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广东省珠海四中2014届高三数学理二轮专题复习:圆锥曲线

时间:2014-04-09

2014 珠海四中高三数学(理)专题复习--圆锥曲线
一、选择、填空题 1、 (2013 广东高考) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F ?3,0? ,离心率等于 方程是 ( A. )

3 ,在双曲线 C 的 2

x2 y 2 ? ?1 4 5

B.

x2 y 2 ? ?1 4 5

C.

x2 y 2 ? ?1 2 5

D.

x2 y 2 ? ?1 2 5

2、(2010 广东高考)若圆心在 x 轴上、半径为 2 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x ? y ? 0 相切, 则圆 O 的方程是 .

3、(2009 广东高考)巳知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为

3 ,且 G 上一点到 2

G 的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为
2 2



4、(2014 广州一模)圆 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 关于直线 y ? x 对称的圆的方程为 A. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

B. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

C. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

D. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

5、(2014 梅州 3 月高考模拟)已知双曲线 C 的焦点、实轴端点恰好是椭圆 点、焦点,则双曲线 C 的方程是____ 6、(2014 韶关一模)已知椭圆与双曲线 离之和为 10 ,那么椭圆的离心率等于(

x2 y 2 ? ? 1 的长轴的端 25 16

x2 y 2 ? ? 1 的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距 4 12
)

A.

3 5

B.

4 5

C.

5 4

D.

3 4

7、(2014 深圳一模)已知双曲线 C :

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1 有相同的焦点, 与椭圆 a 2 b2 9 4


且双曲线 C 的渐近线方程为 y ? ?2 x ,则双曲线 C 的方程为

二、解答题

1、(2013 广东高考)已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ??c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的 距离为

3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. 2 (Ⅰ) 求抛物线 C 的方程;

(Ⅱ) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

x2 y2 2、 (2012 广东高考) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ?b ? 0) 的离心率 e ? a b
且椭圆 C 上的点到点 Q ? 0,2 ? 的距离的最大值为 3. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

2 3

(Ⅱ)在椭圆 C 上,是否存在点 M ? m, n ? ,使得直线 l : mx ? ny ? 1 与圆 O : x2 ? y 2 ? 1 相交于 不同的两点 A 、 B ,且 ?OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的 ?OAB 的面积;若不 存在,请说明理由.

3、(2011 广东高考)设圆 C 与两圆 ( x ? 5)2 ? y2 ? 4 , ( x ? 5)2 ? y2 ? 4 中的一个内切,另一 个外切. (1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程; (2)已知点 M ( 的坐标.

3 5 4 5 MP ? FP   的最大值及此时点 P , ) , F ( 5,0) ,且 P 为 L 上动点,求   5 5

4、(2014 广州一模)已知双曲线 E :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 ? 的中心为原点 O ,左,右焦点分别为 F1 , a2 4

F2 ,离心率为

???? ? ???? ? a2 3 5 ,点 P 是直线 x ? 上任意一点,点 Q 在双曲线 E 上,且满足 PF2 ? QF2 ? 0 . 3 5

(1)求实数 a 的值; (2)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值; (3) 若点 P 的纵坐标为 1 , 过点 P 作动直线 l 与双曲线右支交于不同两点 M ,N , 在线段 MN 上取异于点 M , N 的点 H ,满足

PM MH ,证明点 H 恒在一条定直线上. ? PN HN

5、已知点 F 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的右焦点,点 M (m, 0) 、 N (0, n) 分别是 x 轴、 y 轴上 2 1? a

的动点,且满足 MN ? NF ? 0 .若点 P 满足 OM ? 2ON ? PO . (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设过点 F 任作一直线与点 P 的轨迹交于 A 、 B 两点,直线 OA 、 OB 与直线

??? ? ??? ? x ? ?a 分别交于点 S 、 T ( O 为坐标原点),试判断 FS ? FT 是否为定值?若是,求出这个定值;
若不是,请说明理由.

x2 y 2 2 b. b ), ? 2 ?1 (a ? b ? 0) 的左焦点 F 及点 A(0, 原点 O 到直线 FA 的距离为 (1) 2 2 a b 求椭圆 C 的离心率 e ;
6、 已知椭圆 C : (2) 若点 F 关于直线 l : 2 x ? y ? 0 的对称点 P 在圆 O : x2 ? y 2 ? 4 上, 求椭圆 C 的方程及点 P 的坐标.

