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2.3.2双曲线的简单几何性质导学稿

时间:2014-01-14

江门市新会陈瑞琪中学

数学科讲学稿

年级:高二 内容:2.3.2 双曲线的简单几何性质(1) 课型:新课
执笔人:陈鹏 审核人: 游周平 、李碟 时间:2013 年 11 月 19 日 一、学习目标: (1)通过对双曲线标准方程的讨论,掌握双曲线的几何性质。 (2)了解双曲线中心、实轴、虚轴、渐近线等概念,以及它们的关系及几何意义。 二、学习重点、难点: 学习重点:双曲线的简单几何性质。 学习难点:双曲线的简单几何性质的运用。 三、学习过程 课前准备: (预习教材理 P56~ P58,找出疑惑之处) 复习 1:双曲线的标准方程:

复习 2:前面我们学习了椭圆的哪些几何性质?

二、新课导学:※ 学习探究 问题 1:由椭圆的哪些几何性质出发,类比探究双曲线的几何性质? 焦点位置
标准方程
y

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

y

图形
o x

o

x

范围 对称性

顶点

实轴: 焦点: 实轴长: 实半轴长:
焦点:

虚轴: 虚轴长: 虚半轴长: 焦距: 半焦距:

渐近线 离心率
1

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x2 y 2 问题2:要点解读:对双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) a b
(1) 实轴、 虚轴是 “轴” 还是 “线段” ?a为

b为 长,

长.

(2) 双曲线的渐近线方程可如何求, 说说你的看法。 渐近线与双曲线会相交吗?

b b2 c2 ? a2 ? ? e 2 ? 1 ,离心率 e 越大,渐近线斜 (3)渐近线的斜率 ? 2 2 a a a
b 率 越 ,双曲线“张口”越 a (4)实轴与虚轴等长的双曲线叫

. 双曲线.等轴双曲线中 a .

b ,渐

近线方程为 ※ 典型例题 例 1 求双曲线 线的方程.

,离心率 e =

x2 y2 ? ? 1 的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近 16 9

练习:.求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. x2 y2 y2 x2 (1) ? ?1 (2) ? ?1 4 5 16 9

例 2 双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它 的最小半径为 12m,上口半径为 13m,下口半径为 25m,高为 55m,试选择适 当的坐标系,求出此双曲线的方程.

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练习二:1、书 P61 页的练习第一,第二题(做在课本上) 例 3 求双曲线的标准方程: ⑴实轴的长是 10,虚轴长是 8,焦点在 x 轴上; ⑵离心率 e ? 2 ,经过点 M (?5,3) ; ⑶渐近线方程为 y ? ?
4 与双曲线

2 x ,经过点 M ( 9 , ?1) . 3 2

x2 y2 ? ? 1 有共同渐近线,且过点 ( ?3, 2 3) ; 9 16 x2 y2 ? ? 1 有公共焦点,且过点 (3 2 , 2) 5 与双曲线 16 4

x2 y2 5 练习: 1、求与椭圆 ? ? 1有公共焦点且离心率e ? 的双曲线方程 49 24 4

2、求与椭圆

x2 y2 ? ? 1有公共焦点且渐近线方程为x ? 3 y ? 0的双曲线方程 16 8

反思:1、“共渐近线”的双曲线 x2 y 2 x2 y 2 与 2 ? 2 ? 1共渐近线的双曲线系方程为 2 ? 2 ? ? (? ? 0,?为参数), a b a b
λ >0 表示焦点在 x 轴上的双曲线;λ <0 表示焦点在 y 轴上的双曲线。 2、“共焦点”的双曲线 ( 1 ) 与 椭 圆

x2 y2 ? ?1 有 共 同 焦 点 的 双 曲 线 方 程 表 示 为 a b
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x2 y2 ? ? 1, (b 2 ? ? ? a 2 ) 2 2 a ?? ? ?b x2 y2 ( 2 ) 与 双 曲 线 ? ?1 有 共 同 焦 点 的 双 曲 线 方 程 表 示 为 a b x2 y2 ? ? 1, (?b 2 ? ? ? a 2 ) 2 2 a ?? ? ?b x2 y2 例4、双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的左右焦点为F1,F2,过点F2 作垂直x轴 a b 的直线与双曲线交于点P且?PF1 F2 ? 30 0 ,求双曲线的渐进线方程。

x2 y2 练习:双曲线 ? ? 1 的渐近线方程为_____________ 4 9 x2 y2 反思:双曲线的渐进线求法:双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a b 2 2 b y x 的渐进线方程为y ? ? x, 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的 a a b a 渐进线方程为y ? ? x一般情况下先求a, b, 再写方程但易错,可将 b 双曲线右边的“ 1”换成“0”然后因式分解可得渐进线方程

三、总结提升: ※ 学习小结 双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 双曲线
x2 y 2 ? ? 1 实轴和虚轴长分别是( 16 8 A. 8 、 4 2 B. 8 、 2 2

) .

