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高中数学必修五数列求和方法总结附经典例题和答案详解

时间:2018-06-28


数列专项之求和-4
(一)等差等比数列前 n 项求和 n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 1、 等差数列求和公式: S n ? 2 2
2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q )
n

? na1 ? ? ?

(q ? 1) a ? an q ? 1 1? q (q ? 1)

1? q

(二)非等差等比数列前 n 项求和
⑴错位相减法 ② 数列 ?an ? 为等差数列,数列 ?bn ? 为等比数列,则数列 ?an ? bn ? 的求和就要采用此法. ②将数列 ?an ? bn ? 的每一项分别乘以 ?bn ? 的公比,然后在错位相减,进而可得到数列

?an ? bn? 的前 n 项和.
此法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法.
例 23.求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 (x ? 0) 例 24.求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

⑵裂项相消法 一般地, 当数列的通项 an ?

c 时, 往往可将 an 变 (a, b1, b2 , c为常数) (an ? b1 )(an ? b 2 )

成两项的差,采用裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项: 设 an ?

?
an ? b1

?

?
an ? b2

,通分整理后与原式相比较,根据对应项系数相等得

??

c ,从而可得 b2 ? b1

c c 1 1 = ( ? ). (an ? b1 )(an ? b 2 ) (b2 ? b1 ) an ? b1 an ? b 2
常见的拆项公式有: ①

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ; ? ( ? ); ② n(n ? 1) n n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1



1 1 m?1 m m ? ( a ? b ); ④ Cn ? Cn ?1 ? Cn ; a ? b a? b 1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

⑤ n ? n ! ? (n ? 1)!? n !. ⑥ …… 例 25.求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

例 26.在数列{an}中, an ? 项的和. ⑶分组法求和

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.一般分两步:①找通向项公式 ②由通项公式确定如何分组. 例 27. 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和. 例 28.求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 a a a

⑷倒序相加法 如果一个数列 ?an ? ,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,则可用把正着写与倒 着写的两个和式相加,就得到了一个常数列的和,这种求和方法称为倒序相加法。特征:

a1 ? an ? a2 ? an?1 ? ...
0 1 2 n 例 29.求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2n

例 30.求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值 ⑸记住常见数列的前 n 项和: ① 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?

n(n ? 1) ; 2
2

② 1 ? 3 ? 5 ? ... ? (2n ?1) ? n ;
2 2 2 2 ③ 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?

1 n(n ? 1)(2n ? 1). 6

④1 ? 2 ? 3 ? ? ?
3 3 3

n 3 ? [ n(n ? 1)]2

1 2

答案详解
例 23.解:由题可知,{ (2n ? 1) x n?1 }的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比

数列{ x n ?1 }的通项之积。
S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ……………………….①

设 xSn ? 1x ? 3x 2 ? 5x 3 ? 7 x 4 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n ………………………. ②(设制错位) ①-②得 (1 ? x)S n ? 1 ? 2x ? 2x 2 ? 2x 3 ? 2x 4 ? ? ? ? ? 2x n?1 ? (2n ? 1) x n (错位相减 ) 再利用等比数列的求和公式得: (1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ?
1 ? x n ?1 ? (2n ? 1) x n 1? x

(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) ∴ Sn ? (1 ? x) 2
例 24. 解:由题可知,{

2n 1 }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通 n 2 2

项之积。 2 4 6 2n 设 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n …………………………………① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ………………………………② (设制错位) 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2n (1 ? ) S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 (错位相减) ①-②得 2 2 2 2 2 2 2 1 2n ? 2 ? n ?1 ? n ?1 2 2 n?2 ∴ S n ? 4 ? n ?1 2
例 25. 解:设 a n ?

1 n ? n ?1 1 ?

? n ? 1 ? n (裂项) 1 n ? n ?1

则 Sn ?

1 2? 3

1? 2

? ??? ?

(裂项求和)

= ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n ) = n ? 1 ?1

例 26. 解: ∵ a n ?

1 2 n n ? ? ??? ? ? n ?1 n ?1 n ?1 2 2 1 1 ∴ bn ? ? 8( ? ) (裂项) n n ?1 n n ? 1 ? 2 2



数列{bn}的前 n 项和 1 1 1 1 1 1 1 S n ? 8[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] (裂项求和) 2 2 3 3 4 n n ?1 8n 1 ) = = 8(1 ? n ?1 n ?1

例 27. 解:设 ak ? k (k ? 1)(2k ? 1) ? 2k 3 ? 3k 2 ? k



S n ? ? k (k ? 1)(2k ? 1) = ? (2k 3 ? 3k 2 ? k )
k ?1 k ?1

n

n

将其每一项拆开再重新组合得 Sn= 2? k 3 ? 3? k 2 ? ? k (分组)
k ?1 k ?1 k ?1 n n n

= 2(13 ? 23 ? ? ? ? ? n3 ) ? 3(12 ? 22 ? ? ? ? ? n2 ) ? (1 ? 2 ? ? ? ? ? n) =
n 2 (n ? 1) 2 n(n ? 1)(2n ? 1) n(n ? 1) ? ? (分组求和) 2 2 2



n(n ? 1) 2 (n ? 2) 2
1 1 1 ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a 将其每一项拆开再重新组合得 1 1 1 S n ? (1 ? ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) (分组) a a a (3n ? 1)n (3n ? 1)n 当 a=1 时, S n ? n ? = (分组求和) 2 2 1 1? n (3n ? 1)n a ? a1?n (3n ? 1)n a a ? 1 ? 当 时, S n ? = ? 1 a ?1 2 2 1? a

例 28. 解:设 S n ? (1 ? 1) ? (

0 1 2 n 例 29. 证明: S n ? Cn ………………………① ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn

把①式右边倒转过来得
n n?1 1 0 (反序) S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn m n ?m 又由 Cn 可得 ? Cn 0 1 n?1 n ……………② S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn

①+②得

0 1 n?1 n (反序相加) 2S n ? (2n ? 2)(Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ) ? 2(n ? 1) ? 2n

∴ S n ? (n ? 1) ? 2 n

例 30. 解:设 S ? sin 2 1? ? sin 2 2 ? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? …………. ①

将①式右边反序得
S ? sin 2 89? ? sin 2 88? ? ? ? ? ? sin 2 3? ? sin 2 2? ? sin 2 1? …………..②

(反序)
又因为 sin x ? cos(90? ? x),sin 2 x ? cos2 x ? 1 ①+②得

(反序相加)

2S ? (sin 2 1? ? cos2 1? ) ? (sin 2 2? ? cos2 2? ) ? ? ? ? ? (sin 2 89? ? cos2 89? ) =89
∴ S=44.5


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