7、 (2014 深圳一模) 如图 7, 直线 l : y ? x ? b(b ? 0) , 抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) , 已知点 P (2, 2)
2

在抛 物线 C 上,且抛物线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值为 (1)求直线 l 及抛物线 C 的方程; (2)过点 Q(2,1) 的任一直线(不经过点 P )与抛物线 C 交于 A 、 B 两点,直线 AB 与直线 l 相 交于点 M ,记直线 PA , PB , PM 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 .问:是否存在实数 ? ,使得

3 2 . 4

k1 ? k2 ? ? k3 ?若存在,试求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

8、(2014 佛山期末)如图 7 所示,已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1 ? ?1,0 ? 、 F2 ?1,0? ,且 F2 到直线

x ? 3 y ? 9 ? 0 的距离等于椭圆的短轴长. (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ) 若圆 P 的圆心为 P ? 0, t ? ( t ? 0 ),且经过 F F2 , Q 是椭圆 C 上的动点且在圆 P 外,过 Q 作 1、 圆 P 的切线,切点为 M ,当 QM 的最大值为

3 2 时,求 t 的值. 2

9、(广东省百所高中 2014 届高三 11 月联考) 已知椭圆 C1:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,直线 l:y=x+2 与以原点为圆心, 2 a b 3

以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆 O 相切。 (1)求椭圆 C1 的方程; 2 (2)抛物线 C2:y =2px(p>0)与椭圆 C1 有公共焦点,设 C2 与 x 轴交于点 Q,不同的两点 R, S 在 C2 上(R,S 与 Q 不重合),且满足 ,求 的取值范围。

10、(广东省宝安中学等七校 2014 届高三第二次联考)

已知定点 F1 ? ?1,0 ? , F2 ?1,0? ,动点 P ? x, y ? ,且满足 PF 1 , F 1F 2 , PF 2 成等差数列.

(Ⅰ) 求点 P 的轨迹 C1 的方程; (Ⅱ) 若曲线 C2 的方程为 ? x ? t ? ? y ? t ? 2t
2 2 2

?

?

2

(0 ? t ?

2 ),过点 A?? 2,0? 的直线 l 与曲线 2

C2 相切,求直线 l 被曲线 C1 截得的线段长的最小值.

参考答案 一、选择、填空题 1、B 2、 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 2 3、

x2 y 2 ? ?1 36 9

4、A

5、

x2 y 2 ? ?1 9 16

6、B

7、 x ?
2

y2 ?1 4

二、填空题 1、(Ⅰ) 依题意,设抛物线 C 的方程为 x 2 ? 4cy ,由
所以抛物线 C 的方程为 x
2

0?c?2 2

?

3 2 结合 c ? 0 ,解得 c ? 1 . 2

? 4y .
2

(Ⅱ) 抛物线 C 的方程为 x 设A

? 4 y ,即 y ?

1 2 1 x ,求导得 y? ? x 4 2

? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? (其中 y1 ?

1 1 x12 x2 , y2 ? 2 ),则切线 PA, PB 的斜率分别为 x1 , x2 , 2 2 4 4

x1 x x2 ? x ? x1 ? ,即 y ? 1 x ? 1 ? y1 ,即 x1x ? 2 y ? 2 y1 ? 0 2 2 2 同理可得切线 PB 的方程为 x2 x ? 2 y ? 2 y2 ? 0
所以切线 PA 的方程为 y ? y1 ? 因为切线 PA, PB 均过点 P 所以

? x0 , y0 ? ,所以 x1x0 ? 2 y0 ? 2 y1 ? 0 , x2 x0 ? 2 y0 ? 2 y2 ? 0
?0.

? x1, y1 ? , ? x2 , y2 ? 为方程 x0 x ? 2 y0 ? 2 y ? 0 的两组解.
AF ? y1 ? 1, BF ? y2 ? 1 ,

所以直线 AB 的方程为 x0 x ? 2 y ? 2 y0 (Ⅲ) 由抛物线定义可知 所以

AF ? BF ? ? y1 ?1?? y2 ?1? ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ?1
? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ?x ? 4 y
2

联立方程 ?