C.4、 4 2 D.4、 2 2 2 2 2.双曲线 x ? y ? ?4 的顶点坐标是( ) . A. (0, ?1) B. (0, ?2) C. (?1,0) D. ( ?2,0 )
x2 y 2 . ? ? 1 的离心率为( ) 4 8 A.1 B. 2 C. 3 D.2 2 2 4.双曲线 x ? 4 y ? 1 的渐近线方程是

3. 双曲线

. 5 . 经 过 点 A(3, ?1) , 并 且 对 称 轴 都 在 坐 标 轴 上 的 等 轴 双 曲 线 的 方 程 是 .
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江门市新会陈瑞琪中学

数学科讲学稿

年级:高二 内容:2.3.2 双曲线的简单几何性质(2) 课型:新课
执笔人:陈鹏 审核人: 游周平 、李碟 时间:2013 年 11 月 8 日 学习目标 1、双曲线性质的应用。2、掌握双曲线的第二定义几简单应用 3、直线与双曲线的位置关系 学习重点:性质应用,直线与双曲线的位置关系 学习难点:性质应用,直线与双曲线的位置关系 学习过程 一、课前准备(预习教材理 P58~ P60,找出疑惑之处) 复习 1:说出双曲线的几何性质?
复习 2:椭圆与直线的位置关系及判断方法

二、新课导学 ※ 学习探究:探究 1:双曲线的离心率? 探究 2:类比点与椭圆的位置判定探讨点与双曲线的位置关系? x2 y2 点P( x 0 , y0 )与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的位置关系 a b 2 2 2 2 x y x y 点P( x 0 , y0 )在双曲线外 ? 02 ? 02 ? 1; 点P( x 0 , y0 )在双曲线上 ? 02 ? 02 ? 1; a b a 2 b2 x0 y0 点P( x 0 , y0 )在双曲线内 ? 2 ? 2 ? 1; (含焦点) a b 探究 3:类比直线与椭圆的位置关系探讨直线与双曲线的位置关系? ? Ax ? By ? C ? 0 ? 由方程组? x 2 y 2 ? mx 2 ? nx ? p ? 0, ? ? n 2 ? 4mp ? 2 - 2 ?1 ?a b 当m ? 0,则直线与双曲线的渐近线平行或重合,平行有一个交点,重合无交点
? ? 0 ? 两个交点 ? 相交;? ? 0 ? 一个交点 ? 相切;? ? 0 ? 无交点 ? 相离 (注: 1、一解不一定相切,相交不一定两解,两解不一定同支) 2、? ? 0, 相交两个交点在同一支上, 则x1 ? x 2 ? 0, 两个交点不在同侧,则x1 ? x 2 ? 0
※ 典型例题 离心率问题

例1、双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为F1,F2 ?F1 MF2 ? 120 0 求双曲线的离心率。

x2 y2 例2、双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的左右焦点为F1,F2,过点F1且 a b 垂直x轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点,若三角形ABF2 是 正三角形垂直,求双曲线的离心率。
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练 习 1 、 若 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y?? 为
2 2

3 x 4

则 双 曲 线 的 离 心 率



x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的两渐进线相互垂直,双曲线的离心率 ____。 2 a b c a2 ? b2 b 反思: 离心率e ? ? ? ?1 a a a 2、双曲线
双曲线的第二定义

