 ? ; 当 -2a < 3a, 即 a > 0 时,

原不等式的解集为 ?x -2a < x < 3a? .

综上所述,
原不等式的解集为: 当a>0时, ?x -2a < x < 3a?; 当a=0时, ? ;

当a<0时,?x 3a < x < -2a? .

1.三个“二次”的关系 一元二次不等式解的端点值是对应一元二次方程的根,

也是对应一元二次函数的零点.
2.含参一元二次不等式的解法: (1)对二次项系数分是否为0,是正还是负进行讨论; (2)对判别式进行讨论;

(3)对相应的一元二次方程根的大小进行分类讨论.

知足常足,终身不辱;知止常止,终身不 耻。 ——老聃


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