,消去 x 整理得 y ? 2 y0 ? x0
2

?

2

?y? y

2 0

?0

由一元二次方程根与系数的关系可得 所以

y1 ? y2 ? x02 ? 2 y0 , y1 y2 ? y02

AF ? BF ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ?1 ? y02 ? x02 ? 2 y0 ? 1

又点 P

? x0 , y0 ? 在直线 l 上,所以 x0 ? y0 ? 2 ,
2 2 2 2

1? 9 ? 所以 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1 ? 2 y0 ? 2 y0 ? 5 ? 2 ? y0 ? ? ? 2? 2 ? 1 9 所以当 y0 ? ? 时, AF ? BF 取得最小值,且最小值为 . 2 2
2 、 解 析 : ( Ⅰ ) 因为 e ?

c2 2 2 , 所 以 2 ? , 于 是 a 2 ? 3b2 . 设 椭 圆 C 上 任 一 点 P ? x, y? , 则 a 3 3

? y2 ? 2 2 2 PQ ? x2 ? ? y ? 2 ? ? a 2 ?1 ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? ?2 y 2 ? 4 y ? 4 ? 3b2 ( ?b ? y ? b ). ? b ?
当 0 ? b ? 1 时, PQ 在 y ? ?b 时取到最大值,且最大值为 b 2 ? 4b ? 4 ,由 b2 ? 4b ? 4 ? 9 解得
b ? 1 ,与假设 0 ? b ? 1 不符合,舍去.
2

当 b ? 1 时, PQ 在 y ? ?1 时取到最大值,且最大值为 3b 2 ? 6 ,由 3b 2 ? 6 ? 9 解得 b 2 ? 1 .于是

2

a 2 ? 3 ,椭圆 C 的方程是

x2 ? y2 ? 1 . 3

(Ⅱ)圆心到直线 l 的距离为 d ?

1 m ?n
2 2

, 弦 长 AB ? 2 1 ? d 2 , 所 以 ?OAB 的 面 积 为

1? 1 1 ? S ? AB ? d ? d 1 ? d 2 ,于是 S 2 ? d 2 ?1 ? d 2 ? ? ? ? d 2 ? ? ? . 而 M ? m, n ? 是椭圆上的点,所以 2? 4 2 ?
m2 1 1 ? n 2 ? 1 , 即 m2 ? 3 ? 3n2 , 于 是 d 2 ? 2 , 而 ?1 ? n ? 1 , 所 以 0 ? n 2 ? 1 , ? 2 2 3 m ?n 3 ? 2n 1 1 1 1 1 ? 3 ? 2n2 ? 3 ,所以 ? d 2 ? 1 ,于是当 d 2 ? 时, S 2 取到最大值 ,此时 S 取到最大值 ,此时 4 2 3 2 1 3 n2 ? , m2 ? . 2 2
综上所述,椭圆上存在四个点 ?

2

? 6 2? ? 6 2? ? 6 2? ? 6 2? 、?? 、? 、?? , , , ? , ? ? ? ? ? ,使得 ? 2 2 ? ? 2 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?

直线与圆相交于不同的两点 A 、 B ,且 ?OAB 的面积最大,且最大值为 3、解:(1)设 F ?(? 5,0), F ( 5,0) ,圆 C 的半径为 r ,

1 . 2

  CF ? ? CF   ? (r ? 2) ? (r ? 2) ? 4 ? 2 5 则 
∴ C 的圆心轨迹 L 是以 F ?, F 为焦点的双曲线, a ? 2 , c ? 5 , b ? 1

∴ C 的圆心轨迹 L 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

(2)   MP ? FP   ? MF ? (

3 5 4 5 2 ? 5)2 ? ( ) ?2 5 5
y 4 3 2 M 1 P

MP ? FP   ∴  的最大值为 2,此时 P 在 MF 的延长线上,
如图所示, P 必在 L 的右支上,且 xP ? 5 , yP ? 0 直线 MF 的斜率 k ? ?2

MF : y ? ?2x ? 2 5
? x2 2 ? ? y ?1 ?4 ? y ? ?2 x ? 2 5 ?
?9 ?8 ?7 ?6 ?5 ?4 ?3 ?2 ?1

O ?1 ?2

1

2 F P

3

4

5

x

15x2 ? 32 5x ? 28 ? 0

( 3 x5 ?