例:1:点 M ( x, y) 到定点 F (5,0) 的距离和它到定直线 l : x ?
5 ,求点 M 的轨迹. 4

16 的距离的比是常数 5

平面内,到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离比为常数 e(e>1)的点的轨迹是双曲线。

a2 a2 准线方程:( 1 )焦点在x轴上:x ? ? (2)焦点在y轴上:y ? ? c c 2 2
例2:双曲线 MA ? 4 MF2 的值最小,并求最小值 5

x y ? ? 1,F1,F2 是左右焦点,点A(9, 2),在曲线上求点M,使 16 9

x2 y2 ? ? 1, F1 , F2为它的左右焦点 64 36 右支上一点P到它的右焦点F2的距离为8求它到右准线的距离 例3:已知双曲线方程为

练习: 1( | 06广东)已知双曲线3 x 2 ? y 2 ? 9, 则双曲线右支上的点P到右焦点距离 与点P到右准线的距离之比为__________ y2 2、已知点A(3, 2),F(2, 0)在双曲线x ? ? 1求一点P 3 1 使 PA ? PF 的值最小 2
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直线与双曲线位置关系 例 1.已知直线 y=kx-1 与双曲线 x2-y2=4,讨论实数 k 的取值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点; (2)有两个公共点; (3)只有一个公共点;
例2:过点P( 1,1 )与双曲线
将点 P(1,1)改为 1.A(3,4) 3.C(4,0)

x2 y2 ? ? 1,只有一个交点的直线有 ___ 条 16 9
2.B(3,0) 4.D(0,0).答案又是怎样的?

练习.设直线方程为 y=kx+2,与双曲线 x2-y2=6 的右支交于不同两点,则 k 的范围是________________ 例 3 过双曲线 |AB|
x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,倾斜角为 30? 的直线交双曲线于 A, B 两点,求 3 6

练习:1.过双曲线

? x2 y2 ? ? 1 的左焦点 F1 作倾角为 的直线与双 9 16 4

曲线交于 A、 B 两点,则|AB|=

.

2 小结:直线与双曲线相交,得到弦,弦长 l ? 1 ? k x1 ? x2
2 ? (1 ? k 2 ) ?? x1 ? x2 ? ? 4x1 x2 ? 其中 k 为直线的斜率, ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) 是两交点坐标. ? ?

弦长l ? 1 ?

1 1 1 2 ( y1 ? y 2 ) 2 ? 1 ? 2 y1 ? y 2 ? 1 ? 2 ( y1 ? y 2) - 4 y1 y 2 , (k ? 0) 2 k k k x2 y2 例4:已知双曲线 ? ?1 4 2 ( 1 )过 M( 1, 1 )的直线交双曲线于 A、B 两点,若 M 为弦 AB 的中点,

?

?

求直线 AB 的方程; ? 1? (2)是否存在直线l,使 N ?1, ? 为 l 被双曲线所截弦的中点,若存在, ? 2? 求出直线 l 的方程,若不存在,请说明理由。

y2 练习2、已知双曲线x ? ? 1, 过点M (1,1)能否作直线l与双曲线 2 交于A,B两点,且M为线段AB的中点?
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三、总结提升 ※ 学习小结 1.双曲线的综合应用:与椭圆知识对比,结合; 2.双曲线的另一定义; 3.直线与双曲线的位置关系. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 和双曲线 ? ? 1 的共同焦点为 F1,F2,P 是两曲线的一 25 16 4 5 个交点,则 PF1 ? PF2 的值为( ) .

1.若椭圆
21 2

A.

B. 84

C. 3

D. 21

x2 y 2 ) . ? ? 1 的焦点为顶点,离心率为 2 的双曲线的方程( 25 16 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 A. B. C. ? ?1 ? ?1 ? ?1或 ? ? 1 D. 以上都不对 16 48 9 27 16 48 9 27 3.过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的直线,交双曲线于 P 、 Q , F1 是另一

2.以椭圆

焦点,若∠ PF1Q ?

?
2 2

,则双曲线的离心率 e 等于(

) .

A. 2 ? 1 B. C. 2 ? 1 D. 2 ? 2 4.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10,这双曲线的方程为 __________________. 5.方程 围
作业 1、过点P(8, 1 )的直线与双曲线x 2 ? 4 y 2 ? 4相交于A、B两点, 且P是线段AB的中点,求直线AB的方程。
x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,则 k 的取值范 4 ? k 1? k



2、过(4, 0)的直线l与双曲线

x2 y2 ? ? 1只有一个公共点,求直线l的方程。 16 9

x2 ? y 2 ? 1 所截的线段 3、经过点 A(3,-1)能否作一条直线使它被双曲线 4 恰好被 A 点平分,若这样的直线存在,求它的方程,若不存在,请说明理由。

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