1 4 x)?( ? 5

14 5 ?3 6 5 6) x1 ? 0 , x2 ? 15 5 ?4
?5 ?6 ?7 ?8 ?9

∵ xP ? 5 ,∴ xP ?

6 5 2 5 , yP ? ? 5 5

6 5 2 5 MP ? FP   ∴  的最大值为 2,此时 P 为 ( ,? ) 5 5

?c 3 5 , ? ? 4、(1)解:设双曲线 E 的半焦距为 c ,由题意可得 ? a 解得 a?10 ? 5 . 5 ?c 2 ? a 2 ? 4. ?
(2)证明:由(1)可知,直线 x ?

a2 5 ?5 ? ? ,点 F2 ?3,0? .设点 P ? , t ? , Q ? x0 , y0 ? , 3 3 ?3 ?
? ?
4 ? x0 ? 3? . 3

因为 PF2 ? QF2 ? 0 ,所以 ? 3 ? , ?t ?? ? 3 ? x0 , ? y0 ? ? 0 .所以 ty0 ?

???? ? ???? ?

? ?

5 3

因为点 Q ? x0 , y0 ? 在双曲线 E 上,所以

x0 2 y0 2 4 2 ? 5? . ? ? 1,即 y0 2 ? ? x0 5 5 4

所以 k PQ ? kOQ

4 2 4 x0 ? 5 ? ? ? x0 ? 3? 2 ? y0 ? t y0 y0 ? ty0 4 3 ? ? ? ?5 ? . 5 x0 5 5 2 5 x0 ? x0 ? x0 x0 2 ? x0 3 3 3

所以直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值 (3) 证法 1:设点 H ? x, y ? ,且过点 P ?

4 . 5

?5 ? ,1? 的直线 l 与双曲线 E 的右支交于不同两点 M ? x1 , y1 ? , ?3 ?
4 2 4 x1 ? 5 ? , y2 2 ? ? x2 2 ? 5 ? . ? 5 5

N ? x2 , y2 ? ,则 4x12 ? 5 y12 ? 20 , 4 x22 ? 5 y22 ? 20 ,即 y12 ?

???? ? ???? ?? 5 5 ? ? ? ? PM MH ?? x1 ? , y1 ? 1? ? ? ? x2 ? , y2 ? 1? , ? PM ? ? PN , 3 3 设 ? ? ? ,则 ? ???? ? ? ? ? ???? .即 ?? PN HN MH ? ? HN . ? ?? x ? x , y ? y ? ? ? ? x ? x , y ? y ? . ? 1 1 2 2 ?

5 ? ? x1 ? ? x2 ? 3 ?1 ? ? ? , ? ? 整理,得 ? y1 ? ? y2 ? 1 ? ? , ? x1 ? ? x2 ? x ?1 ? ? ? , ? ? ? y1 ? ? y2 ? y ?1 ? ? ? .

① ② ③ ④
⑤ ⑥

5 ? 2 2 2 2 ? x1 ? ? x2 ? 3 ?1 ? ? ? x , 由①×③,②×④得 ? ? y12 ? ? 2 y2 2 ? ?1 ? ? 2 ? y. ?
2 将 y1 ?

4 2 4 x1 ? 5 ? , y2 2 ? ? x2 2 ? 5 ? 代入⑥, ? 5 5


得y?

4 x12 ? ? 2 x2 2 ? ?4. 5 1? ?2

将⑤代入⑦,得 y ?

4 x ? 4 .所以点 H 恒在定直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 上. 3

证法 2:依题意,直线 l 的斜率 k 存在.设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ? x ? ? ,

? ?

5? 3?

? 5? ? ? y ?1 ? k ? x ? 3 ? , ? ? ? 消去 y 得 9 4 ? 5k 2 x 2 ? 30 5k 2 ? 3k x ? 25 5k 2 ? 6k ? 9 ? 0 . 由? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? x ? y ? 1. ? ?5 4
因为直线 l 与双曲线 E 的右支交于不同两点 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,

? ? 2 2 2 2 ?? ? 900 ? 5k ? 3k ? ? 900 ? 4 ? 5k ?? 5k ? 6k ? 9 ? ? 0, ? 30 ? 5k 2 ? 3k ? ? , 则有 ? x1 ? x2 ? 9 ? 5k 2 ? 4 ? ? ? 25 ? 5k 2 ? 6k ? 9 ? ? . ? x1 x2 ? 9 5k 2 ? 4 ? ? ?

① ②



5 3 ? x ? x1 . 设点 H ? x, y ? ,由 ,得 ? 5 x2 ? x1 PN HN x2 ? 3

PM

MH

x1 ?

整理得 6x1x2 ? ?3x ? 5?? x1 ? x2 ? ?10x ? 0 .1

150 ? 5k 2 ? 6k ? 9 ? 30 ? 3x ? 5 ? ? 5k 2 ? 3k ? ? ? 10 x ? 0 . 将②③代入上式得 9 ? 5k 2 ? 4 ? 9 ? 5k 2 ? 4 ?
整理得 ?3x ? 5? k ? 4x ?15 ? 0 . 因为点 H 在直线 l 上,所以 y ? 1 ? k ? x ? ? . 联立④⑤消去 k 得 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 . 所以点 H 恒在定直线 4 x ? 3 y ?12 ? 0 上. (本题(3)只要求证明点 H 恒在定直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 上,无需求出 x 或 y 的范围.) ④

? ?

5? 3?



5、【解析】(1)? 椭圆

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 右焦点 F 的坐标为 (a, 0) , 2 1? a

??? ? ???? ? ? NF ? (a, ? n) .? MN ? (?m, n) ,? 由 MN ? NF ? 0 ,得 n2 ? am ? 0 .
设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,由 OM ? 2ON ? PO ,有 (m, 0) ? 2(0, n) ? (? x, ? y) ,

?m ? ? x, ? 2 ? y 代入 n2 ? am ? 0 ,得 y ? 4ax . n? . ? 2 ?
(2)(法一)设直线 AB 的方程为 x ? ty ? a , A(

y12 y2 , y1 ) 、 B( 2 , y2 ) , 4a 4a

4a ? y? x, 4a 4a 4a 2 4a 2 ? x , lOB : y ? x . 由? y1 ,得 S (?a, ? ) , 同理得 T (?a, ? ). 则 lOA : y ? y1 y2 y y 1 2 ? x ? ?a ?
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 4a 2 4a 2 16a 4 2 ? FS ? (?2a, ? ) , FT ? (?2a, ? ) ,则 FS ? FT ? 4a ? . y1 y2 y1 y2


?x ? ty ? a, ? 2 ? y ? 4ax





y 2 ? 4a ?t4a2 y ?0



? y1 y2 ? ?4a2





FS ? FT ? 4a 2 ?

16a 4 ? 4a 2 ? 4a 2 ? 0 . 2 (?4a )

因此, FS ? FT 的值是定值,且定值为 0 .

??? ? ??? ?

? ? 1 ,即 6 、 (1) 由点 F (?ae,0) ,点 A(0,b )及 b ? 1 ? e2 a 得直线 FA 的方程为 ?ae 1 ? e2 a

x

y

1 ? e2 x ? ey ? ae 1 ? e2 ? 0 ,∵原点 O 到直线 FA 的距离为
ae 1 ? e2 1 ? e2 ? e2 ?a

2 1 ? e2 , b?a 2 2



1 ? e2 2 2 . ,e ? . 故椭圆 C 的离心率 e ? 2 2 2
2 a, 0) 关于直线 l : 2 x ? y ? 0 的对称点为 P( x0 , y0 ) ,则有 2

(2) 解法一:设椭圆 C 的左焦点 F (?

y0 1 ? ? , ? 2 ? x0 ? 2 a ? 3 2 4 2 2 2 2 解之,得 x0 ? ? a, y0 ? a .? P 在圆 x ? y ? 4 上 10 10 2 ? ? x0 ? 2 a y0 ? ? 0. ?2 ? ? 2 2
∴(

x2 y 2 3 2 2 4 2 2 2 2 2 2 ? 1, a) ? ( a) ? 4 ,∴ a ? 8, b ? (1 ? e )a ? 4. 故椭圆 C 的方程为 ? 8 4 10 10
6 8 5 5

点 P 的坐标为 ( , ). 7、解:(1)(法一)? 点 P (2, 2) 在抛物线 C 上, ? p ? 1 . 设与直线 l 平行且与抛物线 C 相切的直线 l ? 方程为 y ? x ? m ,
M
B
Q
O

……………………2 分 y
l

P

x

由?

? y ? x ? m, ? y ? 2 x,
2

得 x2 ? (2m ? 2) x ? m2 ? 0 ,

? ? ? (2m ? 2)2 ? 4m2 ? 4 ? 8m ,
1 1 ,则直线 l ? 方程为 y ? x ? . 2 2 ? 两直线 l 、 l ? 间的距离即为抛物线 C 上的点到直线 l 的最短距离,

? 由 ? ? 0 ,得 m ?

b?
?有

1 2 3 2 ? ,解得 b ? 2 或 b ? ?1 (舍去). 4 2

? 直线 l 的方程为 y ? x ? 2 ,抛物线 C 的方程为 y 2 ? 2x . …………………………6 分
(法二)? 点 P (2, 2) 在抛物线 C 上, ? p ? 1 ,抛物线 C 的方程为 y 2 ? 2 x .……2 分

设M(

t2 , t( ) t ? R) 为抛物线 C 上的任意一点,点 M 到直线 l 的距离为 d ? 2

t2 ?t ?b 2 2

,根据图

象,有

t2 1 ? t ? b ? 0 ,? d ? [(t ? 1)2 ? 2b ? 1] , 2 2 2 2b ? 1 2b ? 1 3 2 ,由 ,解得 b ? 2 . ? 4 2 2 2 2
2

? t ? R ,? d 的最小值为

因此,直线 l 的方程为 y ? x ? 2 ,抛物线 C 的方程为 y ? 2 x .…………………6 分 (2)? 直线 AB 的斜率存在,? 设直线 AB 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,即 y ? kx ? 2k ? 1 ,

由?

? y ? kx ? 2k ? 1, ? y ? 2 x,
2

得 ky ? 2 y ? 4k ? 2 ? 0 ,
2

设点 A 、 B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?

2 2 ? 4k , y1 y2 ? , k k

? k1 ?

y1 ? 2 y1 ? 2 2 2 ? 2 ? , k2 ? , …………………………9 分 x1 ? 2 y1 y1 ? 2 y2 ? 2 ?2 2

2 2 ? +8 2( y1 ? y2 ) ? 8 2 2 4k ? 2 k .…10 分 ? k1 ? k2 ? ? ? ? ? y1 ? 2 y2 ? 2 y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 2 ? 4k ? 2 ? 2 ? 4 3 k k

由?

? y ? kx ? 2k ? 1, 2k ? 1 4k ? 1 得 xM ? , yM ? , k ?1 k ?1 ? y ? x ? 2,

4k ? 1 ?2 2k ? 1 k ? 1 , ? ? k3 ? 2k ? 1 3 ?2 k ?1

……………………………………………13 分

? k1 ? k2 ? 2k3 .
因此,存在实数 ? ,使得 k1 ? k2 ? ? k3 成立,且 ? ? 2 .…………………………14 分

x2 y 2 8、【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ), a b 1? 9 ? 4, 依题意, 2b ? …………………………………………1 分 2 所以 b ? 2 …………………………………………2 分 又 c ? 1, ……………………………………………3 分
所以 a ? b ? c ? 5 ,
2 2 2

……………………………………4 分
2 2

所以椭圆 C 的方程为

x y ? ? 1. 5 4

………………………………………5 分

(Ⅱ) 设 Q ? x, y ? (其中

x2 y 2 ? ? 1 ), …………………………………………6 分 5 4
2

2 2 圆 P 的方程为 x ? ? y ? t ? ? t ? 1,……………………………………7 分

因为 PM ? QM , 所以 QM ?

PQ ? t 2 ? 1 ? x 2 ? ? y ? t ? ? t 2 ? 1 ……………………………8 分
2 2

? ?

1 2 ? y ? 4t ? ? 4 ? 4t 2 4
? 4t ? 3 ?

…………………………9 分

当…………10 分 且 QM
max

3 1 3 2 ,解得 t ? ? (舍去). 8 2 2

………………11 分

当 ?4t ? ?2 即 0 ? t ? 且 QM

1 时,当 y ? ?4t 时, QM 取最大值, …………………12 分 2 1 1 3 2 2 2 ,解得 t ? ,又 0 ? t ? ,所以 t ? .……………13 分 2 8 2 4

max

? 4 ? 4t 2 ?

综上,当 t ?

2 3 2 时, QM 的最大值为 . ………………………………14 分 4 2

|0-0+2| 9、解:(1)由直线 l:y=x+2 与圆 x2+y2=b2 相切,得 =b,即 b= 2. 2 由 e= 3 b2 2 x2 y2 ,得 2=1-e2= ,所以 a= 3,所以椭圆的方程是 C1: + =1.(4 分) 3 a 3 3 2

(2)由

y2 y2 p 1 2 =1,p=2,故 C2 的方程为 y2=4x,易知 Q(0,0),设 R( ,y1),S( ,y2), 4 4 2

2 2 2 2 2 y2 1(y2-y1) → y1 → y2-y1 → → ∴QR=( ,y1),RS=( ,y2-y1),由QR· RS=0,得 +y1(y2-y1)=0, 4 4 16

16 ∵y1≠y2,∴y2=-(y1+ ), y1 256 2 ∴y2 =y2 1+ 2 +32≥2 y1 → 又|QS|= y2 1· 256 256 2 4 时等号成立. 2 +32=64,当且仅当 y1= 2 ,即 y1=± y1 y1

y2 1 2 2 ( )2+y2 (y2 2= 2+8) -64, 4 4

→ 2 ∵y2 ≥64,∴当 y2 8 时,|QS|min=8 5, 2=64,即 y2=± → 故|QS|的取值范围是[8 5,+∞).(14 分) 10、 【解析】(Ⅰ)由 F1 ? ?1,0 ? , F2 ?1,0? , PF1 ? PF2 ? 4 ? F 1F 2 …………………1 分 根据椭圆定义知 P 的轨迹为以 F1 , F2 为焦点的椭圆,

x2 y2 ? ? 1 . ……4 分 4 3 k ?t ? 2? (Ⅱ)设 l : y ? k ? x ? 2? ,由过点 A?? 2,0? 的直线 l 与曲线 C2 相切得 ? t ?t ? 2? , k 2 ?1 ? k 2? 化简得 t ? (注:本处也可由几何意义求 k 与 t 的关系)…………6 分 ,t ?? 0 , ? 2 ? k 2 ?1 ? ?
其长轴 2a ? 4 ,焦距 2c ? 2 ,短半轴 b ? a 2 ? c 2 ? 3 ,故 C1 的方程为 由0 ?t ?

k k ?1
2

?

? ?2 ? 4k 2 ? 3? 12k ? ?, B? , ? 4k 2 ? 3 4 k 2 ? 3 ? ? ?

? y ? k ?x ? 2? ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 y 整理得 4k 2 ? 3 x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 12 ? 0 ,…………………8 分 ?1 ? ? 3 ?4 直 线 l 被 曲 线 C1 截 得 的 线 段 一 端 点 为 A?? 2,0? , 设 另 一 端 点 为 B , 解 方 程 可 得

2 2 ,解得 0 ? k ? 1 …………7 分 2

?

?

? ?2 ? 4k 2 ? 3? ? ? 12k ?2 12 k 2 ? 1 ? ?? 2 所以 AB ? ? ……………………11 分 ? 2 ? ? 4k 2 ? 3 ? ? 4k ? 3 ? 4k 2 ? 3 ? ? ?
2

(注:本处也可由弦长公式结合韦达定理求得) 令 k 2 ? 1 ? n ,则 AB ?

12n ? 4n 2 ? 1

12 4n ? 1 n

, n ? (1, 2] ,

考查函数 y ? 4n ? 所以 n ?

1 1 的性质知 y ? 4n ? 在区间 (1, 2] 上是增函数, n n 1 n

2 时, y ? 4n ? 取最大值

7 2 12 12 2 ,从而 AB min ? . ………… 14 分 ? 2 7 7 2 2


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